RASTREAMENTO DE VÓRTICES NA ANÁLISE DE VIV DE ESTRUTURAS OCEÂNICAS. Jorge Antonio Merino Muñoz

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1 RASTREAMENTO DE VÓRTICES NA ANÁLISE DE VIV DE ESTRUTURAS OCEÂNICAS Jorge Antonio Merino Muño Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Oceânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia Oceânica. Orientador: Antonio Carlos Fernandes Rio de Janeiro Março de 013

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3 Merino Muño, Jorge Antonio Rastreamento de Vórtices na Análise de VIV de Estruturas Oceânicas/ Jorge Antonio Merino Muño. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 013. XXIV, 07 p.: il.; 9,7 cm. Orientador: Antonio Carlos Fernandes Tese (doutorado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Oceânica, 013. Referências Bibliográficas: p VIV em risers.. Vórtices Discretos. 3. Estruturas Oceânicas. I. Fernandes, Antonio Carlos. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III. Título. iii

4 Dedicado a meus pais Jorge Merino e Maria Muño com carinho e respeito. iv

5 AGRADECIMENTOS Ao meu professor e orientador Antonio Carlos Fernandes pelo apoio e dedicação no desenvolvimento da presente tese. Ao Programa de Engenharia Oceânica, professores, funcionários e alunos pela oportunidade durante minha passagem na elaboração da presente tese. A todos os colegas e amigos da área de hidrodinâmica pelo companheirismo ao longo destes anos. As minhas amigas e mães brasileiras Sra. Glace Farias do Peno e Sra. Marise Cardoso da Engenharia Costeira, pelo carinho, apoio e ajuda incondicional. A minha esposa Marília, a minha família peruana e brasileira que me incentivaram à realiação da presente tese. Finalmente agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo financiamento econômico que me foi concedido para o desenvolvimento da presente tese. Para todos vocês meus sinceros agradecimentos v

6 Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.) RASTREAMENTO DE VÓRTICES NA ANÁLISE DE VIV DE ESTRUTURAS OCEÂNICAS Jorge Antonio Merino Muño Março/013 Orientador: Antonio Carlos Fernandes Programa: Engenharia Oceânica Dentre as novas tecnologias que estão sendo instaladas para a extração de petróleo em águas ultraprofundas tem-se o sistema híbrido de risers com boia intermediária (ou sistema BSR). Em muitos casos, quando as ações externas sobre os risers instalados na BSR são muito intensas, pode acontecer o fenômeno de vibração induida por emissão de vórtices. Quando as frequências de emissão de vórtices estão próximas às frequências naturais do sistema, as forças e movimentos podem-se amplificar e assim diminuir a vida útil e inclusive levar ao colapso dos risers. Poucos trabalhos analisam detalhadamente o efeito de vibrações induida por emissão de vórtices num sistema BSR devido à complexidade da modelação das linhas e equacionamento dos fenômenos hidrodinâmicos que regem seu comportamento. O presente trabalho realia primeiramente uma análise de quatro modelos numéricos de VIV sobre um riser do sistema BSR para reproduir os resultados experimentais realiados pelo Tanque Oceânico do MARIN. Motivado por esta tarefa decide-se investigar e programar um novo código numérico utiliando o modelo de rastreamento de vórtices baseado no teorema do círculo, na teoria da camada limite e no método de vórtices discretos. A tese discute e analisa o alcanço e limitações deste modelo de VIV. vi

7 Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.) VORTICES TRACKING IN VIV ANALYSIS OF OCEAN STRUCTURES Jorge Antonio Merino Muño March/013 Advisor: Antonio Carlos Fernandes Department: Ocean Engineering Among the new technologies that are being recently installed for the extraction of oil in ultra-deep waters, there is the hybrid riser system with intermediate buoy (or BSR system). In many cases when the external actions on the risers installed in the BSR are very intense can happen the phenomenon of vortices induced vibration. When the vortex shedding frequencies are close to the natural frequencies of the structure responses can be intensified and thus shorten life and even lead to the risers collapse. Few studies analye in detail the effect of vortices induced vibration in a risers hybrid system due to the complexity of modeling and solution lines of hydrodynamic phenomena that govern their behavior. This work performs an analysis of four VIV numerical models in risers on BSR to reproduce the experimental results carried out by the Ocean Tank of MARIN. Motivated by this job decides to investigate and to program a new numerical code using the vortices tracking model based upon the circle theorem, boundary layer theory and discrete vortex method. The thesis discusses and analyes the reach and limitations of this VIV model. vii

8 SUMÁRIO CAPÍTULO 1.- INTRODUÇÃO Motivação Projetos atuais do sistema BSR nos campos de Sapinhoá e Lula NE Objetivos Descrição do trabalho desenvolvido Bibliografia pertinente Trabalhos sobre o sistema híbrido de risers com BSR Trabalhos sobre vibrações induidas por vórtices Método de vórtices discretos e o modelo de rastreamento de vórtices Descrição dos capítulos... 7 CAPÍTULO.- DESCRIÇÃO DO PROBLEMA ORIGINAL Considerações sobre os ensaios do MARIN Modelo do FPSO Sistema BSR Jumpers SCRs Tendões Chumbinhos (beads) Sistema de coordenadas Nomenclatura das linhas Descrição dos ensaios experimentais do MARIN Resultados experimentais do MARIN CAPÍTULO 3.- BREVE REVISÃO SOBRE VIV O que é VIV? Regimes de escoamento em torno de um cilindro circular liso Mecanismo de formação e emissão de vórtices Frequência de emissão de vórtices Forças sobre um cilindro em um escoamento permanente Camada limite Equações da camada limite CAPÍTULO 4.- RESULTADOS COMPARATIVOS ENTRE OS MODELOS DE VIV DO ORCAFLEX E DA SIMULAÇÃO DOS ENSAIOS DO MARIN viii

9 4.1. Modelo Oscilador de Esteira Modelo de Rastreamento de Vórtices (MRV) Resultados numéricos de um cilindro circular com movimento transversal utiliando o Orcaflex Resultados numéricos dos ensaios do MARIN Tração no riser variando o perfil da corrente Riser vertical Riser 1 em catenária sem arames Riser 1 em catenária com arames Tração no riser em catenária variando o número de nós Tração do riser em catenária variando o modelo de VIV Tração variando o diâmetro do Riser 1 com arames Tração no Riser 1 com chumbinho e com arames Influência dos arames nos resultados numéricos... 8 CAPÍTULO RASTREAMENTO DE VÓRTICES UTILIZANDO VÓRTICES DISCRETOS Método de vórtices discretos Modelo de rastreamento de vórtices (MRV) Escoamento externo à camada limite Um vórtice próximo à parede do cilindro Um par de vórtices próximos à parede do cilindro fixo Uma linha de vórtices próxima à parede do cilindro Duas linhas de vórtices próximas à parede do cilindro Escoamento interno à camada limite Vórtices nascentes e condições de separação Convecção das linhas de vórtices Rediscretiação das linhas de vórtices Indução de assimetria Emissão dos vórtices Coalescência dos vórtices Redução da circulação Fator de smear (fator de mancha) Cálculo das forças atuando sobre o cilindro ix

10 5..1. Cilindro circular com oscilação transversal Algoritmo do desenvolvimento numérico CAPÍTULO 6.- RESULTADOS NUMÉRICOS UTILIZANDO O MODELO DE RASTREAMENTO DE VÓRTICES (MRV) Resultados obtidos com o programa Orcaflex Mapeamento das trajetórias dos vórtices para C D e C L Análise paramétrica do fator de smeared (SF) Análise paramétrica da constante de decaimento de vórtice (DC) Resultados obtidos com o código numérico do MRV Linhas de vórtices sem rediscretiação Vórtices sem rediscretiação e sem corte dos vórtices emitidos Vórtices sem rediscretiação e com corte de vórtices desconectados Aplicando o método de rediscretiação Evolução do escoamento sem introdução da assimetria Evolução do escoamento sem corte das folhas de vórtices Distância horiontal x de coalescência dos vórtices Resultados finais do cilindro estacionário Resultados com o cilindro circular com movimento transversal CAPÍTULO 7.- CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES APÊNDICE A. PROPRIEDADES DO SISTEMA BSR APÊNDICE B. APLICAÇÃO DAS VARIÁVEIS COMPLEXAS NA TEORIA POTENCIAL APÊNDICE C. MODELO ESTRUTURAL: TEORIA DA MASSA CONCENTRADA EM NÓS APÊNDICE D. RESULTADOS OBTIDOS COM O PROGRAMA ORCAFLEX PARA O CILINDRO COM MOVIMENTO TRANSVERSAL. 198 APÊNDICE E. RESULTADOS OBTIDOS COM O MRV (presente tese) x

11 Lista de figuras Figura 1.1 Arranjo do sistema híbrido de risers com boia intermediária [1] Figura 1. Configuração da BSR instalada nos campos de Sapinhoá e Lula NE [7] Figura 1.3 Configuração do sistema BSR: detalhes da boia, conexão dos jumpers e saida dos SCRs modelados no Orcaflex Figura 1.4 Configuração do sistema BSR, arranjo dos SCRs Figura 1.5 Configuração do sistema BSR, detalhes dos jumpers e umbilicais para um sistema de ancoragem tipo spread mooring Figura 1.6 Ensaios experimentais realiados no MARIN, vista inferior [3] Figura 1.7 Desenhos de Leonardo da Vinci, Lugt [9] apud Meneghini [10] Figura 1.8 Trilha de vórtices de Von Kármán atrás de um cilindro circular para Re=55 [15] Figura 1.9 Resultados experimentais de VIV num cilindro circular (Feng [6] apud Blevins [73]) Figura 1.10 Mapa dos padrões de desprendimento de vórtices, Williamson e Govarhan [33] Figura 1.11 Imagem do tufão Sandy feita pelo satélite NOAA's GOES-13 da NASA GOES Project o dia 8 de outubro de 01 [46] Figura 1.1 Exemplo dos cálculos de Rosenhead ([85] apud [63]) Figura 1.13 Exemplo dos cálculos de Abernathy e Kronauer [5] Figura 1.14 Exemplo dos resultados de Sarpkaya [55] utiliando o método de vórtices discretos para uma placa inclinada Figura 1.15 Evolução das folhas de vórtices utiliando o modelo de vórtices discretos segundo Sarpkaya e Shoaff [63]... 3 Figura 1.16 Modelos de rastreamento de vórtices presentes no Orcaflex [8], a) Vortex Tracking 1 e b) Vortex Tracking, exemplo para um cilindro estacionário Figura 1.17 Configuração dos ensaios experimentais de Chaplin et al. [68] e comparação dos deslocamentos máximos na direção transversal Figura.1. Arranjo da configuração do sistema híbrido de risers com SCRs [3] Figura. Ensaios experimentais realiados no MARIN, vista superior [3]... 9 Figura.3 Visualiação renderiada do sistema híbrido de risers modelado no programa Orcaflex xi

12 Figura.4 Modelo em escala reduida do FPSO [] e a visualiação do FPSO em escala real modelado no Orcaflex Figura.5 Modelo em escala reduida do turret do FPSO [] e a visualiação renderiada modelado no Orcaflex Figura.6 Modelo da BSR em escala 1:90 [] e a visualiação renderiada da BSR modelado no Orcaflex Figura.7 Visualiação renderiada dos jumpers no Orcaflex e linhas de silicone calibradas com arames [] Figura.8 Modelo em escala 1:90 do SCRs [] e a visualiação renderiada do SCRs modelado no Orcaflex Figura.9 Chumbinhos nos ensaios experimentais de [] e a visualiação renderiada no Orcaflex Figura.10 Sistema de coordenadas global do sistema híbrido de risers com boia intermediária Figura.11 Nomenclatura dos jumpers e SCRs [3] Figura.1 Incidência das ondas e corrente e pontos de medição nas linhas dos ensaios experimentais do MARIN Figura.13 Trações nos tendões T1 (F1) e T (F) [3] em escala real Figura.14 Espectro da tração no tendão 1 (T1) e tendão (T), respectivamente [3] em escala real Figura.15 Comparação experimental e numérica da trações nos risers R1 e R11 [3] em escala real Figura.16 Comparação experimental e numérica dos espectros da tração no Riser 1 (R1) [3] em escala real Figura.17 Comparação experimental e numérica dos espectros da tração no Riser 11 (R11) [3] em escala real Figura.18 Comparação experimental e numérica das trações nos jumpers, J1 e J11 [3] em escala real Figura.19 Comparação experimental e numérica dos espectros da tração no jumper J1 e J11, respectivamente [3] Figura 3.1. Regimes do escoamento em função do número de Reynold, adaptado de [7] xii

13 Figura 3.. Definições das regiões do escoamento de um cilindro num escoamento uniforme, modificado de [10] Figura 3.3. A camada cisalhante. Nos dois lados do cilindro a camada cisalhante se curva e forma um par de vórtices. Vórtices A e B [7] Figura 3.4. (a) Antes do desprendimento do Vórtice A, o Vórtice B está sendo formando na esteira. (b) Antes do desprendimento do Vórtice B, o Vórtice C está sendo formado na esteira Figura 3.5. Número de Strouhal em função do número de Reynolds para um cilindro circular liso [7] Figura 3.6. Desenvolvimento da distribuição de pressão e a componente da força resultante ao longo da emissão de vórtices. Re=1.1 x 10 5, D=8 cm e U= 1.53 m/s [7] Figura 3.7 Forças de arrasto e sustentação obtidas da medição da distribuição de pressões da Figura 3.6 [7] Figura 3.8. Coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para um cilindro circular liso [7] Figura 3.9 Padrão do escoamento dentro da camada limite sobre uma placa plana [74] Figura 4.1 Acoplamento entre o modelo de VIV (VT1) e o modelo estrutural (massa concentrada em nós) no Orcaflex [8] Figura 4. Amplitude do movimento transversal em função da velocidade reduida para um cilindro circular com movimento transversal utiliando o Orcaflex Figura 4.3 Comparação das forças de tração no Riser 1. Numérico (Orcaflex-modelo VT1) versus Experimental (MARIN [] apud Fernandes e Jacob [3]) Figura 4.4 Comparação dos espectros de tração no Riser 1. Numérico (Orcaflex-modelo VT1) versus Experimental (MARIN, Fernandes e Jacob [3]) Figura 5.1 Método das imagens aplicado a um vórtice dentro de um escoamento uniforme Figura 5. Método das imagens aplicado a dois vórtices dentro de um escoamento uniforme, modificado de [81] Figura 5.3 Método das imagens aplicados a uma linha de vórtices dentro de um escoamento uniforme [58] Figura 5.4 Distância do vórtice à parede do cilindro xiii

14 Figura 5.5 Posição dos vórtices antes da rediscretiação Figura 5.6 Posicionamento dos vórtices depois da rediscretiação Figura 5.7 Comparação entre vórtices sem e com rediscretiação Figura 5.8 Evolução natural dos vórtices pelo MRV (sem assimetria) Figura 5.9 Variçaõ da assimetria x com o tempo t Figura 5.10 Tempo na qual as linhas de vórtices são desconectadas (emitidos) do cilindro no MRV Figura 5.11 Distância de corte da linha de vórtices Figura 5.1 Configuração da esteira no MRV indicando a coalescência dos vórtices. 108 Figura 5.13 Distância horiontal de coalescência dos vórtices a) Sarpkaya e Shoaff [63] (x=7c) e b) Orcaflex [8] (x=14c) Figura 5.14 Redução de circulação eliminando os vórtices dentro da região de formação Figura 5.15 Variação do parâmetro p com a distância x, para t> Figura 5.16 Fluxograma da sequência de cálculo do MRV da presente tese Figura 6.1 Mapeamento da trajetória dos vórtices no coeficiente de arrasto (C D ) utiliando Orcaflex Figura 6. Mapeamento da trajetória dos vórtices no coeficiente de sustentação (C L ) utiliando Orcaflex Figura 6.3 Coeficiente de arrasto em função do fator de smear (SF), Orcaflex (presente tese) Figura 6.4 Coeficiente de sustentação em função do fator de smeared (SF), Orcaflex.14 Figura 6.5 Coeficiente de arrasto em função da constante de decaimento de vórtice (DC) Figura 6.6 Coeficiente de sustentação em função da constante de decaimento de vórtice (DC) Figura 6.7 Linhas de corrente utiliando a teoria potencial de um cilindro circular com vórtices externos. a) Cilindro mais um vórtice externo e b) Cilindro mais dois vórtices externos Figura 6.8 Trajetória de uma linha de vórtices, sem malha auxiliar, utiliando o MRV. a) Cilindro estacionário e b) Cilindro com movimento transversal Figura 6.9 Resultados sem rediscretiação, a) Sarpkaya e Shoaff [63] e b)o MRV da presente tese, para o cilindro estacionário xiv

15 Figura 6.10 Trajetória dos vórtices sem rediscretiação (DC=0.01) Figura 6.11 Taxa de circulação sem rediscretiação e sem corte de vórtices (DC=0.01) Figura 6.1 Ângulo de separação sem rediscretiação e sem corte de vórtices (DC=0.01) Figura 6.13 Coeficientes de restauração e arrasto sem rediscretiação e sem corte de vórtices (DC=0.01) Figura 6.14 Trajetória dos vórtices sem rediscretiação com corte de vórtices(dc=0.01) Figura 6.15 Taxa de circulação sem rediscretiação com corte de vórtices (DC=0.01) Figura 6.16 Ângulo de separação sem rediscretiação com corte de vórtices (DC=0.01) Figura 6.17 Coeficientes de restauração e arrasto sem rediscretiação com corte de vórtices (DC=0.01) Figura 6.18 Linhas de vórtices discretos a) sem rediscretiação e b) com rediscretiação Figura 6.19 Taxa de circulação dos vórtices nascentes, sem impor assimetria Figura 6.0 Ângulo de separação sem impor assimetria Figura 6.1 Coeficientes de arrasto e sustentação sem impor assimetria Figura 6. Desenvolvimento natural dos vórtices sem impor assimetria para t*> Figura 6.3 Coeficientes de arrasto e sustentação sem corte de vórtices desconectados, MRV da presente tese Figura 6.4 Taxa de circulação para duas distâncias de coalescência Figura 6.5 Coeficiente de sustentação para duas distâncias de coalescência Figura 6.6 Coeficiente de arrasto para duas distâncias de coalescência Figura 6.7 Início da emissão de vórtices no cilindro estacionário: a) MRV (presente tese)e b) Orcaflex Figura 6.8 Trajetória dos vórtices no cilindro estacionário para t*=44, a) Sarpkaya e Shoaff [63], b) Orcaflex, c) MRV (presente tese) Figura 6.9 Comparação da taxa de circulação, MRV e Sarpkaya e Shoaff [63] Figura 6.30 Comparação dos ângulos de separação, MRV (presente tese), Orcaflex e Sarpkaya e Shoaff [63] xv

16 Figura 6.31 Comparação numérica e experimental do coeficiente de arrasto para o cilindro estacionário Figura 6.3 Comparação numérica e experimental do coeficiente de sustentação para o cilindro estacionário Figura 6.33 Densidade espectral das respostas tempoais de C D e C L para o cilindro estacionário Figura 6.34 Amplitude das oscilações do cilindro em função da velocidade reduida. 161 Figura 6.35 Trajetória dos vórtices do cilindro oscilante para Ur=4 e DC= Figura 6.36 Trajetória dos vórtices do cilindro oscilante para Ur=4 e DC= Figura A.1 Desenho esquemático da boia de 50m x 50m [] Figura B.1 Definição do ponto no plano complexo [15] Figura B. Escoamento uniforme: a) na direção x e b) numa direção arbitrária [10].. 18 Figura B.3 Formato das linhas de corrente de uma fonte [10] Figura B.4 Formato das linhas de corrente para um vórtice [10] Figura B.5 Linhas de corrente de um dipolo [15] Figura B.6 Vórtice real A próximo a uma parede e seu respectivo vórtice imagem B [15] Figura B.7 Superposição de um escoamento uniforme e um dipolo para descrever o escoamento ao redor de um cilindro circular [15] Figura B.8. Linhas de corrente de um escoamento irrotacional a traves de um cilindro circular [15] Figura B.9 Forças atuando sobre um elemento diferencial sobre a curva C Figura C.1. Modelação de uma linha utiliando a teoria de massa concentrada em nós[8] Figura C. Modelagem das linhas tridimensionalmente[8] Figura C.3 Modelagem tridimensional utiliando o modelo estrutural de massa concentrada em nós de uma linha no programa Orcaflex Figura C.4 Aplicação do modelo estrutural de massa concentrada em nós junto com o modelo de VIV Vortex Tracking Figura E.1 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =.0 e DC= Figura E. Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =.5 e DC= Figura E.3 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =3.0 e DC= Figura E.4 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =4.0e DC= xvi

17 Figura E.5 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =4.5e DC= Figura E.6 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =5.0 e DC= Figura E.7 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =6.0 e DC= Figura E.8 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =7.0 e DC= Figura E.9 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =8.0 e DC= Figura E.10 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =9.0 e DC= Figura E.11 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =10.0 e DC= Figura E.1 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =11.0 e DC= Figura E.13 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =1.0 e DC= xvii

18 Lista de tabelas Tabela.1 Perfil de corrente utiliada nos ensaios experimentais SW100 [3] Tabela 4.1 Constante de decaimento(dc) em função da velocidade reduida Tabela 4. Comparação das trajetórias dos vórtices do cilindro móvel entre um modelo de CFD [44] e Orcaflex(modelado pela presenet tese) Tabela 4.3 Tração no riser vertical para diferentes correntes, modelo IBWO Tabela 4.4 Frequências naturais do Riser 1 em catenária, sem arames Tabela 4.5 Tração no riser em catenária sem arames, modelo IBWO Tabela 4.6 Frequências naturais do Riser 1 em catenária, com arames Tabela 4.7 Tração no riser em catenária com arames, modelo IBWO Tabela 4.8 Tração no riser em catenária, variação no números de nós, modelo IBWO. 75 Tabela 4.9 Tração no Riser 1 para diferentes modelos de VIV Tabela 4.10 Tração variando diâmetro do Riser 1, modelo VT Tabela 4.11 Composição do Riser 1 em catenária, escala real Tabela 4.1 Comparação numérico-experimental da tração no Riser 1 com arames Tabela 4.13 Comparação numérica da tração no riser R1 com e sem arames Tabela 5.1 Cálculo da segunda parcela das forças de arrasto e sustentação da Equação (5.66) Tabela 6.1 Comportamento das linhas de vórtices em função do fator de mancha (SF) usando Orcaflex Tabela 6. Comportamento das linhas de vórtices em função da constantes de decaimento (DC) usando Orcaflex Tabela 6.3 Comparação de resultados sem assimetria, Sarpkaya e Shoaff [63] e o MRVda presente tese Tabela 6.4 Comparação de resultados sem corte das folhas de vórtices desconectadas do cilindro,entre Sarpkaya e Shoaff [63] e o MRV da presente tese Tabela 6.5 Comparação das trajetórias dos vórtices para o cilindro estacionário Tabela 6.6 Constantes de decaimento em função das velocidades reduidas utiliados no MRV da presente tese Tabela A.1 Características das boias [6] Tabela A. Propriedades dos dutos rígidos Tabela A.3 Propriedades dos jumpers flexíveis Tabela A.4 Propriedades dos umbilicais xviii

19 Tabela D.1 Trajetória dos vórtices em função da velocidade reduida com o Orcaflex Tabela E.1 Distribuição dos vórtices SEM REDISCRETIZAÇÃO e sem corte dos vórtices emitidos (DC=0.01) com cilindro estacionário Tabela E. Distribuição dos vórtices COM REDISCRETIZAÇÃO (DC=0.01) xix

20 Símbolos Gerais Lista de símbolos J1, J11 tração no jumper Nº 1 e Nº11, respectivamente R1, R11 tração no riser Nº 1 e Nº11, respectivamente Re número de Reynolds ρud/μ UD/ S número de Strouhal f S D U t T1, T tração no tendão Nº 1 e Nº, respectivamente U C f n f s T v velocidade da corrente frequência natural de vibração da estrutura [H] frequência de emissão de vórtices, ou frequência Strouhal [H] período de emissão de vórtices ou período de Strouhal [seg] massa específica do fluido [Kg/m 3 ] viscosidade dinâmica do fluido [Ns/m ] viscosidade cinemática do fluido [m /s] Símbolos do modelo de rastreamento de vórtices w c,, n i potencial de velocidades função corrente potencial complexo, raio do cilindro posição, velocidade e aceleração dos vórtices reais no plano complexo conjugado do número complexo posição do enésimo vórtice posição dos vórtices imagens no plano complexo ( c ) nv posição dos vórtices nascentes i unidade imaginária circulação dos vórtices xx i

21 nv circulação dos vórtices nascentes s ponto de separação ângulo do ponto de separação S U velocidade do escoamento incidente U S u e m q t velocidade do escoamento externo próxima ao ponto de separação velocidade do escoamento externo à camada limite distância normal da parede do cilindro para o centro do vórtice nascente velocidade complexa variação de tempo Símbolos utiliados na rediscretiação * n *, * s, s N * n s, s n * n posição do enésimo vórtice depois da rediscretiação circulação por unidade de comprimento antes e depois da rediscretiação distância entre vórtices consecutivos antes e depois da rediscretiação número total de vórtices na linha circulação do enésimo vórtice depois da rediscretiação comprimento da linha até o enésimo vórtice antes e depois da rediscretiação. Símbolos da equação da camada limite w tensões cisalhantes na superfície do corpo c f coeficiente de atrito (x) espessura da quantidade de movimento * H (x) fator de forma ( ( x) ( x) ) (x) espessura da camada limite * ( x) espessura de deslocamento. 0 V espessura da quantidade de movimento no ponto de estagnação (x=0) vetor vorticidade vetor velocidade componente do vetor velocidade na direção xxi

22 * D L C D C L variável de correlação do método de Thwaites posição do vórtice depois da rediscretiação força de arrasto força de sustentação coeficiente de arrasto coeficiente de sustentação Cilindro com oscilação transversal A amplitude de vibração A/D A x /D A y /D D amplitude de vibração adimensional amplitude de vibração adimensional na direção longitudinal x (in-line) amplitude de vibração adimensional na direção transversal y (cross-line) dimensão característica, diâmetro do cilindro U R velocidade reduida U f.d n 0, 0, 0 posição, velocidade e aceleração instantânea do centro do cilindro y, y, y deslocamento, velocidade e aceleração do cilindro na direção y n C C C k C A frequência natural de vibração do sistema massa-mola amortecida coeficiente de amortecimento estrutural raão de massa raão de amortecimento raão de restauração coeficiente de massa adicionada C M coeficiente de massa hidrodinâmica xxii

23 Glossário BSR: boia de sustentação de risers. CFD: dinâmica dos fluidos com auxilio do computador (do inglês: computational fluid dynamic). FPSO: Navio de produção, estocagem e bombeamento (do inglês: Floating Production Storage and Offloading). Jumper: Trecho de linha flexível que interliga a BSR ao FPSO. LabOceano: Laboratório de Tecnologia Oceânicas da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Lumped mass: Massa concentrada em nós. MARIN: Instituto de Pesquisas Marítimas da Holanda (do inglês: Maritime Research Institute Netherlands). Modelo Heurístico: Define-se como um método de aproximação das soluções dos problemas, que não segue um percurso claro, mas baseia-se na intuição e nas circunstâncias a fim de gerar conhecimento novo. Offshore: Termo utiliado na indústria do petróleo referente à produção de petróleo no mar. Offset: Deslocamento. Risers: Linhas flexíveis ou rígidas de transferência de fluidos produidos desde o fundo do mar para a superfície e vice-versa ou para a transferência de fluidos por injeção. Sistema híbrido de risers: configuração combinada composta por dutos rígidos e flexíveis. SCR: Linha rígida com configuração em catenária (do inglês: Steel Catenary Riser). TLP: Plataforma de Tendão Tracionado (do inglês: Tension Leg Plataform). TDP: ponto de assentamento no leito (do inglês: Touch Down Point). VIV: vibrações induidas por desprendimento de vórtices (do inglês: Vortex Induced Vibration). Sobre os modelos de VIV IBWO : modelo Iwan and Blevins Wake Oscillator. MWO : modelo Milan Wake Oscillator. MRV : modelo de rastreamento de vórtices ou Vortex Tracking (VT). VT1 : modelo Vortex Tracking 1. xxiii

24 VT : modelo Vortex Tracking. WO : modelo de oscilador de esteira ou Wake Oscillator. SF : do inglês vortex smear factor DC : constante de decaimento do vórtice (do inglês vortex decay constant). VDT1 : limite de decaimento do vórtice 1 (do inglês vortex decay threshold 1) VDT : limite de decaimento do vórtice (do inglês vortex decay threshold ) xxiv

25 CAPÍTULO 1.- INTRODUÇÃO 1.1. Motivação Como tem sido amplamente mencionado no âmbito econômico mundial, a extração de hidrocarbonetos é uma das mais importantes indústrias na economia atual na medida em que está na cadeia de produção da maior parte da energia disponível hoje em dia. No mundo, sobretudo no Brasil, uma quantidade considerável de hidrocarbonetos acontece em áreas offshore. Como consequência, a indústria petrolífera procura por novos campos de petróleo e gás em áreas offshore, levando assim a explorar, instalar e operar em lâminas de água cada ve mais profundas, superiores a 000m. Com o aumento da profundidade de instalação das plataformas petrolíferas surgem novos desafios e como consequência são investigadas novas alternativas de arranjo que ajudem a diminuir os esforços nas linhas devido às ações externas. Dentre estas alternativas pode-se encontrar um sistema híbrido com boia intermediária para suporte de risers (ver Figura 1.1) este sistema é conhecido como BSR (Boia para Suporte de Risers). Esta tecnologia está sendo aprimorada nos últimos anos, sendo o comportamento dinâmico dos risers uns dos problemas durante a fase de instalação e produção. Figura 1.1 Arranjo do sistema híbrido de risers com boia intermediária [1]. 1

26 Com o intuito de aprimorar e viabiliar esta instalação foram realiados vários trabalhos e projetos de investigação por MARIN [], Fernandes e Jacob [3], Franciss [4] e Rodrigues et al. [5], resolvendo-se vários problemas na fase de instalação e operação. Dentre os problemas encontrados durante os ensaios experimentais em [] temse o fenômeno de VIV nos risers o qual está claramente reportado em [5] e [6]. Nestes trabalhos pioneiros indica-se a necessidade de métodos de análise de VIV devido à evidente ocorrência nos ensaios experimentais. Alguns espectros dos resultados experimentais do MARIN [] apresentam picos de tração em alta frequência, em torno de 15 a 3 rad/s. Estas altas frequências nas trações podem ocasionar fadiga no riser e diminuir consideravelmente a vida útil, pondo em risco a produção do sistema. O fenômeno de VIV é uma das principais incerteas no projeto de estruturas offshore. Assim, é de grande importância ter à disposição um modelo capa de prever quantitativamente e de forma confiável este fenômeno. Sendo ainda mais importante a análise de VIV em sistemas mais complexos tais como um sistema híbrido de risers com boia de suporte intermediária. A análise de VIV neste sistema pode ser muito complexo devido à grande quantidade de linhas e a proximidade entre elas Projetos atuais do sistema BSR nos campos de Sapinhoá e Lula NE Os campos de Sapinhoá e Lula NE são parte das grandes descobertas realiadas pela Petrobras como parte do projeto présal. Este projeto localia-se na bacia de Santos, em águas ultraprofundas passando os 100m de profundidade e afastadas 300 Km da costa brasileira. Aqui é interessante observar a evolução do sistema híbrido de risers, que inicialmente começou a ser testado em escala reduida e atualmente está sendo instalado em escala real e estando prestes a iniciar o seu funcionamento. Como parte da motivação e com o intuito de mostrar a importância do sistema híbrido de riser neste contexto apresentam-se a seguir detalhes do sistema BSR, a ser instaladas nos campos de Sapinhoá e Lula NE tal como encontrado na literatura e modelado no programa Orcaflex.

27 Figura 1. Configuração da BSR instalada nos campos de Sapinhoá e Lula NE [7]. Na Figura 1. mostra-se a configuração da BSR recebendo os jumpers e os SCRs saindo na direção do fundo. Igualmente ao projeto preliminar pode-se notar na Figura 1.4 como o topo dos jumpers, conectados à plataforma, suportam a excitação das ondas. Já os SCRs conectados na BSR não recebem diretamente estas excitações das ondas, devido ao arranjo do sistema BSR. Figura 1.3 Configuração do sistema BSR: detalhes da boia, conexão dos jumpers e saida dos SCRs modelados no Orcaflex. 3

28 Com base nas características de [7] e com ajuda do relatório [] pode-se modelar no programa Orcaflex este sistema híbrido de risers. Detalhes da BSR podem ser vistos na Figura 1.3. Comparando a Figura 1.1 e Figura 1.3 notamos os detalhamentos realiados na geometria da BSR desde a fase inicial, com o intuito de melhorar a passagem e fixação das linhas instaladas. Aqui devemos ressaltar a importância da modelagem dos SCRs sendo estes mais propensos às forças de VIV. Devido à proximidade entre eles, pode ocorrer colisão (clashing), danificando os risers o que pode levar posteriormente a situações catastróficas durante a etapa de operação. Na Figura 1.4 mostra-se a configuração completa do sistema BSR modelado no Orcaflex. Aqui, notam-se os SCRs saindo da BSR e chegando ao fundo do mar a mais de 100m de profundidade. Figura 1.4 Configuração do sistema BSR, arranjo dos SCRs. A Figura 1.5 mostra mais detalhadamente a modelagem dos jumpers e umbilicais conectados à plataforma, no topo, e à BSR, a 50m de profundidade. É importante destacar que os jumpers não são muito propensos aos efeitos de VIV devido à sua alta flexibilidade e alto amortecimento estrutural, própria das linhas flexíveis. Como consequência, as cargas de fadiga nos jumpers corresponderão em grande parte aos efeitos das ondas sobre a plataforma. 4

29 Figura 1.5 Configuração do sistema BSR, detalhes dos jumpers e umbilicais para um sistema de ancoragem tipo spread mooring. Uma observação importante nesta modelagem é a flexibilidade do programa Orcaflex para modelar detalhadamente os elementos que compõem o sistema híbrido de risers em especial as linhas e a BSR. O programa determina as forças de tração e os modos de vibração dos risers, fatores importantes nas respostas devidas ao fenômeno de VIV. 1.. Objetivos Investigar a aplicação de vários métodos de análise hidrodinâmica do efeito do VIV em linhas presentes em arranjos complexos tais com as existentes em BSR (boia para suporte de risers). Na etapa inicial da tese verifica-se cuidadosamente que os modelos baseados no rastreamento de vórtice (vortex tracking) são superiores, isto é, produem resultados muito próximos aos experimentais. Esta análise foi realiada através de comparações de resultados com modelos reduidos de uma BSR realiados no MARIN. Na segunda etapa da tese, com o objetivo de desenvolver de um programa de computador próprio, aprofundam-se nos detalhes do modelo de rastreamento de vórtices. 5

30 Com estas atividades foi possível verificar a efetividade do modelo de rastreamento de vórtices, bem como, divisar as suas propriedades (algumas não evidentes) que são essenciais para se conseguir bons resultados Descrição do trabalho desenvolvido A presente investigação é dividida em duas etapas. Inicialmente modela-se em forma global, detalhada e tridimensional o sistema híbrido de riser com boia intermediária (sistema BSR), tentando reproduir a ordem de grandea dos resultados experimentais apresentados em [] e aprimorando as respostas numéricas apresentadas em Fernandes e Jacob [3], escolhendo desta análise inicial um modelo de VIV que melhor reprodua os resultados experimentais. Na segunda etapa desenvolve-se um código numérico próprio, com base no modelo de VIV escolhido, analisando localmente e em forma bidimensional o comportamento hidrodinâmico de emissão de vórtices nos risers idealiados como cilindros de seção circular com comprimento infinito. Na primeira etapa, é utiliado um programa de análise não linear no domínio do tempo (Orcaflex) para modelar e avaliar estática e dinamicamente as forças nas linhas e movimentos dos elementos do sistema BSR conforme []. Usando o Orcaflex, existe a possibilidade de se avaliar o efeito de VIV nas linhas ao longo do comprimento. Este pacote é de grande ajuda porque permite comparar diferentes modelos de VIV em diferentes partes das linhas. A modelação numérica é realiada em escala real, seguindo as características, propriedades e especificações apresentadas em [] e [3]. São várias as propostas de modelos matemáticos para análise de VIV pelo Orcaflex e depois de serem aplicados, o modelo de rastreamento de vórtices 1 (Vortex Tracking 1) foi selecionado para ser desenvolvido na presente tese. Na segunda etapa, este modelo de rastreamento de vórtices é desenvolvido num novo código numérico utiliando a linguagem de programação FORTRAN e é validado com resultados experimentais encontrados na literatura, tais como o caso típico de VIV num cilindro circular submetido a um escoamento uniforme transversal. Também são realiadas as validações paralelamente com o programa Orcaflex. O modelo de rastreamento de vórtices utilia o método de vórtices discretos na sua formulação integralmente Lagrangeana para reproduir as camadas cisalhantes fora da camada limite. Este método utilia a teoria da camada limite de forma simplificada 6

31 para calcular o ponto de separação e a intensidade dos vórtices emitidos dentro do escoamento. É importante esclarecer que a presente tese limita-se ao estudo e desenvolvimento do modelo hidrodinâmico bidimensional de VIV. Os resultados do modelo estrutural tridimensional e as respostas decorrentes do acoplamento com modelo hidrodinâmico de VIV foram obtidos com o modelo de massas concentradas em nós utiliando o programa Orcaflex [8] Bibliografia pertinente Devido à quantidade de referências revisadas e os temas abordados, decidiu-se dividir a revisão bibliográfica em três partes principais: primeiramente realia-se uma breve resenha histórica sobre os trabalhos considerando o sistema híbrido de riser. São apresentados os trabalhos envolvendo os ensaios experimentais e numéricos deste sistema. Em seguida comentam-se, de forma geral, os trabalhos revisados referentes ao fenômeno de vibrações induidas por desprendimento de vórtices e finalmente resumem-se os trabalhos encontrados com respeito ao modelo numérico de rastreamento de vórtices utiliado neste trabalho Trabalhos sobre o sistema híbrido de risers com BSR MARIN [] apresenta um extenso relatório sobre testes experimentais do sistema híbrido de risers com boia intermediária, realiados com modelos reduidos. Neste trabalho, o objetivo foi consolidar a concepção de uso da boia para suporte de risers em combinação com um FPSO. Na Figura 1.6, mostra-se uma das configurações estudadas. Fernandes e Jacob [3] apresentam um relatório onde analisam e interpretam os resultados obtidos em []; realiam uma análise modal do sistema testado, além de uma análise espectral dos resultados experimentais. Indicam uma metodologia para o projeto do sistema híbrido de risers, e entre as conclusões mais importantes, ressaltam a necessidade de se verificar numericamente o fenômeno de VIV nos risers. Fernandes et al. [6] apresentam um trabalho que resume a análise realiada em [3]. Nesse trabalho, reforça-se a viabilidade do sistema híbrido de risers e ressalta-se a necessidade de uma análise mais minuciosa dos efeitos de VIV sobre a tração nos risers. 7

32 Em particular discutem-se os dois picos de tração encontrados na faixa de alta frequência entre 15 e 3 rad/s. Figura 1.6 Ensaios experimentais realiados no MARIN, vista inferior [3]. Rodrigues et al. [5] utiliam um procedimento numérico/analítico para analisar as forças estáticas que atuam sobre o sistema híbrido de risers devido a efeitos externos. Aqui, considerou-se o efeito da corrente sobre as linhas e os resultados obtidos tiveram boa concordância quando foram comparados com códigos de elementos finitos. Franciss [4] apresenta um trabalho onde descreve a configuração de um sistema híbrido de risers com boia intermediária, analisa os resultados obtidos da análise estrutural e procedimentos de instalação e verifica a viabilidade do projeto com resultados experimentais Trabalhos sobre vibrações induidas por vórtices De acordo com Lugt [9], ao longo da historia temos indícios de que o fenômeno de geração de vórtices foi observado desde tempos muito antigos. O autor descreve que no século XV Leonardo da Vinci observou num rio a formação de vórtices, os quais se formavam a jusante do objeto (ver Figura 1.7). 8

33 Figura 1.7 Desenhos de Leonardo da Vinci, Lugt [9] apud Meneghini [10]. Foi apenas em 1878 que o físico checo Vincenc Strouhal realiou a primeira investigação científica do problema [10]. Strouhal estudou a vibração de um fio sujeito a uma corrente de ar e concluiu que a frequência do som emitido durante o seu movimento varia apenas com o seu diâmetro e a velocidade do movimento relativo. Strouhal também notou que quando a frequência do som coincidia com uma das frequências naturais do fio, o som era intensificado [10]. Lord Rayleigh descobriu mais tarde em 1879 a existência de uma força de sustentação, associada o desprendimento de vórtices, perpendicular à direção do escoamento ([1] apud [10]). Anteriormente, pensava-se que a vibração ocorria na direção da corrente. Mas foi apenas em 1896 que Lord Rayleigh definiu o número adimensional que veio a ser conhecido como número de Strouhal ( S D U ). Logo, de vários ensaios experimentais, Rayleigh sugeriu que o número de Strouhal é dependente do número de Reynolds, definindo f S ReU D Pesquisas realiadas por Von Kármán em 191 ([14] apud [10]) resultaram na conclusão da periodicidade do fenômeno de desprendimento de vórtices. Anteriormente Von Kármán descreveu a fileira dupla de vórtices que se forma no escoamento em torno de um corpo rombudo, idealiado em forma bidimensional dentro de um fluido invíscido. Na abordagem de Von Kármán, cada vórtice é admitido como tendo circulação concentrada ao longo de uma linha perpendicular ao plano do escoamento. Reconhecendo a importância das descobertas de Von Kármán e o trabalho dele na área, uma fileira dupla de vórtices na região da esteira do escoamento ao redor de um corpo rombudo é chamada usualmente de trilha de vórtices de Von Kármán, esta configuração pode ser vista na Figura 1.8. No entanto, a abordagem de Von Kármán limita-se à 9 s t t, [10]. f s

34 configuração do escoamento sem considerar a influência da forma do corpo, a viscosidade do fluido ou o fenômeno de turbulência. Já que ele estava apenas preocupado com as propriedades de estabilidade da esteira atrás de um corpo e na possibilidade de representá-la a través de uma distribuição ideal de vórtices ([1] apud [10]). Figura 1.8 Trilha de vórtices de Von Kármán atrás de um cilindro circular para Re=55 [15]. Uma característica investigada posteriormente por Roshko ([16] apud [63]) foi a influência da geometria no fenômeno de geração de vórtices. Ele mostra alguns aspectos qualitativos que são característicos do escoamento ao redor de corpos rombudos. Por exemplo, mostrou que quanto mais rombudo é o corpo, maior é o coeficiente de arrasto. Também verificou que o número de Strouhal varia de forma inversamente proporcional à largura transversal da esteira, ou seja, quanto mais rombudo for o corpo, menor o número de Strouhal. O motivo seria que quando o corpo é mais rombudo, as camadas cisalhantes ficam mais distantes dificultando a interação entre elas. Como consequência, tem-se uma frequência de desprendimento de vórtices menor. Em outro trabalho, Roshko ([17] apud [47]) combinou a teoria de linha de corrente livre de Kirchoff com a teoria de Von Kármán para representar uma esteira de vórtices. Ele permitiu que houvesse alguma destruição de vorticidade na camada cisalhante livre e, então obteve uma solução dependente apenas de uma medida experimental. Utiliando esta teoria, o número de Strouhal pode ser analiticamente calculado. Isto foi realiado igualando-se a quantidade da taxa de circulação remanescente do processo de formação de vórtices, na separação da camada limite, com a circulação calculada com a configuração ideal de estabilidade de Von Kármán. 10

35 Em 1966, Gerrard [18] analisou os mecanismos físicos envolvidos no fenômeno de formação de vórtices no escoamento ao redor de um cilindro. Ele sugeriu que a interação mútua entre as duas camadas cisalhantes, formadas devido à separação da camada limite, constitui-se num elemento decisivo no processo de formação de vórtices da esteira. Nas décadas seguintes o fenômeno de emissão de vórtices chamou a atenção de vários pesquisadores. Assim em 1964, Bishop e Hassan [19] investigaram experimentalmente um cilindro circular com oscilação forçada na direção transversal ao escoamento incidente. Este estudo focou-se nas forças hidrodinâmicas exercidas sobre o cilindro para uma ampla faixa de frequências e amplitudes de oscilação. Estes ensaios revelaram a amplificação das forças de arrasto e sustentação quando a frequência de excitação estava muito próxima à frequência de Strouhal do sistema. Assim, também percebeu uma rápida mudança da fase entre a força de sustentação e o movimento do cilindro quando a frequência de excitação variava muito próxima à frequência de Strouhal do sistema, típica de fenômenos ressonantes. Koopmann [0] realiou ensaios experimentais para visualiar a esteira de um cilindro circular submetido a oscilações forçadas com movimento transversal para vários números de Reynolds. Ele encontrou que a sincroniação entre a frequência de desprendimento de vórtices com a frequência de oscilação do cilindro (lock-in) acontece até um limite de amplitude de oscilação. Este limite aumenta quando a frequência de oscilação se afasta da frequência de desprendimento de vórtices. Ele relatou que a oscilação do cilindro levou ao alinhamento dos filamentos de vórtices com o eixo do cilindro e à redução do espaçamento lateral dos vórtices com o incremento da amplitude de oscilação. Honji e Taneda [1] examinaram a esteira de um cilindro circular oscilando livremente na direção transversal a um escoamento uniforme para números de Reynolds entre 70 e 163. Eles determinaram a extensão da região do lock-in e conseguiram visualiar a esteira e medir a força de arrasto. Eles encontraram um incremento no C D na ona do lock-in. Griffin [] investigou as alterações da esteira de um cilindro medindo a velocidade do escoamento para diferentes excitações forçadas. Estes ensaios revelaram que o comprimento da região onde os vórtices são formados, utiliado como parâmetro característico, é grandemente influenciado pela frequência e amplitude das oscilações forçadas no lock-in. 11

36 Griffin e Ramberg [3] examinaram os efeitos das vibrações transversais de um cilindro rígido sobre a geometria e intensidade dos vórtices de uma esteira periódica. Para a avaliação destas variáveis, foram medidas as velocidades do escoamento utiliando anemômetros elétricos. Estas medições foram comparadas com um modelo matemático baseado nos vórtices de Oseen que tenta equacionar o decaimento de um vórtice devido à viscosidade. Sarpkaya [4] mediu as forças hidrodinâmicas sobre um cilindro circular com oscilações transversais forçadas a um escoamento incidente uniforme. Ele separou a força transversal no domínio do tempo em duas componentes (forças dentro e fora de fase), determinando experimentalmente coeficientes de força transversal. Estes coeficientes de força foram utiliados analiticamente nas equações do movimento transversal do cilindro, obtendo aceitável concordância com os movimentos obtidos experimentalmente no mesmo trabalho. Bearman e Curie [5] mediram a pressão num ponto na superfície de um cilindro a 90º do ponto de estagnação. O cilindro podia oscilar transversal ao escoamento incidente. Estas medições foram realiadas para varias amplitudes de oscilação e velocidades reduidas entre 3 e 18. Aqui, os autores encontraram um salto brusco nos ângulos de fase entre a pressão e o deslocamento do cilindro, próximo à frequência de ressonância. Este resultado teve boa concordância com as medições realiadas por Feng [6], na qual um cilindro montado elasticamente foi deixado livre para oscilar na direção transversal ao escoamento incidente, seus resultados podem ser visto na Figura 1.9. Feng [6] também analisou as amplitudes do movimento devido ao VIV para seções do cilindro retangular, triangular, seção em D e outras seções com cantos vivos e concluiu que o efeito de lock-in no cilindro com seção circular é maior quando comparado com as demais seções. 1

37 Figura 1.9 Resultados experimentais de VIV num cilindro circular (Feng [6] apud Blevins [73]). Zdravkovich [7] analisou padrões de visualiação de trabalhos anteriores (Den- Hartog [8], Meir-Windhorst [9], Angrilli et al. [30] e Griffin & Ramberg [3] apud [7]) e sugeriu que o salto da fase das forças hidrodinâmicas pode ser explicado pela variação do tempo na qual os vórtices são emitidos com respeito ao deslocamento do cilindro. Ongorem e Rockwell [31] também chegaram à mesma conclusão utiliando a técnica de visualiação das bolhas de hidrogênio. Eles notaram que quando a frequência de oscilação do cilindro era menor que a frequência natural do sistema, os vórtices eram emitidos no mesmo lado do cilindro quando este atingia a amplitude máxima. Conforme a frequência de oscilação aumentava acima da frequência natural, os vórtices eram emitidos no lado oposto do cilindro quando este atingia novamente a amplitude máxima. Williamson e Roshko [3] realiaram ensaios experimentais para grandes amplitudes de oscilação de um cilindro montado elasticamente, na qual o período de oscilação forçado variou em até três vees o período natural do sistema atingindo amplitudes maiores ao diâmetro do cilindro. Eles observaram vários padrões de desprendimento de vórtices nas regiões de sincroniação, classificando-as em termos do 13

38 número de vórtices emitidos por ciclo de oscilação, conforme mostra a Figura Um resultado relevante deste trabalho é quando a velocidade reduida excede um valor crítico para uma determinada amplitude de oscilação, o padrão de emissão de vórtices diverge desde a região onde dois vórtices são emitidos com circulação oposta por cada ciclo de oscilação (modo S ) para uma forma mais complexa em que dois pares de vórtices são emitidos por ciclo (modo P ), (ver Figura 1.10). Estes experimentos foram realiados num tanque de provas, no plano X-Y, utiliando uma técnica de visualiação de escoamento baseada em partículas de alumínio espalhadas sobre a superfície fluida. Figura 1.10 Mapa dos padrões de desprendimento de vórtices, Williamson e Govarhan [33]. Gu et al. [34] confirmaram este comportamento para pequenas amplitudes forçadas, no primeiro estudo pioneiro deste problema usando PIV. Este fenômeno de lock-in foi encontrado nas simulações de Meneghini & Bearman [35] e [36], Lu e Dalton [37], Blackbum e Henderson [38], Anagnostopoulos [39] e [40], Guilmineau e Queutey [41], Krishnamoorthy et al. [4] e nos recentes trabalhos utiliando CFD de Wanderley [43] e [44]. 14

39 Na atualidade, dentre as últimas noticias sobre os efeitos ocasionados pela geração de vórtices podemos citar o tufão Sandy que recentemente chegou à costa de Nova York com ventos de até 180 Km/h deixando bilhões de dólares em perdas e consequências fatais, sendo esta a tempestade tropical mais devastadora das últimas décadas [45]. Embora, esta noticia seja devido a fenômenos meteorológicos é interessante perceber a importância dos efeitos devido à formação de vórtices. Figura 1.11 Imagem do tufão Sandy feita pelo satélite NOAA's GOES-13 da NASA GOES Project o dia 8 de outubro de 01 [46] Método de vórtices discretos e o modelo de rastreamento de vórtices As origens do método de vórtices discretos remontam aos trabalhos de Helmholt em 1958 ([48] apud [47]). Helmholt foi o primeiro a mostrar que num fluido invíscido, as linhas de vórtices (definidas aqui com as linhas tangentes ao vetor vorticidade) permanecem constituídas dos mesmos elementos fluidos conforme o escoamento se desenvolve. Com esta consideração, escoamentos com regiões que concentram vorticidade podem ser modeladas analiticamente utiliando vórtices com intensidades adequadas e com seção transversal infinitesimal. Todos os métodos de vórtices discretos são baseados neste conceito, com a introdução de singularidades no 15

40 lugar de regiões compactas de vorticidade através de vórtices discretos, circundados por um escoamento potencial. Kármán foi o primeiro a usar o conceito de Helmholt na representação de uma trilha de vórtices. Ele analisou a estabilidade da distribuição dos vórtices pontuais. Rosenhead ([85] apud [47]) foi o primeiro a integrar a trajetória destes vórtices e estudou a evolução de uma distribuição em particular. Neste trabalho Roseanhead discute as instabilidades que desenvolve uma superfície descontínua entre duas regiões fluidas com velocidades opostas. Esta superfície foi representada por vórtices discretos e uma análise numérica para os primeiros passos de tempo predisseram o enrolamento da trilha de vórtices. A distribuição de vórtices utiliada por Roseanhead pode ser vista na Figura 1.1. Figura 1.1 Exemplo dos cálculos de Rosenhead ([85] apud [63]). Os resultados de Rosenhead mantiveram-se incontestáveis até 1959 quando o poder digital dos computadores foi utiliado na análise. Birkchoff e Fisher [50] reproduiram as análises de Roseanhead utiliando um esquema de integração de Runge-Kutta, com vórtices por comprimento de onda e menores intervalos de tempo. Ao invés de aprimorar os resultados eles observaram que os vórtices seguiam trajetórias irregulares e não rolavam suavemente. Birkhoff e Fisher concluíram que para tempos maiores, o arranjo originalmente organiado dos vórtices se converteria num arranjo aleatório e que a representação das camadas cisalhantes utiliando vórtices discretos era questionável. 16

41 Pouco tempo depois, Hama and Burke [51] fieram um estudo similar e verificaram as observações de Birchoff e Fisher. Porém, Hama e Burke notaram um erro conceitual no método original de Roseanhead referente à distribuição dos vórtices discretos ao longo da camada cisalhante. Na verdade, se uma camada de vórtices com vorticidade por comprimento unitário constante em todo seu comprimento deve ser representada por vórtices de igual intensidade, então os vórtices devem ser recolocados a distâncias iguais medidas ao longo da camada. Utiliando este novo arranjo, Hama e Burke fieram novamente os cálculos e encontraram que o início do movimento irregular dos vórtices foi significativamente atrasado e eventualmente aconteciam irregularidades nas respostas. Assim, nesta etapa poderia-se considerar que o início da instabilidade dos vórtices poderia ser atrasado, embora até aqui, as respostas ao porque isto aconteceria e como poderia ser controlado ainda não eram claras. Sem um completo entendimento das consequências da instabilidade da camada de vórtices, o modelo de vórtices discretos continuou sua evolução baseando-se na hipótese de que resultados significativos poderiam ser obtidos até o início do movimento irregular dos vórtices. Em 196, Abernathy e Kronauer [5] aplicaram este método para investigar o movimento de duas camadas cisalhantes com vorticidade de sinais opostos separados por uma distância h v e cada uma com uma perturbação inicial como no trabalho de Roseanhead. Eles observaram que os vórtices se acumulavam em grupos semelhantes a uma trilha de vórtices, conforme mostra a Figura

42 Figura 1.13 Exemplo dos cálculos de Abernathy e Kronauer [5]. Os resultados de Abernathy e Kronauer são muito importantes para o estudo de escoamentos com corpos rombudos na medida em que eles mostram como a presença de duas camadas cisalhantes é a principal responsável pela emissão dos vórtices. Segundo os autores, a presença do corpo unicamente modifica o processo de realimentação entre a esteira e a emissão de circulação nos pontos de separação. Seguindo o trabalho de Abernathy e Kronauer, outros pesquisadores desenvolveram o método de vórtices discretos para simular a emissão de vórtices considerando um corpo rombudo. A primeira análise utiliando o modelo de vórtices discretos incluindo um corpo rombudo foi realiada por Gerrard [18] para um cilindro circular. O caso com cilindro circular é de grande interesse prático e é também mais difícil de analisar devido à geração instável de vorticidade e os pontos de separação móveis. Gerrard precisou adotar um método bastante arbitrário que consistia em introduir novos vórtices que influenciavam seriamente os resultados de suas análises, embora isto favorecesse notavelmente a aplicação do método de vórtices discretos. Clements [53] desenvolveu um algoritmo para simular a emissão de vórtices atrás de um corpo rombudo de secção quadrada com comprimento semi-infinito. Este algoritmo utilia a representação de vórtices discretos para as camadas cisalhantes e a 18

43 convecção foi avaliada utiliando a velocidade dos vórtices discretos. Estas velocidades foram derivadas utiliando a transformação conforme de Schart-Christoffel. Este modelo previu muito bem o número de Strouhal, quando foi comparado com os resultados experimentais de Bearman [54]. Um método de vórtices discretos foi desenvolvido por Sarpkaya [55] para simular o escoamento atrás de uma placa inclinada. Sarpkaya utiliou a condição de Kutta e a transformação de Joukowsky entre um círculo e a seção transversal da placa bidimensionalmente. A predição do número de Strouhal foi muito promissora, mas o coeficiente de arrasto obtido foi maior que os observados nos ensaios de Fage e Johansen [56]. A configuração dos vórtices pode ser visto na Figura Figura 1.14 Exemplo dos resultados de Sarpkaya [55] utiliando o método de vórtices discretos para uma placa inclinada. Sarpkaya [57] desenvolve um procedimento analítico para calcular as forças de arrasto, sustentação e coeficiente de massa adicional de um cilindro com seção circular dentro de um escoamento não permanente. Aqui, Sarpkaya utilia o teorema de Lagally para estender o cálculo considerando n vórtices emitidos fora do cilindro. Evoluindo com seu modelo proposto Sarpkaya [58] introdu uma região de separação móvel representada por um número finito de camadas de vórtices com pequena vorticidade conectada a vórtices nascentes. Esta análise foi restrita ao transiente de escoamentos simétricos sobre um cilindro circular. Muitos anos depois, vários pesquisadores fugiram da dificuldade introduida pelo movimento dos pontos de separação e trataram corpos com arestas afiadas, como placas inclinadas, corpos com seção cortantes, cunhas, entre outros. Apesar do aumento das aplicações do modelo de vórtices discretos, várias dúvidas se mantiveram sem resposta e a importante interação entre a camada limite, 19

44 pontos de separação e esteira foram encontradas. Este problema exigiu o uso de um número de parâmetros não disponíveis para representar melhor a física do problema. Até aqui, as dificuldades mais importantes no método eram a proximidade entre vórtices, a proximidade dos vórtices com o cilindro e a necessidade de representar um processo contínuo de geração de vorticidade nos pontos de separação móveis. Quando ocasionalmente dois vórtices ficavam muito próximos entre si, resultava em grandes velocidades induidas ocasionando o rápido movimento destes vórtices para fora do escoamento. Isto poderia acontecer quando os vórtices deixassem de estar localiados no centro de cada segmento da folha de vórtices. Assim mesmo, o enrolamento das camadas coloca os vórtices dentro de duas espirais adjacentes muito próximas a cada uma e dá início a grandes instabilidades. Como consequência, não foi possível representar corretamente o núcleo das folhas em espiral. A proximidade dos vórtices às paredes do cilindro resultava não unicamente em instabilidades similares, mas também em pressões locais irreais. Além disso, resultou em flutuações pouco naturais nas forças de arrasto e sustentação. Enfrentando estes problemas citados anteriormente e com o objetivo de aprimorar a aplicabilidade do método, vários pesquisadores desenvolveram diversas soluções numéricas. Chorin e Bernard [59] estudaram o enrolamento das camadas cisalhantes por meio de uma distribuição finita de vórtices. Eles introduiram uma distância de corte, a qual era medida entre os centros de cada vórtice; se a distância entre centros era maior que a distância de corte então vórtices se comportavam como vórtices potenciais. Pelo contrário, se a distância entre centros era menor que esta distância de corte então os vórtices se aglutinavam entre eles levando a resultados irreais. Embora, estes resultados não apresentaram aperfeiçoamentos na análise de separação de escoamentos num cilindro com seção circular, este trabalho apresenta uma sensibilidade na convergência do enrolamento dos vórtices. Moore [60], investigou numericamente duas folhas de vórtices saindo de uma superfície de sustentação plana e introdu o método de aglutinamento ou coalescência. Quando a folha de vórtices fica espiralada o suficiente, o último vórtice da folha conecta-se a um núcleo de vórtices. A cada intervalo de tempo o último vórtice era aglutinado dentro deste núcleo aumentado sua intensidade. Este procedimento evitou parcialmente as dificuldades decorrentes dos problemas de proximidade entre espirais adjacentes. Estas duas últimas pesquisas focaram-se na 0

45 formulação do método para superar os problemas de instabilidade, mas não no entendimento do verdadeiro motivo da dificuldade. O equacionamento do porque os vórtices, inicialmente equidistantes, se aproximam aleatoriamente uns a outros conforme o tempo avança, foi resolvido por Fink e Soh [61]. Eles mostraram que a primeira origem do comportamento aleatório foi a falta da redistribuição da folha de vórtices em cada intervalo de tempo. Ou seja, é necessário garantir que os vórtices estejam sempre localiados no centro geométrico de cada segmento dento da folha de vórtices que eles representam. Resumindo este trabalho, Fink e Soh apresentaram a expressão para a velocidade induida em qualquer ponto do escoamento devida à presença de um conjunto de N vórtices discretos pertencentes a uma folha de vórtices. Esta expressão é apresentada na Equação (1.1). q( j ) 1 i N k j k j k 1 i s e k j1 i j s j1 ln j j j1 j1 (1.1) Na Equação (1.1) podemos notar que a velocidade induida contém um termo logarítmico que, por sua ve, depende do comprimento dos segmentos que representa a folha de vórtices. Analisando Equação (1.1) Sarpkaya e Shoaff [63] concluíram: I. Se em cada intervalo de tempo os vórtices discretos não forem colocados no centro de cada segmento durante a rediscretiação da folha de vórtices, então o termo logarítmico não desaparece e os erros computacionais aumentam dependendo do número de vórtices, do intervalo de tempo e do tempo total da simulação. II. Os vórtices localiados inicialmente no centro de cada segmento, como condição inicial da análise, não se mantém no centro para posteriores intervalos de tempo. III. O uso de núcleos de vórtices finitos, fusão de vórtices no centro de cada espiral, ou outras técnicas unicamente atrasam ou minimiam a acumulação de erros resultantes do termo logarítmico. Este erro tem um valor que depende do deslocamento do vórtice ao centro do segmento. IV. O aumento do erro computacional pode ser significativamente reduido colocando em cada intervalo de tempo o vórtice discreto no ponto médio do seu segmento. Segundo Fink e Soh somente com este procedimento pode-se eliminar o termo logarítmico dentro da velocidade induida. 1

46 Assim, os cálculos posteriores são realiados em cada intervalo de tempo representando a densidade de vorticidade por um novo grupo de vórtices equidistantes e com intensidades ajustadas para fornecer uma boa representação desta densidade. O procedimento anterior não resolveu todos os problemas de erro computacional, particularmente em regiões onde o raio de curvatura das folhas era pequeno. Fink e Soh [61] aplicaram esta técnica para as fases iniciais de escoamento relativamente simples com pontos de separação fixos, mas não abordaram o caso com emissão alternada de vórtices. Apesar do método de rediscretiação resolver os problemas decorrentes dos efeitos de proximidade, duas relações fundamentais entre o modelo de escoamento potencial e o comportamento real do fluido ficaram sem solução. A primeira é a relação entre a vorticidade que deve ser introduida em cada intervalo de tempo e a camada limite que o gera. A segunda é o decaimento de intensidade dos vórtices por vários mecanismos (ver Capítulo 5). A primeira questão foi inicialmente considerada por Deffenbaugh e Marshall [6] que investigaram o escoamento na fase transiente sobre um cilindro circular sem usar rediscretiação. Eles usaram o método aproximado da solução das equações da camada limite de Pohlhausen para determinar a posição do ponto de separação e da vorticidade que deve ser introduida a cada intervalo de tempo. Estas análises prediem um ângulo de separação de 64 graus, o qual é considerado pequeno quando comparado com valores experimentais aceitáveis como 81 graus para altos números de Reynolds em torno de 10 4 < Re < A outra questão concernente ao decaimento dos vórtices permaneceu praticamente sem respostas. Embora vários pesquisadores utiliassem métodos para cancelar vórtices de sinais opostos quando estes ficassem muito próximos a uma distância determinada, até então nenhuma pesquisa foi realiada para analisar os efeitos do decaimento de vorticidade. Geralmente se seguiu à sugestão de Prandtl, a qual sugere que os vórtices mantêm 60 por cento da vorticidade gerada na camada limite, durante um período necessário para emitir um vórtice. Alguns pesquisadores, com intuito de obter resultados conforme a sugestão de Prandtl aplicaram 40 por cento de redução de intensidade para cada um dos vórtices nascentes. Assim, não se produiu a observação experimental de que a taxa de decaimento da intensidade dos vórtices varia com a distância ao cilindro.

47 Conhecendo os problemas mencionados anteriormente Sarpkaya e Shoaff em [63] e [64] propõem um modelo de vórtices discretos para um cilindro circular baseados na rediscretiação das camadas cisalhantes e o uso apropriado de um mecanismo de cancelamento de vorticidade que serviu para reproduir resultados experimentais. Neste modelo foi utiliado o método aproximado de Pohlhausen para resolver as equações da camada limite e avaliar a intensidade e posição dos vórtices emitidos nos pontos de separação. As forças de sustentação e de arrasto acompanharam raoavelmente os resultados experimentais. A evolução das folhas de vórtices obtida nestes trabalhos é apresentada na Figura Figura 1.15 Evolução das folhas de vórtices utiliando o modelo de vórtices discretos segundo Sarpkaya e Shoaff [63]. Posteriormente, a empresa de consultoria Orcina desenvolve dentro de seu programa comercial Orcaflex [8] dois grupos de modelos simplificados para análise de VIV. O primeiro grupo é chamado de modelos osciladores de esteira, baseados em modelos heurísticos considerando um grau de liberdade. O principio matemático deste grupo é utiliar equações diferenciais para representar os efeitos da esteira atrás do cilindro circular. Os parâmetros que definem estas equações diferenciais foram calibrados com resultados semiempíricos. Neste grupo aparecem os modelos chamados de Milan, baseado no trabalho de Falco et al. [65], e Iwan and Blevins, detalhado em [66]. No segundo grupo de modelos apresentados por Orcina no programa Orcaflex podem-se encontrar dois modelos chamados de Vortex Tracking (ou de Rastreamento de Vórtices), ambos os modelos baseados nos trabalhos de Sarpkaya e Shoaff [63] e [64]. A Orcina utilia o método de Thwaites [67] para resolver as equações simplificadas da camada limite ao invés do método de Pohlhausen, utiliado no modelo original. Estes dois modelos são chamados de Vortex Tracking 1 (VT1) e Vortex Tracking (VT). O primeiro modelo (VT1) utilia um método de rediscretiação para 3

48 manter os vórtices equidistantes em cada passo de tempo, já o segundo modelo VT, ao invés de utiliar esta rediscretiação, agrega outras constantes para ajustar a posição dos vórtices, controlar a distância de aglutinamento e definir a separação dos vórtices nascentes às paredes do cilindro. O VT evita alguns problemas de convergência, mas precisa geralmente de maior esforço computacional. O modelo original de Sarpkaya e Shoaff utilia vórtices simples, concentrando a distribuição de vorticidade num ponto fixo. Já em ambos os modelos Vortex Tracking, Orcaflex espalha a distribuição de vorticidade numa região em torno ao vórtice utiliando o chamado vortex smear factor (fator de mancha), podendo resolver alguns problemas de instabilidades. As trajetórias dos vórtices utiliando os dois modelos Vortex Tracking do Orcaflex, podem ser vistas na Figura É importante ressaltar que estes modelos de rastreamento de vórtices têm um argumento físico mais sólido comparado com os modelos de osciladores de esteira encontrados no mesmo programa. Figura 1.16 Modelos de rastreamento de vórtices presentes no Orcaflex [8], a) Vortex Tracking 1 e b) Vortex Tracking, exemplo para um cilindro estacionário. Chaplin et al. [68] organiaram um estudo comparativo (benchmark) onde convidaram vários pesquisadores a apresentar resultados numéricos num estudo onde compararam seus resultados experimentais. Os autores realiaram ensaios experimentais de VIV num riser vertical para várias velocidades de corrente e compararam os resultados de deslocamentos e curvaturas de 11 modelos numéricos de VIV mais 4

49 utiliados em pesquisas e projetos de engenharia. Nestes modelos incluem-se os apresentados por Orcina no programa Orcaflex. A conclusão de Chaplin et al. [68] foi que, de forma geral, os modelos empíricos acompanharam melhor os resultados experimentais quando comparados com os códigos baseados em CFD. Também concluíram que os modelos de rastreamento de vórtices de Orcina foram mais conservadores, superestimando os deslocamentos na direção transversal (ver Figura 1.17) e as curvaturas nas direções in-line e transversais. Nesse trabalho também se podem encontrar sucintamente as definições, vantagens e desvantagens dos 11 modelos numéricos utiliados quando comparados com os resultados experimentais. Detalhes deste trabalho podem ser visto na Figura Figura 1.17 Configuração dos ensaios experimentais de Chaplin et al. [68] e comparação dos deslocamentos máximos na direção transversal. Recentemente Carneiro [69] estudou os quatro modelos de VIV apresentados no programa Orcaflex. A principal contribuição daquele trabalho é programar o modelo de oscilador de esteira de Iwan e Blevins apresentando o código numérico desenvolvido em Mathcad. Seus resultados numéricos foram comparados com resultados analíticos e experimentais encontrados na literatura, obtendo alguns resultados coerentes. Na mesma linha de trabalho outras pesquisas merecem ser citadas. Em 003, Chang e Isherwood [70] analisam os efeitos de VIV, sobre risers em catenária e linhas suspensas, devido ao movimento de heave do sistema flutuante, nesse trabalho foram comparados os modelos de oscilador de esteira e rastreamento de vórtices apresentados no Orcaflex. Estes modelos foram escolhidos devido ao menor esforço computacional 5

50 quando comparados com os modelos típicos de CFD e quando aplicados às linhas de grandes comprimentos. A principal conclusão foi que os modelos de rastreamento de vórtices são capaes de modelar mais efetivamente o fenômeno de VIV quando comparado com os modelos de oscilador de esteira, observando que estes modelos de rastreamento de vórtices têm que ser calibrados ao ser comparados com medições de campo. No estudo de moonpools, Kristiansen e Faltinsen [71] aplicam o método de rastreamento de vórtices para idealiar as camadas cisalhantes emanadas desde as quinas de um moonpool oscilando na superfície livre. Os autores acoplam este modelo a um modelo não linear baseado na segunda identidade de Green para modelar a deformação da superfície livre devido ao movimento de heave do moonpool. O autor conclui que a separação do fluido é em grande parte responsável pelas diferenças numéricas e experimentais encontradas. É importante notar como este trabalho mostra a capacidade do modelo de rastreamento de vórtices para representar as camadas cisalhantes formadas dentro do fluido e a flexibilidade para ser aplicados a outras geometrias, sendo ainda umas das características mais importantes o menor esforço computacional utiliado. 6

51 1.5. Descrição dos capítulos O presente trabalho está dividido em capítulos, conforme especificados a seguir: No Capítulo 1, apresenta-se a motivação, descrição do trabalho, objetivo geral e uma breve revisão bibliográfica que motivou o presente trabalho. No Capítulo, descreve-se o sistema híbrido de risers modelado no Orcaflex. Apresentam-se sucintamente os ensaios experimentais realiados em []. Especifica-se a nomenclatura e descrição dos componentes do sistema BSR. Explicam-se os detalhes da modelagem numérica do sistema híbrido risers, BSR, FPSO e condições ambientais utiliadas para obter os resultados numéricos do presente trabalho. No Capítulo 3, apresenta-se uma breve revisão sobre VIV. No Capítulo 4, tendo como objetivo principal escolher um modelo de VIV, entre os apresentados no programa Orcaflex, são comparados os resultados da tração no Riser 1 do sistema híbrido de risers. As comparações são realiadas entre os resultados experimentais do MARIN [] com os resultados numéricos obtidos na presente tese utiliando o programa Orcaflex. Nestas comparações as trações foram analisadas em função do tempo e em espectro de tração. Para verificar os resultados obtidos também foram realiadas comparações dos modelos de VIV para o caso de um cilindro com movimento transversal. No Capítulo 5, descreve-se a teoria do modelo de VIV escolhido anteriormente, ou seja, o modelo de rastreamento de vórtices (MRV). No Capítulo 6, apresentam-se os resultados obtidos nas simulações numéricas, para a análise bidimensional de um cilindro circular, assim como as comparações, análise, comentários e discussões dos resultados. Aqui, são apresentados os resultados obtidos com o código desenvolvido e comparados com o programa Orcaflex. No Capítulo 7, apresentam-se as conclusões e recomendações finais da tese. 7

52 CAPÍTULO.- DESCRIÇÃO DO PROBLEMA ORIGINAL O presente trabalho tem como origem o projeto que a COPPE encomendou ao MARIN para a realiação de testes com modelos reduidos como apoio ao desenvolvimento do conceito de uma boia hibrida para suporte de risers tipo BSR. Este projeto analisou a viabilidade de um sistema BSR para o Campo de Albacora Leste em 100m de lâmina de água. O sistema BSR é baseado numa grande boia para suporte de riser, composta por membros cilíndricos em aço, ancorada por tendões tracionados e conectados a estacas. O sistema híbrido de risers é composto por 1 jumpers flexíveis em catenária suspensa ligando a FPSO à BSR, e por SCRs, composta por 1 risers, que partem em catenária da boia aos poços no fundo do mar. O arranjo do sistema pode ser visto na Figura.1. O sistema BSR funciona como um elemento flutuante intermediário para um sistema híbrido de risers absorvendo a dinâmica do FPSO e eliminando a maioria dos esforços dinâmicos nos SCR. Estes se comportam como uma catenária livre. Os esforços que podem ocasionar fadiga nos risers são devido às vibrações induidas por vórtices originados pelas correntes locais. Todos os componentes e características deste sistema serão modelados numericamente no programa OrcaFlex para avaliar e conferir as trações das linhas. Figura.1. Arranjo da configuração do sistema híbrido de risers com SCRs [3]. A Figura. mostra a configuração e componentes do sistema ensaiado no Laboratório do MARIN. Nota-se a posição dos 1 jumpers e 1 risers conectados à BSR, assim como o FPSO com seu sistema de ancoragem composto por quatro linhas. 8

53 Figura. Ensaios experimentais realiados no MARIN, vista superior [3]. No presente trabalho, modelou-se a configuração anteriormente descrita com as propriedades da BSR e das linhas mostradas no Apêndice A. O arranjo simulado no programa Orcaflex pode ser visto na Figura.3. Figura.3 Visualiação renderiada do sistema híbrido de risers modelado no programa Orcaflex. 9

54 .1. Considerações sobre os ensaios do MARIN Devemos destacar que nos ensaios do MARIN foi necessário o truncamento dos risers e tendões, visto que o tanque não tinha a profundidade necessária para reduir dos 100m de lâmina de água à escala de 1:90. A profundidade requerida para o tanque de provas seria 13.0m. Entretanto, a profundidade do tanque oceânico do MARIN é de 10.4m, que corresponde a uma profundidade em escala real de 936m. Com esta nova profundidade foram obtidos os resultados dos ensaios experimentais. Ademais, os testes foram realiados com diferentes condições ambientais variando a onda e corrente. Um resumo destes resultados pode ser encontrado em [3]. Como parte deste projeto, o sistema foi simulado utiliando um código numérico não linear desenvolvido no programa Orcaflex [] para prever o comportamento da boia e as trações nas linhas. Os resultados dinâmicos das simulações foram comparados com os resultados experimentais. Uma das diferenças mais relevantes dos testes experimentais foram as forças de tração medidas nos risers, os quais não puderam ser reproduidos eficientemente nas simulações numéricas. Assim, ficou notória a necessidade premente do desenvolvimento de metodologias de análise de VIV. A seguir são detalhados cada componente do sistema assim como as estratégias da modelação numérica com o intuito de reproduir eficientemente os resultados experimentais de []... Modelo do FPSO Nos ensaios experimentais, o MARIN utiliou um modelo do FPSO de madeira, calibrado conforme as especificações fornecidas pela COPPE. O FPSO foi fixado a um sistema de ancoragem simplificado que consiste de quatro molas horiontais com baixa restauração axial, equivalente ao sistema de ancoragem completo. Na modelagem do FPSO no Orcaflex, foram utiliados os movimentos dos seis graus de liberdade ao longo do tempo obtidos dos ensaios experimentais. Ou seja, os movimentos do FPSO nas simulações numéricas são os mesmos que foram medidos nos ensaios experimentais do MARIN. Na Figura.4, mostra-se o modelo do FPSO, escala 1:90, utiliado no MARIN. Na parte inferior de proa, pode-se notar o turret onde foram conectados os jumpers. Na Figura.4 também, apresenta-se a visualiação renderiada em escala real do FPSO obtido no Orcaflex a partir da modelagem usada no presente trabalho. Igualmente, pode-se notar o turret onde estão instalados os jumpers. 30

55 Figura.4 Modelo em escala reduida do FPSO [] e a visualiação do FPSO em escala real modelado no Orcaflex. Na Figura.5, são mostrados os detalhes do turret utiliado nos ensaios experimentais do MARIN. Aqui, podem ser notadas as argolas de fixação, onde foram instalados os 1 jumpers. Este turret permitiu o livre giro da FPSO no plano horiontal, dependendo da condição ambiental. Nos ensaios experimentais, o sistema de ancoragem também foi conectado a esta mesa giratória. Figura.5 Modelo em escala reduida do turret do FPSO [] e a visualiação renderiada modelado no Orcaflex. Igualmente aos ensaios experimentais, a mesa giratória foi modelada no Orcaflex. Como foi explicado anteriormente, para obter as simulações numéricas, não foi necessário modelar o sistema de ancoragem, pois os movimentos da FPSO, considerando a ancoragem e o efeito das ondas, foram medidos nos ensaios experimentais e inseridos no modelo numérico. 31

56 .3. Sistema BSR A BSR utiliada no MARIN teve forma quadrada. O modelo em escala reduida reprodu uma boia em escala real de 50mx50m, composta por membros cilíndricos, tendo um membro cilíndrico de maior diâmetro, onde foi instalado o SCRs devido ao maior peso que devem suportar. Na Figura.6, é mostrado o modelo da BSR e a visualiação obtida no Orcaflex. Aqui, pode-se notar um lado dos membros cilíndricos com maior diâmetro, onde foi instalado o SCRs. Figura.6 Modelo da BSR em escala 1:90 [] e a visualiação renderiada da BSR modelado no Orcaflex. Em todas as partes da BSR, foram utiliados elementos de linha que reproduem os membros cilíndricos. Uma vantagem desta modelagem é que também podem ser modelados os efeitos de VIV nos membros cilíndricos da BSR..4. Jumpers É chamado de jumper ao riser flexível de pequeno comprimento que forma uma catenária suspensa. Neste trabalho esta configuração é utiliada para unir a plataforma tipo FPSO ao sistema BSR. Os jumpers, aparentemente devido ao seu alto grau de flexibilidade, apresentam pouca sensiblidade às VIVs. Neste sistema híbrido de risers os jumpers partem desde a mesa giratória localiada no FPSO e são conectadas ao sistema BSR localiada a 100m de profundidade. Nesta configuração, são utiliados 1 jumpers igualmente espaçados na 3

57 BSR. A Figura.7 mostra a visualiação no Orcaflex dos jumpers unindo a FPSO com a BSR. Figura.7 Visualiação renderiada dos jumpers no Orcaflex e linhas de silicone calibradas com arames []. É importante destacar que, nos ensaios experimentais, os modelos dos jumpers e risers foram construídos com tubos de silicone preenchidos com água. Nesses ensaios experimentais, o peso foi calibrado empiricamente, utiliando arames delgados de aço como mostra a Figura.7. Esta calibração levou a fenômenos não esperados na avaliação das trações dos risers, que serão avaliados e analisados posteriormente. Na modelação no Orcaflex, esta configuração poderá ser simulada considerando a linha oca, com fluido dentro dela. Assim mesmo, os arames poderão ser simulados, embora não se tenha à disposição o número, pesos e distância entre os arames. As linhas com arames serão modeladas com ajuda do peso linear total fornecido..5. SCRs As aplicações dinâmicas de linhas flexíveis ou rígidas geralmente acontecem quando estas interligam pontos entre unidades de produção e equipamentos submarinos. Movimentos relativos entre esses pontos ocorrem devido a carregamentos oriundos de condições ambientais, tais como ondas, ventos, correntes marinhas e irregularidades no fundo. Essas solicitações são transmitidas às linhas dificultando a operação em águas 33

58 profundas. Para a solução desses problemas ou a diminuição dos efeitos causados por essas forças, são utiliadas configurações de risers específicas. Neste sistema em particular, foram utiliados 1 risers rígidos que partem desde a BSR submersa a 100m de profundidade até o fundo do mar. A Figura.8 apresenta o modelo da BSR com o SCRs, com os 1 risers conectados, assim mesmo mostra-se a visualiação renderiada do SCRs realiada no Orcaflex. Nesta figura, podemos ver os arames utiliados para a calibração de peso dos risers. Figura.8 Modelo em escala 1:90 do SCRs [] e a visualiação renderiada do SCRs modelado no Orcaflex..6. Tendões Os tendões são linhas de ancoragem compostas por cabos de aço com amarras nas extremidades, por um lado ancorados ao fundo do mar e pelo outro extremo são conectados à BSR. Os quatro tendões que foram utiliados para fixar a BSR também tiveram que ser truncados para reduir a profundidade de 100m, encontrando um sistema de tendões equivalentes para 940m de profundidade, os quais foram testados experimentalmente em [] e modelados numericamente no presente trabalho. Na Figura.8 mostra-se a modelação dos quatro tendões unidos à BSR..7. Chumbinhos (beads) Devido à variação de profundidade e truncamento dos risers e tendões, o comprimento e peso das linhas foram diminuídos. Como consequência, o ângulo de trim 34

59 da BSR foi modificado. Para ajustar novamente este ângulo, foram fixados, na parte superior dos risers, pesos adicionais (chamados de chumbinhos ou beads em [3]). Esta nova configuração também foi modelada numericamente com o intuito de reproduir fielmente os ensaios experimentais. A Figura.9 mostra os chumbinhos utiliados nos ensaios experimentais do MARIN e a visualiação renderiada dos chumbinhos realiada no Orcaflex. Deve-se destacar que estes chumbinhos são pesos adicionais fixados aos risers além dos pesos dos arames que foram utiliadas para calibrar o peso das linhas. Figura.9 Chumbinhos nos ensaios experimentais de [] e a visualiação renderiada no Orcaflex..8. Sistema de coordenadas A Figura.10 mostra o sistema de coordenadas global utiliado tanto no MARIN como no presente trabalho. Assim, o eixo X aponta na direção de proa da BSR, o eixo Y positivo aponta para bombordo e o eixo Z positivo aponta para cima. A origem do sistema de coordenadas global foi localiada sobre a superfície livre, na mesma vertical que a posição de equilíbrio inicial da BSR, sem ação da corrente ou ondas. 35

60 Figura.10 Sistema de coordenadas global do sistema híbrido de risers com boia intermediária.9. Nomenclatura das linhas No presente trabalho será utiliada a mesma nomenclatura de []. Esta nomenclatura pode ser vista na Figura.11. Os jumpers e risers serão numerados em ordem crescente de boreste a bombordo. Com respeito aos tendões, a nomenclatura será: o Tendão 1 é localiado à proa boreste e Tendão à popa boreste e assim consecutivamente em sentido antihorário. Jumpers SCRs Y U4 I4 OD = 168 mm R6 I4 OD = 8.65 J U4 I4 OD = 168 mm J 6 I4 ID = 6 J 8 MSP4 A ID = R8 MSP4 A OD = R4 MSP4 OD = 4.5 U6 MSP4 OD = 168 mm J 4 MSP4 ID = R8 MSP4 B OD = J U6 MSP4 OD = 168 mm J 8 MSP4 B ID = 8 J U4 1I4 OD = 168 mm J 6 1I4 ID = X J 8 MSP3 B ID = J 4 MSP3 ID = J U6 MSP3 OD = 168 mm U4 1I4 OD = 168 mm J 8 MSP3 A ID = R6 1I4 OD = 8.65 R R8 MSP3 B OD = R4 MSP3 OD = 4.5 U6 MSP3 OD = 168 mm R8 MSP3 A OD = Figura.11 Nomenclatura dos jumpers e SCRs [3]. 36

61 .10. Descrição dos ensaios experimentais do MARIN De todos os resultados obtidos no MARIN, no presente trabalho serão analisados os resultados dos ensaios (só corrente) e (corrente mais onda). A seguir, serão especificadas as características desses ensaios: Para os ensaios e foi utiliada uma boia de 50m x 50m chamada de SSB50. Os ângulos de incidência das ondas e corrente, com respeito à BSR, podem ser vistos na Figura.1. A corrente com incidência de 180º foi chamada de arranjo FAR e as ondas incidindo com 5º foram chamadas de CASO III. Estes casos serão analisados no presente trabalho devido a alguns resultados numéricos divergentes dos experimentais que foram obtidos em [3]. Deve-se, lembrar que, nas simulações numéricas não será considerado o efeito das ondas nas linhas, o efeito indireto das ondas já está sendo considerado nos movimentos do FPSO. Figura.1 Incidência das ondas e corrente e pontos de medição nas linhas dos ensaios experimentais do MARIN. Nos ensaios experimentais de [], as medições das trações nas linhas foram realiadas em seis pontos estratégicos. Seguindo a nomenclatura anterior das linhas, denotamos as medições das forças de tração assim: a) Jumper 1 (J1) e jumper 11 (J11), medidos a uma distância de 9m a partir da popa da BSR. 37

62 b) Riser 1 (R1) e Riser 11 (R11), medidos a uma distância de 18m a partir da proa das BSR. c) Tendão 1 (T1) e Tendão (T), medidos a uma distância de 18m a partir do bordo de boreste da BSR. Estes pontos de medição das trações podem ser vistos na Figura.1. Nos ensaios [] foi utiliado um perfil de correntea específico. Este perfil foi chamado de SW100 e tem o perfil de velocidades apresentado na Tabela.1. Tabela.1 Perfil de corrente utiliada nos ensaios experimentais SW100 [3]. Corrente SW 100 : Profundidade U c (m/s) Direção Superfície.73 SW SW SW SW SW SW SW SW Fundo 0 SW O perfil de correntea é muito importante porque será a principal fonte de excitação de VIV nas linhas. Devemos destacar que a parte superior do SCRs está a uma profundidade de 100m aproximadamente, onde encontraremos uma velocidade de correntea de.8m/s..11. Resultados experimentais do MARIN. De todos os ensaios experimentais realiados no MARIN [] serão apresentados os mais relevantes onde possivelmente esteja acontecendo o problema de VIV. Os resultados desses ensaios apresentam a forças de tração em algumas linhas. Assim, serão apresentadas as forças de tração obtidas nos ensaios e segundo Fernandes e Jacob [3]. Nesse trabalho, pode-se notar que foram realiadas simulações numéricas no programa Orcaflex para validar um código numérico que reprodu os resultados experimentais. A Figura.13 apresenta as forças de tração ao longo do tempo nos tendões T1 e T. Esta figura apresenta a comparação experimental e numérica. Podemos notar como 38

63 S (kn^*s) S (kn^*s) (kn) os resultados numéricos não atingem as mesmas amplitudes que os ensaios experimentais. Obtevem-se, em média, valores maiores com o código numérico utiliado nesse trabalho [3]. Devemos destacar que, para essa configuração e condições ambientais, é obtida maior tração no tendão (T), em média 5000kN em escala real Tendoes - SSB50 SCRs Far F Orcaflex F F1 Orcaflex F (s) Figura.13 Trações nos tendões T1 (F1) e T (F) [3] em escala real. Na Figura.14, mostram-se os espectros da força de tração no Tendão 1 e Tendão, respectivamente. Podemos notar vibrações em baixa frequência, menores a 1 rad/seg (0.16 H), e como os resultados numéricos não conseguem acompanhar os resultados experimentais..00e+05.00e E E E+05 Currnet only Current + Wave Orcaflex 1.00E+05 Currnet only Current + Wave Orcaflex 5.00E E E E w (rd/s) Figura.14 Espectro da tração no tendão 1 (T1) e tendão (T), respectivamente [3] em escala real. w (rd/s) 39

64 (kn) Na Figura.15 apresentam-se as forças de tração nos Risers 1 e 11 ao longo do tempo. Nesta Figura podemos comparar as medições experimentais e respostas numéricas obtidas no Orcaflex. Aqui, pode-se ver como as simulações numéricas não acompanham corretamente as respostas dos ensaios experimentais. Esta diferença entre as respostas serão avaliadas, analisadas e discutidas no final da presente investigação. 000 Risers - SSB50 SCRs Far R R1 Orcaflex R R11 Orcaflex (s) Figura.15 Comparação experimental e numérica da trações nos risers R1 e R11 [3] em escala real. Outro fato importante, comparando os resultados experimentais, é que as amplitudes das forças de tração no Riser 1 são maiores comparados com o Riser 11. Estas respostas é um dos fatos mais importantes desse trabalho. Deve-se lembrar de que a calibração do Riser 1 foi realiada utiliando arames como mostra a Figura.7. Com o intuito de analisar melhor as forças em função da frequência, na Figura.16 mostra-se o espectro da tração no Riser 1 (R1). Podemos notar, dos testes experimentais, dois picos predominantes em alta frequência, na faixa de 17 rad/s (,39 H) até 3 rad/s (3,66 H), os quais não são reproduidos pelo modelo numérico utiliado. Estas altas frequências na tração podem diminuir drasticamente a vida útil do riser, devendo-se identificar a sua origem. 40

65 S (kn^*s) S (kn^*s).00e E+03 Currnet only Current + Wave Orcaflex 1.00E E E w (rd/s) Figura.16 Comparação experimental e numérica dos espectros da tração no Riser 1 (R1) [3] em escala real. No espectro da tração no Riser 11 (Figura.17) não aparecem os dois picos, embora possam ser vistas pequenas vibrações em frequência mais baixas. As simulações numéricas realiadas não acompanham os resultados experimentais devendo-se aprimorar o modelo numérico utiliado. O entendimento das diferenças entre as forças de tração nos Risers 1 e 11, assim como a necessidade de aprimorar o modelo numérico utiliado é uma das principais motivações da presente investigação..00e E E+03 Currnet only Current + Wave Orcaflex 5.00E E w (rd/s) Figura.17 Comparação experimental e numérica dos espectros da tração no Riser 11 (R11) [3] em escala real. 41

66 (kn) Para terminar a apresentação dos resultados obtidos no MARIN [], a Figura.18 apresenta as trações nos jumpers J1 e J11 em função do tempo. Embora as amplitudes entre as respostas numéricas e experimentais não sejam as mesmas, podemos ver que numericamente a tração média nos jumpers tende a acompanhar os resultados experimentais. Nestas respostas observa-se maior concordância entre experimental e numérico comparado com as respostas dos tendões e risers. 300 Jumpers - SSB50 SCRs Far J J1 Orcaflex J J11 Orcaflex (s) Figura.18 Comparação experimental e numérica das trações nos jumpers, J1 e J11 [3] em escala real. A Figura.19 apresenta o espectro da tração nos Jumpers J1 e J11. Embora as séries temporais mantenham a mesma tendência (experimental e numérica), no espectro de frequências as respostas apresentam divergências. Aqui, os picos de vibração aparecem em baixas frequências quando comparados com os picos apresentados pelo Riser 1. 4

67 S (kn^*s) S (kn^*s) 3.00E E+0.50E+0.50E+0.00E E+0.00E+0 Currnet only Current + Wave Orcaflex 1.50E+0 Currnet only Current + Wave Orcaflex 1.00E E E E E E w (rd/s) w (rd/s) Figura.19 Comparação experimental e numérica dos espectros da tração no jumper J1 e J11, respectivamente [3]. A divergência dos resultados reportada por Fernandes e Jacob [3] é a principal motivação do presente trabalho. Neste cenário, investiga-se o fenômeno de VIV, modelando as linhas do sistema híbrido de risers e aplicando os modelos de VIV encontrados no Orcaflex. 43

68 CAPÍTULO 3.- BREVE REVISÃO SOBRE VIV No presente capítulo apresenta-se uma breve revisão sobre VIV e teoria da camada limite onde se explica o processo de emissão de vórtices assim como também, apresentam-se as principais equações que regem o comportamento deste fenômeno. O objetivo deste capítulo é apresentar aspectos físicos que envolvem o fenômeno de VIV e as equações básicas para seu entendimento, mostrando os principais parâmetros e as condições na qual este fenômeno acontece. Este capítulo servirá de introdução para o melhor entendimento do modelo matemático utiliado no código numérico desenvolvido na presente tese, o qual será apresentado no Capítulo O que é VIV? Quando estruturas com formas cheias estão submetidas a correntes externas, pode acontecer um processo de emissões de vórtices. Se estes vórtices são emitidos assimetricamente, induem forças transversais periódicas (às vees chamadas de sustentação) a cada lado da seção transversal da estrutura podendo desenvolver movimentos perpendiculares ao escoamento incidente. Com certas condições, estes movimentos transversais podem amplificar-se ao longo do tempo, normalmente com pequenas amplitudes e altas frequências. Estes movimentos são chamados de vibrações induidas por emissão de vórtices ou VIV (do inglês: Vortex-Induced Vibrations). A amplitude destas vibrações depende de vários parâmetros tais como escoamento externo, amortecimento estrutural, relação de massas entre o corpo e o fluido deslocado, a magnitude das forças externas e a proximidade da frequência de emissão de vórtices com a frequência natural da estrutura. Em alguns casos, quando as seções transversais são quase constantes ao longo do comprimento (estruturas esbeltas), as estruturas podem ser consideradas bidimensionalmente como o caso clássico de um cilindro circular submetido a um escoamento uniforme. O estudo de VIV é de grande interesse para os pesquisadores e engenheiros porque é uma das principais fontes de dano por fadiga nas linhas de óleo, gás e outros dutos aplicados na indústria de extração de hidrocarbonetos. Fica explícita a necessidade do entendimento do fenômeno para uma posterior mitigação do mesmo. A seguir apresentaram-se algumas definições importantes para o melhor entendimento do 44

69 fenômeno de VIV idealiando a seção transversal de um duto como um cilindro circular de comprimento infinito. 3.. Regimes de escoamento em torno de um cilindro circular liso O aumento da espessura da camada limite e separação do escoamento são determinados pela distribuição de pressão e interação das forças fluidas a nível microscópico sobre a superfície do corpo. A camada limite se separa da superfície do corpo devido à inércia do escoamento e o atrito na superfície do corpo modifica o desprendimento da camada limite. A raão entre a força inercial e a força viscosa na camada limite é definida pelo número adimensional, o número de Reynolds [19]. Este número de Reynolds que relaciona a força inercial com a viscosa em torno de um cilindro circular é definido por: UD Re (3.1) ν Aqui, D é o diâmetro do cilindro, U é a velocidade do escoamento, e ν é a viscosidade cinemática. Frequentemente, o escoamento se desprende da parte de trás de corpos rombudos em números de Reynolds maiores a 40 onde a esteira torna-se instável, o que eventualmente da inicio ao fenômeno conhecido como emissão de vórtices [73]. Os regimes de escoamento ao redor de um cilindro variam com o número de Reynolds. Existem várias definições dos regimes de escoamento em função do Re. Aqui, utiliaremos a definição apresentada em [7]. Os diferentes regimes de escoamento em torno de um cilindro circular liso são resumidos na Figura

70 Figura 3.1. Regimes do escoamento em função do número de Reynold, adaptado de [7]. a) Regime sem separação (Re < 5), não ocorre a separação da camada limite e, tampouco ocorre desprendimento de vórtices. Na região do fluido os efeitos inerciais são despreíveis e a recuperação da pressão a jusante é quase total b) Regime laminar permanente (5 < Re < 40), formação de um par de vórtices simétricos imediatamente à jusante do cilindro; não ocorre desprendimento de vórtices embora aconteça separação na camada limite laminar. c) Regime de desprendimento laminar de vórtices (40 < Re < 00), a esteira de vórtices é laminar e acontece o desprendimento de vórtices do cilindro. 46

71 d) Regime de transição turbulenta na esteira (00 < Re < 300), a esteira laminar de vórtices sofre transição para esteira turbulenta; aumentando-se o número de Reynolds a região de transição para turbulento avança na direção do cilindro. e) Regime Subcrítico (300 < Re < 3x10 5 ), a esteira é completamente turbulenta, mas a camada limite permanece laminar, nessa faixa o desprendimento de vórtices é forte e periódico [19]. f) Regime Crítico (3x10 5 < Re < 3,5x10 5 ), a camada limite laminar sofre transição para camada limite turbulenta no ponto de separação, isto acontece somente num lado do cilindro. Então a separação da camada limite é turbulenta num lado do cilindro e laminar no lado oposto. g) Regime Supercrítico (3,5x10 5 < Re < 1,5x10 6 ), neste regime, a camada limite é turbulenta em ambos os lados do cilindro; entretanto, o ponto de transição ainda não alcançou o ponto de estagnação. h) Regime Superior de Transição (1,5x10 6 < Re < 4x10 6 ), o ponto de transição alcança o ponto de estagnação. A camada limite torna-se completamente turbulenta de um lado e do outro lado a camada limite apresenta uma parte laminar e uma parte turbulenta. i) Regime Transcrítico (Re > 4x10 6 ), a camada limite é totalmente turbulenta em ambos os lados e o desprendimento de vórtices torna-se regular novamente [19]. Devemos lembrar que comparando as classificações dos regimes de escoamento entre Blevins [73] e Sumer e Fredsoe [7] podemos encontrar algumas divergências. Por exemplo, o regime correspondente ao transcrítico na classificação de Blevins, ocorre a partir de 3,5x10 6 e denomina-se supercrítico. Também devemos ressaltar que para Re < 3x10 5 forma-se uma esteira turbulenta a jusante do cilindro, e, nestes altos números de Reynolds, ainda pode-se encontrar uma camada limite laminar nas paredes do cilindro, isto a montante do ponto de separação, como mostra a Figura 3.1e. Depois de classificar os regimes de escoamento para um cilindro circular é importante definir e entender as regiões mais relevantes deste escoamento. Como pode ser visto na Figura 3.1 (a e b) para baixos números de Reynolds (Re < 40) as linhas do corrente do escoamento são perfeitamente simétricas e podem ser reproduidas utiliando a teoria potencial, já para números de Reynolds maiores o padrão do escoamento atrás do cilindro varia atingindo uma forma assimétrica. 47

72 Como exemplo, na Figura 3. mostra-se um cilindro dentro de um escoamento uniforme com Re=10 5, este número de Reynolds foi escolhido por caracteriar-se para onas do escoamento melhor definidas. A Figura 3. mostra duas regiões bem definidas: a região onde os efeitos viscosos não são muito importantes e podem ser definidos pela teoria potencial (região branca da Figura 3.). E uma segunda região onde os efeitos viscosos são muito importantes. Isto ocorre tanto na camada limite como na região da esteira (região em cina). Figura 3.. Definições das regiões do escoamento de um cilindro num escoamento uniforme, modificado de [10] Mecanismo de formação e emissão de vórtices A característica mais importante entre os regimes de escoamento é o fenômeno de emissão de vórtices, comumente para Re > 40 (como mostra a Figura 3.1). Gerrard [18] sugeriu que a interação mútua entre duas camadas cisalhantes, formadas devido à separação da camada limite, constitui-se em um elemento decisivo no processo de formação de vórtices da esteira. Para estes números de Reynolds ocorre uma separação da camada limite sobre a superfície do cilindro devido ao gradiente de pressão adversa originado pela perturbação da geometria convexa do cilindro sobre o escoamento incidente. Como resultado forma-se uma camada cisalhante a jusante do cilindro onde predominam os esforços cortantes como mostra a Figura

73 Figura 3.3. A camada cisalhante. Nos dois lados do cilindro a camada cisalhante se curva e forma um par de vórtices. Vórtices A e B [7]. A camada limite formada ao longo da superfície do cilindro contém uma quantidade considerável de vorticidade. Esta vorticidade é alimentada dentro da camada cisalhante formada a jusante do ponto de separação e leva ao enrolamento desta camada formando um vórtice com sinal idêntico à vorticidade formada (Vórtice A na Figura 3.3). Da mesma maneira se forma um vórtice girando na direção oposta, no outro lado do cilindro (Vórtice B). Logo após explicar o início da formação de vórtices a cada lado do cilindro podemos continuar o entendimento do fenômeno de VIV mostrando o mecanismo de emissão de vórtices conforme descrito por Gerrard [18] em Gerrard [18] postulou que um vórtice cresce ganhando circulação oriunda da camada cisalhante à qual ele está conectado. Em certo instante, o vórtice que está crescendo torna-se suficientemente intenso para atrair a camada cisalhante oposta. Esta atração se dá devido à velocidade induida pelo vórtice em crescimento. A aproximação de fluido com vorticidade oposta, em uma concentração o intensa suficiente, interrompe a alimentação de circulação ao vórtice em crescimento. Ele é então desconectado da camada cisalhante e a seguir, convectado para jusante formando a esteira. Esquematicamente podemos explicar este mecanismo da seguinte forma, se o vórtice maior (Vórtice A na Figura 3.4a) é suficientemente forte arrastará por indução o vórtice de sinal oposto (Vórtice B) para dentro da esteira, como é esquematiado na Figura 3.4a. A vorticidade no Vórtice B é em sentido anti-horário. Dentro da camada 49

74 limite o desenvolvimento da vorticidade é de sentido oposto (Vórtice B) anulará a vorticidade do Vórtice A. Nesse momento é onde o vórtice A é emitido. Posteriormente o vórtice livre A é arrastado pelo escoamento. Logo após a emissão do Vórtice A, no mesmo lado é formado um novo vórtice, chamado aqui de Vórtice C (Figura 3.4b). O Vórtice B seguirá o mesmo padrão que o vórtice A, ou seja, aumentará de tamanho e força e logo arrastará o Vórtice C dentro da esteira (Figura 3.4b). Posteriormente a intensidade do Vórtice C anulará a intensidade do Vórtice B e levará à sua emissão. Este processo continuará ao longo do tempo, ou seja, um novo vórtice será emitido alternadamente a cada lado do cilindro. Figura 3.4. (a) Antes do desprendimento do Vórtice A, o Vórtice B está sendo formando na esteira. (b) Antes do desprendimento do Vórtice B, o Vórtice C está sendo formado na esteira Frequência de emissão de vórtices Usualmente a frequência de emissão de vórtices é apresentada em função do número de Strouhal ( S t ). Para o cilindro circular estacionário num escoamento uniforme esta frequência é dada pela seguinte expressão: f v StU D (3.) O número de Strouhal é função do número de Reynolds St S t (Re) e da geometria do corpo. A Figura 3.5 ilustra como St varia com Re, para diferentes regimes de escoamento. 50

75 Figura 3.5. Número de Strouhal em função do número de Reynolds para um cilindro circular liso [7]. A evolução do número de Strouhal em função do número de Reynolds pode ser explicada pela naturea de desprendimento de vórtices utiliando as definições dos regimes de escoamento mostrados anteriormente. Para um valor do número de Reynolds no intervalo 50~70 < Re < 150~00, ocorre um processo de formação e desprendimento regulares de vórtices na forma de uma esteira de Von Kármán. Nesta faixa de Re, os vórtices na esteira têm um comportamento laminar e a interação entre eles é bem comportada resultando menores frequências de emissão de vórtices. Para números de Reynolds maiores (00 < Re < 300) acontece a transição da esteira para turbulenta, onde se iniciam pequenas flutuações turbulentas da pressão da esteira e da frequência de desprendimento. Isto é devido a instabilidades nas camadas cisalhante próximas aos pontos de separação. Está transição na esteira freia o aumento da frequência de emissão de vórtices. Portanto o número de Strouhal também deixa de aumentar. No regime subcrítico (300 < Re < 3x105) estas instabilidades nas camadas cisalhantes são mais intensas formando ondas de instabilidades nas camadas cisalhantes, mantendo ainda uma camada limite laminar antes do ponto de separação. Nesta faixa de Reynolds os pontos de separação oscilam em torno de 78º [7] e a principal característica deste regime é o deslocamento para montante do ponto de transição (entre escoamento laminar e turbulento) na camada cisalhante à medida que o número de 51

76 Reynolds aumenta. Com estas características, o número de Strouhal se mantém quase constante em torno de 0., como é mostrado na Figura 3.6 e no espectro de frequências em Sumer & Fredsoe [7]. Aumentando o número de Reynolds, entramos no regime crítico (3x10 5 < Re < 3,5x10 5 ) onde acontece um salto súbito no número de Strouhal (de 0. para aproximadamente 0.45) atingindo o regime supercrítico mantendo aqui um alto número de Strouhal e diminuído lentamente. Em ambos os lados do cilindro a camada limite turbulenta atinge os pontos de separação e como resultado temos um atraso na separação da camada limite e os pontos de separação se movem para trás do cilindro. Como consequência os vórtices emitidos, agora mais próximos entre si, interagem mais rapidamente comparados com o regime subcrítico, o qual por consequência leva a altos números de Strouhal. Terminando o regime supercrítico, em aproximadamente números de Reynolds próximos a 1.5x 10 6, a transição para escoamento turbulento foi completada em um dos lados do cilindro, e no outro lado tendo ainda escoamento parcialmente laminar e turbulento. Este comportamento é devido às irregularidades assimétricas na superfície do cilindro. Esta configuração assimétrica se mantém durante todo o regime de transição superior (Figura 3.1h) resultando em uma emissão de vórtices irregular e desordenada. Para números de Reynolds maiores, no regime transcrítico, termina a assimetria e a emissão de vórtices regular é atingida novamente Forças sobre um cilindro em um escoamento permanente A emissão de vórtices modifica o campo de pressão ao redor do cilindro exercendo uma força resultante. Esta força resultante advém de duas contribuições, uma devido à pressão e a outra devido à fricção. As forças devido à pressão são perpendiculares à superfície do cilindro e as forças devido à fricção são tangentes à superfície do cilindro. Como visto anteriormente, o regime do escoamento em torno de um cilindro circular varia com o número de Reynolds, dependendo também de outros efeitos como rugosidade da superfície, forma da seção transversal, a turbulência entrante no escoamento, e o cisalhamento do escoamento incidente [7]. A distribuição de pressão em torno do cilindro varia periodicamente conforme a emissão de vórtices se desenvolve, resultando em uma variação periódica nas componentes das forças sobre o 5

77 cilindro. Para analisar o comportamento destas forças, na Figura 3.6 apresentam-se os resultados experimentais relatados em [7] para Re=1.1 x 10 5, D=8 cm e U= 1.53 m/s, onde se mostram as medições do campo de pressões dentro da esteira para diferentes instantes de tempo. Assim, a Figura 3.6 mostra o comportamento do escoamento em torno do cilindro circular liso. Aqui. foi medida a pressão em vários pontos do escoamento na superfície do cilindro, e as componentes das forças foram calculadas pela integração do campo de pressões sobre a superfície. Já a Figura 3.7 mostra as forças correspondentes aos experimentos da Figura 3.6. Figura 3.6. Desenvolvimento da distribuição de pressão e a componente da força resultante ao longo da emissão de vórtices. Re=1.1 x 10 5, D=8 cm e U= 1.53 m/s [7]. A Figura 3.6 e a Figura 3.7 mostram duas características importantes do fenômeno: primeira a força atuando sobre o cilindro na direção in-line (força de arrasto) que varia periodicamente com o tempo, oscilando entorno de um arrasto médio. A segunda característica, embora o escoamento incidente seja simétrico aos eixos do cilindro, é uma componente da força na direção transversal diferente de ero (força de sustentação). Esta força também varia periodicamente com o tempo. 53

78 Figura 3.7 Forças de arrasto e sustentação obtidas da medição da distribuição de pressões da Figura 3.6 [7]. Analisando mais profundamente as Figura 3.6 e Figura 3.7 pode-se ver que um aumento no coeficiente de sustentação está associado ao crescimento do vórtice localiado na parte inferior do cilindro (t = s.). Por outro lado a queda deste mesmo coeficiente está associada com o vórtice na parte superior (t = s.). Também, pode-se observar que o crescimento de ambos os vórtices fornecem um incremento temporário ao coeficiente de arrasto. Como visto na Figura 3.7 a força de sustentação oscila a uma frequência de emissão de vórtices, f v =1/T v, enquanto a força de arrasto oscila a uma frequência que é duas vees a frequência de emissão de vórtices que é quando um vórtice é emitido desde o cilindro com um período de T v /. O fato de isto acontecer alternadamente, em ambos os lados do cilindro, não afeta à direção da força de arrasto. Por outro lado, a direção da força de sustentação é influenciada por qual lado do cilindro o vórtice é emitido. Portanto o período da força de sustentação é T v [90]. Agora analisaremos a amplitude do coeficiente de arrasto para vários números de Reynolds. A Figura 3.8 mostra a curva do coeficiente de arrasto em função do 54

79 número de Reynolds. Aqui, podemos notar claramente o efeito das diferentes condições do escoamento no coeficiente de arrasto para cada um dos regimes de escoamento. Figura 3.8. Coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para um cilindro circular liso [7]. No início temos o regime laminar e o coeficiente de arrasto decresce linearmente à medida que o número de Reynolds aumenta, até atingir o regime subcrítico. Como foi mencionado anteriormente, no regime subcrítico temos uma esteira completamente turbulenta, e uma camada limite ainda laminar, nesta faixa de número de Reynolds atinge-se um coeficiente de arrasto quase constante de aproximadamente 1.. Este comportamento mantém-se devido à camada limite ser ainda laminar, mantendo-se a posição do ponto de separação próximo a 78º. Ademais, a esteira turbulenta estreita-se e mantém a baixa pressão atrás do cilindro. Como consequência, obtém-se um coeficiente de arrasto menor quando comparado com o regime puramente laminar. Quando o número de Reynolds atinge valores de 3x10 5, acontece uma mudança significativa no coeficiente de arrasto. Ele diminui drasticamente até atingir um valor de 0.5. Sumer e Fredsoe [7] chamam a este fenômeno de crise do arrasto. Este fenômeno pode ser explicado devido à mudança do escoamento dentro da camada limite, nos pontos de separação, virando de laminar (subcrítica) para turbulenta (supercrítica). Isto leva ao movimento brusco do ponto de separação (do regime 55

80 subcrítico ao regime supercrítico) para trás do cilindro, ficando a esteira turbulenta mais estreita ainda com uma pressão negativa muito menor, o qual provavelmente poderia levar a uma redução considerálvel do arrasto [7]. Como visto até o momento, o fenômeno de geração, emissão e forças devido aos vórtices consiste na interação de regiões de fluido com vorticidade de sinais opostas. Devido a esta interação, a intensidade de um vórtice localiado na esteira terá menor intensidade comparada com a que tinha no início da geração em um dos lados do cilindro. Para um melhor entendimento da formação e da variação da intensidade dos vórtices devemos revisar alguns conceitos relacionados à camada limite, à vorticidade e à separação Camada limite De acordo com a teoria do escoamento sem viscosidade para um fluido ideal podemos assumir que em uma superfície qualquer no interior do fluido as ações externas nesta superfície consistem somente em ações normais, ou seja, pressão. Sabemos, no entanto, que em um fluido real ocorrem, além das tensões normais, tensões tangenciais. Estas últimas são causadas pela viscosidade. Devido a esta diferença há uma séria discordância no cálculo de arrasto em corpos imersos em uma corrente. A teoria potencial, quando aplicada ao escoamento ao redor de um corpo, fornece como resultado uma força de arrasto nula. A experiência, por sua ve, indica claramente a existência de uma força não nula nesta direção. A discordância dos resultados experimentais comparados com o resultado obtido utiliando a teoria potencial é chamada de paradoxo de D Alembert. O conceito de camada limite foi introduido por Prandtl a fim de explicar o motivo da existência deste paradoxo. De acordo com a teoria de Prandtl, a camada limite cobre a superfície do corpo, mas é relativamente fina na direção normal à superfície. Fora da camada limite, o padrão do escoamento é o mesmo de um fluido ideal invíscido e geralmente irrotacional. Isto pressupõe que a velocidade normal é praticamente nula sobre o bordo exterior à camada, onde a interface com o fluido é aproximadamente irrotacional. Mas, em geral, a velocidade tangencial não é ero. Por outro lado a condição de não escorregamento requer que a velocidade tangencial seja ero sobre o bordo interior à camada, na interface com a superfície do corpo. 56

81 Daqui decorre que há um gradiente muito grande da velocidade tangencial média através da camada, que implica na presença de intensos filamentos de vórtices internos presos dentro da camada. Consequentemente, o escoamento dentro da camada é rotacional e as forças viscosas são da mesma grandea das forças de inércia embora fora dela, as forças viscosas ou de atrito possam ser despreadas. Com a teoria da camada limite proposta por Prandtl, podemos analisar o escoamento ao redor de um corpo esbelto dividindo-o em duas regiões distintas: a) a região na qual a ação das forças viscosas é importante; esta região é contigua aos contornos sólidos e é chamada de camada limite; b) a região na qual a ação da viscosidade é despreível, prevalecendo modelo de fluido ideal para o qual é aplicável a teoria de escoamento potencial (fluido invíscido e irrotacional). No caso de corpos rombudos, além destas duas regiões, temos uma terceira: c) a região da esteira, formada por vórtices. Como mostramos anteriormente, estes são formados devido à separação da camada limite. Esta região é caracteriada pela existência de regiões de fluido com vorticidade elevada e de sinais opostos, como mostra o esquema da Figura 3.. A seguir, vamos tentar tornar o conceito da camada limite mais preciso Equações da camada limite As equações da continuidade e as equações de Navier-Stokes regem o comportamento de um fluido incompressível e com viscosidade constante: V. 0 (3.3) V t p V. V V (3.4) Onde V é a velocidade do escoamento, é massa específica e é a viscosidade cinemática do fluido. As derivações completas destas expressões podem ser encontradas em [73]. Inicialmente considera-se o escoamento ao redor de uma placa plana infinita, define-se a espessura da camada limite como [ (x) ], a velocidade do escoamento uniforme como U e a velocidade local dentro da camada limite como x y mostra esquematicamente a Figura u,, como

82 Figura 3.9 Padrão do escoamento dentro da camada limite sobre uma placa plana [74]. Considerando o termo convectivo da Equação (3.4) e admitindo escoamento permanente e u >> v, a força de inércia por unidade de massa (f inercia ) na direção x é: f inercia Sendo L o comprimento característico da placa e do escoamento, tal força será proporcional a: u u (3.5) x U a velocidade característica U (3.6) L f inercia O termo de difusão da Equação (3.4) é uma força viscosa por unidade de massa (f viscosa ): f vis cosa u u u x y (3.7) y Dentro da camada limite temos u y u x (3.8) Considerando que a variação de y seja proporcional a, concluímos que a força viscosa é proporcional a: 58

83 f U vis cosa (3.9) E aplicando a premissa utiliada na teoria da camada limite, isto é, que no seu interior as forças de inércia são da mesma ordem de grandea das forças viscosas, temos: U L U (3.10) Rearranjando os termos: L U L 1 1 Re (3.11) Analisando a Equação (3.11) podemos concluir que quanto maior for o número de Reynolds menor será a espessura da camada limite. Para valores elevados de Reynolds, por exemplo, Re=10 6 a espessura torna-se bastante reduida e a velocidade passa por um valor nulo junto à parede para um valor aproximado U potencial a uma distância da ordem de A camada limite de uma placa plana apresenta as seguintes características importantes: a) a uma pequena distância a partir da superfície da placa, a velocidade cresce de ero até, praticamente, a velocidade existente no escoamento ao longe; b) na camada limite, há predominância dos efeitos da viscosidade, sendo que fora dela, praticamente, esta não tem efeito sobre o escoamento; c) quanto maior a velocidade do escoamento, menor será o comprimento, a espessura da camada limite laminar e a espessura da subcamada laminar; d) a pressão no interior da camada limite é determinada pelo escoamento circundante. Em uma seção da camada limite normal à superfície da placa, a pressão pode ser considerada constante e igual a do escoamento circundante. A seguir apresentam-se as equações de Prandtl da camada limite, partindo das equações da continuidade, Equação (3.3), e Navier-Stokes, Equação (3.4) seguindo o mesmo procedimento encontrado em Schlichting [74] obtemos: 59

84 u u u v x y 1 p u x y (3.1) 1 p 0 (3.13) y u v x y 0 (3.14) Segundo a Equação (3.13) a distribuição de pressão é uma função unicamente de x, ou seja, para um determinado x, p é constante para todo y da camada limite, isto quer dier que a pressão varia ao longo da camada limite e não através desta. Aqui, a camada limite tem duas variáveis u e v, em ve das três variáveis (u,v,p) apresentadas nas equações de Navier Stokes. Para avaliar o gradiente de pressão da Equação (3.1) aplica-se a Equação de Bernoulli na fronteira externa da camada limite onde temos escoamento invíscido. Seja u e a componente da velocidade tangencial ao bordo externo à camada limite, onde para y tem-se u y v 0, temos: u e u e x 1 dp dx (3.15) Substituindo a Equação (3.15) na Equação (3.1) da camada limite, obtemos: u u u v x y u e u e x u (3.16) y u v x y 0 (3.17) As Equações (3.16) e (3.17) fornecem um sistema não linear de equações parciais de segunda ordem, com duas incógnitas u e v para serem resolvidas com as seguintes condições de contorno: 60

85 Na parede: y 0 temos u v 0 (3.18) Fora da camada y ( x) temos u u x (3.19) e Da Equação (3.15) podemos inferir que um valor negativo de du dx é equivalente a um valor positivo de dp dx, isto é o gradiente adverso. Quando o escoamento externo à camada limite possuir um gradiente de pressão adverso, as partículas fluidas perdem energia devido ao atrito e também devido a este gradiente. Esta condição adversa poderá provocar não apenas a anulação da velocidade, mas até mesmo uma inversão do sentido do escoamento. Quando isto acontece, diemos que ocorreu separação. Dentro da camada limite podemos verificar duas condições de contorno no ponto de separação: du dy y0 0 (3.0) E por inspeção da Equação (3.1), em y=0, a condição de aderência fa com que: d u dy y0 dp dx (3.1) Onde é a viscosidade dinâmica do fluido. Avaliando a Equação (3.16) na superfície do cilindro e aplicando as condições de impenetrabilidade e não escorregamento obtém-se: d u dy y0 1 u e due dx (3.) A Equação (3.) mostra que a curvatura do perfil de velocidade dentro da camada limite tem sinal oposto comparado à aceleração do escoamento externo du e dx. Ademais, quando o escoamento externo desacelera o escoamento dentro da camada limite corresponde a du dx 0 com direção reversa, e isto leva à convecção de vorticidade desde a camada limite e consequentemente à formação de vórtices dentro do escoamento. 61

86 Quando du e dx 0, o gradiente de pressão é negativo, dp dx 0, e a camada limite está sujeita a um gradiente de pressão favorável. No caso oposto onde du e dx 0 o gradiente de pressão é positivo, dp dx 0, e a camada limite está sujeita a um gradiente de pressão adversa. A Equação (3.) mostra que um gradiente de pressão adversa promove separação do escoamento. Diferentes pesquisas foram realiadas em [67], [75], [76], [78] e [79] para resolver estas equações da camada limite para vários casos envolvendo escoamento interno e externo para escoamentos laminar e turbulento, utiliando uma distribuição U(x) apropriada para cada escoamento. A solução utiliada na presente tese será apresentada no Capítulo 5. 6

87 CAPÍTULO 4.- RESULTADOS COMPARATIVOS ENTRE OS MODELOS DE VIV DO ORCAFLEX E DA SIMULAÇÃO DOS ENSAIOS DO MARIN O objetivo do presente capítulo é escolher o modelo de VIV, entre os apresentados no Orcaflex, que melhor reprodua numericamente os resultados experimentais do MARIN []. Para tal explica-se sucintamente a base teórica de cada modelo utiliado. Em principio, o programa Orcaflex [8] utilia modelos teóricos chamados de empíricos e semiempíricos para a análise de VIV no domínio do tempo. São dois modelos do tipo Oscilador de Esteira (Wake Oscilator), que utiliam sistemas de equações diferenciais ajustadas de forma a reproduir os efeitos de VIV, e outros dois modelos que utiliam a teoria da camada limite e teoria dos vórtices discretos, conhecidos como Rastreamento de Vórtices - MRV (Vortex Tracking). Os modelos de Oscilador de Esteira são Milan Wake Oscilator e Ivan and Blevins Wake Oscilator (IBWO) têm a mesma base teórica para reproduir os efeitos de VIV e foram desenvolvidos no programa junto com um modelo estrutural para modelar vários tipos de linhas. Este modelo estrutural utilia a teoria de massa concentrada em nós para modelar e simular as linhas tridimensionais. Para cada seção da linha é utiliado o modelo de VIV; os cálculos hidrodinâmicos são realiados em cada plano bidimensional de forma independente, sendo o acoplamento realiado unicamente através do movimento estrutural. Vale lembrar o código numérico desenvolvido na presente tese visa unicamente à análise do modelo de VIV e qualquer resposta tridimensional foi obtida utiliando o programa Orcaflex. O acoplamento entre um modelo de VIV (neste caso o modelo VT1) e o modelo estrutural dentro do Orcaflex pode ser visto na Figura 4.1. Uma breve teoria sobre a massa concentrada em nós pode ser encontrada no Apêndice C. 63

88 Figura 4.1 Acoplamento entre o modelo de VIV (VT1) e o modelo estrutural (massa concentrada em nós) no Orcaflex [8] Modelo Oscilador de Esteira De acordo com Chang e Ishewood [70] os modelos do Orcaflex conhecidos como Oscilador de Esteira (Wake Oscillator) utiliam um único grau de liberdade, dependente do tempo, para representar a esteira formada atrás do cilindro rígido, obedecendo a uma equação diferencial (equação de movimento da esteira) que envolve termos dependentes do movimento do cilindro. Este modelo fornece a magnitude da força transversal (sustentação) em função do grau de liberdade. Quando esta força é aplicada à equação de movimento do cilindro ela influencia o movimento do corpo. Assim, forma-se um sistema acoplado não linear. A equação de movimento da esteira não é, geralmente, derivada de leis físicas, mas escolhida de forma a fornecer características qualitativas presentes nas VIVs: oscilação, autogeração e autolimitação. O fenômeno de lock-in, surge através do acoplamento do sistema. Os parâmetros da equação escolhida são então ajustados para corresponder a resultados empíricos. Cada plano do escoamento possui um único oscilador de esteira, sendo a comunicação entre planos realiada somente através do movimento estrutural. As desvantagens deste modelo são a pouca base física, sua 64

89 calibração para escoamento permanente, a omissão de VIV in-line e o coeficiente de arrasto superestimado [70]. 4.. Modelo de Rastreamento de Vórtices (MRV) O modelo de Rastreamento de Vórtices (Vortex Tracking) é apresentado por Chang e Isherwood [70] e baseia-se no trabalho de Sarpkaya e Shoaff [63]. Este modelo utilia o método de vórtices discretos para representar o escoamento, uma forma de CFD que utilia um menor esforço computacional, quando comparadas com os modelos convencionais de CFD. O principal motivo é que o MRV é independente de malhas computacionais. Este MRV possui dois elementos principais: um escoamento interno que utilia a teoria da camada limite para modelar o desenvolvimento de vorticidade junto às paredes do cilindro e com isto determina a posição angular dos pontos de separação e a taxa de geração de vorticidade, além de um escoamento externo que modela a esteira utiliando vórtices discretos, utiliando aqui um método de avanço no tempo para determinar os movimentos subsequentes dos vórtices Resultados numéricos de um cilindro circular com movimento transversal utiliando o Orcaflex. A seguir apresentam-se os resultados numéricos, obtidos na presente tese utiliando o programa Orcaflex, de um cilindro circular bidimensional com movimento transversal. A finalidade é comparar com resultados experimentais encontrados na literatura, assim como analisar o alcance dos modelos para várias velocidades reduidas. Para obter os resultados numéricos da Figura 4. utiliando os vários modelos de VIV do programa Orcaflex, foi realiada uma análise paramétrica das variáveis apresentadas por cada modelo. Esta análise paramétrica visa reproduir as amplitudes experimentais obtidas por Khalak e Williamson [80]. Na Figura 4. mostram-se os resultados da amplitude transversal (Ay/D) para várias velocidades reduidas (U R ). Aqui, podem-se comparar os resultados experimentais obtidos por Khalak & Williamson [80], os resultados obtidos por dois modelos empíricos de VIV (Milan e Iwan and Blevins) e o modelo Vortex Tracking. 65

90 Ay/D Khalak + Williamson (Experimental) Milan Wake Oscillator Iwan and Blevins Wake Oscillator Vortex Tracking UR=U/(fn.D) Figura 4. Amplitude do movimento transversal em função da velocidade reduida para um cilindro circular com movimento transversal utiliando o Orcaflex. A Figura 4. mostra como os modelos empíricos de VIV não conseguem reproduir as amplitudes transversais do cilindro para todas as velocidades reduidas. Já o MRV no caso de VT1, pode atingir as amplitudes do cilindro muito próximas às experimentais. Isto foi conseguido na presente tese, variando a constante de decaimento de vórtice (DC, ver Capítulo 5), própria do modelo, obtendo-se como resultado desta análise a Tabela

91 Tabela 4.1 Constante de decaimento(dc) em função da velocidade reduida. U R DC Da comparação da Figura 4. podemos observar que o modelo que mais se aproxima aos resultados experimentais é o MRV no caso de VT1. Outra vantagem deste modelo, comparado com os modelos empíricos, é a opção de observar a forma da esteira formada atrás do cilindro. Então, no presente trabalho, decidiu-se comparar a forma da esteira com resultados numéricos de CFD encontrados na literatura, como mostra a Tabela 4.. Outros resultados do VT1 para varias velocidades reduidas são mostrados no Apêndice D. Tabela 4. Comparação das trajetórias dos vórtices do cilindro móvel entre um OrcaFlex 9.3a: Vr_VT4.sim (modified 16:35 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) modelo de CFD [44] Time: e 40,0000s Orcaflex(modelado pela presenet tese). U R CFD [44] Vortex Tracking 1 (Orcaflex) 0,05 m Z X 4 OrcaFlex 9.3a: Vr_VT5.sim (modified 16:36 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Replay Time: 40,00s 0,05 m Z X 5. 67

92 OrcaFlex 9.3a: Vr_VT6.sim (modified 16:48 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Replay Time: 37,40s 0,05 m Z U R CFD [44] Vortex Tracking 1 (Orcaflex) 6 Na Tabela 4. mostra-se a forma da esteira em forma de linhas de vórtices formadas a jusante do cilindro para três velocidades reduidas. Os resultados de CFD utiliados para faer esta comparação são apresentados por Wanderley et al. [44]. Os autores utiliam o esquema de upwind TVD de Roe & Sweby para resolver as equações de Reynods considerando um fluido ligeiramente compressível. Além disso, utilia o modelo de turbulência k-para simular o escoamento turbulento atrás do cilindro. O interessante da comparação é que o padrão das linhas de vórtices segue um comportamento similar aos do CFD. Isto será analisado paralelamente com o código desenvolvido na presente investigação, no Capítulo 6. Como resultado final o presente trabalho obtém resultados com o próprio código desenvolvido e compara as amplitudes do movimento transversal do cilindro com ensaios experimentais para várias velocidades reduidas Resultados numéricos dos ensaios do MARIN A seguir utilia-se o programa Orcaflex para faer uma análise paramétrica dos efeitos de VIV sobre um riser. Aqui, a magnitude principal a ser calculada é a tração sobre o topo do riser, a qual foi medida nos ensaios do MARIN []. Nesta análise paramétrica, variam-se a forma do riser, o perfil da corrente, o número de nós e os modelos de VIV, assim como os arames e chumbinhos utiliados nos ensaios experimentais do MARIN Tração no riser variando o perfil da corrente Para avaliar a tração no riser, variando o perfil de corrente, foram utiliados um riser vertical e um riser em catenária. A medição da tração foi realiada no topo do riser, localiado no extremo superior. Para estes resultados preliminares foi utiliado o modelo empírico de IBWO devido ao menor esforço e tempo computacional necessário. 68

93 Riser Vertical Effective Tension (kn) at End A Riser Vertical Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_cte.sim (modified 16:33 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: Riser Vertical Effective Tension at End A Riser Vertical Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_triangulo.sim (modified 16:46 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: Riser Vertical Effective Tension at End A 696 Time (s) OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_1 triangulo.sim (modified 16:41 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: Riser Vertical Effective Tension at End A Time (s) OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_MARIN.sim (modified 16:45 Time on 6/3/009 (s) by OrcaFlex 9.1a) Time History: Riser Vertical Effective Tension at End A 1483 Riser Vertical Effective Tension (kn) at End A 138 Time (s) Spectral Density of Riser Vertical Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_triangulo.sim (modified 16:46 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of Riser Vertical Effective Tension at End A, over t = 00,000 to 300,000s OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_1 triangulo.sim (modified 16:41 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral 0Density of Riser Vertical Effective Tension at End A, over t = 00,000 to 300,000s 0 8 Frequency (H) Spectral Density of Riser Vertical Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of Riser Vertical Effective Tension (kn^ / H) at End A 35 OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_MARIN.sim (modified 16:45 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of Riser Vertical Effective Tension at End A, over t = 00,000 to 300,000s Frequency (H) 0 0 Frequency (H) Riser vertical A profundidade para o riser vertical é de 936m. O riser foi discretiado com 0 nós com velocidade de corrente máxima de U c =,73m/s. Os resultados mostram as respostas para um tempo de amostragem de 00 a 300 segundos. É importante destacar que para capturar as respostas de VIV em altas frequências deve-se utiliar um intervalo de tempo relativamente pequeno. Para isto realiaram-se todas as simulações numéricas com um passo de integração de dt=0.038 segundos, o mesmo utiliado para a medição das respostas experimentais. Embora demande mais tempo, é um parâmetro importante que deve ser considerado desde as primeiras simulações. Outro dado importante para efeitos de comparação é a tração estática no topo do riser, para o riser vertical a tração estática no topo foi 174 kn. Deve-se ressaltar que a amplitude máxima de correntea foi igual para todos os perfis. Este valor máximo é o mesmo utiliado pelo MARIN. A Tabela 4.3 mostra os resultados do riser vertical para diferentes perfis de corrente. OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_cte.sim (modified 16:8 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) 300 m Tabela 4.3 Tração no riser vertical X para diferentes correntes, modelo IBWO. Perfil Corrente Serie Temporal OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_triangulo.sim (modified 16:46 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) Z X Z 00 m 5895 X Z Amplitude Mín/Max [kn] Espectro Frequência dominante [H] Constante Z X 5890/ ,8 OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_1 triangulo.sim (modified 16:46 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) Z 00 m X Triangular Z 687/694,5 X ½ Triângulo 1378/138,63 Z OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_MARIN.sim (modified 16:6 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) X 00 m Z X MARIN 1478/1483,51 Da Tabela 4.3 podem-se comparar as respostas da tração no topo do riser. Como se pode esperar, a tração máxima aumenta para o perfil constante posto que as forças de VIV atuam em todos os nós ao longo da linha, conforme diminuem o perfil da corrente diminuem também as trações no topo do riser. Uma observação importante é comparar 69

94 os perfis de ½ triângulo que mostram menores trações, comparados com o perfil do MARIN que apresenta um perfil irregular obtendo-se aqui maiores trações no topo do riser. Nestes resultados também podemos observar os espectros da força de tração no riser. O interessante a destacar é a aparição dos picos em altas frequências. Estes picos desaparecem totalmente quando não se considera o efeito de VIV no riser Riser 1 em catenária sem arames Na análise estática, em escala real, foram calculadas as frequências naturais do sistema não amortecido. Esta análise calcula as frequências naturais do sistema discretiado, utiliando a opção de análise modal do programa Orcaflex, as quais são mostradas na Tabela 4.6. Com uma pré-tração no topo de 1695 kn. Com objetivo de verificar quais modos, no Riser 1, estariam sendo excitados na faixa de velocidades reduidas (U R ) consideradas no cilindro com oscilação transversal; calculamos as velocidades reduidas mínimas (U R min) e máximas (U R max) para cada frequência natural do Riser 1. Devemos lembrar que no perfil de corrente utiliado nos ensaios do MARIN, a velocidade da corrente varia entre U cmax =.73m/s e U cmin =0.9m/s. Ademais, sabendo-se que temos um diâmetro do Riser 1 de D=0.73m, podemos calcular as velocidades reduidas mostradas na Tabela 4.4. Tabela 4.4 Frequências naturais do Riser 1 em catenária, sem arames. Modo w (rad/s) Período (seg) Frequência (H) U R min U R max

95 Modo w (rad/s) Período (seg) Frequência (H) U R min U R max Da Tabela 4.4 pode-se notar como nas velocidades reduidas consideradas no cilindro com oscilação transversal (U Rmin = e U Rmax =1) poderíamos excitar o Riser 1 a partir do modo 7, evidenciando que a análise bidimensional do cilindro oscilando transversalmente é valida para o caso do Riser 1 em catenária. Agora, realiando a análise dinâmica, considera-se o Riser 1 isolado. Este riser é obtido do sistema híbrido apresentado no Capítulo. Devemos lembrar que nos ensaios do MARIN, este riser apresentou grandes amplitudes na força de tração assim como picos na análise espectral na faixa entre 15 a 3rad/s. Com esta configuração é realiada uma análise numérica em escala real para o Riser 1 com comprimento L=1578m. Na análise dinâmica, o tempo de simulação foi 100 segundos, a tração estática no topo 1695 kn. Deve-se ressaltar que nestes resultados ainda não se considera os pesos adicionais para calibrar o peso do riser (arames). Os resultados da força de tração no topo do riser, para vários perfis de correntes, são apresentados na Tabela 4.5. Igualmente ao riser vertical, o modelo de VIV utiliado é IBWO. 71

96 R1 Effective Tension (kn) at End A R1 Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: triangulo.sim (modified 11:09 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A R1 Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: 1 triangulo.sim (modified 11:15 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A Time (s) Time (s) Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: cte.sim (modified 11:4 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s 0 0 Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: triangulo.sim (modified 11:09 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s 1000 Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: 1 triangulo.sim (modified 11:15 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: MARIN.sim (modified 11:09 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) 0 0 Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_cte.sim (modified 16:8 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) X Tabela 4.5 Tração no riser em catenária sem arames, modelo IBWO. OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_triangulo.sim (modified 16:46 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) Perfil Corrente Z Serie Temporal X Z 300 m OrcaFlex 9.1a: cte.sim (modified 11:4 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A Z 00 m Z Amplitude X Mín/Max [kn] Espectro Frequência dominante [H] X Constante 166/1757 1,05/,08 0 Time (s) 100 OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_1 triangulo.sim (modified 16:46 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) Z 00 m Z Triangular 168/1707 X X 0,60/ 0,80 ½ Triângulo 1691/1698 0,78 OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_MARIN.sim (modified 16:6 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) Z Z OrcaFlex 9.1a: MARIN.sim (modified 11:09 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective 00 Tension m at End A X X MARIN 1655/1734 0,69 0 Time (s) 100 Na Tabela 4.5 pode-se ver um comportamento diferente quando se compara com o riser vertical. As trações máximas para todos os perfis de corrente são muito próximas. Os perfis de correntea que atingem toda a profundidade apresentam um comportamento mais irregular. Isto pode ser conferido nos espectros das trações, já os perfis que atingem uma profundidade menor, ½ triângulo e MARIN, apresentam um comportamento da tração mais regular, onde se pode ver um pico no espectro da tração, devemos lembrar que no riser ainda não estão simulados os arames nem chumbinhos dos ensaios experimentais. À diferença do riser vertical, os picos nos espectros da tração aparecem em frequências menores Riser 1 em catenária com arames Seguindo o procedimento anterior, na análise estática foram calculadas as frequências naturais do sistema não amortecido, agora considerando os arames sobre o riser, obtendo-se a Tabela 4.6 de frequências naturais do riser e as velocidades reduidas para cada frequência natural. 7

97 Tabela 4.6 Frequências naturais do Riser 1 em catenária, com arames. Modo w (rad/s) Período (seg) Frequência (H) U R min U R max Da Tabela 4.6 pode-se notar como as velocidades reduidas mais baixas, da análise do cilindro bidimensional, poderiam excitar vários modos de vibração do Riser 1. Aqui é evidente que velocidades reduidas intermediárias obtidas com o perfil de velocidades poderiam excitar outros modos de vibração. Agora realiando a análise dinâmica no Riser 1 e com o intuito de aproximar os resultados numéricos aos resultados experimentais do MARIN, obtevem-se as respostas das trações no topo do riser incluindo os arames. Os arames foram modelados ao longo do Riser em forma discreta, a cada 100m com comprimento de 0.6m. A tração estática 73

98 R1 Effective Tension (kn) at End A R1 Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: MARIN.sim (modified 13:09 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A OrcaFlex 9.1a: cte.sim (modified 14:13 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A 0 Time (s) OrcaFlex 9.1a: 1 triangulo.sim (modified 14:19 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A 0 Time (s) OrcaFlex 9.1a: MARIN.sim (modified 13:09 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A 0 0 Time (s) Time (s) Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: MARIN.sim (modified 13:09 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s 7000 OrcaFlex 9.1a: cte.sim (modified 14:13 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: 1 triangulo.sim (modified 14:19 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: MARIN.sim (modified 13:09 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) Frequency (H) no topo foi de 1684 kn. Os resultados da tração no topo do riser para vários perfis de corrente são apresentados na Tabela 4.7. X Tabela 4.7 Tração no riser em catenária com arames, modelo IBWO. Perfil OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_cte.sim (modified 16:8 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_triangulo.sim (modified 16:46 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) Corrente Z X Z X 00 m Serie Temporal Amplitude X Mín/Max [kn] Constante 166/ m Z Z Espectro Frequência dominante [H] 1,5/ 1,55 OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_1 triangulo.sim (modified 16:46 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) Z 00 m X Triangular Z 1668/1696 0,51 X ½ Triângulo 168/1686 0,65 OrcaFlex 9.1a: Rvertical_perfil_MARIN.sim (modified 16:6 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) (aimuth=70; elevation=0) Z X 00 m Z X MARIN 1676/1691 0,59 Comparando a Tabela 4.5 e Tabela 4.7 podem-se ver as diferenças das respostas considerando o riser com e sem arames ao longo do comprimento. Assim pode-se ver que utiliando o modelo de VIV de IBWO não aparecem diferenças significantes quando se considera o efeito dos arames ao longo da linha. Embora as séries temporais apresentem uma variação pouco significativa, os espectros de tração não variam significativamente. Então, continua-se a análise variando outros parâmetros relevantes Tração no riser em catenária variando o número de nós Como uma tentativa de entender o comportamento da tração no topo do riser, analisou-se a discretiação da linha sem considerar os arames, variando o número de nós ao longo do riser, o modelo utiliado foi IBWO com um tempo de simulação de 100 segundos. Agora o perfil de corrente utiliado foi do MARIN. Os resultados são apresentados na Tabela

99 R1 Effective Tension (kn) at End A R1 Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: 10_nós.sim (modified 15:50 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A 1694 OrcaFlex 9.1a: 17_nós.sim (modified 15:16 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A 1740 R1 Effective Tension (kn) at End A 0 Time (s) OrcaFlex 9.1a: 36_nós.sim (modified 15:5 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A Time (s) OrcaFlex 9.1a: 78_nós.sim (modified 15:45 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A Time (s) Time (s) Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: 10_nós.sim (modified 15:50 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s 10 OrcaFlex 9.1a: 17_nós.sim (modified 15:16 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: 36_nós.sim (modified 15:5 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s 0 0 Frequency (H) Frequency (H) Tabela 4.8 Tração no riser em catenária, variação no números de nós, modelo IBWO. Nº nós Serie Temporal Amplitude Mín/Max [kn] Espectro Frequência dominante [H] /1694 0, /1734 0, /1701 0,58/ 0,90/ 1,66 OrcaFlex 9.1a: 78_nós.sim (modified 15:45 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s /1707 0, Frequency (H) Na Tabela 4.8 podemos notar como com o aumento do número de nós aumenta o comportamento irregular da força de tração, isto pode ser explicado devido que o perfil do MARIN, que atinge uma profundidade de 400m, atinge menor quantidade de nós quando o riser é menos discretiado, ao aumentar o número de nós aumenta também os efeitos de VIV onde o perfil do MARIN atinge ao riser. O objetivo é modelar o riser com o menor número possível de nós, diminuindo o esforço computacional, e ao mesmo tempo obter os resultados conforme mostram os ensaios experimentais. Outra observação importante é que apesar do número de nós da discretiação afetar a posição dos picos da força de tração, estes picos não atingem altas frequências observadas nos ensaios experimentais Tração do riser em catenária variando o modelo de VIV Após analisar os parâmetros anteriores, utiliando um único modelo de VIV, e observar que não se atinge os picos de alta frequência (15 a 3 rad/s) visto nos experimentos, decidiu-se continuar a análise paramétrica utiliando os outros modelos de VIV apresentados no Orcaflex. A seguir serão analisados os resultados da força de tração no riser para os quatro modelos de VIV apresentados pelo Orcaflex. A partir deste momento considera-se 75

100 R1 Effective Tension (kn) at End A R1 Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: MWO_sem.sim (modified 10:06 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A 1560 OrcaFlex 9.1a: MWO_com.sim (modified 19:4 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A Time (s) OrcaFlex 9.1a: IBWO_sem.sim (modified 10:13 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A 150 Time (s) OrcaFlex 9.1a: IBWO_com.sim (modified 19:44 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A 1600 FPSO Z (m) R1 Effective Tension (kn) at End A R1 Effective Tension (kn) at End A R1 Effective Tension (kn) at End A 0 OrcaFlex 9.1a: VT1_sem.sim (modified on ) Time History: R1 Effective Tension at End A Time (s) Time (s) OrcaFlex 9.1a: VT1_com.sim (modified 00:5 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A Time (s) OrcaFlex 9.1a: VT_sem.sim (modified 09:44 on 8/4/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A Time (s) OrcaFlex 9.1a: VT_com.sim (modified 09:45 on 8/4/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A 1700 FPSO Z (m) 0 Time (s) OrcaFlex 9.1a: FPSO_B.sim (modified 15:9 on 1/1/008 by OrcaFlex 9.1a) Time History: FPSO Z Time (s) OrcaFlex 9.1a: FPSO_B.sim (modified 15:9 on 1/1/008 by OrcaFlex 9.1a) Time History: FPSO Z Time (s) Time (s) Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: MWO_sem.sim (modified 10:06 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: MWO_com.sim (modified 19:4 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 50,000 to 100,000s Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: IBWO_sem.sim (modified 10:13 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density 0 of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: IBWO_com.sim (modified 19:44 on 6/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s,5E Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: VT1_sem.sim (modified 11:00 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A 1000 Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: VT1_com.sim (modified 00:5 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: VT_sem.sim (modified 09:44 on 8/4/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: VT_com.sim (modified 09:45 on 8/4/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s 0 E+5 0 Frequency (H) Spectral Density of FPSO Z (m^ / H) Spectral Density of FPSO Z (m^ / H) OrcaFlex 9.1a: FPSO_B.sim (modified 15:9 on 1/1/008 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of FPSO Z, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) OrcaFlex 9.1a: FPSO_B.sim (modified 15:9 on 1/1/008 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of FPSO Z, over t = 500,000 to 5800,000s Frequency (H) Frequency (H) sempre o perfil de corrente utiliado no MARIN, e também, verificam-se os resultados com e sem arames sobre o riser. Os resultados são apresentados na Tabela 4.9. Modelos de VIV Tabela 4.9 Tração no Riser 1 para diferentes modelos de VIV. Arames Serie Temporal Amplitude Mín/Max [kn] Espectro Frequência dominante [H] Sem 1447/1550,50 MWO Com 1370/157,6/,41 Sem 1478/1518,9 IBWO Com 1338/1560,06 Sem 1398/16 0,64/,70 VT1 Com 1305/168,73 Sem 130/1637,79 VT Com 130/1691, /1677 0,1/,78/3,40 Experimental MARIN [] 500/ /1700 0,1/1,1/,83/3,4 76

101 R1 Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: D_Do=0,8.sim (modified 18:04 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A Time (s) 100 Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Na Tabela 4.9 podemos ver como os picos dos espectros da tração dos modelos empíricos MWO e IBWO não se ajustam aos resultados experimentais do MARIN []. Embora se obtenham os picos em alta frequência, entorno de. a.79 H, estes aparecem isoladamente. Ademais, o comportamento das series temporais não acompanham os ensaios experimentais. Este é um dos principais motivos pela qual se deixou de utiliar estes modelos nas análises posteriores. Já os modelos VT1 e VT apresentam um comportamento mais semelhante aos resultados experimentais devido à aparição dos dois picos no espectro de tração, os quais não foram encontrados utiliando os modelos de oscilador de esteira. Também podemos observar como o segundo pico na frequência mais alta (em torno de.73 H) está muito próximo aos encontrados nos ensaios experimentais (em torno de.78 H, como mostra a Figura 4.4). Outro resultado que deve ser analisado posteriormente é a presença de dois picos no modelo VT1 sem considerar os arames. Possivelmente a discretiação seja um parâmetro relevante na aparição do segundo pico em baixas frequências. Com base nestes últimos resultados, a partir de agora será utiliado o modelo VT1 para continuar a análise paramétrica Tração variando o diâmetro do Riser 1 com arames Um resultado importante que se precisou ser verificado é a influência do diâmetro do riser (D) nas respostas de tração. Em vista dos resultados anteriores decidiu-se utiliar o modelo VT1 com perfil de correntea do MARIN. Aqui, consideramos o riser com arames e discretiado com 15 nós. É importante destacar que neste resultado e nos anteriores ainda não se considerou o chumbinho utiliado nos ensaios experimentais para ajustar o ângulo de trim da BSR. Os resultados são apresentados na Tabela Tabela 4.10 Tração variando diâmetro do Riser 1, modelo VT1. D/Do Serie Temporal Amplitude Mín/Max [kn] Espectro OrcaFlex 9.1a: D_Do=0,8.sim (modified 18:04 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Frequência dominante [H] 0,8 1543/1811 3, Frequency (H) 4 77

102 R1 Effective Tension (kn) at End A R1 Effective Tension (kn) at End A OrcaFlex 9.1a: D_Do=0,9.sim (modified 19:1 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A 1800 OrcaFlex 9.1a: VT1_com.sim (modified 00:5 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A Time (s) OrcaFlex 9.1a: D_Do=1,1.sim (modified 13:58 on 30/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A R1 Effective Tension (kn) at End A Time (s) OrcaFlex 9.1a: D_Do=1,.sim (modified 14:57 on 30/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at End A Time (s) Time (s) Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A OrcaFlex 9.1a: VT1_com.sim (modified 00:5 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s OrcaFlex 9.1a: D_Do=1,1.sim (modified 13:58 on 30/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at End A Frequency (H) Frequency (H) 4 4 D/Do Serie Temporal Amplitude Mín/Max [kn] Espectro OrcaFlex 9.1a: D_Do=0,9.sim (modified 19:1 on 7/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = 0,000 to 100,000s Frequência dominante [H] 0,9 1464/1747, Frequency (H) /168,73 1,1 19/1557,54 OrcaFlex 9.1a: D_Do=1,.sim (modified 14:57 on 30/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at End A, over t = -5,000 to 100,000s , 10/144 0,34/, Frequency (H) 4 Na Tabela 4.10 pode-se ver que utiliando um diâmetro menor (D/D o =0.8) o pico da tração aparece em frequências maiores. Se aumentarmos o diâmetro do riser este pico se movimenta para frequências menores, até inclusive pode-se notar a aparição de dois picos de frequência para relações de diâmetros maiores a 0.9. Devemos lembrar que os dois picos de tração avaliados nos ensaios experimentais estão na faixa de,8 a 3,4 H Tração no Riser 1 com chumbinho e com arames A seguir apresentamos os resultados da tração no riser com arames considerando o chumbinho a 9m do topo do riser, conforme os resultados experimentais, com perfil de corrente do MARIN, modelo VT1. Para estes resultados tentou-se aprimorar os resultados variando o diâmetro real do riser. Os melhores resultados foram atingidos com o diâmetro externo de D=0.3m, embora o diâmetro real do riser utiliado nos ensaios experimentais foi de 0.7m, o diâmetro interno se manteve a 0.m. O tempo de amostragem utiliado foi de 100 segundos. As características e posição do chumbinho foram as mesmas utiliadas nos ensaios experimentais. Com comprimento do riser de 1578m, aqui se aprimorou a discretiação para 156 nós. Na Tabela 4.11 apresenta-se a composição do riser e comprimento de cada parte de linha. Estes comprimentos foram selecionados aproximadamente conforme as fotografias obtidas dos ensaios do MARIN. Desde o segmento 11 até o segmento 154 foram utiliados intercaladamente linhas de 78

103 R1 Effective Tension (kn) at 19,80 (m) OrcaFlex 9.1a: boa15_viv em todos os nos.sim (modified 19:15 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at 19, Time (s) 100 Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at 19,80 (m) OrcaFlex 9.1a: boa15_viv em todos os nos.sim (modified 19:15 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at 19,80, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) 4 Riser 1 com 0m de comprimento e arames com 0.6m. Os resultados desta análise são apresentados na Tabela 4.1. Tabela 4.11 Composição do Riser 1 em catenária, escala real. Segmento Linha Comprimento [m] 1 Riser 1 9 Chumbinho 1,5 3 Riser Arame 0,6 5 Riser Arame 0,6 7 Riser Arame 0,6 9 Riser Arame 0,6 11 Riser Arame 0,6... Riser Arame 0,6 155 Riser 1 3,9 Na Tabela 4.1 pode-se ver a comparação das respostas numéricas com os ensaios experimentais do MARIN para um tempo de 100 segundos. Aqui, podemos ver claramente como aparecem nos resultados numéricos os dois picos de tração em alta frequência, em torno de.78 a 3.33 H, muito próximas às frequências dos ensaios experimentais. Para efeitos de comparação podem-se ver na última linha as respostas experimentais do MARIN para um tempo de 500 a 5800 segundos, resultados numéricos posteriores devem ser obtidos para esta faixa de tempo. Resultados numéricos posteriores devem apresentar respostas da tração no Riser 1 como parte do sistema híbrido completo. Neste caso o topo seguiria o movimento da BSR, para isto será preciso um maior tempo e esforço computacional. Tabela 4.1 Comparação numérico-experimental da tração no Riser 1 com arames. Tempo [seg] Serie Temporal Amplitude Mín/Max [kn] Espectro Frequência dominante [H] Numérico (1 riser catenária) /1757 0,34/,84/3, 33 79

104 FPSO Z (m) FPSO Z (m) OrcaFlex 9.1a: FPSO_B.sim (modified 15:9 on 1/1/008 by OrcaFlex 9.1a) Time History: FPSO Z 600 OrcaFlex 9.1a: FPSO_B.sim (modified 15:9 on 1/1/008 by OrcaFlex 9.1a) Time History: FPSO Z Time (s) Time (s) Spectral Density of FPSO Z (m^ / H) Spectral Density of FPSO Z (m^ / H) OrcaFlex 9.1a: FPSO_B.sim (modified 15:9 on 1/1/008 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of FPSO Z, over t = 0,000 to 100,000s 5000 OrcaFlex 9.1a: FPSO_B.sim (modified 15:9 on 1/1/008 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of FPSO Z, over t = 500,000 to 5800,000s Frequency (H) Frequency (H) 4 4 Tempo [seg] Serie Temporal Amplitude Mín/Max [kn] Espectro Frequência dominante [H] Experimental MARIN [] /1677 0,1/,78/3,4 0 Experimental MARIN [] 500/ /1700 0,1/1,1/,8 3/3,4 Figura 4.3 Uma melhor comparação entre as amplitudes das forças pode ser visualiada na Figura 4.3 Comparação das forças de tração no Riser 1. Numérico (Orcaflex-modelo VT1) versus Experimental (MARIN [] apud Fernandes e Jacob [3]). Aqui podemos notar que as amplitudes máximas das forças de tração experimentais situam-se em torno de 00kN e que as máximas amplitudes das forças obtidas com o programa Orcaflex (modelo VT1) chegaram aproxidamente a 60kN. Devemos lembrar que na Figura.13 os resultados numéricos utiliando Orcaflex [3] não conseguiram acompanhar as amplitudes experimentais atingindo uma amplitude muito pequena e uma força de tração média de (1410kN) abaixo dos resultados experimentais (1580kN aproximadamente). Já os resultados da presente tese, utiliando 80

105 Orcaflex atingiu uma força de tração média em torno de 1640kN, um pouco maiores aos experimentais. Com o intuito de verificar as frequências onde a força de tração predomina apresentam-se os espectros para cada força. Figura 4.4 Comparação dos espectros de tração no Riser 1. Numérico (Orcaflexmodelo VT1) versus Experimental (MARIN, Fernandes e Jacob [3]). Na Figura 4.4 mostra-se a comparação dos espectros da força de tração no Riser 1, considerando os resultados numéricos obtidos nos presente trabalho (Orcaflex) e os resultados experimentais obtidos no MARIN. Embora os dois picos no espectro de tração foram obtidos da análise paramétrica, podemos ver que os resultados experimentais podem ser reproduidos. Ademais, deveram-se analisar outros parâmetros relevantes na modelação de VIV, modelando todo o sistema híbrido de riser, os quais possam apresentar variação significativa nos resultados. Esta análise foi feita utiliando unicamente o modelo de VT1 (Vortex Tracking 1). Por tal motivo, este modelo será analisado e modelado num código próprio na sequência da presente tese. 81

106 R1 Effective Tension (kn) at 19,80 (m) OrcaFlex 9.1a: boa15_viv sem chumbinhos.sim (modified 18:00 on 7/4/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at 19,80 R1 Effective Tension (kn) at 19,80 (m) 1850 OrcaFlex 9.1a: boa15_viv em todos os nos.sim (modified 19:15 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Time History: R1 Effective Tension at 19, Time (s) Time (s) Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at 19,80 (m) Spectral Density of R1 Effective Tension (kn^ / H) at 19,80 (m) OrcaFlex 9.1a: boa15_viv sem chumbinhos.sim (modified 18:00 on 7/4/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at 19,80, over t = 0,000 to 100,000s OrcaFlex 9.1a: boa15_viv em todos os nos.sim (modified 19:15 on 5/3/009 by OrcaFlex 9.1a) Spectral Density of R1 Effective Tension at 19,80, over t = 0,000 to 100,000s Frequency (H) Frequency (H) Influência dos arames nos resultados numéricos Como resultado final apresenta-se a influência dos arames e chumbinho nos resultados numéricos da Tabela 4.1. É importante lembrar que o modelo escolhido foi o VT1. Os resultados são apresentados na Tabela Tabela 4.13 Comparação numérica da tração no riser R1 com e sem arames. Numérico (Orcaflex) Tempo [seg] Serie Temporal Amplitude Mín/Max [kn] Espectro Frequência dominante [H] Sem arames e sem chumbinho /1836 0,61/3,35 Com arames e com chumbinho /1757 0,34/,84/3, 33 Na Tabela 4.13 pode-se ver a influência dos arames e chumbinho nos resultados numéricos obtidos com o Orcaflex. Podemos ver no primeiro caso, com o riser sem arames nem chumbinho, como aparece unicamente um pico de tração em alta frequência em torno de 3.35 H. Agora, quando são considerados os arames mais o chumbinho, aparecem os dois picos em alta frequência, em torno de.84 e 3.33 H, acompanhando muito de perto os resultados experimentais obtidos no MARIN. Assim, podemos ver a importância não unicamente dos arames, como também do chumbinho, discretiação e composição do Riser 1, sobretudo na parte onde é atingido pela corrente. Estas características devem ser analisadas mais detalhadamente no trabalho final da tese. Estes interessantes resultados, no espectro da tração, motivam a estudar melhor a teoria por trás do modelo Vortex Tracking 1 (VT1), devido que somente com este modelo de VIV conseguimos reproduir os dois picos no espectro da tração no Riser 1, numa faixa de frequências muito próximas aos experimentais. O estudo detalhado do modelo VT1 ou modelo de Rastreamento de Vórtices (MRV) é realiado na sequência da presente tese. 8

107 CAPÍTULO 5.- RASTREAMENTO DE VÓRTICES UTILIZANDO VÓRTICES DISCRETOS O modelo matemático apresentado neste capítulo visa basicamente a atender o novo código numérico a ser desenvolvido baseado no Modelo de Rastreamento de Vórtices (MRV), também conhecido pelo seu nome em inglês como Vortex Tracking. Este modelo baseia-se na teoria apresentada por Sarpkaya e Shoaff [63] utiliando o Método de Vórtices Discretos, baseado na teoria potencial e na Teoria da Camada Limite. Na presente tese utilia-se o método de Thwaites para resolver as equações da camada limite na forma integral e assim determinar-se a posição e intensidades dos vórtices emitidos desde os pontos de separação em torno do cilindro. Este modelo utilia a teoria potencial, por meio de linhas de vórtices, para representar o comportamento das camadas cisalhantes para altos números de Reynolds dentro do regime subcrítico. Com as linhas de vórtices emitidos pelo cilindro, representa-se a esteira turbulenta utiliando uma taxa de diminuição de vorticidade para introduir os efeitos viscosos Método de vórtices discretos Existem dois enfoques básicos para se descrever numericamente o comportamento do escoamento de um fluido viscoso ao redor de um obstáculo. Um deles é a abordagem Euleriana, na qual uma variável de campo é definida como uma função da posição e do instante de tempo. O Método de Elementos Finitos e o Método de Volumes Finitos são exemplos desta classe de métodos numéricos tradicionais. Nestes métodos uma malha de discretiação do domínio fluido se fa necessária. A outra abordagem, que é a de interesse para este trabalho, é a descrição Lagrangiana. Os métodos Lagrangianos possuem características que os tornam mais apropriados (que os métodos Eulerianos) para a simulação numérica de certas categorias de problemas. Entre os métodos Lagrangianos destaca-se o Método de Vórtices Discretos que está discutida no decorrer deste texto. O Método de Vórtices Discretos é uma representação idealiada que utilia as definições do escoamento potencial para representar as camadas cisalhantes emitidas desde os pontos de separação em altos números de Reynolds (300 < Re < 3x10 5 ). Como já foram observadas experimentalmente por Fage e Johansen em [56], as camadas 83

108 cisalhantes são bastante finas em determinados números de Reynolds e a vorticidade é limitada dentro de regiões de folhas de vórtices bem espiraladas. Este comportamento permite idealiar as camadas cisalhantes em pequenos segmentos e concentrar a vorticidade de cada um destes dentro de uma linha de vórtices. Esta idealiação nos permite utiliar as funções de variáveis complexas para determinar a cinemática e dinâmica do escoamento, simplificando em grande parte os cálculos realiados. A teoria potencial, utiliando a função complexa, nos permite calcular a velocidade induida em cada vórtice devido à presença de outros vórtices e do ambiente fluido. Em seguida realia-se a convecção dos vórtices a cada intervalo de tempo utiliando um esquema de avanço conhecido e calculando assim as novas posições dos vórtices. Posteriormente é necessário introduir uma nova vorticidade no fluido sobre ou próximo ao ponto de separação considerando a vorticidade gerada dentro da camada limite. A introdução dos novos vórtices (vórtices nascentes) representa uma adição para cada conjunto de linhas de vórtices. Em seguida este processo é repetido novamente. Resumidamente este é o fundamento teórico do Método de Vórtices Discretos utiliados na presente tese. Atualmente, o método de vórtices discretos pode ser dividido em dois tipos básicos, de acordo com a maneira que o campo de velocidade é calculado. O primeiro, denominado vórtice em célula, calcula o valor da função corrente nos nós de uma malha auxiliar de cálculo, e a partir deste ponto, a velocidade é calculada por diferenças finitas nesta malha. Ademais, a difusão é calculada de forma Euleriana. Este tipo de método pode ser considerado como um modelo de CDF. Já o segundo, pode ser classificado como completamente livre de malhas e calcula as velocidades induidas a partir do campo de vorticidade. Este segundo tipo do método de vórtices discretos utilia uma técnica Lagrangeana para representar o escoamento bidimensional e incompressível, utiliando folhas de vórtices discretas. Na presente tese o modelo de rastreamento de vórtices utilia o segundo tipo de vórtices discretos, tendo como principal vantagem menor esforço computacional comparado com o método que utilia a malha auxiliar. Isto será de grande vantagem ao calcular os efeitos de VIV em linhas muito longas. 84

109 5.. Modelo de rastreamento de vórtices (MRV) Este modelo utilia o método de vórtices discretos e a teoria potencial para representar o comportamento da esteira atrás do cilindro. Este modelo utilia uma técnica de solução que considera um escoamento com altos números de Reynolds, onde é possível tratar o escoamento sobre um corpo como a combinação de um escoamento viscoso (na camada limite) e de um invíscido (fora da camada limite) [6]. Basicamente, o MRV divide o escoamento em duas regiões principais: uma região interna muito próxima às paredes do cilindro onde o comportamento do escoamento é definido pela teoria da camada limite, e um escoamento externo, onde o comportamento do escoamento pode ser definido utiliando o método dos vórtices discretos através da teoria potencial. A teoria da camada limite fornece as posições dos pontos de separação e a velocidade de geração de vórtices. O MRV utilia um método de convecção para calcular os movimentos dos vórtices e as forças induidas são calculadas integrando a pressão em torno do cilindro Escoamento externo à camada limite O escoamento externo consiste em um escoamento irrotacional fora da camada limite, este escoamento consiste de camadas cisalhantes e da esteira que são definidas por um conjunto de vórtices ideais discretos. No domínio do escoamento externo, assume-se um escoamento potencial que consiste na superposição de vórtice, escoamento uniforme, e um dipolo. Ou seja, considera o escoamento potencial de um cilindro com circulação. Além disto, considera-se o escoamento potencial induido por um conjunto de vórtices localiados fora do cilindro e suas respectivas imagens dentro deste. Para obter a expressão do potencial complexo foi utiliado o Teorema do Círculo para determinar as posições dos vórtices imagens na qual se garante a condição de impenetrabilidade. Com o intuito de faer uma análise matemática mais simplificada utilia-se um único potencial complexo w em ve de operar separadamente o potencial de velocidades ( e a função corrente (. w i (5.1) 85

110 Outras definições importantes e a aplicação destas variáveis complexas em escoamentos potenciais simples podem ser vistos no Apêndice B. Nesse apêndice mostra-se a superposição de escoamentos potenciais e o Teorema do Círculo utiliado para garantir a condição de impenetrabilidade na superfície real do cilindro circular. Assim podemos utiliar as definições básicas do Apêndice B para obter o potencial complexo de um cilindro submetido a um escoamento uniforme. Primeiramente, um escoamento potencial uniforme é definido por: w U (5.) Agora, aplicamos o Teorema do Círculo para definir escoamento considerando um cilindro circular de raio c dentro de um escoamento uniforme. Obtemos assim o potencial complexo: c w U (5.3) Seguindo o procedimento anterior podemos obter o potencial complexo para outros escoamentos na presença de um cilindro circular Um vórtice próximo à parede do cilindro A seguir considera-se um vórtice localiado em 1 e de intensidade + onde c 1. Para cumprir a condição de contorno de impenetrabilidade sobre a superfície do cilindro, Milne-Thomson [83] utilia o método das imagens para reproduir a parede do cilindro. Para isto coloca um vórtice imagem de intensidade dentro do cilindro na posição c 1, como mostra a Figura 5.1. Neste caso deve ser colocado um terceiro vórtice de intensidade + no centro do cilindro, isto para anular a circulação total dentro deste. Então, a velocidade induida sobre a superfície do cilindro pode ser calculada pela superposição dos escoamentos devido aos três vórtices. 86

111 Figura 5.1 Método das imagens aplicado a um vórtice dentro de um escoamento uniforme. Este método pode ser demonstrado facilmente utiliando o Teorema do Círculo da seguinte maneira. Considera-se unicamente o vórtice livre de intensidade + localiado na posição 1, chamado de vórtice real. O potencial complexo para o vórtice real é: i w ln 1 (5.4) Agora, considerando a presença do cilindro, segundo o Teorema do Círculo, obtém-se o seguinte potencial complexo: i i c i w ln 1 ln ln (5.5) 1 Rearranjando os termos, temos w i ln 1 c 1 (5.6) 87

112 Este potencial complexo mostra um vórtice real de intensidade na posição 1, um vórtice imagem de intensidade localiado em c 1 e um vórtice imagem de intensidade impenetrabilidade sobre a superfície do cilindro. na origem. Com isto, cumpre-se a condição de Seguindo o procedimento anterior, considera-se o potencial complexo do escoamento uniforme mais um vórtice na posição 1, assim obtemos: i w U ln 1 (5.7) Para obter-se o potencial complexo considerando a presença do cilindro dentro do escoamento uniforme, aplica-se o Teorema do Círculo, obtendo-se: c i i c i w U ln 1 ln ln (5.8) 1 Na Equação (5.8) podemos ver como o potencial do cilindro circular pode ser representado por um dipolo localiado no centro de coordenadas. Também, observa-se o potencial complexo do vórtice real e dos dois vórtices imagens, conforme foi encontrado na Equação (5.5) (ver Figura 5.1). Conforme foi considerado por Sarpkaya ([58], [84]) e Sarpkaya e Shoaff ([63], [64]), o quarto termo da parte direita da Equação (5.5) pode ser desconsiderado devido ao fato que o vórtice real (seja positivo) quando emitido deixará dentro do cilindro um vórtice imagem de sinal oposto (negativo), a uma distância c 1 e quanto mais longe esteja o vórtice real, o vórtice imagem negativo estará mais próximo ao centro do cilindro. Como consequência anulará o outro vórtice imagem positivo, localiado no centro do cilindro (ver a Equação 5.9). Com estas considerações e derivando a Equação (5.8) obtemos a seguinte velocidade complexa devido à superposição de um escoamento uniforme U, um cilindro fixo de raio c e um vórtice de intensidade : 88

113 dw d c i U c (5.9) Um par de vórtices próximos à parede do cilindro fixo Anteriormente foi derivada a expressão para o potencial complexo considerando um único vórtice na presença de um cilindro fixo dentro de um escoamento uniforme. Agora, consideram-se inicialmente dois vórtices, um na posição 1 e o outro na posição 1, simétrico ao eixo x, com 1 c. Seguindo o procedimento da seção pode-se aplicar o Teorema do Círculo e obter os respectivos vórtices imagens devido à presença de um cilindro circular de raio c, como mostra a Figura 5.. Figura 5. Método das imagens aplicado a dois vórtices dentro de um escoamento uniforme, modificado de [81]. Quando se aplica o Teorema do Círculo para este par de vórtices mais um escoamento uniforme, obtemos o potencial complexo da Equação (5.10). 89

114 c w U i ln 1 1 c i ln c 1 1 (5.10) Na Equação (5.10) pode-se notar claramente como os terceiros vórtices (imagens) localiados no centro do círculo se anularam devido também à circulação de sinal oposto dos vórtices simétricos Uma linha de vórtices próxima à parede do cilindro Seguindo a mesma análise da Seção , pode-se obter o potencial complexo que descreve um escoamento uniforme U, um cilindro circular fixo de raio c e um número N de vórtices discretos localiados sobre um lado do cilindro, como mostra a Figura 5.3. Figura 5.3 Método das imagens aplicados a uma linha de vórtices dentro de um escoamento uniforme [58]. Primeiramente consideramos o potencial complexo de uma linha de N vórtices dentro de um escoamento uniforme, conforme mostra a Equação (5.11): 90

115 91 N n n n i U w 1 ln (5.11) Imediatamente aplicamos o Teorema do Círculo para impor a condição de impenetrabilidade. Assim encontramos o potencial complexo considerando um cilindro circular fixo: N n n N n n n N n n n i c i i c U w ln ln ln (5.1) Comparando a Equação (5.8) e Equação (5.1) podemos ver claramente a influência dos N vórtices no potencial complexo. Na Equação (5.1) podemos notar os N vórtices reais fora do cilindro e N vórtices imagens, com circulação de sinais opostos, na parte interior. Na Equação (5.1) o primeiro termo da direita representa o potencial complexo do cilindro (em forma de dipolo) dentro de um escoamento uniforme. O segundo termo representa os N vórtices reais localiados no ponto n, o terceiro termo representa os N vórtices imagens localiados dentro do cilindro no ponto n ni c e por último o quarto termo representa os N vórtices imagens no centro do cilindro com a mesma circulação que os vórtices reais. Rearranjando a Equação (5.1), obtemos o mesmo potencial complexo de uma forma mais compacta: N n n n n c i c U w 1 ln ln ln (5.13) Derivando a Equação (5.13) com respeito a obtemos a velocidade complexa induida em qualquer ponto (x,y) do plano complexo: N n n n n c i c U d dw (5.14)

116 9 Como foi explicado anteriormente na Seção serão excluídos os vórtices imagens localiados no centro do cilindro posto que os vórtices reais, quando emitidos para longe do cilindro, deixaram vórtices imagens com circulação oposta. Conforme os vórtices reais se afastem cada ve mais do cilindro, os vórtices imagens de circulação oposta se anularão com os vórtices imagens localiados no centro do cilindro. Assim a Equação (5.1) ficará: N n n n n c i c U d dw (5.15) Duas linhas de vórtices próximas à parede do cilindro Finalmente, consideramos duas linhas de vórtices emitidas simetricamente desde o cilindro. O vórtice real na posição n terá um vórtice real simétrico com respeito ao eixo x na posição n, estes dois vórtices terão intensidades opostas. Assim, o potencial complexo sem considerar o cilindro será: N n n n n i U w 1 ln (5.16) Aplicando a condição de impenetrabilidade com o Teorema do Círculo obtém-se N n n n n n n c c i c U w 1 ln ln (5.17) Podemos notar como se eliminam os vórtices imagens localiados na origem, isto devido às intensidades opostas dos vórtices reais. Finalmente, derivando, obtemos a velocidade complexa:

117 93 N n n n n n n c c i c U d dw (5.18) Durante o desenvolvimento numérico é mais vantajoso trabalhar com parâmetros adimensionais, por tal motivo se utiliará a seguinte mudança de variáveis: c *, U iv u iv u / ) ( * *, Uc * (5.19) Uc w w ) ( *, c t Ut * Substituindo estas expressões nas Equações (5.17) e (5.18), considerando U=1.0, c=1.0, e a partir de agora desconsiderando os superíndices (*), temos: N n n n n n n i w ln ln 1 (5.0) N n n n n n n i d dw (5.1) Estas duas últimas Equações (5.0) e (5.1) foram utiliadas no desenvolvimento do código numérico da presente tese.

118 5... Escoamento interno à camada limite O escoamento interno do modelo de vórtices discretos representa os efeitos viscosos dentro da camada limite próximos à parede do cilindro e é definido pelas equações da camada limite. As equações da camada limite são avaliadas em cada instante de tempo para determinar a evolução da vorticidade e o movimento do ponto de separação. As equações da camada limite bidimensional obtidas das equações de Navier Stokes e equação da continuidade foram mostrados no Capítulo 3, e são reproduidas a seguir: u u u v x y u e u e x u (5.) y u v x y 0 (5.3) Com as seguintes condições de contorno: Na parede: y 0 temos u v 0 (5.4) Fora da camada y ( x) temos u u x,t (5.5) e As Equações (5.) e (5.3) são resolvidas utiliando um método aproximado baseado na forma integral das equações de quantidade de movimento, com a modificação que o escoamento potencial externo depende do tempo. Este método foi desenvolvido por Schuh [75] e aprimorado para vários casos por Hayasi [76]. Consideração a Equação (5.3) e integrando a Equação (5.) com respeito a y desde y=0 até o bordo externo da camada limite para qualquer ponto x, obtemos uma única equação que relaciona a taxa total de fluxo da quantidade de movimento através da seção transversal da camada limite para o gradiente de pressão local e a tensão friccional na superfície. Isto é chamada de equação da quantidade de movimento na forma integral ou equação de Von Kármán. A derivação desta equação pode ser encontrada em [79]. 94

119 c w f d du H U dx (5.6) U dx Onde w são as tensões cisalhantes na superfície do corpo, c f é o coeficiente de * atrito, (x) é a espessura da quantidade de movimento e H( x) ( x) ( x) é o fator de forma e * ( x ) é a espessura de deslocamento. u u dy u 1 e u (5.7) 0 e * u 1 dy (5.8) 0 ue Um dos primeiros métodos desenvolvidos para resolver a Equação (5.6) e o mais clássico encontrado na literatura é o método de Pohlhausen para escoamentos incompressíveis baseados na equação da quantidade de movimento na forma integral. Em sua forma inicial o método foi desenvolvido com a forma quadrática do perfil de velocidades em termos da distância adimensional normal à superfície com um parâmetro relacionando o gradiente de pressão local e a espessura da camada limite. Detalhes deste método podem ser encontrados em [79]. Um método mais moderno e efetivo para resolver a Equação (5.6) e que leva a uma menor complexidade no desenvolvimento numérico é o método de Thwaites [67]. Thwaites encontrou que a Equação (5.6) pode ser correlacionada por uma simples variável adimensional definida como: du e (5.9) dx Utiliando nesta correlação uma interpolação linear baseado em resultados experimentais e teóricos, Thwaites conseguiu integrar a Equação (5.6) em forma fechada, obtendo o seguinte resultado: 95

120 6 x U ue dx (5.30) 6 u 0 e u Onde 0 é a espessura da quantidade de movimento no ponto de estagnação em x=0 (usualmente considerada como nula). A separação acontece quando c f é ero, e foi encontrado que isto acontece em um valor particular de Com isto pode-se e substituir a Equação (5.30) na Equação (5.9) e conhecendo podemos encontrar o ponto de separação. u e em função de x, Vórtices nascentes e condições de separação Segundo o modelo de Gerrard [18], os vórtices na esteira são formados devido ao ganho de circulação oriunda da camada cisalhante à qual eles estão conectados. Por isto a necessidade de analisar o que ocorre com a vorticidade e circulação na região da camada limite. A vorticidade é definida como: V (5.31) A equação completa de transporte de vorticidade é obtida derivando a equação de Navier-Stokes na direção y em relação a x e subtraindo desta equação de Navier- Stokes na direção x derivada em relação a y. A equação resultante não depende da pressão e, utiliando a definição de vorticidade, pode ser escrita como: u v t x y x y (5.3) é Para o caso de uma camada limite bidimensional, a componente da vorticidade v u (5.33) x y Admitindo-se uma fina camada cisalhante, hipótese que pode ser aplicada à camada limite, tem-se que: 96

121 u y v x (5.34) A vorticidade na camada limite é então: u (5.35) y A vorticidade está relacionada com a circulação através do Teorema de Stokes V dxdy Vdl dxdy (5.36) Reescrevendo a Equação (3.1) em temos de vorticidade, obtemos na parede: d u dy y y0 y0 dp dx (5.37) Na parede y 0, a vorticidade é a derivada da velocidade normal à superfície, na região imediatamente após a separação, a vorticidade é gerada com sinal oposto em relação àquela imediatamente anterior a ela. No ponto de separação temos: 0 (5.38) y0 No caso de escoamento em regime permanente, a Equação (5.3) na forma simplificada transforma-se em: V. (5.39) A vorticidade, neste caso, é governada pela Equação (5.39) e indica que a convecção de vorticidade deve ser igual à difusão. A vorticidade criada na parede deve então ser difundida na camada limite e, seguidamente, convectada. Utiliando a definição de, podemos verificar que o módulo da vorticidade total por comprimento unitário da camada limite é: 97

122 du dy dy U S 0 dy 0 (5.40) Onde U S é a velocidade do escoamento externo próxima ao ponto de separação, isto é, a velocidade de escoamento potencial na viinhança da separação. limite: Esta vorticidade total é igual à circulação por comprimento unitário na camada Γ x U S (5.41) A taxa de fluxo de vorticidade em um elemento dy na camada limite é: u dy (5.4) Integrando a Equação (5.4), obtemos a taxa total de fluxo de vorticidade: du u dy dy 0 U S (5.43) A qual é equivalente à taxa de fluxo de circulação d dt U S (5.44) por: A taxa de variação de fluxo de vorticidade ou de d dt em relação a é dada d dx U S U S du dx S 1 dp dx (5.45) A Equação (5.45) mostra que a vorticidade é introduida pela parede no escoamento na camada limite quanto o gradiente de pressão é favorável ( dp dx 0 ). Quando o gradiente de pressão é adverso ( dp dx 0 ), a vorticidade é retirada da camada limite pela parede. No caso de uma placa plana alinhada com o escoamento, o gradiente de pressão é nulo ( dp dx 0 ). Neste caso toda a vorticidade é gerada no bordo de ataque. A seguir, é difundida e convectada na camada limite. 98

123 dada por Segundo a Equação (5.44), a circulação ou intensidade dos vórtices nascentes é Γ nv U S t (5.46) Cada ponto de separação é tratado independentemente, e não se assume ou impõe nenhuma simetria. Os vórtices nascentes são introduidos no escoamento na posição: nv i S me 1 (5.47) Aqui, m é a distância normal da parede do cilindro para o centro do vórtice nascente e pode ser determinada com base no cálculo da soma das velocidades induidas na parede do cilindro considerando somente a existência do vórtice nascente, seu respectivo vórtice imagem mais o escoamento incidente, como mostra a Figura 5.4. A soma das velocidades induidas deverá ser nula. Está condição é conhecida como condição de não escorregamento, com estas considerações chegamos à seguinte expressão: 1 1 nv U S nv S m (5.48) 1 U Figura 5.4 Distância do vórtice à parede do cilindro. 99

124 Na Figura 5.5 podemos visualiar a distância m e conhecendo o ângulo de separação pelo método de Thwaites define-se a posição dos vórtices nascentes dentro do escoamento. Assim a esteira pode ser representada por um conjunto de vórtices ideais discretos superpostos com o escoamento potencial ao cilindro. Esta configuração define as linhas de vórtices formadas dentro da esteira Convecção das linhas de vórtices A evolução das posições dos vórtices pode ser calculada utiliando um dos diferentes métodos de convecção. Com o intuito de realiar futuras comparações aqui foi utiliado t junto com o método de Euler de primeira ordem conforme indica [63]: n t t (t ) qt t (5.49) n Onde q(t) é a velocidade complexa calculada a partir do potencia complexo da Equação (5.18). Segundo Sarpkaya e Shoaff [63] têm-se três esquemas de avanço no tempo que fornecem quase a mesma precisão. Entre estes esquemas, o mais utiliado por Sarpkaya e Shoaff foi o esquema de Euler de primeira ordem da Equação (5.49). Como reportado por eles em [63], devido à simplicidade do método, facilidade no tempo de cálculo e precisão para intervalos de tempo de t O mesmo esquema é utiliado na presente tese Rediscretiação das linhas de vórtices O processo de rediscretiação é uma forma de redistribuição da posição dos vórtices, a cada intervalo de tempo, com o objetivo de representar adequadamente as camadas cisalhantes utiliando as linhas de vórtices discretos. Pretende também diminuir a acumulação dos erros logarítmicos provenientes da convecção conforme foi reportado por Fink e Soh [61], este processo de rediscretiação é apresentado por Sarpkaya e Shoaff ([63], [64]). Deve-se ressaltar que na presente tese foram realiadas modificações no equacionamento da rediscretiação comparado com o modelo de Sarpkaya e Shoaff. Isto para representar adequadamente a circulação por unidade de comprimento. 100

125 Para explicar o processo de rediscretiação primeiro considera-se um segmento da linha de vórtices num instante t e assume-se que os n vórtices são conectados por segmentos de linhas retas, como exemplo, mostra-se a Figura 5.5. Figura 5.5 Posição dos vórtices antes da rediscretiação. é dada por: A distância ( s ) entre qualquer par de vórtices consecutivos não rediscretiados s (5.50) n n n1 O comprimento ( s n ) da linha de vórtices desde a posição 1 (centro da espiral de vórtices) até o enésimo vórtice é dado por: n s n s j (5.51) j será: Considerando que a linha tem N vórtices, então o comprimento total da linha N s N s j (5.5) Também temos uma circulação por comprimento unitário para cada vórtice, j podendo ser calculada com as seguintes expressões: 101 n

126 n n sn s 1 n (5.53) N s N (5.54) N 1 1 (5.55) s Aqui, deve-se ter especial cuidado com a Equação (5.53), a qual difere com o modelo original de Sarpkaya e Shoaff apresentado em [63] e [64], depois de vários testes numéricos não foram encontrados os resultados publicados em [63]. Também, deve-se destacar que a Equação (5.53) é válida em virtude da definição da circulação por unidade de comprimento. Seguindo com a apresentação do método de rediscretiação podemos avaliar para cada ponto n a circulação por comprimento unitário (s n ) e o respectivo comprimento de linha ( s n ). Em seguida utiliando a interpolação linear avalia-se a nova * circulação por comprimento unitário ( ): k * n n1 s s * k n1 k n1 (5.56) s s n n1 onde s * n1 sk sn (5.57) Em outras palavras, para avaliar a circulação por comprimento unitário deve-se conhecer entre quais vórtices originais n o novo vórtice k será colocado. O comprimento de linha para os novos vórtices ( s * k ) pode ser calculado por: * s k * k 1 s (5.58) Onde * s é a distância entre os novos vórtices. O principio básico da rediscretiação é que esta distância * s deve ser a mesma para todos os novos vórtices 10

127 consecutivos medida ao longo da trajetória dos vórtices originais. A distância ser avaliada com a seguinte expressão: * s pode * sn s (5.59) N 1 * representa a circulação por comprimento unitário e para qualquer distância s k deve ser a mesma obtida antes da rediscretiação. O próximo passo é substituir os N vórtices espaçados de forma desigual pelos N novos vórtices equidistantes. O processo de rediscretiação não afeta a intensidade nem posição do primeiro e último vórtice, ou seja, temos * e. Os demais * 1 1 N N vórtices são distribuídos em intervalos iguais de comprimento * s e junto com * s k devem ser medidos ao longo da trajetória dos vórtices originais, como se pode visualiar na Figura 5.6 Figura 5.6 Posicionamento dos vórtices depois da rediscretiação. Devemos destacar que aplicando o processo de rediscretiação no exemplo da Figura 5.6 deve-se cumprir a seguintes relações * * 1 s, * * * s, * * N 1 N s. Ressaltamos novamente que as distâncias entre os novos vórtices se devem medir ao longo da trajetória dos vórtices originais antes da rediscretiação e não em linha reta entre os novos vórtices. Ao terminar de posicionar todos os vórtices devemos ter uma configuração parecida à Figura 5.7. Aqui, 103

128 foram unidos os novos vórtices com linhas retas tracejadas com o objetivo de visualiar a nova trajetória. Figura 5.7 Comparação entre vórtices sem e com rediscretiação. Em seguida à redistribuição da posição dos vórtices o próximo passo é recalcular a circulação dos novos vórtices utiliando a interpolação linear da Equação (5.56) tal * que a circulação por comprimento unitário na nova posição deve ser a mesma que na k distribuição original, ou seja: * * * k ks k N 1 (5.60) Como se utilia um método discreto, ao final deste processo, deve-se garantir que não houve ganho nem perda de circulação durante a rediscretiação. Para isto podemos avaliar a diferença de circulação: N n1 n N k1 k (5.61) Devemos adicionar esta diferença proporcionalmente entre os N vórtices: * k * k N (5.6) 104

129 Ressalta-se que no modelo de rastreamento de vórtices este processo de rediscretiação deve ser realiado para cada intervalo de tempo sem modificar dentro do processo a posição e circulação do primeiro e último vórtice. Uma consideração importante é que durante a rediscretiação das linhas de vórtices conectadas ao cilindro o número de vórtice N não deve considerar os vórtices nascentes próximos ao ponto de separação uma ve que estes vórtices nascentes foram inseridos no escoamento utiliando a condição de não escorregamento. Em outras palavras o processo de rediscretiação se detém no vórtice anterior aos vórtices nascentes Indução de assimetria Na naturea, a assimetria e a emissão de vórtices são características inerentes de corpos rombudos dentro de um escoamento. A origem da assimetria e da emissão de vórtices está fortemente ligada às instabilidades dentro da camada limite. Do ponto de vista numérico esta assimetria é introduida artificialmente no modelo de rastreamento de vórtices uma única ve no início dos cálculos e num curto intervalo de tempo com o objetivo de adiantar a emissão das linhas de vórtices. Se este processo não fosse realiado teríamos uma grande quantidade de vórtices distribuídos simetricamente atrás do cilindro obtendo uma alta pressão e, portanto, forças muito maiores às esperadas, além da introduir grandes velocidades devidas à proximidade entre os vórtices. Para este modelo, a evolução natural das linhas de vórtices retarda a emissão (ver Figura 5.8) e pode induir grandes instabilidades no escoamento. Figura 5.8 Evolução natural dos vórtices pelo MRV (sem assimetria). Depois de várias observações experimentais e tentativas numéricas Sarpkaya e Shoaff [63] superaram este problema encontrando uma relação para induir uma assimetria ao modelo de rastreamento de vórtices, chegando à conclusão que qualquer forma de indução de assimetria utiliado não afeta os resultados em regime estacionário 105

130 e que a assimetria precisa ser introduida unicamente na emissão do primeiro vórtice. Posteriormente o processo de emissão continuaria naturalmente. Esta relação será utiliada na presente tese. Sarpkaya e Shoaff [63] propuseram deslocar os vórtices superiores conectados ao cilindro durante o intervalo de tempo de 5 t 9 uma quantidade dada pela expressão: t 5 x 0.01 cos (5.63) 4 No desenvolvimento do presente MRV foi aplicado o deslocamento da Equação (5.63) aos vórtices superiores conectados ao cilindro. A evolução desta variação da assimetria em função do tempo por ser vista na Figura 5.9 Figura 5.9 Variçaõ da assimetria x com o tempo t Emissão dos vórtices A emissão de vórtices é o mecanismo pela qual a alimentação da camada conectada ao cilindro é cortada. Os detalhes deste mecanismo foram apresentados no Capítulo 3. No desenvolvimento do presente MRV foram utiliados as definições de Sarpkaya e Shoaff [63]. Eles sugeriram, depois de terem realiado vários cálculos numéricos envolvendo simetria e assimetria da esteira e camadas cisalhantes com e sem rediscretiação, que as folhas ou linhas de vórtices podem ser cortadas quando estas atingirem sua mínima circulação por comprimento unitário. Ou seja, num tempo imediatamente depois que Figura d dt atingir seu valor mínimo, como pode ser visto na 106

131 Figura 5.10 Tempo na qual as linhas de vórtices são desconectadas (emitidos) do cilindro no MRV. Na Figura 5.10 podemos visualiar o momento em que os vórtices superiores e inferiores são emitidos, portanto são desconectados do cilindro. É interessante observar que quando d dt atinge seu mínimo valor e emite um vórtice num lado do cilindro no lado oposto atinge seu valor máximo com o vórtice fortemente espiralado. Pelo explicado anteriormente, destaca-se que o MRV não utilia um número de Strouhal nos cálculos, e o período de desprendimento dos vórtices (período de Strouhal) aparece naturalmente da interação entre a camada limite e a dinâmica dos vórtices como se explicou anteriormente. Encontrado o tempo na qual o vórtice tem que ser emitido, o processo de corte é realiado eliminando um vórtice num intervalo de tempo, desde uma distância s=0.4 a partir do ponto de separação medida ao longo da linha de vórtices, como mostra a Figura

132 Figura 5.11 Distância de corte da linha de vórtices. Os cálculos de rediscretiação posteriores são realiados separadamente para as linhas ainda conectadas e as emitidas para longe do cilindro, obtendo um conjunto de pacotes de vórtices a cada lado do cilindro, formando a esteira potencial Coalescência dos vórtices Por um lado, conforme estes pacotes de vórtices se afastam, a influência destes nas forças sobre o cilindro diminuem, ou seja, exercem menos pressão sobre cilindro. Por outro lado, do ponto de vista de tempo computacional é necessário limitar o processo de rediscretiação nos pacotes de vórtices. Para diminuir o tempo e esforço de cálculo, realia-se o processo de coalescência dos pacotes de vórtices. A colescência é simplesmente um aglutinamento destes pacotes num único vórtice quando atingem uma determinada distância do centro do cilindro e num certo tempo relacionado com a emissão de vórtices, como mostra a configuração da Figura 5.1. Figura 5.1 Configuração da esteira no MRV indicando a coalescência dos vórtices. 108

133 No instante que uma linha de vórtice é cortada (desconectada do cilindro), seja, por exemplo, na parte inferior do cilindro, a linha que foi anteriormente desconectada da parte superior é aglutinada num único vórtice discreto localiado no centro de gravidade do pacote e com intensidade igual à soma de seus vórtices. Considerando um pacote de vórtices composto por N vórtices, a posição do centro de gravidade é calculada por: N j1 N j1 j j j (5.64) Outra característica importante do processo de coalescência é a distância horiontal de coalescência na qual os pacotes de vórtices são aglutinados. Aqui, encontramos na literatura duas versões: 1) segundo Sarpkaya e Shoaff [63] esta distância de coalescência deve ser próxima a sete vees o raio do cilindro ( x 7c ), visualiando-se no escoamento duas () linhas conectadas, uma linha desconectada e vórtices pontuais devido à coalescência e ) de acordo com Orcaflex [8], no modelo VT1, podemos notar uma distância de coalescência na ordem de quatore vees o raio ( x 14c ). Visualiando no escoamento as duas linhas conectadas, três (3) linhas desconectadas e vórtices pontuais, uma comparação dos padrões do escoamento para estas distâncias de coalescência podem ser visualiadas na Figura Figura 5.13 Distância horiontal de coalescência dos vórtices a) Sarpkaya e Shoaff [63] (x=7c) e b) Orcaflex [8] (x=14c). 109

134 Na presente tese realiou-se uma comparação entre estas duas distâncias obtendo resultados mais próximos aos esperados com uma distância de coalescência igual a x=14c, os resultados desta comparação serão apresentados no Capítulo Redução da circulação Como discutido por Sarpkaya e Shoaff ([63],[64]), o MRV precisa de alguns mecanismos de redução da circulação, uma ve que resultados experimentais mostraram uma menor concentração de vorticidade na esteira se comparada com o método de vórtices discretos. Esta redução de circulação deve reproduir principalmente a perda de energia ao longo da esteira devido aos efeitos viscosos encontrados na naturea. A presente tese segue o mesmo raciocínio do modelo original, utiliando basicamente três mecanismos de redução de circulação: 1. Aniquilação dos vórtices muito próximos às paredes do cilindro (dr<0.04). Embora seja utiliado o teorema do círculo para impor o critério de impenetrabilidade, pode haver uma grande quantidade de vórtices muito próximos ao cilindro induindo uma grande pressão levando aos vórtices reais a atravessar o cilindro. Antes que isto aconteça impõe-se a eliminação dos vórtices reais e suas respectivas imagens.. Este segundo mecanismo está relacionado à emissão de vórtices. Como foi explicado no Capítulo 3, a cauda dos vórtices desconectados pode ser arrastada à região de formação dos vórtices (ver Figura 5.1), inibindo o crescimento posterior dos vórtices. Então, o MRV corta e elimina os vórtices que estão sendo arrastados nesta região e distribui uniformemente a circulação destes sobre os vórtices do pacote oposto conectado ao cilindro (ver Figura 5.14). 110

135 Figura 5.14 Redução de circulação eliminando os vórtices dentro da região de formação. 3. Sarpkaya e Shoaff, baseados em observações experimentais e várias análises numéricas, notaram que os vórtices emitidos perdem intensidade de forma proporcional à mesma intensidade e como resultado de suas observações propuseram a seguinte relação para reduir a circulação em cada vórtice n e t>5: n n 1 p 100 (5.65) Onde o parâmetro p depende da distância x, como mostra a Figura 5.15: Figura 5.15 Variação do parâmetro p com a distância x, para t>5. A constante p/100 da Equação (5.65) é chamada na presente tese e no Orcaflex de constante de decaimento de vórtice (DC=p/100). Como pode-se ver na Figura 5.15, Sarpkaya e Shoaff também definem dois limites importantes: 1) a distância x onde deixa 111

136 de ser constante a redução de circulação (x=1) e a distância x onde termina a redução (x=0). A evolução da esteira atrás do cilindro é um fenômeno bastante complexo. Tanto na presente tese como no Orcaflex, podem-se modificar estes dois limites chamando de limite de decaimento de vórtice 1 (VDT1) e limite de decaimento de vórtice (VDT ), respectivamente (do inglês vortex decay threshold). Para t<5, p varia linearmente desde ero até seu valor máximo (p=1) Fator de smear (fator de mancha) No inicio do desenvolvimento, Sarpkaya e Shoaff utiliaram pontos de vórtices, ou seja, a vorticidade era concentrada unicamente nestes pontos. Isto significa que cada vórtice é uma singularidade, e a velocidade induida é inversamente proporcional à distância ao centro dos vórtices. Se a distância ao centro do vórtice é muito pequena a velocidade induida, e como consequência a densidade de vórticidade, tende a atingir valores muito grandes. O problema surge devido que as forças sobre o cilindro são proporcionais à velocidade. Podendo-se atingir forças muito grandes quando os vórtices fiquem muito próximos entre se. Isto normalmente acontece quando o enrolamento das folhas de vórtices é muito forte. Com base nesta observação Orcaflex verifica que o MRV é mais estável se os vórtices são espalhados para evitar uma densidade de vorticidade infinita. Com estes argumentos, o programa Orcaflex utilia pontos de vórtice smeared (podendo ser traduidos ao português como manchados ), e o fa através de um fator que chama de Vortex Smear Factor. Este fator é adimensional e controla o grau em que os vórtices são espalhados, ou seja, um ponto se transforma em uma mancha. Valores muito pequenos deste fator fa com que cada vórtice se concentre mais num ponto individual. Por outro lado, grandes valores espalham a vorticidade ao longo de uma região em torno do vórtice. Orcaflex recomenda, com base na sua experiência, utiliar valores em torno de 0.1. Já para valores muito grandes maiores a 0., Orcaflex adverte que os resultados podem ser irreais. Orcaflex não relata o equacionamento matemático de como este fator é introduido no seu modelo teórico. Por tal motivo, não será adicionado no presente código numérico, embora possam apresentar-se algumas análises paramétricas com o Orcaflex envolvendo este fator com a finalidade de observar a influência nos resultados. A presente tese, portanto, não usa o fator de mancha e não sentiu a falta deles, o que pode ser investigado em trabalhos futuros. 11

137 Cálculo das forças atuando sobre o cilindro. Sarpkaya [57] foi o primeiro a derivar expressões gerais para os coeficientes de sustentação e arrasto de um cilindro circular imerso em um fluido não permanente incluindo um escoamento incidente, um dipolo, um número de vórtices discretos e as imagens respectivas. A seguir apresenta-se a derivação seguindo [57]. As forças atuando sobre um cilindro circular estacionário no meio fluido não permanente e na presença de um número de singularidades podem ser determinadas a partir da formulação potencial, aplicando o Teorema de Blasius estendido, como mostra Milne Thomson em [83]: i dw D il d d i t wd (5.66) Onde D e L representam as forças de arrasto e sustentação, respectivamente, w é o potencial complexo da Equação (5.13), dw d é a velocidade complexa da Equação (5.14). Reescrevendo a Equação (5.13) para o problema do cilindro dentro de um escoamento permanente com N vórtices discretos: c w U i N n1 n ln ln ln n c n (5.67) Separando a solução da Equação (5.66) em duas partes, temos: D il 1 1 i dw d d (5.68) D il i wd (5.69) t A integral da primeira equação pode ser calculada de duas formas: 1. Elevando ao quadrado a derivada da função do potencial complexo w() e determinando os resíduos dos termos obtidos para multiplicar o resultado por i. 113

138 . Outra maneira mais simples é substituindo o termo i n por M n que é a intensidade da enésima singularidade e em seguida aplicar o Teorema de Lagally [83]. Ambos os métodos levam a resultados iguais. No entanto o último consome menos tempo e espaço para ser deduido. Aplicando o Teorema de Lagally para N singularidades com intensidades nas posições n, ver [83], temos: M n N n1 D1 il1 M n U un ivn (5.70) Substituindo M por n i n na Equação (5.70) o resultado da primeira parte da força sobre o cilindro dada pela Equação (5.68) fica reduida a: N n1 D1 il1 i n U un ivn (5.71) Para calcular a segunda parte das forças D e L vamos substituir a Equação (5.67) na Equação (5.69) e extrair os resíduos conforme mostra a Tabela 5.1: Tabela 5.1 Cálculo da segunda parcela das forças de arrasto e sustentação da Equação (5.66). D i (resíduo) il c U d t t N n1 n ln d n c U t Não há resíduo t N n1 c n ln n d i m n1 c n n t i N n1 n c t n t N n1 n ln d Não há resíduo 114

139 O resultado da segunda parcela das forças pode ser escrito da seguinte forma: N N U c n c D il c i i n (5.7) t n1 t n t n 1 n Com o intuito de separar a parte real da imaginária, definimos as posições dos vórtices imagens como: ni c n x ni iy ni (5.73) Combinando as Equações (5.71), (5.7) e (5.73) e agrupando as partes reais e imaginárias, obtemos as componentes da força que atua sobre o cilindro: N N N yni n U D nvn n yni c (5.74) t t t n1 n1 n1 N N N xni n L n U un n xni (5.75) t t n1 n1 n1 Definindo as componentes das velocidades dos vórtices imagens como: x t ni u ni e y t ni v ni (5.76) onde u ni e v ni são as componentes de velocidade das imagens do enésimo vórtice, podemos reescrever as Equações (5.74) e (5.75) como: 115

140 U D (5.77) t N N n n vn vni yni c n1 n1 t L (5.78) m N n n U un uni xni n1 n1 t Observamos que na Equação (5.77) a metade do termo c U t é devido ao gradiente de pressão para acelerar o escoamento, e a outra metade resulta da massa adicionada do cilindro circular imerso num escoamento sem separação. Sarpkaya [57] assume que a circulação pode ser governada pela expressão: n Uc f n (5.79) Onde Ut c. Logo, introduindo a Equação (5.79) nas Equações (5.77) e (5.78) e dividindo por U c obtém-se as seguintes expressões para os coeficientes de arrasto e sustentação: C D U c n vn vni Uc U U N N ni ' D fn 1 n1 n1 c y t U U t (5.80) C L U c n un u 1 Uc U U N N ni ni ' L fn 1 n1 n1 c x t U U t (5.81) Ademais, as velocidades dos vórtices imagens podem ser relacionadas com as velocidades dos vórtices reais pela seguinte expressão: u ni c ivni un ivn (5.8) Considerando um escoamento permanente incidindo sobre o cilindro em função de variáveis adimensionais, as Equações (5.80) e (5.81) podem ser escritas numa forma n 116

141 117 mais compacta e fácil de avaliar computacionalmente. Como mostra a Equação (5.83) obtida de Sarpkaya [63]: N n ni ni n n n L D iv u iv u i ic C 1 (5.83) Deve-se ressaltar que na Equação (5.8) a circulação e velocidades estão adimensionaliados conforme as expressões de (5.19) e desconsiderando-se os superíndices (*) Cilindro circular com oscilação transversal Considerando o MRV para um cilindro estacionário, podemos derivar as equações para o caso do cilindro com movimento transversal [63]. A equação do movimento para um cilindro com movimento transversal é: L n n cc U y m y m my (5.84) Aqui, m é a massa por unidade de comprimento do cilindro. A solução da Equação (5.84) precisa da avaliação de L C ao longo do tempo. Isto é avaliado utiliando o potencial complexo modificado, o qual considera o movimento do cilindro. Considerando U = c = 1 obtemos: ln ln 1 i w n n N n n (5.85) Então, a velocidade induida será: N n n n n i d dw (5.86)

142 Onde 0 é a posição instantânea do centro do cilindro e 0 a velocidade; n e n são a intensidade e posição do enésimo vórtice, respectivamente. Analogamente ao caso do cilindro estacionário, pode-se utiliar a Equação (5.85) junto com o Teorema de Blasius generaliado para encontrar os coeficientes das forças de sustentação e arrasto considerando agora o cilindro com movimento transversal, chegando à seguinte expressão (5.87) [63]. C D ic L i N n1 n n n 0 n 0 i N n1 (5.87) Algoritmo do desenvolvimento numérico Na Figura 5.16 apresenta-se a sequência de cálculo utiliada na presente tese para cada intervalo de tempo. Comparando o presente fluxograma com o modelo original de Sarpkaya e Shoaff pode-se notar um cálculo prévio dos ângulos de separação e circulação dos vórtices nascentes pelo método de Thwaites antes de começar a evolução no tempo. Na realidade este é o cálculo das condições iniciais da posição e intensidades do primeiro par de vórtices. Também, pode-se notar a adição da subrotina que considera o movimento in line (X) e transversal (Y) do cilindro integrando a evolução dos deslocamentos utiliando o método de Runge Kutta de quarta ordem. Ou seja, o programa está desenvolvido para eventuais avaliações considerando o movimento do cilindro no plano X-Y. 118

143 Dados de entrada Método de Thwaites s (0), ue(0), nv(0), Znv(0), m t= t + dt Cilindro com deslocamento? Não Cálculo das velocidades q(t) Sim Runge Kutta 4ª ordem x(t), dxdt(t), y(t), dydt(t) Cálculo de arrasto e sustentação C D e C L Convecção de vórtices Z(t+dt)-Z(t)+q(t)dt Não Emissão de vórtice? (dg/dt é mínimo?) Sim Corte da folha de vórtices Rediscretiação das folhas de vórtices Redução da circulação 5 < t <9? Não Método de Thwaites s (t), ue(x,t), (t), Z(t), m Sim Introdução de assimetria Saída de resultados C D, C L, dgdt, Z(t), y(t) Figura 5.16 Fluxograma da sequência de cálculo do MRV da presente tese. 119

144 CAPÍTULO 6.- RESULTADOS NUMÉRICOS UTILIZANDO O MODELO DE RASTREAMENTO DE VÓRTICES (MRV) Com o intuito de obter um melhor entendimento do fenômeno de VIV bem como avaliar o alcance do MRV para reproduir a física de formação e emissão de vórtices e eventualmente sugerir novas alternativas, desenvolveu-se um novo código numérico. A linguagem de programação é Fortran e a visualiação dos resultados em programa Tecplot 10. Este código numérico desenvolvido segue o modelo matemático apresentado no Capítulo 5. No presente capítulo serão apresentados primeiramente os resultados obtidos com o programa Orcaflex para o cilindro estacionário num escoamento uniforme, onde, mostra-se um mapeamento do padrão de vórtices sobre as forças no cilindro e uma breve análise paramétrica das constantes mais relevantes utiliadas pelo programa. Em seguida apresentam-se os resultados obtidos com o novo código numérico do MRV desenvolvido na presente tese, realiando comparações com resultados obtidos com o Orcaflex e com os resultados numéricos e experimentais de Sarpkaya e Shoaff [63]. Ambos os resultados são obtidos primeiramente para um cilindro estacionário. Em seguida, para um cilindro com deslocamento transversal, apresentando resultados de amplitude de oscilação transversal em função da velocidade reduida Resultados obtidos com o programa Orcaflex Para o melhor entendimento do alcance do MRV (ou Vortex Tracking Model) foram realiadas várias análises paramétricas utiliando o programa Orcaflex. A seguir apresentam-se os resultados mais relevantes desta análise: Mapeamento das trajetórias dos vórtices para C D e C L Inicialmente para observar e analisar as trajetórias dos vórtices e a influência destas sobre as forças no cilindro realiou-se um mapeamento destas trajetórias durante o transiente das forças utiliando o programa Orcaflex. A seguir mostram-se os mapeamentos das trajetórias para os coeficientes de arrasto e sustentação. 10

145 Figura 6.1 Mapeamento da trajetória dos vórtices no coeficiente de arrasto (C D ) utiliando Orcaflex. Analisando o comportamento dos vórtices da Figura 6.1, podemos notar inicialmente que o aumento do coeficiente de arrasto acontece justo no momento que os vórtices começam a se espiralar. Conforme o enrolamento aumenta o coeficiente de arrasto aumenta quase linearmente até o momento em que a assimetria se fa evidente e o arrasto atinge seu patamar máximo (t*=10). Conforme a linha de vórtices mais fraca (ou na qual se induiu uma assimetria) começa a avançar mais rapidamente o coeficiente de arrasto diminui (t*=11). Para tempos maiores fica evidente que o arrasto atinge seu valor máximo um pouco antes da linha de vórtices ser desconectada do cilindro. Atinge seu valor mínimo no momento em que a quantidade de circulação entre lados opostos do cilindro, incluindo a cauda da linha de vórtices desconectada, atinge valores próximos (t*=9). Os picos menores que aparecem depois do arrasto atingir seu valor máximo evidenciam a eliminação do vórtice que dá origem ao corte das linhas. Esta análise servirá de referência para verificar a dinâmica dos vórtices quando avaliamos as forças sobre o cilindro. 11

146 Figura 6. Mapeamento da trajetória dos vórtices no coeficiente de sustentação (C L ) utiliando Orcaflex. Faendo uma análise similar para o mapeamento de sustentação, podemos notar na Figura 6. uma perda de sustentação no lado da linha de vórtices deslocada horiontalmente para dar início à assimetria (t*=8). Em seguida podemos observar uma descontinuidade na sustentação devida não somente à eliminação de um vórtice para realiar o corte da linha, mas também pela eliminação dos primeiros vórtices que atravessam a região de formação (t*=1). A força de sustentação atinge seu segundo valor mínimo antes da emissão de um pacote de vórtices (t*=0) e fica claro que a sustentação será ero quando a quantidade de circulação em lados opostos do cilindro se equilibra como ficou evidente nos tempos inicias (t*<3) antes da assimetria. Como já observado no Capítulo 5, os modelos Vortex Tracking do Orcaflex utiliam vários parâmetros para controlar tanto a perda de circulação dos vórtices em função da distância horiontal como a intensidade do enrolamento das linhas de vórtices. Para notar a influência destes parâmetros nas forças sobre o cilindro apresentam-se os resultados da análise paramétrica realiada Análise paramétrica do fator de smeared (SF) O fator de smear (fator de mancha) é uma constante que visa distribuir a circulação acumulada nos pontos de vórtices sobre uma região próxima deles. O 1

147 objetivo é melhor representar o efeito da perda de energia devido à viscosidade dentro da esteira. Os efeitos deste fator sobre as forças no cilindro são apresentadas a seguir. Figura 6.3 Coeficiente de arrasto em função do fator de smear (SF), Orcaflex (presente tese). Foi realiada uma variação para três valores representativos do fator de mancha (smear). As respostas são apresentadas na Figura 6.3. Aqui notamos que para um espalhamento menor de vórtices (SF=0.0) conseguimos menores forças de arrasto. Conforme aumentamos os fatores de manchas atingimos forças maiores. Podemos concluir que um maior espalhamento da densidade de vorticidade sugere maiores forças de arrasto e possivelmente maior enrolamento das linhas de vórtices próximas ao cilindro. O período da força de arrasto quase não é afetado por este fator. Devemos lembrar que Orcaflex recomenda utiliar valores máximos de SF igual a 0., já que, de acordo com sua experiência, para fatores maiores os resultados podem ser irreais. Pelo contrário se são utiliados fatores próximos a ero quer dier que a vorticidade é concentrada num ponto de vórtice conforme sugerido no modelo inicial de Sarpkaya e Shoaff [63]. Esta abordagem pode ocasionar instabilidades no cálculo das velocidades posto que, quando os vórtices estão muito próximos entre si, as velocidades induidas tendem a um valor infinito. 13

148 Figura 6.4 Coeficiente de sustentação em função do fator de smeared (SF), Orcaflex. Na Figura 6.4 vemos pouca dependência da força de sustentação sobre o fator de mancha, embora se notem maiores amplitudes na força de sustentação para fatores maiores, mesma tendência notada para o arrasto. Confirma-se que quanto mais se distribui a vorticidade sobre uma região do fluido obtemos maiores forças tanto de sustentação como arrasto. No entanto, novamente verificamos que este fator influencia minimamente o período da força de sustentação. Devemos lembrar que considerando um SF=0 colocamos toda a circulação sobre um ponto de vórtice esperando que se obtenham ainda menores forças sobre o cilindro. A seguir mostram-se as trajetórias dos vórtices para os fatores de mancha empregados. OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: -7.48s OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) m OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.0dc0.01.sim (modified 10:3 on 15/10/01 by OrcaFlex Replay Time: 9.5a) -7.48s (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: -7.48s m X Tabela 6.1 Comportamento das linhas de vórtices em função do fator Z de mancha (SF) Z usando Orcaflex. OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.0dc0.01.sim (modified 10:3 on 15/10/01 by Replay OrcaFlex Time: 9.5a) -5.1s (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: -5.1s Replay Time: -5.1s m SF= 0.0 SF= m 0.1 SF=0. X m Z Z Z X X m Z X X 14

149 OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by Replay OrcaFlex Time: 9.5a) -.69s (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.0dc0.01.sim (modified 10:3 on 15/10/01 by OrcaFlex Replay 9.5a) Time: (aimuth=90; -.69s elevation=0; gamma=180) Replay Time: -.69s m m X Z SF= 0.0 SF= 0.1 SF=0. m X Z m X Z Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; 9.5a: dt0.15sf0.dc0.01.sim elevation=0; gamma=180) (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.0dc0.01.sim (modified 10:3 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 0.96s Replay Time: 0.96s Replay Time: 0.96s m m X X Z Z X OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.0dc0.01.sim (modified 10:3 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; Replay elevation=0; Time: 4.4s gamma=180) Replay Time: 4.4s m X Z m OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 4.4s m X X Z Z Na Tabela 6.1 vemos as trajetórias dos vórtices para os três fatores de mancha em cinco tempos diferentes. A primeira vista notamos que efetivamente o aumento deste fator também aumenta o enrolamento das linhas de vórtices. Isto quer dier que aumenta a circulação total dos pacotes e linhas conectadas ao cilindro. Como consequência aumentam as amplitudes das forças. Outra observação interessante a se notar é que este fator quase não influencia o transiente das forças e sim a amplitude no regime oscilatório. Em geral pode-se observar que este fator tenta espalhar a circulação numa região ao invés de mantê-la num ponto, o que fisicamente pode ser explicado devido aos efeitos viscoso na esteira embora este fator não represente perda de energia no fluido, somente transferência de quantidade de movimento. Devemos indicar que não usaremos o fator de mancha no desenvolvimento do código numérico da presente tese Análise paramétrica da constante de decaimento de vórtice (DC) A outra constante utiliada nos modelos Vortex Tracking do Orcaflex e que foi adicionada no código do MRV desenvolvido neste trabalho é a constante de decaimento de vórtice (DC). A variação desta constante também foi aplicada para o caso de um cilindro circular estacionário. Como já explicado anteriormente esta constante determina a queda na circulação dos vórtices em função da distância destes ao centro do cilindro. Aqui se espera obter, para maiores perdas de circulação, ou seja, maiores constantes de decaimento, menores forças sobre o cilindro. 15

150 Figura 6.5 Coeficiente de arrasto em função da constante de decaimento de vórtice (DC). Inspecionando rapidamente a Figura 6.5 podemos conferir, no regime oscilatório, menores forças de arrasto para maiores constantes de decaimento. Isto fisicamente representa a perda de energia por viscosidade devido à esteira turbulenta atrás do cilindro. Uma observação com respeito ao transiente é que a maior perda de circulação dos vórtices leva à estabiliação mais rápida da força de arrasto. Ao contrário do fator de mancha, esta constante de decaimento afeta sim significativamente, o período das forças de arrasto. Quanto maior for a constante maior será o período da força. Comparando a Figura 6.3 com a Figura 6.5 observamos uma maior influência da constante de decaimento sobre as forças de arrasto. 16

151 Figura 6.6 Coeficiente de sustentação em função da constante de decaimento de vórtice (DC). Um simples exame da Figura 6.6 permite notar, também, uma forte influência da constante de decaimento sobre o período das forças de sustentação. Para valores de DC>0.05 as forças de sustentação têm pequenas amplitudes. Já para DC=0.01 observamos um comportamento e valores mais próximos aos resultados experimentais de [63] na força de sustentação. Isto nos leva a pensar que esta constante tem um limite para representar corretamente a física do problema. Continuando com a análise, mostrase a seguir a trajetória dos vórtices para três valores da constante de decaimento em quatro instantes diferentes. 17

152 OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.sim (modified 10: on 15/10/01 by OrcaFlex OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim elevation=0; gamma=180) (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: -8.87s Replay Time: -8.87s OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.sim (modified 10: on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180 1 m 1 mreplay Time: -8.87s X Z Tabela 6. Comportamento das linhas de vórtices em função da Z constantes de decaimento (DC) usando Orcaflex. OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.sim (modified 10: on 15/10/01 by OrcaFlex OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim elevation=0; gamma=180) (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; OrcaFlex 9.5a: elevation=0; dt0.15sf0.1dc0.05.sim gamma=180) (modified 10: on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamm Replay Time: -7.48s Replay Time: -7.48s Replay Time: -7.48s DC= m DC= m DC=0.05 X X X 1 m 1 m X Z X Z Z Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; OrcaFlex 9.5a: elevation=0; dt0.15sf0.1dc0.05.sim gamma=180) (modified 10: on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gam OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.sim (modified 10: on 15/10/01 by OrcaFlex Replay 9.5a) (aimuth=90; Time: -5.1s elevation=0; gamma=180) Replay Time: -5.1s Replay Time: -5.1s 1 m X 1 m X 1 m X Z Z Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.05.sim (modified 10: on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamm OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.sim (modified 10: on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0.1dc0.01.sim (modified 10:4 on 15/10/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: -.69s Replay Time: -5.1s Replay Time: -.69s 1 m 1 m X X Z Z 1 m X Z Na Tabela 6. podemos ver como a constante de decaimento de vórtice controla o enrolamento das linhas. Isto se deve que aos vórtices perdem força para se espiralar quando perdem circulação. Como consequência, esta constante controla fortemente as forças de sustentação e arrasto sobre o cilindro. No trabalho de Sarpkaya e Shoaff [63] esta constante é chamada de termo heurístico e controla a dissipação de vorticidade. Na Tabela 6. verificamos também que para DC=0.05 as linhas de vórtices vão perdendo quase toda sua forma em espiral diminuindo grandemente as forças no cilindro. Já para valores de DC=0.01, notamos um melhor comportamento das linhas com comportamentos mais próximos aos observados experimentalmente. Para o último instante de tempo em DC=0.00 podemos destacar a grande quantidade de circulação próxima ao cilindro. Isto explica a grande força de arrasto mostrada no transiente. Aqui podemos concluir que quanto menor for a constante de decaimento maior será o enrolamento de vórtices e, portanto maior a força de arrasto e sustentação sobre o cilindro. 18

153 6.. Resultados obtidos com o código numérico do MRV. Após a breve análise paramétrica mostrada anteriormente, continuamos a apresentação dos resultados, agora obtidos com o código numérico desenvolvido nesta tese, baseado na teoria do MRV apresentada no Capítulo 5. No começo do desenvolvimento do código numérico e com o intuito de verificar as formas das linhas de corrente avaliou-se a esteira potencial sem convecção dos vórtices, para isto avaliaram-se as linhas de corrente do cilindro circular em um escoamento uniforme mais vórtices externos estacionários. Para obter estes resultados a Equação (5.1) foi avaliada em todo o domínio de uma malha computacional. Primeiramente considerando um vórtice externo ao cilindro e logo considerando dois vórtices externos. Na malha apresenta-se a intensidade da função corrente em mapa de cores. As intensidades dos vórtices foram amplificadas propositalmente para ajudar a visualiação dentro do escoamento. Devemos lembrar que este MRV não utilia malha auxiliar para a obtenção dos resultados. Aqui foi utiliada unicamente para conferir o comportamento das linhas de corrente e interação dos vórtices com o cilindro, obtendo os resultados mostrados na Figura 6.7: Figura 6.7 Linhas de corrente utiliando a teoria potencial de um cilindro circular com vórtices externos. a) Cilindro mais um vórtice externo e b) Cilindro mais dois vórtices externos. Na Figura 6.7a podemos notar claramente, como o dipolo forma o contorno do cilindro, assim como o vórtice externo e o correspondente vórtice imagem em seu interior. Este vórtice imagem é o responsável pelo cumprimento da condição de 19

154 impenetrabilidade nas paredes do cilindro. A mesma tendência pode ser vista na Figura 6.7b onde aparecem os dois vórtices externos ao cilindro e os dois respectivos vórtices imagens com intensidades opostas. Novamente podemos notar que cumpre com a condição de impenetrabilidade. Assim, após verificar o caso mais simples do cilindro em um escoamento uniforme com vórtices externos fixos, podemos dispensar a utiliação da malha e traçar unicamente a posição dos vórtices discretos emitidos desde o cilindro. A obtenção dos resultados ocorre com a diminuição considerável do tempo computacional. Este aspecto é uma das principais vantagens do MRV comparados com outros modelos que utiliam malhas auxiliares. No decorrer do desenvolvimento do código numérico, verificou-se o comportamento da trajetória dos vórtices, primeiramente no início da programação numérica, modelando-se uma única linha de vórtices na parte superior do cilindro, utiliando o potencial complexo da Equação (5.15). Como resultados traça-se a trajetória dos vórtices em função do tempo para o cilindro estacionário e para o cilindro com um movimento transversal imposto periodicamente. Os resultados das trajetórias dos vórtices são apresentados na Figura 6.8. Figura 6.8 Trajetória de uma linha de vórtices, sem malha auxiliar, utiliando o MRV. a) Cilindro estacionário e b) Cilindro com movimento transversal Na Figura 6.8a podemos observar a trajetória dos vórtices emitida no lado superior do cilindro estacionário. Aqui, mostra-se claramente a tendência de enrolamento dos vórtices no extremo mais afastado ao cilindro. Na Figura 6.8b mostrase a trajetória dos vórtices considerando o cilindro oscilando na direção transversal. Aqui podemos conferir o duplo enrolamento dos vórtices ocasionado pela oscilação do 130

155 cilindro ao atingir a amplitude máxima de deslocamento. Destas duas trajetórias pode-se observar como o comportamento dos vórtices tende a reproduir a física da emissão de vórtices, sem ter obtido até o momento nenhuma instabilidade numérica, provavelmente pela falta da segunda camada cisalhante no lado oposto do cilindro. Devemos destacar que nesta primeira etapa ainda não se obteve a solução das equações da camada limite e foi considerada a posição do ponto de separação constante a 90º. Posteriormente obtendo-se as soluções das equações da camada limite calcula-se a posição angular do ponto de separação e intensidades dos vórtices nascentes. E com a interação entre escoamento interno e externo as forças de sustentação e arrasto serão obtidas sobre o cilindro. A partir de agora será considerada a linha inferior de vórtices aplica-se os mecanismos de redução de circulação, rediscretiação e indução da assimetria. Isto, com o intuito de reproduir os resultados experimentais encontrados na literatura Linhas de vórtices sem rediscretiação Uma das primeiras pesquisar realiadas com vórtices discretos sem rediscretiação foi realiada por Fink e Soh [61]. Nela, o autor deixa a evolução dos vórtices se comportarem como nuvens e elimina os efeitos de proximidade entre vórtices e dos vórtices com as paredes do cilindro. Segundo Sarpkaya e Shoaff, utiliando o modelo com nuvem de vórtices podem-se obter forças muito próximas aos obtidos com o modelo rediscretiado. No entanto, a desvantagem da nuvem de vórtices é que não formam folhas de vórtices espiraladas bem definidas, que são características observadas nos ensaios experimentais. As nuvens de vórtices resultam parcialmente da acumulação de erros logarítmicos e não representam um vórtice turbulento [63]. No presente trabalho foram realiados vários testes para ter uma ideia geral das características da esteira assimétrica e dos respectivos resultados iniciais encontrados sem usar rediscretiação. A seguir apresenta-se uma comparação dos resultados obtidos: 131

156 Figura 6.9 Resultados sem rediscretiação, a) Sarpkaya e Shoaff [63] e b)o MRV da presente tese, para o cilindro estacionário. A Figura 6.9 mostra a comparação da evolução dos vórtices sem rediscretiação, aqui se impôs assimetria nos vórtices superiores. Em geral podemos ver que o código do MRV desenvolvido introdu maior quantidade de vorticidade comparado com o modelo de Sarpkaya e Shoaff, embora se mantenha o mesmo padrão nas trajetórias e se observe o afinamento nas linhas de vórtices conectadas ao cilindro. Nesta parte se adicionou o mecanismo de eliminação de vórtices próximos às paredes do cilindro (dr ). Do contrário quando houvesse uma grande quantidade de vórtices aglomerados a jusante do cilindro haverá uma tendência de se perder a condição de impenetrabilidade devido à grande pressão que estes vórtices fornecerão sobre as paredes do cilindro. Ou seja, uma grande quantidade de vórtices atrás e próxima ao cilindro indu uma perda da condição de impenetrabilidade Vórtices sem rediscretiação e sem corte dos vórtices emitidos Antes de aplicar o processo de rediscretiação é interessante explorar e conhecer mais o alcance do MRV deixando a livre evolução dos vórtices (nuvem de vórtices). Para isto se deixaram os vórtices se movimentar livremente a jusante do cilindro 13

157 unicamente eliminando os vórtices muito próximos às paredes, a trajetória dos vórtices são mostradas em seguida. Figura 6.10 Trajetória dos vórtices sem rediscretiação (DC=0.01). Na Figura visualia-se o agrupamento natural dos vórtices sem rediscretiação. Aqui, observa-se uma forte iteração de vórtices com sinais opostos próximo às paredes do cilindro. Neste tipo de distribuição não são bem definidas as linhas de vórtices típicas dos ensaios experimentais, embora as finas camadas cisalhantes saindo dos pontos de separação sejam claramente notadas. Para uma maior observação, a evolução da trajetória dos vórtices sem rediscretiação está mostrada no Apêndice E. Um valor de referência que devemos considerar para atingir resultados próximos aos experimentais é o valor médio da taxa de circulação d dt. Segundo Sarpkaya e Shoaff [63] este valor deve ser próximo a 1.. Uma ve que a pressão base média ( C ) pb é relacionada com d dt, segundo Clements [53],por: C pb 1 d dt (6.1) Com o valor médio da taxa de circulação de d dt =1., Sarpkaya e Shoaff afirmam obter um coeficiente de pressão ( C experimentais obtidos por Roshko ([16] apud [63]) igual a pb =-1.35) muito próximo aos resultados C pb= Os experimentos de Roshko foram realiados para altos números de Reynolds na região subcrítica do escoamento (x10 4 < Re < 1x10 5 ). Deve-se, lembrar que esta taxa de circulação é uma variável importante na aplicação do MRV. 133

158 Com estas considerações, mostram-se a seguir a taxa de circulação introduida no escoamento nos pontos de separação, ângulos dos pontos de separação superior e inferior ao cilindro e os coeficientes de arrasto e sustentação. Figura 6.11 Taxa de circulação sem rediscretiação e sem corte de vórtices (DC=0.01). A Figura 6.11 mostra a taxa de circulação dos vórtices nascentes tanto na parte inferior como superior ao cilindro, notando-se uma queda na amplitude decorrente da forte interação desorganiada dos vórtices de sinais opostos na região de formação. Também notamos uma forte simetria entre as taxa de circulação inferior e superior como consequência da simetria do cilindro. Devido que esta taxa de emissão de circulação é característica determinante no MRV para reproduir a dinâmica dos vórtices e a física do problema, espera-se que as posições dos pontos de separação tenham tendências semelhantes. 134

159 Figura 6.1 Ângulo de separação sem rediscretiação e sem corte de vórtices (DC=0.01). Como se previu anteriormente a Figura 6.1 mostra a diminuição da amplitude do ângulo de separação por um lado e por outro a perfeita simetria entre os ângulos de separação superior e inferior. Esta perfeita simetria é um comportamento característico da taxa de circulação e dos ângulos de separação. Voltando à Figura 6.1 notamos que depois de impor a assimetria os ângulos superiores aumentam à medida que estes vórtices se deslocam assimetricamente. Já na parte inferior devido à acumulação da circulação o ângulo de separação diminui. Para um melhor entendimento, deve-se verificar a referência dos ângulos de separação, mostrada dentro das figuras. Por outro lado, lembramos também que nos presentes resultados decidiu-se impor a assimetria no vórtice superior. 135

160 Figura 6.13 Coeficientes de restauração e arrasto sem rediscretiação e sem corte de vórtices (DC=0.01). Já na Figura 6.13 vemos a evolução das forças sobre o cilindro, notando-se que o C D atinge um valor quase constante, mas ainda menor ao esperado. O motivo é que as camadas cisalhantes atrás do cilindro não têm uma interação bem definida causada pela desorganiação dos vórtices de sinais opostos próximos ao ponto de separação. Já o C L diminui de amplitude ao longo do tempo, embora chegue a um patamar com uma amplitude quase constante, mas menor dos encontrados em experimentos Vórtices sem rediscretiação e com corte de vórtices desconectados Agora analisaremos o caso anterior com a diferença que adicionaremos o processo de eliminação dos vórtices quando estes atravessem a região de formação. A seguir mostramos a nova configuração dos vórtices: 136

161 Figura 6.14 Trajetória dos vórtices sem rediscretiação com corte de vórtices(dc=0.01) Obervando a Figura 6.14 podemos notar claramente uma melhor definição dos pacotes de vórtices emitidos desde o cilindro, embora ainda não estejam bem definidas as camadas cisalhantes dentro da esteira. Aqui notamos também um melhor enrolamento de vórtices a jusante do cilindro sem existir a interação desorganiada de vórtices de sinais opostos vistas na Figura Este comportamento já é um bom indício na melhora dos resultados, indicando a necessidade de redução de circulação pela eliminação de alguns vórtices emitidos. Figura 6.15 Taxa de circulação sem rediscretiação com corte de vórtices (DC=0.01) Na Figura 6.16 mostra-se a taxa de circulação em ambos os lados do cilindro considerando o corte das linhas de vórtices desconectadas. Podemos notar uma 137

162 amplitude quase constante ao longo do tempo, não observada quando os vórtices não eram eliminados como se observou na Figura Isto se deve à melhor configuração nas camadas cisalhantes conectadas ao cilindro. Ou seja, ao serem eliminados os vórtices que atravessavam a região de formação há uma melhor definição e portanto uma melhor interação entre camadas cisalhantes de sinal oposto. Figura 6.16 Ângulo de separação sem rediscretiação com corte de vórtices (DC=0.01) Tendo em vista que a taxa de circulação está fortemente relacionada ao ângulo de separação pela interação entre escoamento interno e externo, podemos conferir na Figura 6.16 a mesma tendência na posição do ponto de separação mantendo uma amplitude máxima quase permanente e a posição entre os vórtices superiores e inferiores com uma defasagem de 90º. As forças exercidas por esta configuração de vórtices sobre o cilindro pode ser vista na seguinte figura: 138

163 Figura 6.17 Coeficientes de restauração e arrasto sem rediscretiação com corte de vórtices (DC=0.01) Nesta Figura 6.17 podemos ver tanto uma oscilação mais pronunciada no coeficiente de arrasto como uma amplitude constante por parte do coeficiente de sustentação, isto acontece pelos motivos explicados anteriormente. O mais importante que deve ser notado até aqui são as ordens de grandea destas forças, já muito próximas às esperadas, indicando que as taxas de circulação e ângulos de separação também poderiam estar próximas aos valores esperados. Também podemos verificar como as flutuações do coeficiente de arrasto tem uma frequência de duas vees a frequência de emissão de vórtices Aplicando o método de rediscretiação Até o momento se investigaram os resultados obtidos com o código numérico do MRV desenvolvido sem ainda aplicar a rediscretiação nos pacotes de vórtices, depois de seguir o processo de rediscretiação mostrado no Capítulo 5, apresentamos a seguir os seguintes resultados. Embora na seção anterior conseguiram-se amplitudes das forças próximas a resultados experimentais, devemos ressaltar a importância do processo de rediscretiação, primeiro porque diminui os erros provenientes do processo de 139

164 convecção dos vórtices e segundo por ajudar a arranjar os pacotes de vórtices de forma a reproduir melhor a dinâmica do problema [63]. Para evidenciar a importância da segunda observação comparamos a evolução dos vórtices de uma linha sem usar rediscretiação e outra usando desde o inicio a rediscretiação. Esta comparação pode ser vista na Figura Figura 6.18 Linhas de vórtices discretos a) sem rediscretiação e b) com rediscretiação Na Figura 6.18b pode notar-se o bom comportamento da linha rediscretiada, muito mais próximos aos observados em experimentos. Ao contrário, na Figura 6.18a as trajetórias dos vórtices iniciam um comportamento desorganiado, sobretudo na extremidade espiralada. Assim, se confirma a importância do processo de rediscretiação para obter um comportamento suave das trajetórias dos vórtices Evolução do escoamento sem introdução da assimetria Deixando em evidência a necessidade de aplicar o processo de rediscretiação, se segue com a apresentação dos resultados analisando o comportamento dos vórtices sem induir assimetria nos escoamento. O objetivo é ter uma sensibilidade dos resultados obtidos quando comparados ao modelo original. Nesta seção não se realiará corte das linhas, se observará a trajetória dos vórtices rediscretiados sem impor a assimetria. Devemos destacar que o código desenvolvido utilia o método de Thwaites para resolver as equações da camada limite na forma integral, ao invés, do método de Pohlhausen utiliado no modelo inicial de Sarpkaya e Shoaff, embora se espere ter resultados muito próximos utiliando ambos os métodos. 140

165 Os resultados são apresentados em forma de quadro comparativo entre os resultados obtidos por Sarpkaya e Shoaff com o código de MRV desenvolvido na presente tese como mostra a Tabela 6.3: Tabela 6.3 Comparação de resultados sem assimetria, Sarpkaya e Shoaff [63] e o MRVda presente tese. Sarpkaya e Shoaff [63] MRV (presente tese) 141

166 Sarpkaya e Shoaff [63] MRV (presente tese) Na Tabela 6.3 pode-se comparar a evolução dos vórtices sem impor assimetria. Embora Sarpkaya e Shoaff [63] reportem somente a trajetória dos vórtices notamos que estas trajetórias são muito semelhantes. Analisando mais detalhadamente para um tempo de 1, os resultados obtidos com o MRV da presente tese apresentam ligeiramente um enrolamento mais pronunciado e um comprimento menor da esteira, ficando as linhas mais próximas para tempos maiores. Isto, provavelmente, seja devido ao número de vórtices introduidos a cada intervalo de tempo. Nos resultados obtidos no presente MRV foram utiliados os parâmetros reportados por Sarpkaya e Shoaff [63], t 0.15, c=1, U=1 e constante de decaimento de vórtice igual a Figura 6.19 Taxa de circulação dos vórtices nascentes, sem impor assimetria. Na Figura 6.19 se visualiam as taxas de circulação d dt dos vórtices nascentes no ponto de separação superior e inferior, aqui podemos conferir uma simetria 14

167 na introdução de vorticidade dentro da esteira. Isto acontece até um tempo próximo a 30, onde, devido à proximidade entre os vórtices, desenvolve-se uma assimetria natural, de acordo com os estudos reportados por Sarpkaya e Shoaff [63]. Este tempo é muito grande para obter resultados próximos aos experimentais, pelo qual o MRV utilia uma assimetria forçada em intervalo de tempo curto. Figura 6.0 Ângulo de separação sem impor assimetria. Assim, como visto anteriormente na Figura 6.19, pode-se observar o mesmo comportamento nas posições dos pontos de separação, como mostra a Figura 6.0. Isto é simples de se entender devido que tanto a taxa de circulação como o ângulo de separação dependem da pressão que os vórtices impõem sobre o cilindro, e a sua ve esta pressão depende das velocidades induidas dos vórtices dentro do escoamento. Resumindo, a taxa de circulação e os ângulos de separação têm comportamentos similares no tempo. 143

168 Figura 6.1 Coeficientes de arrasto e sustentação sem impor assimetria. Como o intuito de verificar as forças sobre cilindro deixando os vórtices evoluir naturalmente até atingir a assimetria, se apresenta a Figura 6.1, onde podemos ver o comportamento dos coeficientes de arrasto e sustentação, verificando-se a assimetria até t*= 30. Neste tempo se tem uma grande quantidade de vórtices a jusante do cilindro. Como consequência os vórtices fornecem uma grande pressão e forçam uma assimetria natural que leva posteriormente a um comportamento caótico dos vórtices. Da Figura 6.1 podemos concluir que mantendo a simetria das folhas de vórtices e conforme o número de vórtices aumenta o coeficiente de arrasto aumenta rapidamente ao contrario do coeficiente de sustentação que se mantém quase nulo, até atingir a assimetria. Conforme já foi reportado por Sarpkaya e Shoaff [63], no MRV precisa-se impor uma assimetria durante um intervalo de tempo entre 5 < t* < 9 para obter resultados próximos aos experimentais de [63]. Do contrário, tanto a pressão a jusante como os erros numéricos aumentam consideravelmente, levando a resultados irreais que não reproduem a física do problema. Como exemplo da evolução natural dos vórtices sem impor assimetria (t*>40) pode ser visto a seguir a Figura

169 Figura 6. Desenvolvimento natural dos vórtices sem impor assimetria para t*>40. Na Figura 6. fica evidente a necessidade de impor uma assimetria no MRV para tempos menores, uma grande quantidade de vórtices muito próximos leva a uma configuração irreal na trajetória. Como consequência as forças sobre o cilindro aumentam consideravelmente obtendo valores irreais e levando posteriormente a problemas de convergência Evolução do escoamento sem corte das folhas de vórtices Como foi explicado no Capítulo 5, o MRV precisa ter um mecanismo de eliminação dos vórtices dentro da região de formação. Isto para evitar a entrada dos vórtices desconectados do cilindro para esta região de indução, o que poderia levar a uma forte interação de vórtices com sinais opostos induindo grandes velocidades dentro do fluido. Com o objetivo de verificar a importância do processo de corte na Tabela 6.4 mostra-se uma comparação da evolução dos vórtices imediatamente depois de parar com o processo de corte das caudas das linhas desconectadas em t *

170 Tabela 6.4 Comparação de resultados sem corte das folhas de vórtices desconectadas do cilindro,entre Sarpkaya e Shoaff [63] e o MRV da presente tese. Comparando a evolução dos vórtices da Tabela 6.4, podemos verificar como os resultados obtidos com o MRV (parte inferior de cada quadro) se aproximam dos resultados obtidos por Sarpkaya e Shoaff [63] (parte superior de cada quadro). Embora estes autores afirmem que o modelo numérico precisa do corte devido às limitações de tempo, no presente trabalho houve também a necessidade de corte por problemas de convergência. Na Tabela 6.4, t * 44, pode-se notar a evolução das folhas de vórtices duplamente conectadas e o arrasto da cauda da linha de vórtices para dentro da região dos vórtices conectados. Conforme foi notado por Sarpkaya e Shoaff com as linhas de vórtices sem corte começa a mudança da curvatura (rolamento no ponto A, para t* 4 ). Aqui a força de sustentação atinge seu valor máximo e as folhas de vórtices desconectadas são arrastadas dentro da região de formação próxima ao cilindro, isto pode ser verificado na Figura

171 Figura 6.3 Coeficientes de arrasto e sustentação sem corte de vórtices desconectados, MRV da presente tese. A Figura 6.3 mostra claramente o efeito sobre as forças no cilindro, quando deixamos de cortar os vórtices em t * 40, o arrasto inicial da cauda dos vórtices desconectados fa com que aumente a interação dos vórtices de um mesmo sinal com o cilindro, como consequência aumenta subitamente o coeficiente de arrasto e sustentação. Já para tempos maiores esta interação diminui de intensidade progressivamente devido à mistura de vórtices de sinais opostos. Posteriormente uma forte inflexão e dobramento na trajetória leva ao arrasto da linha de vórtices mais próximo à região de indução t * 46 ao mesmo tempo em que o coeficiente de sustentação atinge seu outro valor extremo. Para tempos maiores a t*=60 não se atinge mais a convergência devido à forte interação entre as folhas de vórtices de sinal oposto que indu, por sua ve, grandes velocidades no escoamento Distância horiontal x de coalescência dos vórtices Uma observação importante que pode ser notada na Tabela 6.5, é a distância de coalescência dos vórtices. Como foi observado no Capítulo 5 o modelo original de 147

172 Sarpkaya e Shoaff aglutina os pacotes de vórtices prematuramente quando estes atingem uma distância de x=7c (c: raio do cilindro) no instante em que os vórtices são desconectados no lado oposto da esteira. Paralelamente foi observado nas simulações realiadas no programa Orcaflex que a distância de coalescência era x=14c, mantendo a mesma sincroniação com o tempo de emissão dos vórtices. Para entender qual é o caminho melhor a seguir na presente pesquisa decidiu-se por testar ambas as distâncias e ver a influência nos resultados. A seguir mostram-se a taxa de circulação e as forças sobre o cilindro para ambas as distâncias de coalescência. Desta análise pode-se verificar a importância do corte das folhas de vórtices depois de serem desconectadas do cilindro para evitar uma forte interação na região de formação. Figura 6.4 Taxa de circulação para duas distâncias de coalescência. Da Figura 6.4 para uma distância de x=7c podemos estimar um valor médio da taxa de circulação de d dt =1.35, obtendo um coeficiente de pressão de C = -1.7, pb conforme Equação (6.1). Já para uma distância de coalescência de x=14c o valor médio da taxa de circulação é d dt =1.5 obtendo um coeficiente de pressão de C pb = Comparando estes dois resultados com o resultado experimental de Roshko ( C =- 1.36) pode-se afirmar ter uma taxa de circulação mais próxima à experimental quando a distância de coalescência seja x=14c. Aqui devemos lembrar que para esta distância de 148 pb

173 coalescência (x=14c) temos uma configuração na esteira com (duas) linhas de vórtices conectadas ao cilindro de sinais opostas, 3 (três) linhas de vórtices desconectadas e uma trilha de vórtices pontuais, produto da coalescência. Na Figura 6.5 se apresentaram as forças exercidas sobre o cilindro para ambas as distâncias de coalescência. Figura 6.5 Coeficiente de sustentação para duas distâncias de coalescência. Da Figura 6.5 podemos ver uma pronunciada defasagem entre ambas as distâncias de coalescência. Isto indica que uma corta ou muito longa distância de coalescência influi na formação posterior da trilha de vórtices. Comparando com resultados de outros autores [63] se espera que a amplitude do coeficiente de sustentação oscile em torno de 0.5 e -0.5 e na Figura 6.5 pode-se notar com uma amplitude de sustentação mais próxima a este valor é atingida quando se considera x=14c, pode-se indicar que a distância de coalescência mais próxima à física do problema será x=14c. Vejamos a seguir que acontece com as forças sobre o cilindro para ambas as distâncias de coalescência. 149

174 Figura 6.6 Coeficiente de arrasto para duas distâncias de coalescência. Nesta análise também temos que comparar o coeficiente de arrasto, como mostra a Figura 6.6, o arrasto diminui consideravelmente quando se considera uma distância de coalescência muito curta x=7c. Embora estes resultados não sejam próximos aos obtidos inicialmente por Sarpkaya e Shoaff, devem-se ressaltar as respostas mais próximas quando a distância de coalescência seja maior (x=17c), como foi observado com o programa Orcaflex. Também, deve-se destacar que nesta parte da análise se fieram testes sem utiliar o processo de coalescência, não conseguindo resultados satisfatórios devido que os pacotes de vórtices se acumularam em grande quantidade a jusante do cilindro. Sem coalescência os vórtices chegavam muito próximos uns aos outros induindo grandes velocidades no escoamento, como consequência obtendo resultados irreais Resultados finais do cilindro estacionário Chegando à última parte da apresentação dos resultados, se aplica todos os processos de assimetria e rediscretiação no MRV junto com uma distância de coalescência de x=14c, nesta seção se compara a configuração dos vórtices tanto do modelo de Sarpkaya e Shoaff, do código de MRV desenvolvido na presente tese e dos resultados obtidos com o programa Orcaflex. 150

175 Figura 6.7 Início da emissão de vórtices no cilindro estacionário: a) MRV (presente tese)e b) Orcaflex. A Figura 6.7 mostra o desprendimento do primeiro pacote de vórtices, comparando o modelo MRV da presente tese e as trajetórias obtidas com o programa Orcaflex. Notamos na Figura 6.7b uma quantidade maior de vórtices atravessando a região de formação nos resultados do Orcaflex, o que leva a um desprendimento dos vórtices superiores diferentes com o código MRV desenvolvido (Figura 6.7a). Também se nota uma maior concentração de vórtices na parte inferior o que pode levar a pensar que foi utiliada uma formula diferente para induir a assimetria ou um processo diferente de eliminação de vórtices na região de formação. Embora, o Orcaflex não apresentam os detalhes da assimetria utiliada dentro do programa, eles afirmam basear se no trabalho original de Sarpkaya e Shoaff. Embora o transiente não influencie fortemente os resultados no regime oscilatório é importante ter em consideração este detalhe para uma futura comparação das forças. Agora para um tempo maior (t*=44) apresenta-se uma comparação da evolução dos vórtices. 151

176 Figura 6.8 Trajetória dos vórtices no cilindro estacionário para t*=44, a) Sarpkaya e Shoaff [63], b) Orcaflex, c) MRV (presente tese). Na Figura 6.8 podemos comparar as trajetórias dos vórtices e notar tendências muito próximas na evolução. Observando mais detalhadamente, no MRV da presente tese o vórtice superior conectado ao cilindro tem maiores curvaturas. A mesma tendência pode-se notar no extremo do vórtice oposto conectado e no vórtice desconectado. Possivelmente isto seja devido a uma maior quantidade de vorticidade introduida no escoamento, o qual será analisado posteriormente com a taxa de circulação. Com o objetivo de avaliar mais detalhadamente a evolução dos vórtices, comparam-se os resultados obtidos pelo modelo de Sarpkaya e Shoaff, do programa Orcaflex e do código MRV desenvolvido para t*=40 até t*=50. O tempo para cada comparação coincide com o tempo mostrado na primeira coluna no centro do cilindro, como mostra a Tabela 6.5 seguinte. 15

177 OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 41.03s m X Z Tabela 6.5 Comparação das trajetórias dos vórtices para o cilindro estacionário. OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 41.53s Sarpkaya e Shoaff [63] Orcaflex m MRV (presente tese) Z X OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 4.16s m X Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 4.67s m X Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 43.30s m X Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 43.80s m X Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 44.43s m X Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 45.44s m X Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 46.07s m X Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 46.57s m X Z OrcaFlex 9.5a: dt0.15sf0dc0.01.sim (modified 10:47 on 17/9/01 by OrcaFlex 9.5a) (aimuth=90; elevation=0; gamma=180) Replay Time: 47.0s m X Z A primeira observação notada na Tabela 6.5 é a sincronia semelhante no processo de emissão dos vórtices entre os três resultados. Observando os detalhes nas 153

178 trajetórias dos vórtices o código MRV desenvolvido mostra ao longo do tempo uma introdução maior de circulação faendo que os vórtices desconectados fiquem mais espiralados, se comparados com os outros dois resultados. Embora não se possa diminuir diretamente a taxa de circulação introduida nos escoamento, pode-se aumentar a constante de decaimento para regular as trajetórias dos vórtices. No entando, nesta análise foram utiliados os mesmos parâmetros do modelo original e nas simulações no Orcaflex com o objetivo de ter uma comparação mais representativa dos resultados. Outra característica importante é o enrolamento bem definido das folhas de vórtices especialmente na região próximas às paredes do cilindro. Isto é um bom indício para atingir as amplitudes esperadas nas forças de arrasto e sustentação. Também, observa-se uma melhor organiação nos pacote de vórtices emitidos comparado com o modelo sem rediscretiação. O programa Orcaflex utilia um software gráfico desenvolvido para visualiar seus resultados. Podemos notar a amplitude e direção da força total (sustentação mais arrasto) aplicada ao cilindro para cada instante de tempo. Então olhando a segunda coluna da Tabela 6.5, podemos ver para t*=40 uma força total quase horiontal, o que significa que as forças são puramente de arrasto num instante depois que o vórtice superior é desconectado. Note que a direção da força aponta para fora do cilindro. Terminada a programação do código numérico do MRV, apresentam-se os resultados do cilindro estacionário, para ser comparados com o modelo de Sarpkaya e Shoaff e resultados obtidos paralelamente com o Orcaflex. 154

179 Figura 6.9 Comparação da taxa de circulação, MRV e Sarpkaya e Shoaff [63]. Comparando os resultados da Figura 6.9 entre os obtidos na presente tese e Sarpkaya e Shoaff, notamos que o programa desenvolvido atinge efetivamente maiores amplitudes na taxa de circulação, embora tenha uma grande concordância quando se compara os valores mínimos. Esta diferença na introdução de circulação fa com que a trajetórias dos vórtices sejam mais espiraladas quando comparada com os outros autores. Também devemos destacar que não se realiaram comparações da taxa de circulação obtida com o programa Orcaflex devido a que este programa fechado não permite acessar a estes resultados. 155

180 Figura 6.30 Comparação dos ângulos de separação, MRV (presente tese), Orcaflex e Sarpkaya e Shoaff [63]. Nesta parte dos resultados devemos lembrar que o modelo de Sarpkaya e Shoaff utilia o método de Pohlhausen e tanto o Orcaflex como o modelo de MRV desta tese utiliam o método de Thwaites para resolver as equações da camada limite na forma integral, obtendo-se assim a posição dos pontos de separação. Em [8] afirma-se que ambos os métodos devem fornecer resultados semelhantes. A vantagem de utiliar o método de Thwaites é a maior facilidade na programação numérica. Partindo desta afirmação, na Figura 6.30 mostra-se a comparação dos ângulos de separação, notando amplitudes maiores com o MRV desta tese e Orcaflex (ambas em torno de 8º). Por parte do MRV da tese se explica, isto devido à maior taxa de circulação calculada, o que leva a uma maior concentração de circulação no escoamento. Esta maior concentração leva a uma maior pressão nos ponto de separação faendo com que os ângulos de separação se desloquem mais a montante do cilindro (ou seja, menores) quando comparado com o modelo original. Outra diferença entre estas respostas é o valor médio do ângulo de separação, sendo que para o MRV desta tese resultou num valor em torno de 76º e do modelo de Sarpkaya e Shoaff em torno de 77º, ambos muito próximos. Já no programa Orcaflex o valor médio atingiu quase 79º. 156

181 Comparando estes valores pode-se deduir que o programa Orcaflex introdu menores taxas de circulação quando comparados com os outros resultados. Entre os resultados mais importantes que devem ser comparados e analisados estão as forças de arrasto e sustentação. A seguir fa-se uma comparação com resultados experimentais do cilindro estacionário, apresentados e referenciados em Sarpkaya e Shoaff [63] para três números de Reynolds diferentes (Re=3300; Re= 0700; Re=1600). Figura 6.31 Comparação numérica e experimental do coeficiente de arrasto para o cilindro estacionário. Da Figura 6.31 pode-se ressaltar dos resultados experimentais as amplitudes maiores do coeficiente de arrasto para os maiores números de Reynolds. Comparando a parte oscilatória dos modelos numéricos nota-se que os três resultados acompanham a amplitude dos resultados experimentais, embora o transiente obtido com o Orcaflex não acompanhe inicialmente os experimentais, nem os resultados numéricos. Como se mostrou anteriormente, isto possivelmente seja devido ao processo de eliminação dos primeiros vórtices dentro da região de formação. Os resultados obtidos com o MRV desta tese acompanham muito bem a ona do transiente e na parte oscilatória a média do coeficiente de arrasto acompanha os resultados experimentais. Para os três resultados numéricos as amplitudes de oscilação são maiores comparados com os experimentos. 157

182 Figura 6.3 Comparação numérica e experimental do coeficiente de sustentação para o cilindro estacionário. Na Figura 6.3 podemos comparar a forças sustentação, as defasagens dos três modelos numéricos estão muito próximas quando comparadas com os resultados experimentais para os três números de Reynolds. Já as amplitudes são diferentes. Os três modelos, especialmente o Orcaflex, fornecem amplitudes maiores de sustentação comparadas com os experimentos que apresentam cerca da metade. Entre os resultados numéricos destaca-se no MRV da presente tese uma amplitude de sustentação menor mais próxima aos resultados experimentais. Este fato pode ser de grande importância quando se tenta obter resultados com o cilindro oscilando transversalmente ao escoamento incidente. Comparando somente os resultados experimentais nota-se que os três números de Reynolds utiliados quase não afetam as forças de sustentação. 158

183 Figura 6.33 Densidade espectral das respostas tempoais de C D e C L para o cilindro estacionário. Para poder conferir as frequências de resposta das forças de sustentação e arrasto a Figura 6.33 mostra a densidade espectral das respostas temporais. Aqui claramente pode-se notar que a frequência do coeficiente de sustentação é a metade da frequência do coeficiente de arrasto, como já prevíamos na parte de revisão teórica no Capitulo 3. Destes resultados, pode-se estimar o número de Strouhal obtido a partir das frequências das respostas temporais do coeficiente de sustentação da Figura 6.3. Desta figura estima-se um período de oscilação no coeficiente de sustentação igual a 10 segundos, o que corresponde a um número de Strouhal de 0,, considerando U=1 e D = c =. Este resultado tem grande relevância na medida em que decorre naturalmente do método, ou seja, não é imposto externamente. Deve-se lembrar de que o MRV não utilia o número de Strouhal para definir o período de emissão de vórtices, ou seja, quando os vórtices deverão ser desconectados do cilindro. Este período de emissão de vórtices aparece naturalmente quando a taxa de circulação do cilindro atinge valores mínimos, isto como resultado da interação entre o escoamento interno e externo. 159

184 6.3. Resultados com o cilindro circular com movimento transversal. Aqui se apresentam as respostas das amplitudes de oscilação do cilindro com movimento transversal, utiliando o MRV da presente tese. Para resolver a equação diferencial do movimento do cilindro oscilatório foi utiliada uma baixa raão de amortecimento de e uma raão de massa de C seguindo [43] com o objetivo de realiar comparações posteriores com resultados de CFD e experimentais. As velocidades reduidas variam de até 1. Antes, devemos indicar que no presente MRV, considerando o cilindro oscilando, não foram alcançados resultados convergentes quando se tentou introduir o processo de rediscretiação, a origem desta não convergência é ainda desconhecida. Por tanto, a programação numérica do processo de rediscretiação, quando se considere o cilindro oscilando, deverá ser revisado em trabalhos futuros. Como consequência, os resultados mostrados a seguir foram obtidos sem rediscretiação das folhas de vórtices e considerando unicamente o corte na cauda das linhas desconectadas dentro da região de formação. Deve-se lembrar de que nos resultados anteriores, para o cilindro fixo sem rediscretiação, as amplitudes das forças sobre o cilindro recuperaram os resultados experimentais. Isto já havia sido alcançado por Sarpkaya e Shoaff [63]. Lembramos que esta última referência reforça o uso da rediscretiação que evita problemas de convergência e obtém uma melhor representação dos vórtices emitidos. Então, a ideia principal destes resultados é complementar os resultados prévios para o cilindro com movimento transversal onde se utiliou somente o programa Orcaflex (ver Capítulo 4), agora com o próprio código de MRV desenvolvido nesta tese. Obtemos como resultados amplitudes transversais do cilindro a partir de series temporais. Estas amplitudes transversais foram obtidas utiliando a Tabela 6.6 de coeficientes de decaimento de vórtice (DC) para cada velocidade reduida. A Tabela 6.6 foi obtida de uma análise paramétrica objetivando reproduir os resultados experimentais. Com estas considerações, na Figura 6.34 mostram-se as amplitudes de oscilação para várias velocidades reduidas. 160

185 Figura 6.34 Amplitude das oscilações do cilindro em função da velocidade reduida. Na Figura 6.34 comparam-se as amplitudes de oscilação do MRV, como dito, sem rediscretiação com resultados experimentais e resultados obtidos com um código que utilia CFD [44]. Na primeira impressão, as amplitudes obtidas utiliando o programa Orcaflex reproduem melhor os resultados experimentais. Pode-se observar também como o MRV, mesmo sem rediscretiação, consegue acompanhar as amplitudes de oscilação para a maioria das velocidades reduidas utiliando os coeficientes de decaimento de vórtices da Tabela 6.6. Deve-se lembrar de que estes coeficientes de decaimento foram obtidos de uma análise paramétrica realiada para cada velocidade reduida. Tabela 6.6 Constantes de decaimento em função das velocidades reduidas utiliados no MRV da presente tese. U R DC Ay/D

186 U R DC Ay/D Da Tabela 6.6, podemos concluir que conforme aumentamos a velocidade reduida e nos aproximamos da região de lock-in, as constantes de decaimento aumentam para poder diminuir a intensidade dos vórtices e conseguir assim menores forças de sustentação e consequentemente menores amplitudes de oscilação do cilindro. Comparando esta Tabela 6.6 com a Tabela 4.1 (resultados utiliando o Orcaflex) podemos ver inicialmente uma mesma tendência de aumento das constantes de decaimento. O Orcaflex precisa seguir aumentando estes coeficientes para reproduir as amplitudes de oscilação dos resultados experimentais. Por outro lado o código do MRV desenvolvido mantém estas constantes num valor médio (DC=0.035) para as velocidades reduidas maiores. Esta diferença é provavelmente devida à rediscretiação utiliada no Orcaflex. Já no MRV da tese os vórtices foram deixados a evoluir naturalmente, ou seja, sem rediscretiação. Outra observação importante da Figura 6.34 é que para velocidades reduidas maiores a 6 e menores a 11, a amplitude de oscilação do cilindro diminui quase linearmente conforme se aumenta a velocidade reduida, lembrando que o coeficiente de decaimento mantém-se quase constante. A explicação desta tendência poderia ser a não coalescência dos vórtices mais afastados considerados nestes resultados. Isto poderia ocasionar um aumento da pressão a jusante do cilindro conforme se aumenta a velocidade. Esta pressão predominaria na direção x onde se têm mais vórtices emitidos, como consequência havendo uma diminuição nas forças de sustentação. Para maiores conclusões sobre este comportamento devem-se realiar mais testes numéricos em trabalhos futuros. Já para velocidades reduidas superiores a 11 a amplitude de oscilação é muito próxima a ero devido aos maiores coeficientes de decaimento utiliados que diminuem o enrolamento dos vórtices, evitando a interação entre as camadas de sinal opostas. Analisando a Figura 6.34, note que na ramificação inicial temos um ponto distante dos resultados experimentais Ur=4. Neste ponto não se conseguiu atingir as amplitudes de oscilação experimentais somente com a constante de decaimento. Em 16

187 uma tentativa de explicar o que pode estar acontecendo, realiamos um estudo mais detalhado. Utiliando DC=0.05 as camadas cisalhantes são muito fracas e não desenvolvem uma interação entre elas, como se pode visualiar na Figura 6.35 Figura 6.35 Trajetória dos vórtices do cilindro oscilante para Ur=4 e DC=0.05. Quando diminuímos lentamente a constante de decaimento para obter maiores amplitudes (DC=0.049) acontece um salto repentino na amplitude de oscilação atingido valores maiores a Ay/D=1. Isto é devida que se inicia uma forte interação entres camadas de vórtices com sinal oposto e jusante do cilindro, como se pode ver na Figura Ou seja, trata-se de um comportamento instável como se espera na região da primeira ramificação da curva de amplitude e velocidade reduida. Figura 6.36 Trajetória dos vórtices do cilindro oscilante para Ur=4 e DC= As trajetórias dos vórtices sem rediscretiação para outras velocidades reduidas podem ser encontradas no Apêndice E. Destes resultados podemos concluir que o MRV sem rediscretiação não reprodu os padrões de vórtices notados nos experimentos de Khalak e Williamson [80] 163

188 para diferentes velocidades reduidas. Por outro lado variando a constante de decaimento de vórtices podem-se controlar a intensidade com que as folhas de vórtices de sinais opostos interagem. Controlando as forças sobre o cilindro e consequentemente as amplitudes de oscilação. Para aprimorar futuramente estes resultados deve-se terminar o desenvolvimento do processo de rediscretiação considerando o cilindro oscilando. 164

189 CAPÍTULO 7.- CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Com base nos resultados obtidos na tese apresentamos as seguintes conclusões: A) Com respeito aos ensaios do MARIN, o MRV com VT1 reprodu melhor as respostas experimentais da força de tração no riser onde houve a evidência de VIV. A partir da variação paramétrica desta constante de decaimento do MRV pudemos mostrar que o MRV pode representar melhor as amplitudes de oscilação do cilindro com movimento transversal comparado com outros modelos de oscilador de esteira encontrados no Orcaflex (IBWO e Milan). Concluindo na necessidade do uso correto das constantes de decaimento de vórtices (DCs) no presente modelo. B) Neste contexto, ao utiliar os modelos de VIV do Orcaflex no sistema BSR fa-se necessário optar por uma modelagem simplificada onde se restrinja a utiliação do MRV somente aos segmentos mais críticos onde provavelmente aconteça VIV, diminuindo o tempo de simulação e evitando grandes esforços computacionais no cálculo global. C) Na análise preliminar do cilindro com deslocamento transversal, utiliando o próprio MRV com rediscretiação não se obteve convergência nos resultados. Já o mesmo MRV sem rediscretiação conduiu a amplitudes muito próximas aos resultados experimentais. D) Dos resultados obtidos para o cilindro com oscilação transversal utiliando o Orcaflex e o código desenvolvido nesta tese, obtém-se as seguintes conclusões. Utiliando a Tabela 4.1 atingem-se resultados mais próximos aos experimentais com o modelo de rastreamento de vórtices do programa Orcaflex quando comparados com os outros modelos de VIV deste programa. Além disso, utiliando a Tabela 6.6 com o código do MRV da presente tese, os resultados numéricos acompanham os experimentais sem utiliar a rediscretiação. Com ajuda dos coeficientes de decaimento de vórtice, mostrados nestas tabelas, podem-se atingir amplitudes de oscilação próximas às experimentais, embora ainda não se consiga reproduir os padrões de vórtices encontrados em experimentos. E) Consegue-se resgatar os detalhes do modelo de VIV com VT1 apresentado no programa Orcaflex. Também, entende-se a sensibilidade dos parâmetros que o modelo utilia e a importância destes na representação da física do problema. 165

190 F) O Modelo de Rastreamento de Vórtices (MRV) tanto na presente tese como no Orcaflex é promissor para resultados de avaliação rápida na fase de projeto e constitui-se em uma alternativa aos modelos que utiliam CFD. Ademais, mostrouse que existem parâmetros que podem ser controlados. Eles que levam a resultados realistas, desde que se calibre o modelo com coeficientes apropriados. G) No código numérico da presente tese, o processo de rediscretiação deve ser melhorado para o cilindro com movimento transversal. E para reproduir a configuração de desprendimento dos vórtices, encontrados em ensaios experimentais, pode-se aplicar um processo de perda de circulação na direção transversal, sobretudo na ona de lock-in onde se atingem maiores amplitude de oscilação. H) Diferentemente ao modelo original de Sarpkaya e Shoaff [63] e conforme mostram os resultados do programa Orcaflex, a distância de coalescência no MRV dever ser ao menos 14 vees o raio do cilindro. Do contrário podem acontecer alterações na continuidade das forças de arrasto, sustentação e intensidade dos vórtices nascentes. I) Com base nestas afirmações recomenda-se fortemente prosseguir com o desenvolvimento do código numérico da presente tese que pode-se tornar uma ferramenta cada ve mais confiável e poderosa. 166

191 A seguir as recomendações para trabalhos futuros a) Desenvolver o processo de rediscretiação para o cilindro oscilante, na direção Y. b) Faer o mesmo para o VIV X-Y reproduindo os padrões de vórtices observados experimentalmente em cada velocidade reduida (S, P, P+S, por exemplo). Aqui possivelmente seja necessário introduir uma constante de decaimento de vórtice e um processo adicional de eliminação de vórtices (corte das linhas) na direção transversal para reproduir os efeitos de difusão viscosa nessa direção. c) Investigar e corrigir no código de MRV desenvolvido as pequenas diferenças na introdução da taxa de circulação e explicar porque as amplitudes das forças de sustentação experimentais são maiores do que numéricas para todos os MRV comparados (ver Figura 6.3). d) O equacionamento do fator de mancha (fator smear) deve ser investigado mais profundamente. e) Validar o código MRV desenvolvido com ensaios experimentais próprios e seguir as comparações com o programa Orcaflex para outras aplicações de VIV. f) Sugerir esquema para aplicação do MRV num código de análise global conjuntamente com outros modelos estruturais. 167

192 REFERÊNCIAS [1] ALMEIDA, J.C.L; Truncamento de Linhas em Ensaios com Modelos Reduidos de Sistemas Flutuantes em Águas Ultraprofundas através de Dispositivo com Base Magnética. Tese de doutorado, Universidade Federal de Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, 008. [] MARIN, Final Report, Hybrid Buoy Model Tests. Report Nº OB- MARIN, Netherlands, 001. [3] FERNANDES, A.C., JACOB, B.P., Sistema com Boia de Subsuperfície para Suporte de Risers no Campo de Albacora Leste. Relatório Final Volume 1, Instituto Alberto Lui Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia - Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-UFRJ), Rio de Janeiro, 00. [4] FRANCISS, R., Subsurface Buoy Configuration for Rigid Risers in Ultra Deepwater. 4th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering, OMAE , Halkidiki, Greece, 1-17 June, 005. [5] RODRIGUES, G. J. O., CARDOSO, D. C. T., LIMA, B. S. L. P., JACOB, B.P., FERNANDES. A.C., An Analytical / Numerical Procedure for Structural Analysis of Hybrid Riser Systems. In: XXIV International Symposium on Offshore Mechanics and Arctic Engineering, OMAE 005, Halkidiki, Greece, 1-17 June 005. [6] FERNANDES, A.C., JACOB, B.P., VARDANO, E., FRANCISS, R., ALMEIDA J.C., Development of a Hybrid System Based on a Sub-surface Buoy, 3rd Workshop on Subsea Pipelines, Rio de Janeiro, Brail, 3-4 December 00. [7] Disponível em: Acesso em: 4 set. 01, 15:30:00 horas. [8] ORCAFLEX, Orcaflex 9.5a, Visual Orcaflex User Manual, Orcina Software Ltd., ( North Lonsdale Road, Ulverston Cumbria LA 1 9 DL, UK, 011. [9] LUGT, H.J., Vortex flow in Nature and Technology, John Wiley & Sons, New York, [10] MENEGHINI, J. R.; Projeto de Pesquisa no tópico de geração e desprendimento de vórtices no escoamento ao redor de cilindros, resenha 168

193 apresentada à Escola Politécnica da USP como parte dos requisitos para a obtenção do título de Professor-Docente em Engenharia, São Paulo, 00. [11] WHITE, F.K.; Fluid Mechanics; 4 ed., New York, McGraw Hill, [1] RAYLEIGH, J. W. S.; The theory of sound, vol. I and II, [13] GOLDSTEIN, S.; Modern Developments in Fluid Dynamics. Oxford: The Claredon Press.; [14] KÁRMÁN, T.V., Über den mechanismus des widerstandes den ein bewegter körper in einer flüssigkeit erfährt, Gottinger Nachrichten Math-Phys. Klasse pp , [15] KUNDU, P.K., Fluid Mechanics, 1a Ed. San Diego, California, Academic Press, Inc, [16] ROSHKO, A., On the drag and shedding frequency of two dimensional bluff bodies, Technical Notes 3169, National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), Washington, July [17] ROSHKO, A., On the development of turbulent wakes from vortex streets, NACA Report 1191, [18] GERRARD, J.H., The mechanics of the formation region of vortices behind bluff bodies. Journal of Fluid Mechanics, 5: pp , [19] BISHOP, R. E. D. AND HASSAN A. Y.; The lift and drag forces on a circular cylinder oscillating in a flowing fluid, Proceedings Royal Society, 77, pp , Series A; [0] KOOPMAN, G.H.; The Vortex wakes of vibrating cylinders at low Reynolds numbers. Journal of Fluid Mechanics, 8, Part 3, pp , [1] HONJI, H. & TANEDA, S. Vortex wakes of oscillating circular cylinders. Report of Research Institute for Applied Mechanics, Kyushu, 16, pp. 11-, [] GRIFFIN, O. M.; The unsteady wake of an oscillating cylinder at low Reynolds number. Journal of Applied Mechanics, 38, pp , [3] GRIFFIN, O. M. & RAMBERG, S. E.; The vortex street wakes of vibrating cylinders. Journal of Fluid Mechanics, 66, pp , [4] SARPKAYA, T.; Fluid forces on oscillating cylinders. ASCE Journal of the Waterway. Port. Coastal and Ocean Division 104, 75-90,

194 [5] BEARMAN, P. W. & CURRIE. I. G.; Pressure fluctuation measurements on an oscillating circular cylinder. Journal of Fluid Mechanics 91, pp , [6] FENG, C.C. The measurement of vortex-induced effects in flow past stationary and oscillating and D section cylinder. M. Sc. Thesis, University of British Columbia, Vancouver, B. C., Canada, [7] ZDRAVKOVICH, M. M., Modification of vortex shedding in the synchroniation range. ASME Journal of Fluid Engineering 104, pp , 198. [8] DEN HARTOG, J.P.; The vibration problems in engineering, Proc. Int. Congr. Appl. Mech., 4th, Cambridge, pp , [9] MEIR-WINDHORST, A., Flatter-schwinggungen von Zylindern in gleichmassigen Flussigkeitsstrom, Munchen Tech. Hochsch., Hydraul. Inst. Mitt, 9, pp. 1-, [30] ANGRILLI, F., DI SILVIO, G. AND ZANARDO, A.; Hidroelasticity study of a circular cylinder in a water stream, In Flow Induced Structural Vibrations, ed. E. Naudascher, pp , Berlin: Springer, [31] ONGOREN, A., AND ROCKWELL, D.; Flow structure from an oscillating cylinder. Part 1: mechanisms of phase shift and recovery in the near wake. Journal of Fluid Mechanics, 191, pp , [3] WILLIAMSON, C. H. K., AND ROSHKO, A.; Vortex formation in the wake of an oscillating cylinder, Journal of Fluids and Structures,, pp , [33] WILLIAMSON, C.H.K., GOVARDHAN, R., Vortex-Induced Vibrations, Annu. Rev. Fluid Mechanics, 36: pp , 004. [34] GU W., CHYU C. & ROCKWELL D.; Timing of vortex formation from an oscillating cylinder. Physics of. Fluids, 6: pp , [35] MENEGHINI, J.R.; & BEARMAN. P. W.; Numerical simulation of high amplitude oscillatory flow about a circular cylinder using discrete vortex method. Paper AIAA presented at AIAA Shear Flow Conference, Orlando, Florida, July 6-9, [36] MENEGHINI, J.R.; & BEARMAN. P. W.; Numerical simulation of high amplitude oscillatory flow about a circular cylinder. Journal of Fluids and Structures. 9: ,

195 [37] LU, X. Y. & DALTON C.; Calculation on the timing of vortex formation from an oscillating cylinder. Journal of Fluids and Structures; 10: pp , [38] BLACKBUM, H. M. & HENDERSON, R.D.; A study of two-dimensional flow past an oscillating cylinder, Journal of Fluids Mechanics, 385: 55-86, [39] ANAGNOSTOPOULOS, P.; Numerical study of the flow past a cylinder excited transversely to the incident stream. Part 1: lock-in one, hydrodynamic forces and wake geometry. Journal of Fluids and Structures. 14: pp , 000. [40] ANAGNOSTOPOULOS, P.; Numerical study of the flow past a cylinder excited transversely to the incident stream. Part : Timing of vortex shedding, a periodic phenomena and wake parameters. Journal of Fluids and Structures. 14: pp , 000. [41] GUILMINEAU, E. & QUEUTEY, P.; A numerical simulation of vortex shedding from an oscillating circular cylinder. Journal of Fluids and Structures, 16: pp , 00. [4] KRISHNAMOORTHY, S.; PRICE, S.J.; PAIDOUSSIS, M.P.; Cross-flow past an oscillating circular cylinder: Synchroniation phenomena in the near wake. Journal of Fluids and Structures, 15: ; 001. [43] WANDERLEY, J.B.V., SPHAIER, S.H.; & LEVI, C., A Two-Dimensional Numerical Investigation of the Hysteresis Effect on Vortex Induced Vibration on an Elastically Mounted Rigid Cylinder, Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering, Vol. 134 (), 010. [44] WANDERLEY, J.B.V., SOUZA, G.H.B, SPHAIER, S.H., LEVI, C., Vortex- Induced Vibrations of an elastically mounted circular cylinder using an upwind TDV two dimensional numerical scheme, Ocean Engineering, Vol. 35, pp , 008. [45] Disponível em: Acesso na Segunda Feira 05 de novembro de 01 às 18h4 horas. [46] Disponível em: Acesso: 06/11/01 às 15:38 horas. [47] MENEGHINI, J. R.; Numerical simulation of bluff body flow control using a discrete vortex method, PhD Thesis in the Faculty of Engineering, University of London and for the Diploma of College London,

196 [48] HELMHOLTZ, H.; Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. Crelle-Borchardt, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Berlin, Vol. LV, pp. 5-55, [49] ROSEANHEAD, L., Formation of Vortices from a Surface of Discontinuity. Proceeding of Royal Society of London. Series A, Vol. 134, pp , [50] BIRKHOFF, G. D. and FISHER, J., Do Vortex Sheets Roll Up?, Rendiconti del Circolo Matematico Palermo, Ser., Vol. 8, Nº 1, pp , [51] HAMA, F.R. and BURKE, E.R., On the Rolling Up of a Vortex Sheet, Univ. Maryland, Institute for Fluid Dynamics and Applied Mathematics, TN nº BN-0, [5] ABERNATHY, F. H. AND KRONAUER, R. E.; The Formation of Vortex Streets, Journal of Fluid Mechanics, v. 13, pp. 1-0, 196. [53] CLEMENTS, R.R.; An inviscid model of two-dimensional vortex shedding. Journal of Fluid Mechanics 57, part, pp , [54] BEARMAN, P.W., Investigation of the flow behind a two-dimensional model with a blunt trailing edge fitted with splitter plates. Journal of Fluid Mechanics 1, part, pp , [55] SARPKAYA, T., An inviscid model of two-dimensional vortex shedding for transient and asymptotically separated flow over an inclined flat plane, Journal of Fluid Mechanics 68, pp , [56] FAGE, A. AND JOHANSEN, F.C.; On the flow of air behind an inclined plate of infinite span. Proceedings of the Royal Society London A, Vol. 116, pp , 197. [57] SARPKAYA, T., Lift, Drag, and Added-Mass Coefficients for a Circular Cylinder Immersed in a Time-Dependent Flow, Journal of Applied Mechanics, Vol. 30, Nº 1, Trans. ASME, Vol. 85, Series E, Mar. 1963, pp , [58] SARPKAYA, T., An Analytical Study of Separated Flow about Circular Cylinders, ASME Journal of Basic Engineering, Vol. 90, pp , [59] CHORIN, A. J. AND BERNARD, P. S.; Discretiation of a Vortex Sheet with an example of Roll-Up, Department of Mathematic, University of California, Berkeley, Rep. FM-7-5, 197. [60] MOORE, D. W., A Numerical Study of the Roll-Up of a Finite Vortex Sheet, Journal of Fluid Mechanics, v. 63, p. 5-35,

197 [61] FINK, P. T. AND SOH, W. K., Calculation of Vortex Sheets in Unsteady Flow and Application in Ship Hydrodynamics, Symposium on Naval Hydrodynamics, 10th, Proceedings, Pap and Discuss, Cambridge, Massachusetts, June 4-8, [6] DEFFENBAUGH, F.D. AND MARSHALL, F.J.; Time Development of the Flow about an Impulsively Started Cylinder, AIAA Journal, Vol. 14, Nº 7, pp , July [63] SARPKAYA T., SHOAFF R.L., A Discrete-Vortex Analysis of Flow about Stationary and Transversely Oscillating Circular Cylinders, Report Nº NPS- 69SL79011, Naval Postgraduate School, Monterey, California, January [64] SARPKAYA T., SHOAFF R.L., Inviscid Model of Two-Dimensional Vortex Shedding by a Circular Cylinder, AIAA Journal, Vol. 17, Nº 11, pp , [65] FALCO, M., FOSSATI, F., RESTA. F., On the Vortex Induced Vibration of Submarine Cables: Design Optimiation of Wrapped Cables for Controlling Vibrations, 3rd International Symposium on Cable Dynamics, Trondheim, Norway, [66] IWAN, W. D., BLEVINS, R. D., A Model for Vortex Induced Oscillation of Structures, Journal of Applied Mechanics, , September [67] THWAITES, B., Approximate calculation of the laminar boundary layer. Aeronaut. Quart., 1, pp , [68] CHAPLIN, J.R., BEARMAN, P.W., CHENG, Y., FONTAINE, E., GRAHAM, J.M.R., HERJORD, K., et al., Blind predictions of laboratory measurement of vortex-induced vibrations of a tension riser, Journal of Fluids and Structures, Volume 1, Issue 1, November 005, Pages 5-40, 005. [69] CARNEIRO, D.L, Análise de Vibrações Induidas por Vórtices em Estruturas Offshore utiliando Modelos Numéricos Tridimensionais no Domínio do Tempo. Dissertação de M.Sc, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil, 007. [70] CHANG, S.H.M., ISHERWOOD, M., Vortex-Induced Vibrations of Steel Catenary Risers and Steel Offloading Lines due to Platform Heave Motions. In.: OFFSHORE TECHNOLOGY CONFERENCE, Proceedings of OTC 003, Houston, Texas, U.S.A.,

198 [71] KRISTIANSEN, T., AND FALTINSEN O.M.; Application of the vortex tracking method to the piston-like behavior in a semi-entrained vertical gap ; Applied Ocean Research, 30, pp. 1-16, 008. [7] SUMER, B.M. AND FREDSØE, J., Hydrodynamics around Cylindrical Structures, Advanced Series on Ocean Engineering Volume 1. Publicado por: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, Singapura, [73] BLEVINS, R.D, Flow Induced Vibrations. nd ed. Nova York: Van Nostrand Reinhold, [74] SCHLICHTING, H., GERSTEN, K., Boundary Layer Theory, 8 ed, Berlin, Springer-Verlag, 000. [75] SCHUH, H., Calculation of Unsteady Boundary Layers in Two Dimensional Laminar Flow, Zeitschrift Flugwissenschaften, 5 Heft, pp , [76] HAYASI, N., On the Approximate Solution of the Unsteady Quasi-Two- Dimensional Incompressible Laminar Boundary Layer Equations, Journal of the Physical Society of Japan, Vol. 17, Nº.1, pp. 03-1, 196. [77] MATSUSHITA, M., MURATA, S., AKAMATSU, T., Studies on boundarylayer separation in unsteady flows using an integral method. Journal Fluid Mechanics, 149: pp , [78] VELDMAN, A.E.P., Boundary Layers in Fluids Dynamics, Lecture Notes in Applied Mathematics, Academic Year , University of Groningen, The Netherlands, 010. [79] YOUNG, A.D., Boundary Layer, AIAA Education Series, Great Britain. Publicado por BSP Professional Books, [80] KHALAK, A., WILLIAMSON, C.H.K., Dynamics of a hydroelastic cylinder with very low mass and damping. Journal of Fluids and Structures, 10, pp , [81] YANG, H.T., BAR-LEV, M.; Potential Flow Model for an Impulsively Started Circular Cylinder, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 43, pp , [8] KRASNY, R., Vortex Sheet Computations: Roll-Up, Wakes, Separation, Lect. Appl. Math. v8. pp , [83] MILNE-THOMSON, L.M., Theoretical Hydrodynamics, 1ª Ed. London, Macmillan and Co,

199 [84] SARPKAYA, T., Computational Methods with Vortices - The 1988 Freeman Scholar Lecture, Journal of Fluids Engineering, Vol. 111/5, March [85] ROSENHEAD, L., The formation of vortices from a surface of discontinuity. Proceedings Royal Society A, 134, 170, [86] GOVARDHAM, R., WILLIAMSON, C., Modes of Vortex Formation and Frequency Response of a Freely Vibrating Cylinder, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 40, pp , 000. [87] BATCHELOR, G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, 1 st ed. London, Cambridge University Press, [88] CHAKRABARTI, S., Hydrodynamics of Offshore Structures, Great Britain, Computational Mechanics Publications, Springer- Verlag, [89] COTTET, G-H., KOUMOUTSAKOS, P.D., Vortex Methods: Theory and Practice, Cambridge University Press, United Kingdom, 000. [90] FALTINSEN, O.M., Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge Ocean Technology Series, Cambridge University Press, United Kingdom, [91] FERNANDES, A.C., CARVALHO, R.A., Submerged Buoy for Production Risers Support, partial Report, PenO/COPPE/UFRJ, September (em Portuguese), [9] LEWIS, R.I., Vortex Element Method for Fluid Dynamic Analysis of Engineering Systems, 1a Ed. New York, Cambridge Engine Technology Series, Cambridge University Press, [93] KATZ, J., PLOTKIN, A., Low-Speed Aerodynamics from Wing Theory to Panel Methods, 1a Ed. Singapore, McGraw-Hill Inc, [94] MUNSON, B.R., YOUNG, D.F., OKIISHI, T.H., Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, 4ª Ed. São Paulo, Editora Edgard Blucher, 00. [95] NEWMAN. J.N., Marine Hydrodynamics, nd Edition, United States of America, MIT, [96] THWAITES, B., Incompressible Aerodynamics: An Account of the Theory and Observation of the Steady Flow of Incompressible Fluid past Aerofoils, Wings and others Bodies. Oxford University Press, [97] YUANG, S.W., Foundations of Fluid Mechanics, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, United States of America,

200 [98] WHITE, F.M., Viscous Fluid Flow, segunda edição, United States, McGraw-Hill, [99] WHITE, F.M., Mecânica dos Fluidos, 4a Edição, Estados Unidos, McGraw-Hill, [100] WILLIAMSON, C. H. K. Oblique and Parallel Modes of Vortex Shedding in the Wake of a Circular Cylinder at Low Reynolds Number, Journal of Fluid Mechanics, 06, pp , [101] WILLIAMSON, C. H. K., -D and 3-D Aspects of the wake of a cylinder, and their relation to wake computations, Vortex Dynamics and Vortex Method, Proc. AMSSIAM. Conference, Lectures in Applied Mathematics, ed. C. Anderson and C. Greengard, pp , [10] KHALAK A., WILLIAMSON C. H. K., Fluid forces and dynamics of a hydroelastic structure with very low mass and damping, Journal of Fluids and Structures, v. 11, n. 8, pp , Novembro, [103] ROSHKO, A., Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds numbers, Journal of Fluid Mechanics, 10, pp ,

201 APÊNDICE A. PROPRIEDADES DO SISTEMA BSR A.1 Geometria da boia de suporte de risers Figura A.1 Desenho esquemático da boia de 50m x 50m []. Tabela A.1 Características das boias [6]. Boia 50 x 50 Diâmetro das colunas (m) 4.39 Diâmetro do trav jumper (m) 4.39 Diâmetro do trav SCR (m) 7.0 Compr das colunas (m) Compr dos trav (m) Volume (m3) 3860 Empuxo bruto (kn) Peso (kn) 866 Empuxo líquido (kn) Massa (ton) Xb = XCG (m)

202 Inércia XX (t*m) Inércia YY (t*m) Inércia ZZ (t*m) Área drag X (m) Área drag Y (m) 39.7 Área drag Z (m) Momento drag X (m5) 6.47E+06 Momento drag Y (m5) 7.131E+06 Momento drag Z (m5) 3.34E+06 CDx = CDy = CD 1.00 Massa adicionada X (ton) 759 Massa adicionada Y (ton) 1345 Massa adicionada Z (ton) 3957 Inércia adicionada X (t*m) Inércia adicionada Y (t*m) Inércia adicionada Z (t*m) CMx = CMy = CM.00 A. Características das linhas [3] Tabela A. Propriedades dos dutos rígidos. OD (in) Material API 5L X-60 Young s Modulus (kpa).078e+08 Shear modulus (kpa) 7.960E+07 Yield Stress (kpa) 4.130E+05 OD (m) ID (m) Wall thickness (m) Axial stiffness (kn) 3.644E E E+05 Bending stiffness (knm ).889E E E+03 Torsional stiffness (knm ).13E E E+0 Weight in air empty (Kgf/m) Weight in seawater empty (Kgf/m) Weight in air full of fluid (Kgf/m) Weight in seawater full of fluid (Kgf/m) Tabela A.3 Propriedades dos jumpers flexíveis. ID (in) Coflexip number ID (mm) OD (mm) Internal volume (L/m) External volume (L/m) Weight in air empty (Kgf/m) Weight in sea water empty (Kgf/m) Weight in air full of fluid (Kgf/m) Weight in seawater full of fluid (Kgf/m)

203 Axial stiffness (kn) 3.846E E E+05 Bending stiffness (knm ) Torsional stiffness (knm ) MBR for storage (m) Tabela A.4 Propriedades dos umbilicais OD (mm) 168 Weight in air full (Kgf/m) 44.4* Weight in sea water full (Kgf/m) 6.0* Axial stiffness (kn) 1.000E+05** Bending stiffness (knm ) 0.35** Torsional stiffness (knm ) 0.7** Damaging pull (kn) 490* Working tension (kn) 800* MBR for storage (m) 1.0** 179

204 APÊNDICE B. APLICAÇÃO DAS VARIÁVEIS COMPLEXAS NA TEORIA POTENCIAL Nesta seção apresenta-se a aplicação das variáveis complexas junto com a teoria potencial para definir a emissão de vórtices de um cilindro dentro de um escoamento. Qualquer ponto no plano complexo será definido como: i x iy re B. 1 Onde i 1, (x,y) são as coordenadas cartesianas, e (r,) são as coordenadas polares. A relação entre as variáveis em coordenadas cartesianas e polares mostra-se na Figura B.1. Figura B.1 Definição do ponto no plano complexo [15]. Quando x e y são consideradas como variáveis o x iy é chamado de variável complexa. Define-se o potencial complexo w onde a parte real é o potencial de velocidades e a parte imaginária é a função corrente do movimento irrotacional em duas dimensões de um fluido sem viscosidade: w i B. 180

205 Os pontos onde w ou dw/d são nulos ou infinitos são chamados de singularidades, na qual para um constante e constante as linhas não são ortogonais. A derivada dw/d é uma quantidade importante na definição de escoamentos irrotacionais. Da equação do potencial complexo w, pode-se deduir: i x x dw d x dw d B. 3 Então obtemos: dw u iv B. 4 d Portanto a derivada dw/d é uma quantidade complexa, onde as parte real e imaginária são as velocidades locais no plano cartesiano. Assim a derivada dw/d é chamada de velocidade complexa. B.1 Escoamentos Planos Potenciais A seguir, apresentam-se alguns potenciais de velocidades básicos que descrevem escoamentos relativamente simples. B.1.1 Escoamento Uniforme O escoamento plano mais simples é aquele onde as linhas de corrente são retas paralelas e o módulo da velocidade do escoamento é constante. Este tipo de escoamento é denominado escoamento uniforme. Por exemplo, considere o escoamento uniforme no sentido positivo do eixo x, mostrado na Figura B.a. Neste caso, u=u, v=0 e o potencial de velocidades é: U, 0 x y B. 5 Integrando estas equações, obtemos: 181

206 Ux C B. 6 Onde C é a constante de integração arbitrária que pode ser igualada a ero. Assim, para um escoamento uniforme no sentido positivo do eixo x, Ux B. 7 Figura B. Escoamento uniforme: a) na direção x e b) numa direção arbitrária [10]. análogo, A função corrente correspondente a este potencial pode ser obtida de modo U, 0 y x B. 8 e Uy B. 9 Assim, pode-se obter o potencial complexo w U U x iy B. 10 e a velocidade complexa 18

207 dw U B. 11 d Estes resultados podem ser generaliados para fornecer o potencial de velocidades e a função corrente para um escoamento uniforme que apresenta um ângulo em relação ao eixo x, como mostra a Figura B.b. Para este caso, temos U x cos ysen U y cos xsen B. 1 B.1.. Fonte e Sumidouro A Figura B.3 mostra um escoamento radial emanado de uma linha perpendicular ao plano x-y e que passa pela origem do sistema de coordenadas. Seja q a vaão em volume de fluido emanado da fonte por unidade de comprimento da linha. Figura B.3 Formato das linhas de corrente de uma fonte [10]. O potencial complexo é definido por w q As partes reais e imaginárias são q i ln ln re B

208 As componentes da velocidade serão B.1.3. Vórtice q q ln r, B. 14 dw q u, 0 d r u r B. 15 Agora consideramos um escoamento onde as linhas de corrente são circulares e concêntricas, ou seja, vamos permutar o potencial de velocidade e a função corrente que utiliamos para o caso da fonte. Assim o seguinte potencial complexo i w ln B. 16 representa um vórtice com circulação em sentido antihorário. As partes reais e imaginárias são de aqui as componentes da velocidade são, ln r B. 17 u r 0, u B. 18 r O formato das linhas de corrente de um vórtice é mostrado na Figura B.4 Figura B.4 Formato das linhas de corrente para um vórtice [10]. 184

209 Se o vórtice estivesse localiado num ponto fora da origem, o potencial 0 complexo seria: i w ln 0 B. 19 B.1.4. Dipolo (ou Doublet) O dipolo ou doublet é obtido pela combinação de uma fonte e um sumidouro muito próximos e de igual intensidade, a intensidade do dipolo (q) aumenta quando a distância de separação se aproxima a ero, e o produto tende para um limite finito. O potencial complexo para um par fonte-sumidouro localiado no eixo x, com a fonte em x=- e o sumidouro em x= é q w ln q q ln ln q q ln1 B. 0 é Definindo o limite de q / quando 0 temos, então a equação anterior w B. 1 Onde a parte real e imaginária é x y, B. x y x y A expressão para pode ser arranjada na forma 185

210 x y B. 3 As linhas de corrente, representado por =constante, são círculos com os centros sobre o eixo y e tangente ao eixo x na origem (ver Figura B.5). A direção do escoamento na origem está ao longo do eixo x negativo. O eixo x é chamado de eixo do dipolo. Figura B.5 Linhas de corrente de um dipolo [15]. B. Superposição de Escoamentos Potenciais O maior atrativo da equação de Laplace é a linearidade. Devido à linearidade de esta equação podemos somar várias soluções para obter outra solução, ou seja, se 1 (x,y) e (x,y) são duas soluções da equação de Laplace então também é uma solução da equação de Laplace. Este procedimento é conhecido como o principio de superposição. Assim, se conhecermos certas soluções básicas então nós podemos combiná-las para obter outras soluções de problemas mais complicados e interessantes. B..1. Vórtice próximo a uma parede plana: Método das Imagens O método das imagens [83] é a maneira de determinar o escoamento devido a um ou mais singularidades próximas a uma parede. Por exemplo, para encontrar o comportamento do escoamento devido a um vórtice A localiado a uma distância h de uma parede plana, pode-se omitir a parede e introduir um vórtice com igual intensidade 186

211 e sentido oposto localiado no ponto de imagem B. Aqui o vórtice A é chamado de vórtice real e o vórtice B de vórtice imagem, conforme mostra a Figura B.6. Figura B.6 Vórtice real A próximo a uma parede e seu respectivo vórtice imagem B [15]. A velocidade em qualquer ponto P sobre a parede, composta pela a soma da V A devido ao vórtice real e V B devido ao vórtice imagem, é paralela à parede. Portanto a parede se transforma em uma linha de corrente e assim se satisfa a condição de contorno de velocidade normal ero sobre a superfície da parede. B.. Teorema do Círculo [83]. Considera-se um escoamento irrotacional, incompressível e sem viscosidade no plano imaginário. Assim mesmo se supõe que não existem contornos rígidos ao redor, e seja f() o potencial complexo do escoamento, tal que as singularidades de f() estão situadas a uma distância da origem maior à distância c. Logo, neste escoamento se introdu um cilindro de raio c, então o novo potencial complexo total será: 187

212 w f c f B. 4 Como exemplo, temos o caso anterior de um cilindro circular dentro de um escoamento uniforme. Onde se considera um escoamento com potencial complexo U. Segundo o teorema do círculo, quando se introdu um cilindro de raio c, o potencial complexo se converte em c w U B. 5 E, a velocidade complexa será: dw d c U 1 B. 6 O Teorema do Círculo pode ser utiliado direitamente considerando outros escoamentos mais complexos, como por exemplo, o caso de um cilindro circular com vórtices externos, como foi mostrado na teoria do Capítulo 5 e nos resultados do Capítulo 6. B..3. Escoamento passando por um cilindro circular Combinando um escoamento uniforme e um dipolo, com o eixo do dipolo dirigido na direção do escoamento (Figura B.5), fornece um escoamento irrotacional sobre um cilindro circular (Figura B.7). Figura B.7 Superposição de um escoamento uniforme e um dipolo para descrever o escoamento ao redor de um cilindro circular [15]. 188

213 Segundo o Teorema do Círculo, o potencial complexo de esta combinação é c w U U B. 7 Onde a U A parte real e imaginária de w será c U r cos B. 8 r c U r sen r B. 9 Aqui, pode-se ver que =0 em r=c para todos os valores de, com isto podemos conferir como as linhas de corrente =0 representam um cilindro circular de raio c (Figura B.7), Figura B.8. Linhas de corrente de um escoamento irrotacional a traves de um cilindro circular [15]. O escoamento interior ao cilindro não influencia o escoamento exterior. As componentes da velocidade são 189

214 c u r U 1 cos B. 30 r r u 1 c U r 1 r sen B. 31 De aqui, pode-se obter a velocidade do escoamento (q) sobre a superfície do cilindro (r=c) qr c u Usen B. 3 Isto mostra que existem dois pontos de estagnação sobre a superfície em (c,0) e (c,). O escoamento atinge a máxima velocidade de U no topo e no fundo do cilindro. A distribuição de pressão sobre a superfície do cilindro é dado por rc C p p p q 1 1 4sen B U U B.3 Teorema de Blasius Consideremos um escoamento no plano complexo definido pelo potencial complexo w(). Seja C uma curva fechada dentro do plano complexo. A pressão do fluido sobre esta curva é determinada pela equação de Bernoulli, da seguinte forma: 1 dw P p0 B. 34 d A seguir avaliamos a força e momento resultante (por unidade de comprimento), atuando sobre o fluido dentro da curva C como consequência destra distribuição de pressão. 190

215 Figura B.9 Forças atuando sobre um elemento diferencial sobre a curva C. Consideramos um elemento diferencial da curva C entre os pontos do plano complexo x,y e x+dx,y+dy, o qual é suficientemente pequeno para ser aproximado como uma linha reta. Seja P a pressão local do fluido na parte externa da curva. Como mostra a Figura B.9 a força devido à pressão (por unidade de comprimento) atua na direção intera à curva e tem as componentes Pdy na direção x negativa e uma componente Pdx na direção y positiva. Assim, se X e Y são as componentes da força resultante (por unidade de comprimento) nas direções x e y, respectivamente, então: dx Pdy B. 35 dy Pdx B. 36 A pressão da força (por unidade de comprimento) atuando sobre o elemento da curva C também contribui para o momento (por unidade de comprimento), M, atuando sobre o eixo, onde: dm xdy ydx P xdx ydy B. 37 Então as componentes x e y da força resultante devido ao fluido atuando sobre a curva e o momento resultante com respeito ao eixo, respectivamente, são: 191

216 X Pdy B. 38 C Y Pdx B. 39 C M P xdx ydy B. 40 C Aqui as integrais fechadas são consideradas no sentido horário sobre ao longo da curva C. Finalmente, dado a distribuição de pressão sobre a curva C da equação B.34 e a constante de pressão igual a ero, encontramos: X 1 dw dy B. 41 d C Y 1 dw dx B. 4 d C M 1 dw xdx ydy B. 43 d C 19

217 APÊNDICE C. MODELO ESTRUTURAL: TEORIA DA MASSA CONCENTRADA EM NÓS O código numérico Orcaflex utilia a teoria da massa concentrada em nós ou também conhecida como Lumped Method para modelar estruturalmente risers, jumpers, cabos, amarras, mangueiras ou outros itens similares. Aqui a linha é considerada como uma serie de massas pontuais unidas por molas sem massas. Estas massas pontuais são chamadas de nós e as molas que unem estas massas de segmentos. Cada segmento representa uma linha curta, e com o propósito de modelagem as propriedades como massa, empuxo, arrasto, entre outras, foram centraliadas nos nós e nos pontos extremos. Esta configuração pode ser vista na figura seguinte. Logo para cada massa, se obtém as equações do movimento discretas utiliando as equações de equilíbrio dinâmico. Estas equações podem ser resolvidas em função do tempo utiliando a técnica de elementos finitos (FEM). Além, efeitos não lineares que incluem o amortecimento do material, momentos de flexão e torção podem ser considerados. Figura C.1. Modelação de uma linha utiliando a teoria de massa concentrada em nós[8]. 193

218 As propriedades da linha podem ser especificadas em diferentes seções definidas pelo usuário. Para cada seção se deve definir o comprimento, as características das linhas (Line Type) e o número de segmentos. Estes valores dependem da estratégia da modelagem utiliada. O Line Type é um conjunto de propriedades: diâmetro, massa unitária, restauração flexional, entre outras. De esta forma, podem-se colocar diferentes propriedades nas seções de uma ou mais linhas. Esta opção permite a modelagem dos pesos adicionais (arames) nas linhas. Além de isso, podem-se agregar nas linhas um número de acessórios com diferentes propriedades (no programa chamado de attachments ). Em nosso estudo será de grande importância a modelagem dos chumbinhos nos risers. Na Figura anterior apresenta-se uma linha discretiada em várias seções e estas divididas em segmentos. Cada seção tem um Line Type com propriedades definidas. Figura C. Modelagem das linhas tridimensionalmente[8]. C.1 Equações do movimento para os nós O programa utilia o método de elementos finitos com grandes deslocamentos e dois métodos de integração no tempo, Explicito e Implícito. No presente trabalho será utiliado o método Explícito o qual se descreve a seguir. A equação do movimento resolvido pelo programa em cada nó é: 194

219 ... M x Cx Kx F C. 44 Onde M é a massa do nó C é o coeficiente de amortecimento K é o coeficiente de restauração F são as ações externas no nó x.., x,. x são os vetores posição, velocidade e aceleração, respectivamente t é o tempo total de simulação A Equação C.44 é resolvida de forma explícita pelo método de Euler com um passo constante de integração. Ao início da simulação dinâmica, as posições iniciais e orientações de todos os objetos são obtidas da análise estática. As forças e momentos, atuando em cada objeto e nó, são calculados. As forças e momentos que podem ser considerados pelo programa incluem: Peso Empuxo Arrasto hidrodinâmico e aerodinâmico Os efeitos da massa adicional, calculada utiliando a Equação de Morison expandida, podendo-se definir os coeficientes. Tensão e cisalhamento Flexão e torque Reação do solo e fricção Forças de contacto com outros objetos Forças aplicadas por uniões e guinchos A Equação C.44 é resolvida, obtendo o vetor aceleração utiliando o passo de tempo inicial. Esta equação é utiliada para cada objeto e cada nó que compõe a linha. Logo, se obtém o vetor posição utiliando o método de integração de Euler. Dado um instante de tempo t, o vetor aceleração calculado considerando:.. x no passo de tempo seguinte t+1=t+δt é 195

220 .... t1 t t C. 45 x x δt x. t 1 xt δt xt x C. 46 Onde δt é o passo de integração. Ao final de cada passo de tempo, a posição e a orientação de cada um dos nós da linha é novamente conhecida e o procedimento é repetido iterativamente. Para diminuir o esforço computacional, o programa utilia dois passos de integração na simulação dinâmica: um passo menor interno chamado de inner time step e outro maior externo chamado de outer time step. A maior parte dos cálculos de integração utilia o passo interno, embora alguns parâmetros que variam mais lentamente tais como o movimento das partículas da onda e forças hidrodinâmicas e aerodinâmicas são calculadas cada passo externo. Este redu os cálculos necessários e aumenta a velocidade da simulação. Figura C.3 Modelagem tridimensional utiliando o modelo estrutural de massa concentrada em nós de uma linha no programa Orcaflex. 196

221 Figura C.4 Aplicação do modelo estrutural de massa concentrada em nós junto com o modelo de VIV Vortex Tracking1. 197

222 APÊNDICE D. RESULTADOS OBTIDOS COM O PROGRAMA ORCAFLEX PARA O CILINDRO COM MOVIMENTO TRANSVERSAL Tabela D.1 Trajetória dos vórtices em função da velocidade reduida com o Orcaflex. OrcaFlex 9.3a: Vr_VT5.sim (modified 16:36 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) OrcaFlex 9.3a: Vr_VT.sim (modified 16:08 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Replay Time: 40,00s Z Time: 40,0000s U R Vortex Tracking 1 0,05 Um R Vortex Tracking 1 X 0,05 m Z X 5. OrcaFlex 9.3a: Vr_VT6.sim (modified 16:48 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Replay Time: 37,40s 0,05 m OrcaFlex 9.3a: Vr_VT,5.sim (modified 16:08 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Time: 40,0000s 0,04 m Z X,5 6 OrcaFlex 9.3a: Vr_VT3.sim (modified 16:17 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Time: 40,0000s Z Replay Time: 38,90s 0,05 m X OrcaFlex 9.3a: Vr_VT7.sim (modified 17:00 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) 0,05 m Z X 3 7 OrcaFlex 9.3a: Vr_VT3,5.sim (modified 16:7 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Time: 40,0000s 0,05 m Z OrcaFlex 9.3a: Vr_VT8.sim (modified 17:03 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Replay Time: 40,00s X 0,04 m Z X 3,5 8 OrcaFlex 9.3a: Vr_VT4.sim (modified 16:35 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Time: 40,0000s 0,05 m Z OrcaFlex 9.3a: Vr_VT9.sim (modified 16:11 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Replay Time: 38,50s X 0,05 m Z X

223 OrcaFlex 9.3a: Vr_VT4,5.sim (modified 16:34 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Replay Time: 38,10s OrcaFlex 9.3a: Vr_VT10.sim (modified 16:1 on 10/8/010 by OrcaFlex 9.3a) (aimuth=70; elevation=0) Time: 40,0000s Z 0,05 m X 0,05 m Z X 4,

224 APÊNDICE E. RESULTADOS OBTIDOS COM O MRV (presente tese) Tabela E.1 Distribuição dos vórtices SEM REDISCRETIZAÇÃO e sem corte dos vórtices emitidos (DC=0.01) com cilindro estacionário. 1seg 8seg seg 9seg 3seg 10seg 4seg 11seg 5seg 1seg 6seg 13seg 7seg 14seg 00

225 15seg 18seg 16seg 19seg 17seg 0seg 01

226 Tabela E. Distribuição dos vórtices COM REDISCRETIZAÇÃO (DC=0.01). 1seg 8seg seg 9seg 3seg 10seg 4seg 11seg 5seg 1seg 6seg 13seg 7seg 14seg 0

227 15seg 18seg 16seg 19seg 17seg 0seg 03

228 E.1 RESULTADOS PARA O CILINDRO COM MOVIMENTO TRANSVERSAL (sem rediscretiação) Figura E.1 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =.0 e DC=0.01. Figura E. Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =.5 e DC=0.01. Figura E.3 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =3.0 e DC=

229 Figura E.4 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =4.0e DC=0.05. Figura E.5 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =4.5e DC=0.04. Figura E.6 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =5.0 e DC=0.04. Figura E.7 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =6.0 e DC=

230 Figura E.8 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =7.0 e DC= Figura E.9 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =8.0 e DC= Figura E.10 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =9.0 e DC= Figura E.11 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =10.0 e DC=

231 Figura E.1 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =11.0 e DC=0.04. Figura E.13 Distribuição de vórtices do cilindro oscilatório U R =1.0 e DC=