REB Volume 6 (3): , 2013 ISSN MODELAGEM AMBIENTAL: PROBLEMAS ENVOLVENDO DINÂMICA POPULACIONAL

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1 265 REB Volume 6 (3): , 2013 ISSN MODELAGEM AMBIENTAL: PROBLEMAS ENVOLVENDO DINÂMICA POPULACIONAL ENVIRONMENTAL MODELING: PROBLEMS INVOLVING POPULATION DYNAMICS José Wagner Alves Garrido 1, Paulo Xavier Pamplona 2 1 Discente no Curso de Engenharia Ambiental na Universidade Federal de campina Grande. 2 Docente Ambiental na Universidade Federal de campina Grande. pxpamplona@yahoo.com.br RESUMO O objetivo do presente trabalho foi analisar tipos de modelagem ambiental, com aplicações de problemas envolvendo dinâmica populacional. Foi estudado problemas de dinâmica populacional com modelagem em ecologia, nos quais foram dinâmica populacional de uma única espécie e de duas espécies, problemas de crescimento populacional de uma determinada espécie quando existe ameaça de um predador e quando não existe esta ameaça, problemas que tratam da sobrevivência de duas espécies que competem por um mesmo suprimento de alimento e modelo do tipo presa - predador, em que uma das espécies (predador) se alimenta da outra (presa), enquanto a presa se alimenta de outro tipo de comida. O resultado é que uma boa interação populacional entre espécies de um ecossistema mantêm sempre um ciclo natural de sobrevivência, apresentando um equilíbrio ecológico, mas quando o ser humano interfere neste ambiente, apresentando um equilíbrio ecológico, mas quando o ser humano interfere neste ambiente, quebra-se este ciclo ecológico, favorecendo um desequilíbrio do sistema, levando à extinção das espécies. PALAVRAS-CHAVE: Equações diferenciais; modelos matemáticos; dinâmica populacional.

2 266 ABSTRACT The objective of this study was to analyze types of environmental modeling, with applications to problems involving population dynamics. Problems with modeling population dynamics in ecology have been studied, which regarded the population dynamics of a single species and two species, problems of population growth of a species when there is threat of a predator and when there is not such threat, problems dealing with the survival of both species which compete for the same food supply type and model of predator prey, wherein one of the species (predator) feeds on another (prey), while the prey is fed from another type of food. The result is that good population interaction between species in an ecosystem always maintain a natural cycle of survival, presenting an ecological balance, but when humans interfere in this environment, this ecological cycle is broken, favoring a system imbalance, leading to the extinction of species. KEYWORDS: Differential equations; mathematical modeling; population dynamics. 1. INTRODUÇÃO Muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do mundo físico são proposições, ou relações, envolvendo a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Expressas em linguagem matemática, as relações são equações e as taxas são derivadas. Equações contendo derivadas são equações diferenciais. Para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento de fluidos, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmicas, ou o aumento ou diminuição de populações, entre muitos outros, é necessário saber alguma coisa sobre equações diferenciais. A construção de modelos matemáticos para se usar equações diferenciais nos diversos campos em que são úteis é preciso, primeiro, formular a equação diferencial apropriada que descreve, ou modela o problema em questão. Ao construir modelos matemáticos, deve-se reconhecer que cada problema é diferente e que a arte de modelar não é uma habilidade que pode ser reduzida a uma lista de regras. A construção de um modelo satisfatório é, algumas vezes, a parte mais difícil de um problema (Boyce, 2002).

3 267 O ecossistema acopla interações nos diferentes níveis tróficos. Uma das cadeias tróficas existentes em sistemas ecológicos são interações entre espécies. Modelos matemáticos têm papel importante para expor fatos da natureza a um nível de entendimento. Cadeia trófica do tipo predador-presa é um exemplo clássico de aplicação da teoria de sistemas dinâmicos à ecologia (Maionchi, 2004). Modelos não-lineares onde três ou mais espécies interagem podem exibir comportamentos extremamente ricos e interessantes, incluindo dinâmicas caóticas. 2. OBJETIVO O objetivo do presente trabalho foi analisar tipos de modelagem ambiental, com aplicações de problemas envolvendo dinâmica populacional. 3. METODOLOGIA Este trabalho foi fruto do programa de iniciação científica, que para a realização deste, inicialmente, foi realizado um estudo básico, abordando conceitos das equações diferenciais lineares e não-lineares e de sistema de equações diferenciais de primeira ordem com aplicações básicas. A partir daí, foi estudado os métodos de resolução dessas equações, dando um enfoque maior ao método do fator integrante e aos métodos de equações separáveis. Também foram abordados sistemas de equações diferenciais de primeira ordem e seus métodos de resolução, a análise da estabilidade de sistemas lineares e a Expansão de Taylor que tem a finalidade de transformar um sistema de equações não lineares em um sistema linear. Em diante, foi visto alguns modelos matemáticos em dinâmica populacional, tais como, modelo exponencial, modelo logístico, modelo de limiar crítico e um modelo de limiar crítico modificado. Logo, foi estudado aplicações de equações diferenciais em diversos problemas. Inicialmente, o problema de crescimento populacional de uma espécie na presença e ausência de predadores. Para este problema verificou-se a diferença entre cada situação, determinando o comportamento de cada solução. Depois, foi analisado o problema de modelo de competição entre duas espécies. Daí constatou as condições que permitem a coexistência das duas espécies. Em seguida, foi o modelo presa predador, um caso particular das equações de Lotka-Volterra. E por fim analisou-se o crescimento das populações de presas e predadores, com o objetivo de

4 268 determinar as condições sobre as quais se tenha o equilíbrio ecológico, ou seja, não exista a extinção de nenhuma das espécies. 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 4.1. Modelos Matemáticos em Dinâmica Populacional Modelo exponencial Um modelo para o crescimento de uma população descrito por Malthus baseiase na hipótese de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho (Figura 01). É razoável presumir isso para uma população de bactérias ou animais em condições ideais (meio ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças). As variáveis nesse modelo são t = tempo (variável independente), P = número de indivíduos da população (variável dependente). A taxa de crescimento da população é a derivada dp/dt. Assim, a hipótese de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho é escrito com a equação, onde r é a constante de proporcionalidade. A Eq. (1.0) é o primeiro modelo para o crescimento populacional. Nota-se que a Eq. (1.0) é uma equação diferencial, pois possui uma função desconhecida P e sua derivada dp/dt. Tendo formulado este modelo, observam-se as seguintes considerações: i) Desconsiderando uma população nula, tem-se P(t) > 0, para todo t. Logo, se r > 0, segue da Eq. (1.0) que dp/dt > 0. Isto significa que a população está sempre aumentando, pois quando P(t) aumenta, dp/dt também aumenta, ou seja, a taxa de crescimento aumenta quando a população cresce. Por outro lado, se r < 0, então dp/dt < 0 e, portanto, a população diminui à medida que t aumenta. ii) O modelo dado pela Eq. (1.0) é conhecido como modelo exponencial, pois a solução desta equação é uma função exponencial que descreve o crescimento (ou declínio) populacional através da mesma equação e r é a taxa de crescimento (r > 0), ou taxa de declínio (r < 0), da população P(t) em cada instante t.

5 269 é, iii) A Eq. (1.0) é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução onde C deve ser uma constante positiva, pois as populações só possuem valores positivos. O importante é obter valores para t acima do instante inicial t = 0. Mas, para t = 0, tem-se C = P(0). Assim, substituindo este valor de C na equação (1.1), obtêm onde P(0) é a população inicial em t = 0. iv) A Eq. (1.0) pode ser escrita na forma que é a taxa de crescimento dividida pelo tamanho da população e é denominada taxa de crescimento relativo. Neste caso, em vez de dizer que a taxa de crescimento é proporcional população, pode ser dita que a taxa de crescimento relativo é constante. Figura 01 - Crescimento Exponencial v) A hipótese de que uma população cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho, também se aplica a outras situações. Na física nuclear, a massa de uma substância radioativa decai a uma taxa proporcional à massa existente. Na química, a taxa de uma reação de primeira ordem unimolecular é proporcional à concentração da substância. Em finanças, o valor de uma conta de poupança com juros compostos continuamente aumenta a uma taxa proporcional aquele valor Modelo Logístico

6 270 A equação (1.0) é apropriada para a modelagem do crescimento populacional sob condições ideais, mas precisa reconhecer que um modelo mais realístico deve refletir o fato de que um dado ambiente tem recursos limitados. Muitas populações começam crescendo exponencialmente, porém o nível da população estabiliza quando ela se aproxima de sua capacidade de suporte K (ou diminui em direção a K quando ela excede o valor de K) (figura 02). Um novo modelo pode ser formulado obedecendo às seguintes hipóteses: i) No início a taxa de crescimento é proporcional à população (dp/dt rp se P for pequeno); ii) P diminui se excede K (dp/ dt < 0 se P > K). Uma expressão que satisfaz as hipóteses acima é dada pela equação Tendo formulado este modelo, temos as seguintes considerações: i) Analisando a equação (1.3), temos: a) Quando P é pequeno em relação a K, P/K está próximo de zero e, portanto, dp/dt rp. Isto significa que a taxa de crescimento inicialmente está próxima de ser proporcional ao tamanho da população. Por outro lado, quando P K (a população aproxima sua capacidade de suporte), dp/dt 0. O que significa que a taxa de crescimento da população é muito pequena. b) Se 0 < P < K, o lado direito de (1.3) é positivo e, portanto, dp/dt > 0. Logo a população aumenta se 0< P< K. Se P > K, segue que 1 P/K < 0 e, portanto, dp/dt < 0. Logo a população diminui quando P > K; ii) A equação (1.3) é conhecida como equação logística e foi proposta pelo matemático e biólogo holandês Pierre-François Verulst na década de 1840 como um modelo para o crescimento populacional mundial; iii) A constante de proporcionalidade r é denominada taxa de crescimento intrínseco (taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador) e K é o nível de saturação da população P; iv) Igualando a zero o lado direito da equação (1.3), obtêm P = 0 ou P = K. Pode dizer que Φ 1 (t) = 0 e Φ 2 (t) = K são as soluções de equilíbrio do sistema;

7 271 v) As curvas soluções da equação (1.3) se distanciam da solução de equilíbrio P = 0 e se aproximam da solução de equilíbrio P = K; vi) A equação logística (1.3) é uma equação diferencial não linear de primeira ordem que pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis e cuja solução é onde C é uma constante que é determinada fazendo t = 0. Neste caso, têm Portanto, a solução da equação logística (1.3) pode ser dada por, [ ] onde P(0) é a população inicial em t = 0; vii) Analisando a solução (1.4) da equação logística (1.3), têm o seguinte: a) Se P(0) = 0, então P(t) = 0 para todo t; b) Se P(0) > 0, então = K. Ou seja, quando t cresce indefinidamente, as soluções se aproximam da solução de equilíbrio Φ 2 (t) = K. Neste caso, pode dizer que a solução constante Φ 2 (t) = K é uma solução assintoticamente estável da equação (1.3) e que o ponto P = K é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável ou ponto crítico estável. Isto quer dizer que após um longo tempo, a população fica próxima ao nível de saturação K independente do tamanho da população inicial, desde que seja positivo. Outras soluções tendem a solução de equilíbrio mais rapidamente quando r aumenta; c) A situação para o ponto de equilíbrio Φ 1 (t) = 0 é bem diferente. Todas as soluções com P(0) próximas de zero crescem se afastando de zero e se aproximando de K. Neste caso, dizemos que Φ 1 (t) = 0 é uma solução de equilíbrio instável ou que P = 0 é um ponto crítico instável; viii) As soluções da equação não linear (1.3) são surpreendentemente diferentes das da equação linear, pelo menos para valores grandes de t. Independentemente do

8 272 valor de K, isto é, não interessa qual grande seja a parcela não linear da Eq. (1.3), as soluções tendem a um valor finito quando t, enquanto que as soluções do problema linear crescem exponencialmente sem limite quando t. Assim, mesmo uma minúscula parcela não linear na equação diferencial tem um efeito decisivo na solução para valores grandes de t; ix) Além do seu papel da modelagem do crescimento populacional com restrições, a equação logística também pode ser usada para descrever o crescimento de populações de vários países, o crescimento de aguapés, o crescimento de células de levedura durante fermentação, o comportamento da economia e as interações em um grupo social, como a disseminação de boatos e a disseminação de uma epidemia. Figura 02 - Modelo Logístico Modelo de Limiar Crítico Para algumas espécies existe um nível mínimo populacional T abaixo do qual as espécies não se reproduzem com sucesso (os adultos podem não encontrar pares adequados). Este número de indivíduos T é denominado limiar crítico da população. Abaixo desse limiar a população tende a se extinguir. No entanto, se for possível juntar uma população maior do que o limiar crítico T, então é possível haver reprodução com sucesso, ocorrendo um crescimento ainda maior da população (Figura 03). O modelo com um limiar crítico descreve o crescimento populacional através da seguinte equação diferencial, Tendo formulado este modelo, têm as seguintes considerações:

9 273 I) O modelo com limiar difere do modelo logístico apenas pelo sinal negativo que aparece no lado direito da equação do modelo com limiar. No entanto, as soluções deste modelo comportam-se de maneira bem diferente; II) As soluções P(t) da equação (1.5) têm um comportamento em função do limiar crítico T. Abaixo desse limiar não existe crescimento e a população tende a zero e acima dele a solução cresce indefinidamente. Isto significa que uma determinada população que se encontra abaixo do limiar crítico tende à extinção, enquanto uma população que se encontra acima desse limiar, tende a crescer indefinidamente sem limitação; III) Como na equação logística (1.3), os pontos críticos no modelo com limiar são P = 0 e P = K e Φ 1 (t) = 0 e Φ 2 (t) = K são as soluções de equilíbrio para este modelo; IV) Como a equação logística (1.3), a equação (1.5) também é uma equação diferencial não linear de primeira ordem que pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis. Neste caso, a solução é dada por [ ] onde P(0) é a população inicial em t = 0; V) Analisando a solução (1.6) da equação (1.5), têm o seguinte: a) Se 0 < P(0) < T, então = 0. Assim, quando a população está abaixo do limiar T às soluções se aproximam de zero quando t cresce indefinidamente, ou seja, a população tende a se extinguir. Por outro lado, se P(0) > T, então = +. Isto significa que a população cresce indefinidamente quando a população inicial está acima do limiar T; b) Para P(0) > T, o denominador do lado direito de (1.4) é zero quando t assume um número finito dado por Isto significa que o gráfico de P versus t possui uma assíntota vertical em t = t *. Em outras palavras, a população torna-se ilimitada em um tempo finito, que depende da população inicial P(0) e do limiar T. VI) Como é claro que uma população não pode se tornar ilimitadamente, a Eq. (1.5) deve ser modificada, finalmente, para se levar isso em consideração.

10 274 Figura 03 - Modelo de Limiar Crítico Modelo de Limiar Crítico Modificado O modelo com limiar crítico deve ser modificado, de modo que não ocorra o crescimento ilimitado quando a solução está acima do limiar T. A maneira mais simples de fazer isso é introduzir um outro fator que tem o efeito de tornar dp/dt negativo quando P for grande (Figura 04). Assim, o modelo com um limiar crítico modificado descreve o crescimento populacional através da equação onde r > 0 e 0 < T < K. Tendo formulado este modelo, temos as seguintes considerações: I) Existem três pontos críticos: P = 0, P = T e P = K, correspondentes às soluções de equilíbrio Φ 1 (t) = 0, Φ 2 (t) = T e Φ 3 (t) = K, respectivamente; II) Analisando a equação (1.7), têm: a) Se T < P < K, então dp/dt > 0, isto é, a população cresce entre T e K; b) Se 0 < P < T e P > K, então dp/dt < 0, isto é, a população decresce entre 0 e T e acima de K; c) As soluções de equilíbrio Φ 1 (t) = 0 e Φ 3 (t) = K são assintoticamente estáveis e a solução de equilíbrio Φ 2 (t) = T é assintoticamente instável; III) Se a população P começa abaixo do limiar T, então P decresce até chegar à extinção. Por outro lado, se P começa acima do limiar T, P acaba se aproximando da capacidade de sustentação K.

11 275 Figura 04 - Modelo de Limiar Modificado 4.2. Problemas Envolvendo Modelagem Ambiental Crescimento populacional de uma espécie na ausência ou na presença de um predador Na ausência de um predador Considere que certa população cresça a uma taxa proporcional à população existente em cada instante de tempo t e que este crescimento seja livre de qualquer predador. Denotando a população por P(t), então a hipótese pode ser expressa pelo modelo matemático (1.0) cuja equação é que é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida pelo método de fator integrante e, cuja solução é da forma onde P(0) é a população num instante t= Na presença de um predador Supondo agora que certa população P(t) cresça proporcionalmente à população existente em cada instante de tempo t, sob a presença de um predador. O modelo que descreve este problema é dado pela equação

12 276 onde k é a taxa predatória. As taxas de crescimento r e predatória k devem ser dadas na equação para um mesmo tempo t. A Eq. (2.0) é também uma equação diferencial de primeira que pode ser resolvida pelo método de fator integrante e, cuja solução geral é onde C é uma constante arbitrária Modelo de Competição entre Duas Espécies O modelo de competição entre espécies surge quando supomos que, em algum ambiente fechado, existam duas espécies semelhantes competindo por um suprimento limitado de comida (por exemplo, duas espécies de peixe em um lago, nenhuma sendo presa da outra, mas ambas competindo pela comida disponível). Denotando por x e y as populações de duas espécies em um instante t, o modelo de competição entre espécies é formulado a partir das seguintes hipóteses: I) A população de cada espécie, na ausência da outra, é governada por uma equação logística. Então, { onde r e k são as taxas de crescimento das duas populações, e r /a e k/ b são seus níveis de saturação, respectivamente; II) Quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra, pois reduzem as taxas de crescimento e as saturações, uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie x devido à presença da espécie y é substituir o fator decrescimento r ax na Eq.(2.1 a ) por r ax α 1 y, onde α 1 é uma medida do grau de interferência da espécie y sobre a espécie x. Analogamente, substituindo k by na Eq.(2.2 b ) por k by α 2 x, obtemos o sistema de equações

13 277 { onde as constantes positivas r, a, α 1, k, b e α 2 dependem das espécies particulares em consideração e são determinadas, em geral, através de observações. Os números a e b medem o efeito inibitório que o crescimento de cada população tem sobre si mesma, enquanto α 1 e α 2 medem o efeito inibitório que o crescimento de cada população tem sobre a outra. Tendo formulado o modelo, temos as seguintes considerações: I) Foi estudado as soluções do sistema (2.3) para x e y não negativos; II) Em alguns casos a competição entre duas espécies leva a um estado de equilíbrio de coexistência, enquanto em outros casos a competição resulta, finalmente, na extinção de uma das espécies; III) Para prever qual situação deve ocorrer, é necessário, primeiro, determinar os pontos críticos do sistema (2.3) resolvendo as equações Neste caso, os pontos críticos são IV) O sistema (2.3) é quase linear numa vizinhança de cada ponto crítico; V) Existem duas maneiras de obter o sistema linearizado próximo de um ponto crítico (X, Y). A primeira é fazendo a perturbação x = X + u e y = Y + v nas equações (2.3), restando apenas os termos lineares em u e v. Outra maneira é usando as aproximações de Taylor que fornecem o sistema linearizado nas variáveis u e v, dado por onde F e G satisfaz o sistema ( )

14 278 Neste caso, têm Assim, o sistema linearizado, torna-se Usando o fato que (X,Y) é ponto crítico, temos o sistema equivalente, VI) Os autovalores associados ao sistema (2.4) são da forma VII) Se ab α 1 α 2 < 0, a expressão dentro da raiz quadrada na Eq. (2.5) é positiva e maior do que (ax+by ) 2. Logo, os autovalores são reais e de sinais opostos. Em consequência, o ponto crítico (X,Y) é um ponto de sela (instável) e a coexistência não é possível. Por outro lado, se ab α 1 α 2 > 0, então a expressão dentro da raiz quadrada na Eq. (2.5) é menor do que (ax + by) 2. Neste caso, os autovalores são reais negativos e distintos, ou complexos conjugados com parte real negativa. Logo, o ponto crítico é um nó assintoticamente estável e uma coexistência sustentável é possível; VIII) Portanto, a interpretação biológica do resultado de que a coexistência ocorre ou não, depende do sinal do termo ab α 1 α 2. Quando ab > α 1 α 2, a interação (competição) é fraca e as espécies podem coexistir. Por outro lado, quando ab < α 1 α 2, a interação é forte e as espécies não podem coexistir - uma delas deve ser extinta Modelo para um Problema Presa-Predador Os modelos de Lotka-Volterra ou modelo presa-predador estudam as interações entre duas espécies onde uma das espécies (predador) se alimenta apenas da outra (presa), enquanto a presa se alimenta de outro tipo de comida. Considere por exemplo,

15 279 raposas e coelhos em uma floresta fechada (as raposas caçam os coelhos, que vivem da vegetação na floresta). Outros exemplos são peixes que se alimentam dos peixes de guelra vermelha em um mesmo lago, joaninha como predador e pulgão como presa e outros. Enfatizamos que um modelo envolvendo apenas duas espécies não pode descrever completamente as relações complexas que ocorrem, de fato, na natureza. Apesar disso, o estudo de modelos simples é o primeiro passo para a compreensão de fenômenos mais complicados. Denotando por x(t) e y(t) as populações de presas e predadores, respectivamente, em um instante t, o modelo presa-predador pode ser formulado obedecendo as seguintes hipóteses: I) Na ausência do predador, a população de presas aumenta a uma taxa proporcional à população atual, assim, têm II) Na ausência da presa, o predador é extinto, assim, III) O número de encontros entre predador e presa é proporcional ao produto das duas populações. Cada um desses encontros tende a promover o crescimento da população de predadores e a inibir o crescimento da população de presas. Assim, a taxa de crescimento da população de predadores é aumentada por um termo da forma xy, enquanto a taxa de crescimento para a população de presas é diminuída por um termo da forma αxy, onde ϓ e α são constantes positivas. Em consequência dessas hipóteses, o modelo matemático que representa este problema é dado pelo sistema de equações { onde as constantes a, c, α e são todas positivas, a é a taxa de crescimento da população de presas, c é a taxa de morte da população de predadores e α e são medidas do efeito da interação entre as duas espécies.

16 280 Tendo formulado este modelo, têm as seguintes considerações: I) As equações do sistema (2.6) são conhecidas como as equações de Lotka- Volterra e foram desenvolvidas por Lotka em 1925 e Volterra em Embora essas equações sejam bem simples, elas caracterizam uma grande classe de problemas. II) O comportamento das soluções do sistema (2.5) pode ser analisado conhecendo-se os pontos críticos desse sistema que são obtidos resolvendo as equações Neste caso, os pontos (0,0) e (c/, a /α). III) As variações cíclicas das populações de presas e predadores podem ser avaliadas com mais detalhes quando analisamos as soluções do correspondente problema linear próximas dos pontos críticos. a) Próximo do ponto crítico (0,0). O correspondente sistema linear é dado por Os autovalores e autovetores associados ao sistema (2.7) são e a solução geral é dada por Logo a origem é um ponto de sela e, portanto, um ponto crítico instável. A entrada no ponto de sela é através do eixo dos y e todas as outras trajetórias se afastam de uma vizinhança desse ponto crítico. b) Próximo do ponto crítico (c/, a /α). Se x = (c/ ) + u e y = (a /α) + v, então o correspondente sistema linear é dado por Os autovalores associados ao sistema (2.7) são obtidos a partir da equação

17 281 que são dados por r =. As respectivas soluções são dadas por ( ) ( ) onde as constantes K e Φ são determinadas a partir de condições iniciais. Voltando às variáveis x e y, obtêm ( ) ( ) Para encontrar as trajetórias do sistema (2.8), dividiu a segunda equação pela primeira, obtendo que é uma equação diferencial separável, pois podemos escrevê-la na forma Resolvendo esta equação, obtemos onde k é uma constante de integração não-negativa. Escrevendo a última equação na forma ( ) ( ) observa que as trajetórias do sistema linear são elípticas. Ou seja, as soluções do sistema (2.6) são boas aproximações para as trajetórias quase elípticas próximas do ponto crítico (, ) do sistema. A partir daí, podemos tirar diversas conclusões sobre a variação cíclica das populações de predadores e de presas em tais trajetórias: I) Os tamanhos das populações dos predadores e de presas variam de forma senoidal com período independente das oscilações iniciais;. Esse período de oscilação é

18 282 II) As populações de predadores e presas estão defasadas por um quarto de ciclo. O número de presas aumenta primeiro, depois aumenta o número de predadores; III) As amplitudes das oscilações são para a população de presas e para a de predadores e, portanto, dependem das condições iniciais, assim como dos parâmetros do problema; iv) As populações médias de predadores e de presas em um ciclo completo são e, respectivamente. c) Também pode ser analisado as soluções do sistema (2.6) reduzindo o mesmo a uma única equação da forma que é uma equação separável cujas soluções são da forma onde C é uma constante de integração. A figura 5, para C fixado, são curvas fechadas em torno do ponto crítico ( ). Para entender melhor como se comporta as taxas de crescimento de predadores em relação às presas, vamos dividir o primeiro quadrante em quatro sub-quadrantes pelas retas x = e y=. Têm: a) No sub-quadrante I, temos b) No sub-quadrante II, temos c) No sub-quadrante III, temos

19 283 d) No sub-quadrante IV, temos Portanto, y é crescente como uma função de x nos sub-quadrantes II e IV e é decrescente nos sub-quadrantes I e III, formando assim um ciclo. A curva-solução do problema predador-presa também chamada curva de equilíbrio ecológico pode ser representada na figura 05. Fazendo uma análise desta curva, temos o seguinte: a) Na primeira etapa (arco AB), o número de presas cresce e o número de predadores também cresce devido a abundância de presas. b) Na segunda etapa (arco BC), o número de presas decresce devido ao grande número de predadores os quais continuam crescendo. c) Na terceira etapa (arco CD), o número de predadores diminui devido o baixo número de presas que continuam decrescendo. d) Na quarta etapa (arco DA), o número de presas começa crescer novamente devido o baixo número de predadores que continuam decrescendo, pois o número de presas ainda é pequeno. A partir daí o ciclo começa novamente, pois os números de presas estão crescendo o que acarreta no crescimento dos predadores. Figura 05 - Curva do Equilíbrio Ecológico

20 CONCLUSÃO A partir dos estudos realizados, pode se concluir que: O crescimento de uma espécie na ausência de predadores e sob condições favoráveis é ilimitado, podendo a população ser extinta se apresentar baixa demanda de alimento. Já na presença de predadores, o crescimento dessa população é controlado por uma taxa predatória que inibe o crescimento ilimitado. A competição entre duas espécies pode levar uma delas a extinção, se a interação das mesmas for forte, caso contrário, permanece a coexistência entre as espécies. O modelo presa-predador é uma interação natural de um ecossistema, que mantêm sempre um ciclo natural de sobrevivência, apresentando um equilíbrio ecológico. Mais, quando o ser humano interfere neste ambiente, este ciclo ecológico é quebrado, tendo como conseqüência, um desequilíbrio do sistema, o que leva a extinção das espécies. AGRADECIMENTOS bolsa PIBIC. Ao PIBIC/CNPq/UFCG pelo financiamento do projeto e pela concessão da REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. ANGELINI, R. Ecologia e Modelagem Matemática. Revista da Faculdade de Ciências Biológicas do Centro de Ciências Médicas e Biológicas da PUC-SP. São Paulo: EDUC, v.1, n.1, p , BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de valores de contorno. Livros Técnicos e Científicos, 7ª ed. Editora S.A., Rio de Janeiro, Brasil, COLLE, C. L.; ROSSI, F. L. Aplicação de Equações Diferenciais na Teoria de Malthus. Universidade de Caxias do Sul, Caxias do Sul - RS, Brasil: [S.N], DENNIS, G. Z. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. CENGAGE LEARNING, São Paulo, 2009.

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