ELABORAÇÃO DE UM CADERNO DE ATIVIDADES PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS

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1 ELABORAÇÃO DE UM CADERNO DE ATIVIDADES PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS Karolina Barone Ribeiro da Silva karolinabarone@.yahoo.com.br LINHA DE PESQUISA Educação Matemática nas séries iniciais e finais do Ensino Fundamental e Médio RESUMO Este trabalho trata de uma pesquisa concluída, que teve como um dos objetivos a elaboração de um caderno de atividades para a Educação Básica, contendo noções de geometrias não-euclidianas, especificamente a geometria hiperbólica, a elíptica e a fractal. A inclusão do tema nas orientações das Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná e a escassez de material específico foram alguns dos motivos que levaram à pesquisa aqui relatada. São apresentadas algumas das atividades propostas no caderno, desenvolvidas à luz das Diretrizes. Espera-se que o material venha preencher a lacuna deixada pela carência de bibliografia sobre geometrias não-euclidianas voltada para a Educação Básica. Palavras-Chave: Educação Básica, Geometrias Não-Euclidianas. O PROJETO DE PESQUISA GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS: ALGUMAS ATIVIDADES PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA A pesquisa relatada neste trabalho foi desenvolvida de junho de 2010 a janeiro de 2011, junto ao Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO), no campus de Guarapuava. Um dos seus objetivos era a elaboração de um caderno de atividades relacionadas às geometrias não-euclidianas, à luz das Diretrizes Curriculares Nacionais e da Educação Básica do Estado do Paraná. Uma das justificativas para a pesquisa se deve ao fato que, em 2008, a Secretaria de Estado da Educação do Paraná, por meio das Diretrizes Curriculares da Educação Básica, propôs a inclusão de noções básicas de geometrias não-euclidianas no Ensino Fundamental e Médio (PARANÁ, 2008, p. 55). 1

2 Nas Diretrizes, a proposta de ensino das noções de geometrias não-euclidianas abrange, em relação ao Ensino Fundamental, noções de geometria projetiva, topológica e dos fractais. Já em relação ao Ensino Médio, as Diretrizes orientam que sejam aprofundados os estudos das noções de geometrias não-euclidianas ao abordar a geometria dos fractais, geometria projetiva, hiperbólica e elíptica, sugerindo que as duas últimas sejam tratadas por meio de conceitos desenvolvidos por Lobachevsky e Riemann, respectivamente. Devido ao curto período de tempo para a execução da pesquisa, as atividades do caderno se restringiram apenas à geometria hiperbólica, elíptica e fractal. Acreditamos que a inclusão de tais noções no Ensino Fundamental e Médio tem muito a contribuir com o aprendizado da geometria, possibilitando, entre outros, que os alunos conheçam outras geometrias além da euclidiana. Porém, os professores da Educação Básica, que são responsáveis pela inclusão do tema em sala de aula, têm encontrado muitas dificuldades em desenvolvê-lo com seus alunos. Concordamos com Santos (s.d., p. 2) que afirma, em relação às geometrias não-euclidianas, que não adianta governantes e especialistas em Educação decidirem incluir na Educação Básica determinado conteúdo, se o professor não se sentir seguro para trabalhar com o tema. Entre os motivos para essa insegurança, podemos apontar a bibliografia escassa sobre o tema e a falta de conhecimentos sobre as geometrias nãoeuclidianas. A idéia para a pesquisa aqui relatada e consequentemente para a elaboração do caderno de atividades, teve início em um grupo de estudos orientado por mim, constituído por três alunas do curso de licenciatura em Matemática da UNICENTRO. Por ocasião de uma oficina sobre o ensino das geometrias não-euclidianas na Educação Básica, a ser ministrada na Semana de Estudos da Matemática de 2010, o grupo constatou, em suas pesquisas para a formulação das atividades, que existiam muitos artigos, trabalhos de conclusão de curso, monografias, dissertações, teses e alguns livros que tratavam de noções de geometria fractal, hiperbólica e elíptica, porém de forma isolada. Não foi encontrado material que reunisse um número razoável de atividades interessantes e bem detalhadas sobre os três conteúdos simultaneamente. 2

3 O CADERNO DE ATIVIDADES O material está estruturado em quatro capítulos. No primeiro são feitas algumas considerações históricas sobre as geometrias não-euclidianas. Nos capítulos 2 a 4 são apresentadas atividades sobre geometria hiperbólica, elíptica e fractal. Em cada capítulo são propostas e desenvolvidas atividades sobre os temas utilizando os tradicionais lápis e papel, bem como softwares livres (Régua e Compasso, NonEuclid), vídeos, bolas de isopor, mapa mundi, globo terrestre etc. Além disso, foram elaboradas atividades de busca de certos temas na Internet. Ao final de cada capítulo encontram-se as resoluções de todas as atividades propostas, além das referências bibliográficas e indicação de material adicional para aprofundamento em cada tema. A seguir são apresentados alguns exemplos das atividades dos capítulos 2 a 4, na forma em que se encontram no caderno produzido. As notas de rodapé são as notas presentes no caderno de atividades. Atividades do capítulo 2 (Geometria hiperbólica) Atividade 3 Ângulos No disco de Poincaré os ângulos são medidos como na geometria euclidiana. Se duas retas-h interceptam-se num ponto A, a medida do ângulo formado entre elas é, por definição, a medida do menor ângulo formado pelas semi-retas euclidianas tangentes aos arcos (retas-h) em A. A retas euclidianas tangentes às retas-h em A retas-h com interseção em A 3

4 Existe um software livre que permite trabalhar com os elementos do disco de Poincaré. Trata-se do NonEuclid (versão ) 1. Explore as ferramentas do software e depois faças as atividades abaixo. AT 3a) Construas algumas retas-h que se interceptem. Para isso, inicie um novo documento, clicando em File e em seguida em New. É possível construir retas-h clicando em Construction e em seguida em Draw Line. Observe as retas-h obtidas por meio desta ferramenta na FIG. 6. FIGURA 6 Exemplos de retas-h AT 3b) Determine a medida do ângulo formado por duas das retas construídas na atividade anterior. 1 O software pode ser obtido em Acesso em 28/01/2011. Mais informações, em português, estão disponíveis em Caldeira e Carvalho (2006). 4

5 Clique em Measurements e em seguida em Measure Angle. Siga as instruções que aparecem no canto superior esquerdo da tela. Observe na FIG. 7 o resultado obtido como medida do ângulo BÂF da FIG. 6. FIGURA 7 Medida do ângulo BÂF Observe que em AT 3b obtivemos a medida de um ângulo previamente construído. Como deveríamos proceder se ao invés de realizar a medição resolvêssemos construir um ângulo hiperbólico medindo, por exemplo, 60º utilizando o software Régua e Compasso? AT 3c) Construa um ângulo hiperbólico medindo 60º utilizando o software Régua e Compasso. Como você faria isso? 5

6 Vamos nos ater no que foi dito no início da atividade 3: Se duas retas-h interceptam-se num ponto A, a medida do ângulo formado entre elas é, por definição, a medida do menor ângulo formado pelas semi-retas euclidianas tangentes aos arcos (retash) em A. Assim, para construirmos um ângulo hiperbólico medindo 60º, primeiramente devemos construir o ângulo euclidiano que tenha tal medida. E depois? O passo seguinte consiste em obter duas retas-h, que se interceptem no vértice do ângulo construído, de forma que as retas euclidianas que contêm os lados do ângulo euclidiano sejam tangentes às retas-h no seu ponto de interseção. Parece complicado, mas não é. Basta revisar a atividade 2. Atividades do capítulo 3 (Geometria elíptica) Atividade 3 Triângulos AT 3a) 1. Partindo de certo ponto da Terra, um caçador andou 10 quilômetros para o sul, 10 quilômetros para o leste e 10 quilômetros para o norte, voltando ao ponto de partida. Ali encontrou um urso. De que cor é o urso? Represente a trajetória do caçador e identifique a figura formada. Como você a chamaria? (atividade adaptada de Barco (1989)) 2. Que elementos a formam? 3. Elabore uma definição para a figura encontrada. AT 3b) Marque três pontos distintos sobre uma bola de isopor. Quantos triângulos você consegue obter tendo esses pontos como vértices? Faça uma representação desses triângulos no papel. AT 3c) Seja P um ponto sobre uma reta na superfície esférica. É possível construir um triângulo com apenas um ângulo reto, sendo P um de seus vértices? Explique. AT 3d) É possível construir um triângulo esférico com dois ângulos retos? 6

7 AT 3e) O que ocorre com a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo construído na atividade anterior? AT 3f) É possível construir um triângulo com três ângulos retos? Qual é a porção da superfície esférica ocupada por ele? Explique. AT 3g) Você conseguiria construir um triângulo que ocupasse ¼ da superfície esférica? Explique. AT 3h) De acordo com a resolução da atividade anterior, você acha que é possível obter triângulos degenerados com soma dos ângulos internos diferente de 360? Explique. AT 3i) De acordo com as atividades anteriores, você acha que há relação entre a área do triângulo esférico e a soma de seus ângulos internos? Explique. AT 3j) Como você pode perceber nas atividades anteriores, é possível obter triângulos esféricos com diferentes somas das medidas dos ângulos internos. Existe um valor mínimo para esta soma? E um valor máximo? Explique. AT 3k) Considere o triângulo esférico ABC destacado na figura a seguir. Utilize os seus conhecimentos de geometria espacial em relação aos elementos da esfera para mostrar que a área desse triângulo (A ABC ) e a soma de seus ângulos internos (A + B + C) se relacionam por meio da expressão A + B + C = π + A ABC /r 2, em que r é o raio da esfera. 7

8 Fonte: (p. 110) AT 3l) Utilize a expressão deduzida na atividade anterior, para mostrar que o triângulo que ocupa 1/8 da superfície esférica tem 270 como soma de seus ângulos internos. Atividade do capítulo 4 (Geometria fractal) Atividade 1 Conjunto de Cantor O matemático russo naturalizado alemão Georg Cantor publicou, em 1883, um trabalho no qual é construído um conjunto chamado hoje de Conjunto de Cantor ou Poeira de Cantor, um dos monstros matemáticos. Georg Cantor Fonte: Acesso em 06/02/

9 AT 1a) Construa alguns níveis do conjunto de Cantor, seguindo os passos abaixo. a) Nível 0: inicie com um segmento de reta de comprimento qualquer. b) Nível 1: divida o segmento no nível zero em três partes iguais e elimine a central. c) Nível 2 em diante 2 : divida cada segmento do nível anterior 3 em três partes iguais. É importante ressaltar que a figura conhecida como conjunto de Cantor, bem como qualquer outro fractal, só será obtida após o desenvolvimento de infinitos níveis. Os cinco primeiro níveis do fractal são apresentados abaixo: Fonte: MIRANDA et al.(2008, p. 6) Observe a auto-similaridade: cada pequeno segmento é similar ao todo, porém tem menor comprimento. AT 1b) Você consegue explicar o porquê da denominação Poeira de Cantor? AT 1c) Observe o número de segmentos em cada nível. Deduza uma expressão para o número de segmentos em um nível n qualquer. 2 Lembre-se que uma das características dos fractais é a complexidade infinita. Logo, são necessários infinitos níveis para obter o fractal. Por questões óbvias, apenas alguns níveis serão representados. 3 A recursividade citada na propriedade 2, pode ser verificada notando que cada nível é obtido com base no nível anterior. 9

10 AT 1d) Observando a figura anterior, o que acontece com o número de segmentos à medida que construímos mais níveis? AT 1e) De acordo com a expressão obtida na atividade anterior, o que acontece com o número de segmentos quando n tende ao infinito, ou seja, quando n tende a ser um número infinitamente grande? AT 1f) Suponha que o segmento do nível 0 tenha comprimento igual a 1 metro. Quanto medirá cada segmento do nível n? AT 1g) Como você uniria as informações de AT 1c e AT 1f para determinar o comprimento total da figura de um nível n qualquer? O que acontece com esse comprimento quando n tende ao infinito? CONSIDERAÇÕES FINAIS Espera-se que o caderno de atividades venha preencher a lacuna deixada pela escassez de material sobre geometrias não-euclidianas voltado para a Educação Básica, servindo de consulta e apoio para os professores (e futuros professores) da Educação Básica e Superior, e para outros interessados em geometrias não-euclidianas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARCO, L. Geometria com urso e sem urso: colocando a matemática em xeque. Superinteressante, São Paulo, mar Disponível em: shtml. Acesso em: 25 de fev CALDEIRA, P. I. D.; CARVALHO, T. F. Tradução do software NonEuclid. In: ENCONTRO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA, 3., 2008, Campinas. Anais do XIII Encontro de Iniciação Científica da PUC-Campinas. Disponível em: Acesso em: 26 de abr

11 MIRANDA, J. G. V.; ASSIS, T. A.; MOTA, F. B.; ANDRADE, R. F. S.; CASTILHO, C. M. C. Geometria fractal: propriedades e característica de fractais ideais. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 30, n. 2, 2304 (2008), p Disponível em: Acesso em 25 de fev PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná, Disponível em: 09/matematica.pdf. Acesso em: 17 de abr SANTOS, T. S. Geometrias não-euclidianas em um curso de atualização para professores da Educação Básica. Disponível em: Acesso em: 17 de abr