A ABORDAGEM DE GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA EM IRATI (PR)

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1 A ABORDAGEM DE GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA EM IRATI (PR) João Carlos Lemos Júnior Karolina Barone Ribeiro da Silva Hrentchechen Universidade Estadual do Centro-Oeste Campus Universitário de Irati Irati Paraná Resumo: Este artigo relata resultados de um trabalho de conclusão de curso cujo objetivo era verificar se e como geometrias não euclidianas são tratadas em instituições públicas de educação básica da cidade de Irati (PR). A pesquisa assumiu uma abordagem qualitativa e a coleta de dados foi feita por meio de questionários respondidos por 15 professores. Observou-se que a maioria não aborda geometrias não euclidianas em suas aulas. Visando contribuir com a difusão de geometrias não euclidianas nas escolas, foi elaborado um material de apoio no formato digital, que está disponível em um site para os professores. Palavras-chave: Geometrias Não Euclidianas, Ensino, Matemática. 1 INTRODUÇÃO Este trabalho relata uma pesquisa realizada pelo primeiro autor, sob a orientação do segundo, para o Trabalho de Conclusão do curso de licenciatura em Matemática da UNICENTRO (Irati PR). Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (DCE), documento responsável pela organização dos conteúdos de acordo com cada etapa de ensino, consta que para o Ensino Fundamental e Médio, o Conteúdo Estruturante Geometrias se desdobra nos seguintes conteúdos básicos: geometria plana; geometria espacial; geometria analítica e noções básicas de geometrias não euclidianas. (PARANÁ, 2008, p. 55). Sabe-se que a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) foi homologada em dezembro de 2017, porém, de acordo com as orientações da Secretaria de Estado da Educação (SEED), as instituições de ensino do Paraná continuarão estabelecendo seus planos de trabalho de acordo com as DCE, uma vez que a BNCC será introduzida lentamente. Vale salientar também que a reforma do ensino médio ainda não ocorreu. O estudo da geometria, assim como de qualquer outro conteúdo estruturante, assume vasta importância, uma vez que este admite um caráter construtivo no decorrer do aprendizado dos alunos em cada etapa da educação básica, dessa forma, Fonseca et al. (2005) afirmam, em relação à geometria, que: É possível e desejável, todavia, que o argumento da utilização da Geometria na vida cotidiana, profissional ou escolar, permita e desencadeie o reconhecimento de que

2 sua importância ultrapassa esse seu uso imediatamente para ligar-se a aspectos mais formativos. (FONSECA et al., 2005, p. 92). Pode-se dizer que: A geometria é um dos temas mais interessantes para serem explorados pelos professores, por constituir - se de uma riqueza em ilustrações, por possibilitar resoluções diversas com criatividade e por fim, atraindo os alunos para uma interação com o conhecimento nas construções e interpretações de problemas do cotidiano. Arriscamos a dizer que a geometria é a disciplina que possibilita com maior ênfase a capacidade de desenvolvimento cognitivo. (BRUM e SCHUHMACHER, 2012, p. 2) O fator desencadeador da pesquisa aqui descrita foi o fato que alguns docentes da área da matemática afirmam aos alunos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º ou que por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela à reta dada (resultado conhecido como Postulado de Euclides ou Postulado das Paralelas), não reconhecendo certas vezes a existência de geometrias não euclidianas, fornecendo ao estudante um conceito fragmentado, quando não se especifica o tipo de geometria tratada no momento. Tal sentença pode ser alterada tanto na geometria hiperbólica, como na geometria elíptica, por exemplo, ambas geometrias não euclidianas. Este trabalho almejou relatar se e como geometrias não euclidianas vêm sendo tratadas na educação básica. De acordo com Coutinho (2001): Na Geometria Hiperbólica, o Postulado de Euclides é substituído pelo que afirma que, por um ponto P, fora de uma reta r, existe mais de uma paralela a esta reta r, enquanto que na Geometria Elíptica postula-se que não existe nenhuma paralela.. (COUTINHO, 2001, p. 36) Silva (2011) entende por geometrias não euclidianas: Aquelas que surgiram devido a discussões acerca do quinto postulado de Euclides. É comum que apenas a geometria hiperbólica e a elíptica sejam chamadas de não euclidianas, mas alguns também incluem a geometria táxi, projetiva, topológica, etc. (SILVA, 2011, p. 19). Houve muita discussão acerca do quinto postulado de Euclides, uma vez que um postulado é aceito como verdade sem a necessidade de uma demonstração, muitos matemáticos como por exemplo Lobachevsky e Gauss, encaravam este postulado como um teorema e tentaram demonstrá-lo, a partir destas tentativas, surgem novas geometrias que não obedecem a este postulado, que é o que chamamos de geometria não euclidiana. Segundo Eves (2004): A consequência imediata da descoberta de geometrias não-euclidianas consistentes internamente foi, é claro, a solução final do secular problema do postulado das paralelas[...]. Uma consequência de alcance muito maior foi a libertação da geometria de seus moldes tradicionais. Despedaçou-se uma convicção secular e profundamente arraigada de que apenas uma geometria era possível e abriu-se caminho para a criação de muitos outros sistemas geométricos (EVES, 2004, p. 544). Com base nas DCE, as noções de geometrias não euclidianas começam a partir do sétimo ano. Desta forma, tem-se noções topológicas por meio do conceito de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados. Já em turmas de oitavo ano, os alunos devem conhecer os fractais utilizando visualização e manipulação de

3 materiais e discutir suas propriedades. No nono ano tem início noções básicas de geometria projetiva. Já para o ensino médio, espera-se que aluno perceba a necessidade das geometrias não euclidianas para a compreensão de conceitos geométricos, quando analisados em planos diferentes do plano de Euclides; compreenda a necessidade das geometrias não euclidianas para o avanço das teorias científicas; articule ideias geométricas em planos de curvatura nula, positiva e negativa e conheça os conceitos básicos da Geometria Elíptica, Hiperbólica e Fractal (PARANÁ, 2008). Ainda de acordo com as DCE, a abordagem da geometria hiperbólica e da geometria elíptica, por exemplo, resume-se de tal modo que: Para abordar os conceitos elementares da geometria hiperbólica, uma possibilidade é através do postulado de Lobachevsky (partindo do conceito de pseudo-esfera, pontos ideais, triângulo hiperbólico e a soma de seus ângulos internos). Já na apresentação da geometria elíptica, fundamentá-la através do seu desenvolvimento histórico e abordar: postulado de Riemann; curva na superfície esférica e discutir o conceito de geodésia; círculos máximos e círculos menores; distância na superfície esférica; ângulo esférico; triângulo esférico e a soma das medidas de seus ângulos internos; classificação dos triângulos esféricos quanto à medida dos lados e dos ângulos; os conceitos referentes à superfície da Terra: polos, equador, meridianos, paralelos e as direções de movimento (PARANÁ, 2008, p. 57). O ensino de qualquer geometria requer criatividade e acima de tudo, muita pesquisa e leitura, especialmente no que se refere às geometrias não euclidianas, para que assim não haja fragmentação de conceitos e definições importantes que norteiam tal estudo, evitando que o aluno se frustre diante dos diferentes tipos de geometria e de fato compreenda cada conceito e definição trabalhada em superfícies distintas. Nesta linha de pensamento, Freire (2016) defende que não há ensino sem pesquisa e pesquisa sem ensino, esses quefazeres se encontram um no corpo do outro, enquanto ensino contínuo buscando, reprocurando. Ensino porque busco, porque indaguei, porque indago e me indago. (FREIRE, 2016, p.30). 2 METODOLOGIA A pesquisa aqui descrita é de natureza qualitativa Os pesquisadores que utilizam os métodos qualitativos buscam explicar o porquê das coisas, exprimindo o que convém ser feito, mas não quantificam os valores e as trocas simbólicas nem se submetem à prova de fatos, pois os dados analisados são não-métricos (suscitados e de interação) e se valem de diferentes abordagens. (GERHARDT e SILVEIRA, 2009, p. 32) Com base neste tipo de abordagem para pesquisa, pode-se dizer que: A análise qualitativa depende de muitos fatores, tais como a natureza dos dados coletados, a extensão da amostra, os instrumentos de pesquisa e os pressupostos teóricos que nortearam a investigação. Pode-se, no entanto, definir esse processo como uma sequência de atividades, que envolve a redução dos dados, a categorização desses dados, sua interpretação e a redação do relatório. (GIL, 2002, p. 133) O instrumento de pesquisa foi um questionário (apêndice) composto por perguntas abertas e fechadas, sendo as perguntas iniciais referente à formação do professor e tempo de

4 trabalho, e logo em seguida questões mais específicas, dando ênfase ao ensino de geometrias não euclidianas. O questionário é um instrumento de coleta de dados que compreende um conjunto de perguntas previamente elaboradas que, diferentemente da entrevista, deve ser respondido por escrito e enviado ao pesquisador [...]. Evidentemente, esse tipo de instrumento de pesquisa oferece a vantagem da economia de custo, de tempo, bem como pode atingir um grande número de pessoas e proporcionar menor risco de interferência do pesquisador nas respostas dos pesquisados [...]. (MARCONI e LAKATOS, 2017, p. 322) O questionário foi distribuído para 15 professores da rede pública de ensino que atuam com a disciplina de matemática na cidade de Irati (PR), em 15 instituições diferentes no município. Com o questionário pretendia-se, além de verificar se e como geometrias não euclidianas vinham sendo tratadas na educação básica, investigar se existia lacunas no conhecimento do tema por parte dos professores e elaborar um material de apoio para eles. 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES Ao analisar as respostas dos questionários, em relação à formação e tempo de trabalho dos professores, observou-se que 9 possuem graduação em licenciatura em matemática e os outros 6, formação em ciências, agregada de uma posterior complementação em matemática. Nenhum professor tem mestrado concluído; apenas um dos entrevistados está fazendo mestrado na área de ensino da matemática. Todos os professores possuem especialização. Dentre elas, pode-se destacar: educação do campo; educação especial; meio ambiente; matemática e suas tecnologias; educação matemática e psicopedagogia; metodologia do ensino da matemática; gestão escolar e educação especial com ênfase em libras. Ainda se constatou que 4 professores já concluíram seu projeto no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), em álgebra, jogos, geometria e, também um deles relacionado a agrotóxicos, sendo este um dos professores que possuem formação na área de ciências. Dentre todos os respondentes, 5 atuam na educação há mais de 20 anos; 4 de 11 a 20 anos; 4 de 4 a 10 anos e 2 atuam há menos de 4 anos. É importante salientar que o tempo de experiência pode refletir diretamente nas respostas sobre ensino de geometrias não euclidianas, já que os profissionais com experiência superior a 20 anos, por exemplo, são os concluíram sua formação há muito tempo e alguns destes possuíam apenas a graduação em ciências, de modo que a matemática foi feita em forma de complementação. As questões da segunda parte do questionário são as mais relevantes para a pesquisa. A primeira questão da segunda parte, indagava os professores sobre quais eixos da geometria já haviam trabalhado em sala de aula, oferecendo as alternativas a serem marcadas de acordo com as DCE: geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e noções de geometrias não euclidianas. Entre os docentes, 12 já haviam trabalhado com geometria analítica (conteúdo que tem início no oitavo ano) e todos com a geometria plana e com a geometria espacial (presente em todos os anos da educação básica). Somente 2 professores assinalaram a alternativa que correspondia às noções de geometrias não euclidianas, sendo ambos profissionais com mais de 20 anos de experiência. Na próxima questão os respondentes deveriam classificar o seu conhecimento acerca de noções de geometrias não euclidianas. Apenas 1 professor declarou que não conhecia o tema e 2 professores declararam possuir conhecimento e já terem trabalhado geometrias não

5 euclidianas em suas aulas. Infelizmente 12 afirmaram que possuíam conhecimento sobre o tema, porém nunca tinham trabalhado com ele em sala. Na sequência outra questão perguntava aos docentes o motivo de sua resposta na questão anterior. O único professor que declarou não possuir conhecimento sobre o tema, relatou que tinha interesse em saber sobre o assunto, pois ele aparentava ser muito interessante. Os que relataram já terem trabalhado com o assunto, afirmaram que tinham abordado apenas conceitos básicos de geometria elíptica e hiperbólica no ensino médio, e um pouco de geometria topológica no ensino fundamental. Já os professores que possuíam conhecimento sobre o tema, mas que nunca tinham tratado do assunto em suas aulas, relataram os seguintes motivos: dificuldades em elencar este conteúdo no planejamento, devido ao número reduzido de aulas de matemática por turma, principalmente no ensino médio; currículo muito extenso, possibilitando exclusivamente o trabalho com a geometria euclidiana plana e a geometria espacial; falta de preparo para a abordagem do tema; falta de interesse demonstrado pelas escolas no desenvolvimento dos conteúdos; ausência do assunto no projeto político pedagógico da instituição e abordagem exclusiva da geometria euclidiana plana. A partir da pesquisa notou-se que 2 professores, mesmo não tendo contato algum com as geometrias não euclidianas, também não se interessam em conhecer as noções que norteiam tal estudo. Em 1 questionário foi possível identificar que o respondente se contradisse, expondo que não possuía conhecimento sobre geometrias não euclidianas, mas relatando já ter trabalhado com noções básicas de fractais por meio de vídeos, o que leva a concluir que ele pode ter se precipitado na resposta, ou não compreender que a geometria fractal é um tipo de geometria não euclidiana. Diante do exposto pelos professores, inicialmente foi idealizado um minicurso de formação continuada para os docentes sobre noções das geometrias não euclidianas citadas nas DCE. No entanto, devido às dificuldades na concretização da proposta, optou-se por elaborar um material digital e disponibilizá-lo no site da professora orientadora da pesquisa, em < O material citado acima foi produzido de modo a contemplar os seguintes itens: (i) especificação dos objetivos propostos nas DCE quanto às geometrias não euclidianas para o ensino fundamental e médio; (ii) breve introdução de geometrias não euclidianas em geral; breve introdução para cada uma das geometrias a seguir: geometria projetiva, geometria topológica, geometria dos fractais, geometria hiperbólica e geometria elíptica, e ainda o mínimo de duas atividades para cada um destes cincos tipos de geometria; (iii) soluções de todas as atividades propostas no item anterior e (iv) indicações de bibliografia para aprofundamento sobre geometrias não euclidianas. A seguir é apresentada uma das atividades do material de apoio. Atividade 03 Soma dos ângulos internos do triângulo Novamente, de posse de uma esfera de isopor e de fitas adesivas de três cores diferentes, divida a sala em grupos para seguirem as seguintes etapas e assim, fazerem as investigações que serão propostas: Etapa 1 Distribua uma esfera para cada grupo. Etapa 2 Solicite que os alunos representem a Linha do Equador na esfera com uma cor de fita. Etapa 3 Peça aos estudantes que representem o Meridiano de Greenwich com outra cor de fita. Etapa 4 - Requisite aos alunos que passem uma terceira fita, de modo a dividir a esfera em oito partes iguais (ou o mais próximo possível disto).

6 a) As oito figuras formadas na esfera assemelham-se a que figura da geometria euclidiana plana? b) A partir das figuras formadas, como poderíamos definir e mensurar seus ângulos? c) Com base na conclusão do item (b), calcule a soma dos ângulos internos de uma das figuras e compare com o que você sabe sobre esta soma na geometria euclidiana plana. d) Você consegue representar um triângulo na superfície esférica cuja soma dos ângulos internos seja menor que 180º? e) Represente um triângulo nesta superfície, cuja soma dos ângulos internos seja menor que 270º. Na sequência são apresentadas as soluções da atividade: Atividade 03 a) Triângulos. b) Neste tipo de geometria, um ângulo pode ser obtido pela interseção de duas circunferências máximas, e a medida deste é a mesma do ângulo plano formado pelas retas tangentes tiradas do ponto de interseção. c) A soma será de aproximadamente 270º, ou seja, não mais 180º, como na geometria euclidiana plana. d) Isso não é possível, pois na geometria elíptica a soma dos ângulos internos do triângulo é superior a 180º. e) Basta traçar a linha do equador e em seguida mais dois meridianos que não sejam perpendiculares, e assim, notar que aparecerão triângulos com soma dos ângulos internos superior a 270º e também inferior a 270º. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS O estudo de geometrias não euclidianas oportuniza ao aluno o conhecimento de outras geometrias além da euclidiana, possibilitando compreender que nem todos os postulados e teoremas da geometria euclidiana plana são válidos em outras geometrias, podendo tornar as aulas mais investigativas. As geometrias não euclidianas dão liberdade ao professor de matemática para interagir com professores de outras áreas do conhecimento, como geografia e artes. Na geometria da superfície esférica (geometria elíptica), por exemplo, é possível trabalhar o conceito de meridianos e linha do Equador (da geografia), enquanto na disciplina de artes pode-se abordar a geometria projetiva e a geometria dos fractais. Em relação às respostas obtidas no questionário, nota-se que as geometrias não euclidianas ainda não ganharam seu devido espaço nas escolas, seja por causa do currículo extenso, falta de conhecimento dos docentes, ausência de apoio da instituição de ensino etc. Sendo assim, espera-se que o material desenvolvido contribua com a formação continuada dos professores e possibilite que as geometrias não euclidianas conquistem seu espaço na sala de aula, ainda que aos poucos. 5 REFERÊNCIAS

7 BRUM, W. P.; SCHUHMACHER, E. Uma abordagem de geometria não euclidiana no ensino médio: contribuições para o ensino de matemática. In: SIMPÓSIO NACIONAL DE ENSINO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA, 3., Anais do III SINECT, 2012, p Disponível em: < Acesso em: 22 jun COUTINHO, L. Convite às Geometrias Não-euclidianas. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência, EVES, H. Introdução à História da Matemática. São Paulo: Editora da UNICAMP, FONSECA, M. C. F. R. ; LOPES, M. P.; BARBOSA, M. G. G.; GOMES, M. L. M.; DAYRELL, M. M. M. S. S. O ensino de Geometria na Escola Fundamental: três questões para a formação do professor. Belo Horizonte: Autêntica, FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, GERHARDT, T. E.; SILVEIRA, D. T. A Pesquisa Científica. Porto Alegre: Ed. UFRGS, GIL, A. C. Como Elaborar Projetos de Pesquisa. São Paulo: Atlas, MARCONI, M. A.; LAKATOS, E. M. Metodologia Científica. São Paulo: Atlas, PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba: Secretaria de Estado de Educação, SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. Curitiba: CRV, APÊNDICE UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO OESTE Campus Universitário de Irati Setor de Ciências Agrárias e Ambientais SEAA/I Departamento de Matemática DEMAT/I Este questionário enquadra-se numa pesquisa no âmbito de Trabalho de Conclusão de Curso, realizada pelo acadêmico João Carlos Lemos Júnior, da Universidade Estadual do Centro-Oeste, Campus Irati (Departamento de Matemática), sob orientação da Profª Karolina Barone Ribeiro da Silva Hrentchechen. Os resultados obtidos serão utilizados apenas para fins acadêmicos. A linha de pesquisa é direcionada para Noções de Geometrias Não Euclidianas (geometria elíptica, geometria hiperbólica, geometria dos fractais, geometria projetiva e geometria topológica). O questionário é anônimo, não devendo por isso colocar a sua identificação e nem assinar o questionário. Seu nome, bem como o da escola, não será divulgado.

8 Não existem respostas certas ou erradas. Por isso, responda de forma espontânea e sincera a todas as questões. Obrigado pela sua colaboração. 1) Qual é a sua formação (graduação)? 2) Você fez mestrado? ( ) Sim, em 3) Você fez doutorado? ( ) Sim, em 4) Você fez alguma especialização? ( ) Sim, em 5) Possui PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional)? ( ) Sim, no tema 6) Há quanto tempo atua como professor na educação básica? ( ) Menos de 4 anos. ( ) De 4 a 10 anos. ( ) De 11 a 20 anos. ( ) Mais de 20 anos. 7) Com base nas divisões em relação aos conteúdos de geometria, propostas nas Diretrizes Curriculares do Paraná Matemática (DCEs), assinale quais delas você já trabalhou: ( ) Geometria Analítica. ( ) Geometria Plana. ( ) Geometria Espacial. ( ) Noções de Geometrias Não Euclidianas (geometria elíptica, geometria hiperbólica, geometria dos fractais, geometria projetiva e geometria topológica). 8) Como o seu conhecimento em noções de geometrias não euclidianas poderia ser classificado: ( ) Nunca tive contato com este tema. ( ) Tenho conhecimento sobre o tema, e já tratei algumas noções em sala de aula.

9 ( ) Tenho conhecimento sobre o tema, mas nunca trabalhei em sala de aula. 9) Em sua formação, você teve alguma disciplina que tratou sobre noções de geometrias não euclidianas? ( ) Sim. PERGUNTA DIRECIONADA A QUEM OPTOU PELO 1º ITEM DA PERGUNTA 8 Você tem interesse em saber algo sobre geometrias não euclidianas? Por quê? PERGUNTA DIRECIONADA A QUEM OPTOU PELO 2º ITEM DA PERGUNTA 8 Qual motivo influenciou você a trabalhar com este tema? Quais geometrias não euclidianas fizeram parte das suas aulas? PERGUNTA DIRECIONADA A QUEM OPTOU PELO 3º ITEM DA PERGUNTA 8 Algum fator específico influenciou para que você não trabalhasse com este tema? 10) Você teria interesse em participar de uma palestra direcionada para uma introdução às geometrias não euclidianas (com ideias de atividades), com duração de uma hora em algum colégio de sua cidade? ( ) Sim.

10 THE APPROACH OF NON-EUCLIDIAN GEOMETRIES IN BASIC EDUCATION IN IRATI (PR) Abstract: This paper reports results of a course completion work whose objective was to verify if and how non-euclidean geometries are treated in public institutions of basic education in the city of Irati (PR). The research took a qualitative approach and the data collection was done through questionnaires answered by 15 teachers. It was observed that most do not approach non-euclidean geometries in their classrooms. In order to contribute to the diffusion of non-euclidean geometries in schools, a support material in the digital format was prepared, which is available on a website for teachers. Keywords: Non-Euclidean Geometry, Teaching, Mathematics.