GEOMETRIA DO TÁXI: INTRODUÇÃO ÀS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS

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1 GEOMETRIA DO TÁXI: INTRODUÇÃO ÀS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS Lilian Kellen Pacheco Tumasz Karolina Barone Ribeiro da Silva Hrentchechen Universidade Estadual do Centro-Oeste Campus Universitário de Irati Irati Paraná Resumo: O presente artigo descreve um trabalho de conclusão de curso no qual foi realizada uma pesquisa de caráter qualitativo com os professores de matemática do município de Rebouças (PR), com o intuito de analisar se as geometrias não euclidianas estavam sendo trabalhadas nas escolas estaduais conforme orientam as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná e apresentar a Geometria do Táxi como uma alternativa para introduzir as geometrias não euclidianas. Com base nessa pesquisa, elaborou-se um material de apoio para os professores de matemática a fim de divulgar a Geometria do Táxi, pois, conforme os resultados obtidos, poucos são os professores que têm conhecimento sobre esta geometria. Palavras-chave: Educação Básica, Geometria Euclidiana, Geometria de Lobchevsky. 1 INTRODUÇÃO Este artigo caracteriza-se como um trabalho de conclusão do curso de licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Centro Oeste (UNICENTRO), campus Irati (PR), realizado pela primeira autora sob a orientação da segunda. Sem dúvidas as diferentes formas encontradas na natureza despertam a curiosidade do homem. Desde os primórdios ele observa o mundo ao seu redor. É a partir dessas observações que conceitos geométricos vão ganhado forma. Essa evolução se deu exatamente como a evolução dos conceitos geométricos de uma criança atual, que sem conceitos matemáticos, ao observar o mundo à sua volta, traça seus primeiros desenhos (CONTADOR, 2008, p. 191). Segundo este autor, não se sabe ao certo o momento em que esses conceitos passaram a ser produzidos de forma consciente, mas com o passar do tempo não somente conceitos envolvendo formas encontradas na natureza foram explorados, mas também aqueles criados ou desenvolvidos pelo próprio homem. Muitas vezes os resultados não eram corretos, apenas aproximados, todavia são esses resultados que permitiram que a Geometria se desenvolvesse de tal forma até o momento em que ganhou o renome de Ciência. No início da matemática, áreas como a aritmética e a mensuração prática ganharam maior ênfase. Isso é tão evidente que é justamente da mensuração prática que se origina a palavra Geometria, geo = terra, métres = metra = metro, ou aquele que mede terras, ou ainda medidas de terra. Com o início da aplicação e ensino dessa ciência prática, novas tendências começam a se desenvolver, abrangendo a área da abstração, passando a estudar a ciência por si mesma.

2 Uma obra de suma importância para a Geometria é os Elementos, de Euclides. Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico. Mais de mil edições impressas dos Elementos já apareceram desde a primeira delas em 1482; por mais de dois milênios esse trabalho dominou o ensino da geometria. (EVES, 2004, p. 167). Por muito tempo a geometria limitou-se aos Elementos de Euclides; o que estava escrito em sua obra eram verdades incontestáveis. No entanto, a riqueza de conhecimentos que a Geometria oferece é tão grande que não poderia ficar presa a uma única obra. Novos questionamentos surgem com o desenvolvimento da Geometria de Lobachevsky, o primeiro matemático a publicar sobre uma geometria não euclidiana. Ele analisa o comportamento da geometria quando aplicada no espaço, caracterizando-a como uma ciência experimental. Esse pensamento choca-se diretamente com o pensamento filosófico que dominava aquela época, que pregava que sem os postulados de Euclides não seria possível chegar a um raciocínio arraigado sobre o espaço. Ocorre então a libertação não só da Geometria, mas também da Matemática, já que A matemática despontou como uma criação arbitrária do espírito humano e não como algo necessariamente ditado a nós pelo mundo em que vivemos. (EVES, 2004, p. 545). Com tal libertação, a Geometria passa a assumir novos horizontes além do euclidiano. A descoberta de geometrias não euclidianas rompe com um único modo de pensar, desmistificando a ideia de uma matemática com verdades absolutas. A importância revolucionária da descoberta da Geometria não-euclidiana reside no fato de que ela destruiu a noção dos axiomas de Euclides como esquema matemático imutável dentro do qual nosso conhecimento experimental da realidade física deveria se ajustar. (COURANT & ROBBINS, 2000, p. 258). Sem dúvidas, Lobachevsky quebrou uma crença de muitos séculos, abrindo espaço para a criação de novas geometrias. Com a liberdade gerada pela geometria de Lobachevsky, o surgimento de novas geometrias tornou-se viável. As contestações ao quinto postulado de Euclides já haviam sido feitas. As bases para novas criações já não seriam axiomáticas. As novas geometrias que poderiam e ainda podem surgir serão de natureza métrica. (CÉSAR, 2010, p.26). Todos os estudantes aprendem matemática na escola e suas primeiras noções de Geometria são seguindo postulados e axiomas de Euclides, mas segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCE) o conteúdo estruturante Geometrias também precisa se desdobrar em noções básicas de geometrias não euclidianas. Contudo, conforme Garbi comenta: A expressão GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS costuma provocar uma falsa ideia de extrema dificuldade ou de que somente um esforço desmesurado pode permitir ao principiante cruzar sua pons asunorum. A maioria dos livros não tem contribuído para dissipar tal ideia: os que falam genericamente sobre o tema, enunciando estranhas propriedades sem prová-las, parecem considerar os leitores incapazes de compreender as demonstrações enquanto os volumosos tratados que entram em minúcias causam desânimo já à primeira folheada. (GARBI, 2010, p.326).

3 Dessa forma, o presente trabalho tem por objetivo apresentar uma geometria não euclidiana que se destaca por sua simplicidade de compreensão, podendo ser inserida na educação básica: a geometria do táxi. Vale ressaltar que apesar de a geometria do táxi não estar contida nas DCE, estas reforçam a importância do estudo das geometrias não euclidianas, afirmando que muitos problemas do cotidiano e do mundo científico só são resolvidos pelas geometrias nãoeuclidianas (PARANÁ, 2008, p. 56). As geometrias não euclidianas são agentes muito úteis na ampliação do conhecimento do aluno. Ao estudar geometria, ou melhor, ao olhar pela janela da geometria, como diria Mlodinow, nossos alunos tem a oportunidade de apreciar e interagir com o ambiente ao seu redor podendo relacionar as ideias geométricas com números, medições e estruturas matemáticas, e desse modo ampliar o seu horizonte de conhecimento. A geometria pode assim agir como tema integrador na Matemática do Ensino Médio uma vez que a intuição e o formalismo, a abstração e a dedução fazem parte de sua estrutura. (LOIOLA & COSTA, 2015, p.180). Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1997, p. 24) a Matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber é como um fruto da construção humana na sua interação constante com o contexto natural, social e cultural. A esse respeito, para que o aluno possa desfrutar dessa construção é de suma importância que ele venha olhar além, olhar pela janela da geometria. Além disso, os PCN também evidenciam que o estudo da geometria é essencial para que o aluno possa compreender o espaço em que vive, aprendendo a explorá-lo e mover-se melhor. Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (BRASIL, 1997, p.51). Sendo assim, a geometria do táxi vem contrapor toda aquela complexidade pela qual as geometrias não euclidianas são conhecidas, em razão desta se diferir das demais ao se parecer muito com a geometria euclidiana a qual os alunos estão habituados, dado que as duas geometrias diferem conceitualmente apenas pela métrica. O enfoque deste trabalho é apresentar a geometria do táxi como um recurso didático para os professores de matemática, podendo ser usada como introdução ao tema geometrias não euclidianas. 2 METODOLOGIA Foi realizada uma pesquisa de campo de caráter qualitativo com 12 professores de matemática da rede de ensino estadual (ensino fundamental e médio) do município de Rebouças (PR), para analisar se geometrias não euclidianas estão sendo trabalhadas e se esses professores têm conhecimento sobre a Geometria do Táxi. A coleta de dados foi feita via questionário. Segundo Gil (1999, p.128), pode-se definir o questionário como a técnica de investigação composta por um número mais ou menos elevado de questões apresentadas por escrito às pessoas, tendo por objetivo o conhecimento de opiniões, crenças, sentimentos, interesses, expectativas, situações vivenciadas etc. A obtenção dos dados ocorreu a partir da aplicação do questionário a esses professores, sendo que 7 atuam na zona urbana e 5 na zona rural. O total de escolas estaduais que há nesse município são 4, destacando que apenas uma professora atua em duas escolas.

4 Cada professor recebeu um questionário com perguntas mistas, ou seja, perguntas abertas e fechadas, onde as primeiras eram relacionadas à sua formação e tempo de docência e as últimas ao seu conhecimento sobre geometrias não euclidianas, em especial acerca da Geometria do Táxi. 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES Dos 12 professores que responderam o questionário, 6 são graduados em licenciatura em matemática e 6 em licenciatura em ciências com complementação em matemática. Nenhum possui mestrado ou doutorado. Apenas um docente não tem especialização, os demais a tem em alguma dessas áreas: arte, educação e terapia, educação no campo, educação especial, educação especial e inclusão, metodologia da matemática, educar para a cidadania, ciências, gestão escolar e interdisciplinaridade. Além disso, 3 respondentes já concluíram o Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), com projetos nas áreas de resolução de problemas e jogos matemáticos como avaliação. Em relação ao tempo de docência, 1 professor tem menos de 4 anos, 3, de 4 a 10 anos, 3 de 11 a 20 anos e 5 professores mais de 20 anos. A próxima etapa do questionário foi direcionada às geometrias não euclidianas. Dos 12 docentes apenas um afirmou que nunca teve contato com o tema geometrias não euclidianas. Quatro professores atestaram ter conhecimento e já terem trabalhado algumas noções destas geometrias em sala de aula e os demais têm conhecimento sobre o tema, contudo, nunca abordaram este conteúdo. Analisando um caso particular das geometrias não euclidianas, a geometria do táxi, dez dos doze respondentes assinalaram nunca terem tido contato com esse tema. Os dois docentes que afirmaram ter conhecimento, nunca trabalharam com este em sala de aula. As justificativas para a não abordagem foram que devido aos muitos conteúdos para serem trabalhados acaba ficando pouco tempo para explanar a área da geometria, logo, os alunos veem apenas o básico desta, e considerando a complexidade que as geometrias não euclidianas apresentam, estas requerem um tempo ainda maior. Cabe destacar que mesmo afirmando ter conhecimento sobre o tema, ambos não conseguiram explicar o que caracteriza a geometria do táxi como uma geometria não euclidiana. Todos os professores que tiveram sua formação em Ciências com complementação em matemática expressaram que não tiveram nenhuma disciplina que tratasse sobre noções das geometrias não euclidianas, contudo, estes afirmaram ter conhecimento sobre o tema. Ao final do questionário, os respondentes que gostariam de receber algum material direcionado à introdução às geometrias não euclidianas utilizando-se da geometria do táxi tinham a opção de assinalar tal item. Todos os docentes marcaram sim, justificando que queriam saber mais sobre o assunto, haja vista que o professor deve estar em constante formação. Diante dessas respostas, foi confeccionada uma apostila como material de apoio para estes docentes, contendo um pouco da história da geometria do táxi, o que a caracteriza como geometria não euclidiana e alguns exemplos de atividades que podem ser trabalhadas em sala de aula. O objetivo é que o aluno se desprenda das aparências e assim o professor possa trabalhar com as demais geometrias não euclidianas conforme orientam as DCE. Em dezembro de 2017 foi homologada a nova Base Nacional Comum Curricular (BNCC), contudo segundo as orientações da Secretaria de Estado da Educação (SEED) ela será introduzida aos poucos, sendo assim, as instituições de ensino devem continuar a trabalhar de acordo com as DCE.

5 A seguir é apresentada uma parte do material de apoio desenvolvido, já que não é possível a exposição completa deste, devido à limitação do número de páginas deste artigo. 3.1 Geometria do táxi A Geometria do Táxi é uma geometria não euclidiana, cujo divulgador e nomeador foi um dos professores de Albert Einstein, chamado Hermann Minkowski ( ). Segundo Fuzzo et al., (2010) a primeira vez que se usou o termo Geometria do Táxi foi em 1952, em uma exibição no Museu da Ciência e Indústria de Chicago que destacava a geometria. Neste evento foi distribuído um pequeno livreto com o seguinte título: Você vai Gostar de Geometria. Foi nas páginas desse que a Geometria de Minkowski foi chamada de taxicab geometry, ou seja, geometria do táxi. Para entender o porquê do nome geometria o táxi, vamos iniciar com o conceito de distância, que pode ser representado pelos seguintes axiomas: Na Geometria Euclidiana essas propriedades são facilmente verificadas e a menor distância entre dois pontos é representada por um segmento de reta. Contudo, nem todas as situações do nosso dia-a-dia se encaixam nessa concepção de distância. Por exemplo, não é possível locomover-se dentro de uma cidade voando por cima das construções desta, mas sim, por meio de suas ruas, por isso chamamos de geometria do táxi, pois é exatamente esta noção de distância que adotaremos: Na Geometria Táxi, a menor distância entre dois pontos de um plano não é a linha reta. A distância não é medida como o vôo de um pássaro, mas como a viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-se vertical e horizontalmente em uma malha urbana, que convenientemente pode ser associada ao plano euclidiano. (ABREU et al., 2005, p.2,3) Primeiramente precisamos analisar quais são as formas de se cobrir o plano para a representação de distância. Noronha (2006) aponta que existem três polígonos regulares que podem cobrir o plano: o quadrado, o triângulo equilátero e o hexágono regular. (1) (2) (3) (4) Figura 1 - Polígonos regulares que cobrem o plano Fonte: NORONHA (2006, p. 3) É a Geometria do Táxi que trabalha com estes espaços formados por quadrados e triângulos equiláteros (os hexágonos podem ser decompostos em triângulos equiláteros).

6 Neste trabalho focaremos apenas no espaço formado pelos quadrados, haja vista que o intuito é apresentar a geometria do táxi de forma breve e como um material de introdução para outas geometrias não euclidianas. A Geometria do Táxi com malha quadriculada é ideal para representar uma cidade com quarteirões perfeitos. A distância entre dois pontos é calculada adotando apenas trajetos horizontais e verticais. Cada lado de um quadrado corresponde a um quarteirão. Mesmo tendo uma forma de calcular distância entre dois pontos diferente da geometria euclidiana, esta geometria também obedece às propriedades de distância mencionadas anteriormente. A localização de pontos no plano na Geometria do Táxi é a mesma utilizada na Geometria Euclidiana, logo a distância entre dois pontos pode ser definida em termos de coordenadas. Dados dois pontos do plano, e, a distância entre eles é calculada utilizando-se da função módulo de números reais: Cabe destacar que o uso do módulo é para garantia de distância não negativa. As definições das figuras geométricas permanecem as mesmas utilizadas na Geometria Euclidiana, contudo, devido ao uso de um espaço e de uma expressão para o cálculo de distâncias diferente da geometria tradicional, as figuras acabarão apresentando aparências diferentes. Um exemplo que evidencia tal fato é a circunferência. Seguindo a definição, temos que circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência. (DOLCE & POMPEO, 1993, p. 147) ou então podemos representá-la como C = {P / d(p, H) = r}. (5) Figura 2 - Circunferência do táxi (raio = 3) Na Figura 2, ao aplicar a definição de circunferência tem-se uma T-circunferência, e para obter um T-círculo basta fazer a união desta com os pontos de seu interior. A expressão analítica da T-circunferência, parte da definição de distância. Assim, seja um ponto qualquer da T-circunferência e o seu centro. A T- circunferência é expressa por: Além disso, não existe apenas um caminho direto (caminho que considera a menor distância) entre dois pontos A e B. Na figura a seguir pode-se contar três caminhos diferentes de A até B: (6)

7 Figura 3 - Três caminhos diferentes entre A e B Nas três situações o caminho foi de três unidades. É claro que à medida que os pontos se distanciam, a quantidade de caminhos diretos aumentará, conforme apresentado na Figura 4: Figura 4 - Caminhos diferente entre A e B A quantidade de caminhos diretos entre dois pontos A e B da malha táxi pode ser calculada usando a seguinte expressão, conforme César (2010, p.40): (7) em que m é a distância horizontal entre os pontos A e B e n, a distância vertical. Essa expressão é o cálculo de uma permutação com repetição onde m + n representa a quantidade de elementos que serão permutados e m e n representam a quantidade de repetições de cada termo. O conceito de reta na geometria euclidiana é primitivo. Contudo, na Geometria do Táxi a reta é uma viagem estendida, ou seja, ao realizar a união de viagens diretas obtém-se a reta (CÉSAR, 2010). Além disso, duas retas são consideradas paralelas quando estão no mesmo plano e não se encontram. Assim, na Geometria do Táxi:

8 Figura 5 - Reta r paralela à reta s Chegamos aqui a negação do quinto postulado de Euclides, que nos diz que dado uma reta r e um ponto P fora desta reta, há uma única reta s paralela a r e passa por P. Observe a Figura 6. Temos duas retas (s, s ) que são paralelas a r, ambas as retas passam pelo ponto P. Figura 6 - Retas s e s se interceptam no ponto C e são paralelas a reta r A seguir estão algumas atividades que podem ser trabalhadas com a Geometria do Táxi, vale destacar que elas são de caráter introdutório às geometrias não euclidianas. Cada atividade apresenta um comentário de como pode ser abordada, ficando a critério do professor o nível de aprofundamento que dará a cada uma. ATIVIDADE 1 Considere a malha a seguir como ruas de uma cidade com quarteirões perfeitos. Qual é a menor distância para se chegar do posto de combustível que está localizado no ponto A até o supermercado localizado no ponto B?

9 Figura 7 - Localização do posto de combustível e supermercado Observação: a ideia inicial é o desenvolvimento de maneira intuitiva. Após a explanação da atividade o professor pode relembrar aos alunos o conceito de distância euclidiana, fazendo um comparativo entre esta e a que eles acabaram de encontrar, iniciando assim sua fala sobre a existência das geometrias não euclidianas. O professor pode explorar ainda mais esse tipo de atividade utilizando-se do plano cartesiano coberto por uma malha quadriculada, trabalhando assim, a distância definida em termos de coordenadas. ATIVIDADE 2 Sabendo que circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência. (DOLCE e POMPEO, 1993, p.147), construa uma circunferência de raio 3 com centro em O: Figura 8 - Ponto O Figura 9 - Circunferência de raio 3 Para a construção da T-circunferência a partir do ponto O (centro), basta marcar todos os pontos que se distanciam três unidades do centro. Se o professor desejar construir um círculo, basta seguir o mesmo processo e considerar a união da circunferência com seus pontos internos. Não deve ser feita a ligação dos pontos, pois na Geometria do Táxi são permitidos apenas trajetos horizontais e verticais. Observação: é importante que o professor explique a definição de circunferência e deixe que o aluno tente construí-la, para que este perceba, que não pode se atentar apenas para o desenho das figuras, pois ao analisar outra geometria que não seja a euclidiana as formas das figuras geométricas mudarão, sendo assim, o professor pode enfatizar a importância da definição de cada figura.

10 ATIVIDADE 3 Segundo Dolce & Pompeo (1993, p.36), Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião dos segmentos chama-se de triângulo ABC. Partindo dessa definição, construa um triângulo na malha da Geometria do Táxi. Observação: são diversos os triângulos que podem surgir; vale lembrar que a definição de triângulo equilátero, escaleno e isósceles continua a mesma já conhecida na geometria euclidiana, sendo assim, nessa atividade o professor além de explorar a definição de triângulo, pode relembrar sua classificação quanto aos seus lados. A seguir, alguns exemplos de triângulos: Figura 10 - Triângulo Escaleno Figura 11 - Triângulo Isósceles Figura 12 - Triângulo Equilátero Na figura 10, temos um triângulo escaleno de lados:. Na figura 11, um triângulo isósceles de lados: e, na figura 12 um triângulo equilátero de lados. A desigualdade triangular continua sendo válida, ou seja, em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois. O professor pode relembrar aos alunos que na geometria euclidiana a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180, enquanto que na Geometria do Táxi esta propriedade não é válida. Pode-se perceber nas figuras acima que cada ângulo pode ser de 90 ou 180 (analisa-se o ângulo formado em cada um de seus vértices), logo um triângulo pode ter ângulo interno de até 540. É importante que o professor estimule o aluno a fazer essa investigação. CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir da pesquisa realizada notou-se que as geometrias não euclidianas ainda têm sido deixadas de lado, muitas vezes, por falta de tempo ou pela sua aparente complexidade, não ganhando sua devida importância nos bancos escolares. Desse modo, fazem-se necessários meios alternativos para iniciar o trabalho com estas. A geometria do táxi é de grande valia, principalmente, como introdução para o trabalho com as demais geometrias não euclidianas, sendo de fácil compreensão; o professor pode fazer várias associações com a geometria euclidiana com a qual o aluno já está acostumado,

11 iniciando os conceitos básicos das geometrias não euclidianas, pois segundo Gusmão et al. (2017, p.234), com uma geometria simples e de fácil aceitação, a geometria do táxi é apenas uma introdução para se iniciar um estudo muito grande. A libertação da geometria ocorreu por volta da primeira metade do século XIX, com a descoberta da primeira geometria não euclidiana, contudo, estamos de certo modo ainda presos a geometria euclidiana, e, se o nosso mundo é não euclidiano, porque nos restringirmos a um estudo que não o descreve? É necessário que o aluno possa dar sentido ao que está estudando. 4 REFERÊNCIAS ABREU, J. F.; BARROSO, L. C.; MIRANDA, D. F. Geometria Táxi: Uma geometria nãoeuclidiana descomplicada. In: ENCONTRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DE OURO PRETO, 3., Ouro Preto. Anais... Ouro Preto: UFOP Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, 2005, 9 p. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, p. CÉSAR, S. M. C. Geometria táxi uma exploração através de atividades didáticas. Belo Horizonte, 105 p., Dissertação (Mestrado) - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. CONTADOR, P. R. M. Matemática, uma breve história. São Paulo: Ed. Livraria da Física, COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática? Rio de Janeiro: Ed. Ciência Moderna LTDA, DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar 9: geometria plana. 7 ed. São Paulo: Ed. Atual, EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Ed. UNICAMP, FUZZO, R. A; REZENDE, V.; SANTOS, T. S. Geometria do táxi: a menor distância entre dois pontos nem sempre é como pensamos. In: ENCONTRO DE PRODUÇÃO CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA, 5., Campo Mourão. Anais... Campo Mourão: FECILCAM/NUPEM, p. GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 5 ed. São Paulo: Ed. Livraria da Física, GIL, A. C. Métodos e técnicas de pesquisa social. 5 ed. São Paulo: Atlas, GUSMÃO, N. L.; SAKAGUTI, F. Y.; PIRES, L. A. A geometria do táxi: uma proposta da geometria não euclidiana na educação básica. Educação Matemática Pesquisa - EMP, São Paulo, v.19, n.2, p , LOIOLA, C. A. G.; COSTA, C. S. As Cônicas na Geometria do Táxi. Ciência e Natura, Santa Maria, v. 37, ed. especial PROFMAT, p , 2015.

12 NORONHA, C. A. Os Diferentes Espaços e Formas da Geometria do Taxista: contribuindo para o aprendizado das cônicas. In: SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., Recife. Anais... Recife: UFPE - Programa de Pós- Graduação em Educação-Centro de Educação, p. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do Paraná, Departamento de Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática, 81p TAXI GEOMETRY: INTRODUCTION TO NON-EUCLIDIAN GEOMETRIES Abstract: This paper describes a qualitative research with mathematical teachers of the municipality of Rebouças (PR), in order to analyze if the non - Euclidean geometries were being worked in state schools as they guide the Curricular Guidelines of the State of Paraná and present the Taxi Geometry as an alternative to introduce the non-euclidean geometries. Based on this research, a support material was developed for teachers of mathematics in order to divulge Taxi Geometry, because, according to the results obtained, few teachers have knowledge about this geometry. Keywords: Basic Education, Euclidian Geometry, Lobchevsky Geometry.