Aplicação do Software Maple 12 para o Balanceamento de Equações Químicas

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1 Aplicação do Software Maple 12 para o Balanceamento de Equações Químicas Adilandri Mércio Lobeiro Fernando Cezar G. Manso Liliana Madalena Gramani Priscila Amara P. de Melo Sara Coelho Silva Wellington José Correa Resumo Neste artigo o software Maple 12 resolve sistemas de equações lineares homogêneos obtidos de balanceamento de equações químicas aplicando as ``Maplets ou o comando ``solve. As Maplets utilizam os métodos de Eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan para obterem a solução do sistema, limitadas a resolução de sistemas até a ordem de cinco equações a quatro incógnitas, explicando em detalhes o procedimento matemático do escalonamento da matriz ampliada, enquanto que o comando solve, no uso do Modo Texto ou do Modo Matemática, pode ser utilizado para resolver sistemas de quaisquer ordem. A visualização gráfica da solução do sistema considerado também é obtida com o uso das Maplets, desde que a ordem do sistema seja de até quatro equações a três incógnitas. Palavras-chave: Balanceamento de Equações Químicas, Maple12, Maplets, Eliminação de Gauss, Eliminação de Gauss-Jordan, Comando Solve, Gráfico de Sistemas Lineares. Abstract Application Software Maple 12 for Balancing Chemical Equations. In this article the software Maple 12 solves systems of linear homogeneous equations obtained from balancing chemical equations applying the Maplets''or `` command `` solve''. The Maplets use the methods of Gauss elimination or Gauss-Jordan to obtain the solution of the system, limited the resolution of systems to the order of five equations and four unknowns, explaining in detail the mathematical procedure of scaling the increased matrix, where as the solve command, using the Text mode or math mode, can be used to solve systems

2 of any order. The graphic display of the solution of the system considered is also achieved with the use of Maplets, since the order of the system is up to four equations and three unknowns. Keywords: Balancing Chemical Equations, Maple12, Maplets, Gauss Elimination, Gauss-Jordan Elimination, Command Solve, Graph of Linear Systems.

3 Introdução Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Os trabalhos de Lavoisier têm uma importância histórica na transição das práticas alquimistas para as práticas da química moderna. A lei de conservação da massa desenvolvida por ele, também denominada por Lei de Lavoisier é um marco no pensamento científico. Esta lei do ponto de vista químico, expressa que durante uma reação química, com conservação de massa, não se pode criar ou destruir matéria, sendo representada matematicamente por (1) ou seja, o somatório das massas dos reagentes ) deve ser igual ao somatório das massas dos produtos. Os alunos do ensino médio, tanto quanto os alunos do nível superior, ao se depararem com a lei de Lavoisier precisam dominar o método de balanceamento de equações químicas obtidas de (1). Esse método associa a cada substância participante da equação, uma incógnita que aqui denominamos por para um sistema de substâncias. Escrevemos tantas equações lineares quantas forem às espécies químicas presentes na equação química, sendo que a substância é formada por uma ou mais espécies. Todas essas equações lineares devem conter todas as incógnitas, desta forma, obtemos um sistema de equações lineares homogêneo de equações ( espécies químicas) a incógnitas ( substâncias participantes da equação). Este procedimento é interessante, pois possibilita a interdisciplinaridade da área química com a área matemática. Para a resolução do sistema de equações lineares vamos nos apoiar em ferramentas computacionais que permitem obter precisamente e rapidamente a solução procurada. O programa escolhido para esse fim é o software Maple na versão 12. O Maple é um dos mais conhecidos e utilizados programas de software de computação numérica, algébrica e simbólica que modela e introduz de uma forma mais interativa os conteúdos programáticos dos mais diversos ramos da Matemática. A versão 12 apresenta um assistente, As Maplets, que possibilita a construção na linguagem Maple de interfaces gráficas. As Maplets permitem obter a solução de sistemas de equações lineares utilizando o escalonamento de matrizes pelos métodos de Gauss e Gauss-Jordan. Embora estas Maplets estão limitadas a resolução de sistemas até a ordem de cinco equações e quatro incógnitas, explicam em detalhes o procedimento matemático do escalonamento, representando assim a sua principal vantagem em relação ao comando ``solve que pode ser utilizado para resolver sistemas de quaisquer ordem. No entanto, outra vantagem

4 de utilização das Maplets é que para um sistema de até quatro equações a três incógnitas, é possível visualizar geometricamente a sua solução. O principal objetivo deste trabalho é reforçar o aspecto interdisciplinar entre a prática do balanceamento da equação química, indispensável para os cálculos estequiométricos, com a resolução do sistema linear de equações a incógnitas, obtido desta equação química, utilizando o software Maple 12. A principal vantagem da utilização deste software para este trabalho é permitir ao usuário a visualização detalhada do método de solução aplicado reforçando o processo de ensino-aprendizagem, uma vez compreendidas as bases matemáticas do método de solução. Desta forma, a estrutura desse artigo está organizada em mais cinco seções descritas brevemente abaixo: Na seção ``Eliminação de Gauss apresentamos um exemplo de uma equação química onde fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de Gauss, com o uso das Maplets existentes no software Maple 12; Na seção ``Eliminação de Gauss-Jordan, com base na seção anterior, utilizamos uma equação química na qual fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de Gauss-Jordan. Na seção ``Comando solve introduzimos um exemplo de uma equação química onde não é possível resolver o sistema com uso das Maplets devido a sua ordem. Na seção ``Gráfico de Sistemas Lineares apresentamos um exemplo de uma equação química que gera um sistema linear homogêneo de duas equações a três incógnitas na qual fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de Gauss e depois plotamos via Maplets a solução desse sistema. A seção ``Considerações Finais encerra o trabalho contendo as conclusões obtidas pela análise das seções anteriores. Eliminação de Gauss Considere a equação química contendo três espécies (, onde representa o carbono, o hidrogênio e o oxigênio,

5 que não está balanceada, pois apresenta no primeiro membro ( reagentes) duas substâncias, com um átomo de carbono, quatro átomos de hidrogênio e dois átomos de oxigênio e no segundo membro ( produto) também duas substância com um átomo de carbono, apenas dois átomos de hidrogênio e no entanto três átomos de oxigênio. Com intuito de balanceá-la, ou seja, de obter a mesma quantidade de átomos de carbono, hidrogênio e oxigênio de ambos os membros da equação, associamos as incógnitas,, e a cada substância presente na equação obtendo (2) Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação química, obtemos que formam o seguinte sistema linear homogêneo (3) O sistema acima possui três equações a quatro incógnitas permitindo resolvê-lo tanto pelo comando ``solve ou via ``Maplets. Visando o detalhamento do método de solução do sistema (3) optaremos por utilizar as ``Maplets fazendo uso do escalonamento pelo método de Eliminação de Gauss. Para ilustrar esse método, via Maple 12, segue abaixo algumas figuras contendo ícones que dão acesso as Maplets, assim como as explicações das etapas necessárias para o escalonamento. O primeiro procedimento, ilustrado na Figura 1, serve para dar início ao método de Eliminação de Gauss.

6 Figura 1: Visualização da tela inicial do procedimento da Eliminação de Gauss. A seguir aparecerá uma tela, Figura 2, onde o software lança inicialmente uma matriz ampliada de um sistema qualquer para ser modificada de acordo com o nosso sistema. Então devemos clicar em ``Edit Matrix para editar a matriz ampliada do sistema (3). Figura 2: Visualização da tela lançada para solicitar a edição da matriz. Teclando no ícone ``Edit Matrix ilustrado na parte inferior da Figura 2, aparecerá uma tela cuja parte inferior é um quadriculado representando os elementos de uma matriz qualquer. Então inserimos os elementos da nossa matriz neste quadriculado, de acordo com a ordem da matriz ampliada do sistema (3), ajustando o número de linhas (``Rows ) para três e o número de colunas (``Columns ) para cinco nos respectivos ícones presentes na parte inferior da tela. Para lançar na tela os dados inseridos clicamos em ``Display, conforme Figura 3.

7 Figura 3: Visualização da tela na qual foi editada a matriz. Teclando em ``Close, a qual encerra a tela ilustrada na Figura 3, aparecerá a tela na qual será dado o início ao escalonamento conforme Figura 4. Figura 4: Visualização da tela com a matriz ampliada referente ao sistema (3).

8 Clicando em ``Next Step, estaremos solicitando o próximo passo, a próxima matriz equivalente. Se a matriz ampliada já estiver na forma de Gauss, o software não fará nenhuma alteração na tela. Caso não esteja na forma de Gauss, o usuário deverá continuar clicando em ``Next Step até obter o sistema na forma de Gauss. No nosso caso a matriz ampliada inserida não está na forma de Gauss, Figura 4, portanto, clicamos em ``Next Step até obter a forma de Gauss, conforme a Figura 5 Figura 5: Visualização da tela que mostra as matrizes equivalentes até obter a forma de Gauss. Finalmente, clicando em ``Solve System o Maple 12 apresentará a primeira e a última matriz da sequência de matrizes ampliadas equivalentes obtidas no processo de escalonamento, conforme Figura 6.

9 Figura 6: Visualização da sequência das matrizes ampliadas equivalentes. Para transformarmos a matriz ampliada em um sistema de equações equivalente ao sistema (3) devemos clicar em ``Equations, conforme ilustrado na Figura 7. Figura 7: Visualização de um sistema de equações equivalente ao sistema (3).

10 Neste caso temos uma variável livre conforme indica o software quando lança o ícone ``Free Vars, pois o número de incógnitas,, e ( ) é maior que o número de equações, onde o número de variáveis livres é dada pela diferença entre e. Clicando em ``Free Vars, o software troca automaticamente a variável livre escolhida por, conforme ilustra a Figura 8. Figura 8: Visualização do sistema de equações com a variável livre escolhida. Observe que aparece a opção de encontrar, como ilustra a Figura 8. Clicando em ``Solve x[3] obtemos em função de, como mostra a Figura 9.

11 Figura 9: Visualização da tela que apresenta em função de. Conseqüentemente, a seguir, clicando em ``Solve x[2], obtemos em função de, conforme a Figura 10. Figura 10: Visualização da tela que apresenta em função de.

12 Figura 11. Analogamente, clicando em ``Solve x[1], obtemos em função de, como ilustra a Figura 11: Visualização da tela que apresenta em função de. Somente após obtermos as variáveis dependentes, e em função da variável independente poderemos clicar em ``Solution para visualizarmos o vetor solução do sistema (3) ilustrado na Figura 12.

13 Figura 12: Visualização da tela que apresenta a solução do sistema (3). Ao clicar em ``Close retornamos para a tela principal com o vetor solução composto por,, e. Devemos observar que a variável livre pode assumir qualquer valor real, entretanto escolhendo obteremos uma solução particular do sistema formada pelos menores números inteiros positivos,,, e, a qual ilustra um dos balanceamentos possíveis para a equação química (2), representada por Eliminação de Gauss-Jordan Considere a equação química contendo quatro espécies ou seja, o hidrogênio, o enxofre, o oxigênio e o sódio. Observe que esta equação não está balanceada, pois, por exemplo, no caso do hidrogênio temos no primeiro membro três átomos ( e no segundo membro apenas dois átomos.

14 Com intuito de balanceá-la associamos as incógnitas,, e a cada uma das quatro substâncias presentes na equação, (4) Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação (4), obtém-se respectivamente um sistema linear de quatro equações a quatro incógnitas, que pode ser representado por (5) Como o sistema homogêneo (5) possui quatro equações a quatro incógnitas podemos resolvê-lo tanto pelo comando ``solve ou via ``Maplets. Novamente objetivando o detalhamento do método de solução optamos por utilizar as ``Maplets fazendo o escalonamento agora pelo método de Eliminação de Gauss-Jordan. Para iniciarmos este processo seguimos com o procedimento ilustrado a partir da Figura 13. Figura 13: Visualização da tela inicial ao processo de Eliminação por Gauss-Jordan.

15 Os passos apresentados na Figura 14 para o método de Eliminação de Gauss-Jordan são semelhantes ao passos apresentados para o método de Eliminação de Gauss ilustrados a partir da Figura 3 até a Figura 12. a) b) c) d) e) f) Figura 14: Visualização da tela que representa todos os passos desde o momento que inserimos os dados da matriz ampliada até encontrarmos a solução do sistema pelo método de Eliminação de Gauss-Jordan.

16 Ao clicar em ``Close retornamos para a tela principal com o vetor solução composto por,, e. Escolhendo, por exemplo,, com o objetivo de obter uma solução composta pelos menores números inteiros positivos, temos uma solução particular do sistema (5), dada por:,, e. Portanto, uma solução para o balanceamento da equação química (4) é. Comando Solve Considere a equação química contendo cinco espécies (6) ou seja, o potássio, o manganês, o oxigênio, o hidrogênio e o cloro. A equação (6) não está balanceada pois, por exemplo, para a espécie cloro, temos no primeiro membro apenas um átomo ( enquanto que no segundo membro cinco átomos. Com intuito de balanceá-la associamos as incógnitas,, e a cada substância presente na equação (7) e escrevendo uma equação linear para cada espécie química obtém-se: que pode ser reescrito como um sistema linear homogêneo de cinco equações a seis incógnitas conforme segue

17 (8) Como o sistema (8) possui cinco equações a seis incógnitas podemos resolvê-lo com uso do software usando o comando ``solve. No entanto, para digitar o sistema de equações lineares no Maple 12, temos duas opções: Modo Texto ou Modo Matemático, conforme mostra a Figura 15. Figura 15: Visualização da tela que apresenta a escolha do Modo Texto ou o Modo Matemática. Resolveremos o sistema (8) digitado em ambos modos, Texto e Matemática. A seguir descriminamos cada um desses processos. 1) Modo Texto Ao iniciarmos a tela principal do software teclamos no comando ``Prompt ([>). Após o lançamento do ``Prompt na tela escolhemos a opção ``Texto conforme ilustra a Figura 15. Então digitamos as equações do sistema (8) no formato Texto (cor vermelha) e depois teclamos ``Enter obtendo uma nova visualização na tela para o sistema (8) (cor azul). Clicando com o botão direito neste sistema de equações (cor azul) aparecerão algumas

18 opções dentre as quaisquer o comando ``solve que após ser selecionado solicitamos novamente a opção ``solve como mostra a Figura 16. Figura 16: Visualização da tela Modo Texto. Clicando em ``solve obtemos a solução do sistema (8), conforme mostra a Figura 17. Figura 17: Solução do sistema digitado no Modo Texto. 2) Modo Matemática Retornando a Figura 15 e escolhendo o ícone ``Matemática, digitamos as equações do sistema (8) no formato matemática (cor preta) e depois teclamos ``Enter obtendo um sistema de equações (cor azul) na tela principal. Seguindo os mesmos procedimentos do Modo Texto, clicamos com o botão direito no sistema de equações (cor azul) e selecionamos a opção ``solve por duas vezes como mostra a Figura 18.

19 Figura 18: Visualização da tela Modo Matemática. Clicando em ``solve obtemos a solução do sistema (8), conforme mostra a Figura 19. Figura 19: Solução do sistema digitado no Modo Matemática. Observando a Figura 17 e a Figura 19, obtidas respectivamente pelo Modo Texto e pelo Modo Matemática, temos a solução do sistema (8) de equações lineares dada por:,,,,,, onde foi escolhida pelo software como a variável livre. Escolhendo, por exemplo,, com o objetivo de obter uma solução composta pelos menores números inteiros, obtemos:,,,,,. Portanto, uma solução para o balanceamento da equação química (7) é. Gráfico de Sistemas Lineares Caso um sistema de equações lineares possua até quatro equações a três incógnitas, podemos plotar via Maplets a visualização geométrica da solução. Para exemplificar esse

20 procedimento consideremos a equação química contendo duas espécies, o hidrogênio oxigênio, e o que não está balanceada, pois apresenta no primeiro membro dois átomos de oxigênio, no entanto, no segundo membro, apenas um. Com intuito de balanceá-la, associamos as incógnitas, e a cada substância presente na equação obtendo. (9) Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação química, obtemos que forma o seguinte sistema linear homogêneo. (10) Para resolver o sistema (10) vamos utilizar as ``Maplets fazendo uso do escalonamento pelo método de Eliminação de Gauss semelhante ao desenvolvido na seção ``Eliminação de Gauss, conforme Figura 20.

21 a) b) c) d) e) f) g) h) Figura 20: Visualização da tela que representa todos os passos desde o momento que inserimos os dados da matriz ampliada até encontrarmos a solução do sistema (10) pelo método de Eliminação de Gauss.

22 Ao clicar em ``Close retornamos para a tela principal com o vetor solução dado por, e. Devemos observar que a variável livre pode assumir qualquer valor real, entretanto escolhendo obteremos uma solução particular do sistema formada apenas por números inteiros positivos,, e, a qual ilustra um dos balanceamentos possíveis da equação química (9), representada por. Como exemplo, plotaremos a solução do sistema (10) via vetor solução encontrado. Para isso, estando na tela de entrada seguimos os seguintes passos ilustrados a partir da Figura 21. Figura 21: Visualização da tela que dá início aos Gráficos de Sistemas Lineares. Clicando em ``Gráficos de Sistemas Lineares o software lançará inicialmente a visualização geométrica da solução de um sistema por ele considerado, como mostra a Figura 22.

23 Figura 22: Visualização geométrica da solução de um sistema qualquer considerado pelo software. Teclando no ícone ``Edit System os elementos da matriz ampliada do sistema (10) deverão ser inseridos no quadriculado presente na parte inferior da tela ajustando o número de linhas e colunas através dos ícones ``Rows e ``Columns, respectivamente. Para lançá-los teclamos em ``Display, conforme Figura 23. Figura 23: Visualização da tela onde editamos a matriz ampliada do sistema. Para obtermos o gráfico que representa a solução do sistema (10) devemos clicar em ``Close. Neste caso, a solução do sistema é representada por uma reta obtida pela interseção dos planos e. Observe a Figura 24.

24 Figura 24: Visualização do gráfico do sistema de equações lineares. Pedindo para fechar a Maplet clicando em ``Close retornamos a tela principal onde é plotado o gráfico que aparece na Figura 24 que representa a solução do sistema (10). A visualização deste gráfico pode ser alterada utilizando a barra de ferramenta (Gráfico) lançada na tela, após ter clicado em ``Close, conforme mostra a Figura 25. Nesta barra podemos alterar os ângulos (azimute ou longitude) e (colatitude ou ângulo polar), ou ainda, tamanho e/ou posição do gráfico, sistema de eixos, cor, etc. Figura 25: Visualização do gráfico que representa a solução do sistema (10) na tela principal.

25 Considerações Finais Neste artigo utilizamos o software Maple 12 para resolver os sistemas de equações lineares homogêneos obtidos do balanceamento de equações químicas. Com esse objetivo aplicamos os métodos de Eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan para efetuar o escalonamento da matriz ampliada do sistema obtido através do balanceamento da equação química, com uso das Maplets ou do comando ``solve existentes no software. Usamos as Maplets pelo fato de permitirem a visualização do método de solução aplicado embora elas estejam limitadas a resolução de sistemas de até cinco equações a quatro incógnitas. Já o comando ``solve que foi utilizado, tanto no Modo Texto quanto no Modo Matemática, permitiu resolver sistemas de quaisquer ordem. Para sistemas lineares de até quatro equações a três incógnitas, as Maplets permitem a visualização gráfica da solução, em particular, plotamos a solução de um sistema contendo duas equações a três incógnitas. Conclui-se que a principal contribuição do software está no uso das Maplets quanto ao fato de detalharem, passo a passo, o procedimento matemático do escalonamento utilizado nos métodos de Eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, proporcionando avanços no processo de ensino-aprendizagem. Observamos também a importância do comando ``solve, por resolver sistemas de quaisquer ordem. Destacamos, novamente, as Maplets, por permitirem a visualização gráfica da solução de sistemas de até quatro equações a três incógnitas. Devemos salientar que este trabalho, por conter o método de escalonamento de sistemas lineares via software Maple 12 aplicado ao balanceamento de equações químicas decorrentes da lei de Lavoisier, também poderá ser utilizado tanto por alunos do ensino médio quanto por alunos do ensino superior. A perspectiva deste trabalho é enfatizar a utilização cada vez mais abrangente de softwares matemáticos no ensino da matemática presente em outras áreas, tais como a Química, uma vez que as tecnologias computacionais, quando usadas adequadamente, auxiliam e reforçam a compreensão do ensino da matemática em áreas afins. Referências RUSSELL, J. B. Química Geral. Mcgraw.Hill. São Paulo BOULOS, P. & CAMARGO, I., Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3 a edição, São Paulo, Prentice Hall, 2005.

26 GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 2. ed rev. e ampl. São Paulo: Editora e Livraria da Física, LOURO, Andreia M. F; TORRES, Delfim F. M. Computação Simbólica em Maple no Cálculo das Variações. Universidade de Aveiro, Adilandri Mércio Lobeiro. Professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus Campo Mourão-PR. alobeiro@utfpr.edu.br Fernando Cezar G. Manso. Professor de química da Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus Campo Mourão-PR. fmanso@utfpr.edu.br Liliana Madalena Gramani. Professora de matemática da Universidade Federal do Paraná campus Curitiba-PR. gramani@mat.ufpr.br Priscila Amara P. de Melo. Professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus Campo Mourão PR. pmelo@ utfpr.edu. br Sara Coelho Silva. Professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus Campo Mourão-PR. sarasilva@utfpr.edu.br Wellington José Corrêa. Professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus Campo Mourão-PR. wcorrea@utfpr.edu.br