UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA MAURÍCIO PIEROZZI ANÁLISE DOS MODOS DE CONTROLE PARA UM PROCESSO DE TERCEIRA ORDEM

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1 0 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA MAURÍCIO PIEROZZI ANÁLISE DOS MODOS DE CONTROLE PARA UM PROCESSO DE TERCEIRA ORDEM Lorena 2015

2 1 MAURÍCIO PIEROZZI ANÁLISE DOS MODOS DE CONTROLE PARA UM PROCESSO DE TERCEIRA ORDEM Monografia apresentada à Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo como requisito para obtenção do título de Engenheiro Industrial Químico. Orientador: Prof. Dr. Luiz Carlos de Queiroz Lorena 2015

3 AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Automatizado da Escola de Engenharia de Lorena, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) Pierozzi, Maurício Análise dos modos de controle para um processo de terceira ordem / Maurício Pierozzi; orientador Luiz Carlos de Queiroz. - Lorena, p. Monografia apresentada como requisito parcial para a conclusão de Graduação do Curso de Engenharia Industrial Química - Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo Orientador: Luiz Carlos de Queiroz 1. Controle de processos. 2. Realimentação. 3. Pid. 4. Modelagem. 5. Simulação. I. Título. II. de Queiroz, Luiz Carlos, orient.

4 2 Aos meus amados pais, Wilson e Marisa, irmãs, Mayara e Monise e namorada Chariél por todo carinho, dedicação e apoio para que mais essa conquista fosse alcançada.

5 3 AGRADECIMENTOS Aos meus pais, Wilson e Marisa, por acreditarem e investirem em mim. Mãe, seu carinho e dedicação foram que deram a esperança para seguir acreditando em meu sonho. Pai, sua segurança e confiança foram minha proteção durante essa caminhada. Agradeço por serem tudo em minha vida. Às minhas irmãs, Mayara e Monise por todo incentivo, paciência e proximidade nos principais momentos compartilhados em família. À minha amada Chariél, por todo amor, apoio, coragem e companheirismo vividos nesses 11 anos de muitas alegrias e superações. Obrigado meu amor por toda paciência e carinho. Valeu a pena toda distância, todo sofrimento e todas as superações. Valeu a pena esperar. Hoje estamos colhendo o fruto da nossa vitória. Ao meu grande amigo e irmão José Felipe de Oliveira por uma amizade tão verdadeira e sincera, formada em Lorena e compartilhada na Europa. Fe, nossa parceria será eterna meu irmão. Aos amigos Arthur Scarparo e Otavio Danelussi por toda amizade e momentos compartilhados durante a faculdade. Obrigado de coração pela recepção em suas casas. Aos amigos Leonardo de Faria, Leandro de Paula, Felipe da Costa, Edson Igarashi e dona Zilda por todo aprendizado e convivência durante os anos da república. A todas as pessoas que de alguma forma contribuíram com minha formação. Muito obrigado por compartilhar momentos ímpares vividos durante essa etapa da minha vida. Ao Professor Luiz Carlos de Queiroz pela orientação e ajuda na realização dessa monografia. Aos funcionários e Professores da Escola de Engenharia de Lorena (EEL-USP) por todo aprendizado e conhecimentos durante o percurso da minha formação.

6 4 Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas Graças a Deus, não sou o que era antes. Marthin Luther King

7 5 RESUMO PIEROZZI, M. ANÁLISE DOS MODOS DE CONTROLE PARA UM PROCESSO DE TERCEIRA ORDEM p. Monografia de conclusão do curso de Engenharia Industrial Química Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Paulo, Lorena, Os controladores PID são amplamente usados no controle de processos industriais. Ainda assim, grande parte dos controladores presentes nas indústrias são mal sintonizados. Este trabalho descreveu um procedimento para sintonizar controladores PID (Proporcional- Integral-Derivativo) em um processo em malha fechada. A ideia principal foi utilizar o método de Ziegler e Nichols para estimar os parâmetros do controlador. O objetivo foi avaliar o comportamento de um sistema de terceira ordem, por meio de uma ferramenta do software de simulação de processos, Matlab/Simulink. Primeiramente, determinou-se a função de transferência da malha fechada do problema proposto. Após esta etapa, foi aplicado o segundo método de Ziegler-Nichols para encontrar o ponto crítico (ganho crítico e período crítico) do processo, afim de sintonizar os parâmetros proporcional, integral e derivativo do controlador PID apresentado. Dessa forma, no estudo proposto os valores do ponto crítico foram: ganho crítico igual a 8 e período crítico igual a 3,63. A partir desses valores e usando a tabela do método de Ziegler-Nichols, foi possível determinar os valores dos parâmetros (proporcional, integral e derivativo) do controlador PID. Os sistemas foram então simulados e seus parâmetros sintonizados com auxílio da ferramenta Simulink e da sequência de comandos denominada m-file, ambas pertencentes ao software Matlab, versão 8.5. Os casos propostos foram simulados e os comportamentos dinâmicos foram avaliados comparativamente. Dos resultados obtidos, foi verificado que sintonizar controladores PID pode melhorar o comportamento do sistema, alcançando a estabilidade em um tempo mais rápido e diminuindo a sobre elevação da resposta. Palavras-chave: Controle de processos, Realimentação, PID, Modelagem, Simulação.

8 6 ABSTRACT Pierozzi, M. ANALYSIS OF CONTROL MODES FOR A THIRD-ORDER PROCESS p. Monografia de conclusão do curso de Engenharia Industrial Química Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Paulo, Lorena, PID controllers are widely used in industrial process control. However, much of the present controllers in industry are poorly tuned. This paper describes a procedure for tuning PID controllers (Proportional-Integral-Derivative) process into a closed loop. The main idea was to use the Ziegler and Nichols method for estimating controller parameters. The objective was to evaluate the behavior of a third-order system by a software tool for process simulation, Matlab / Simulink. First, it was determined the transfer function of the closed loop of the proposed problem. After this step, it was applied the second Ziegler- Nichols method to find the critical point (critical gain and the critical period) of the process, in order to tune the proportional, integral and derivative parameters of the shown PID controller. Thus, the study proposed the values of the critical point were critical gain equal to 8 and critical period equal to From these values and using the table of Ziegler-Nichols method, it was possible to determine the parameter values (proportional, integral and derivative) of the PID controller. Then the systems were simulated and their parameters were tuned with the help of Simulink tool and the command sequence known as m-file, both belonging to the Matlab software, version 8.5. The proposed cases were simulated and the dynamic behaviors were comparatively evaluated. From the results, it was found that tune PID controllers can improve system performance, increasing system stability in a faster time and lowering the elevation of the output. Keywords: Process control, Feedback, PID, Modeling, Simulation.

9 7 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Malha de controle...14 Figura 2 Controlador Proporcional PID...15 Figura 3 Controlador Proporcional...16 Figura 4 Controlador Proporcional-Integral...17 Figura 5 Controlador PID (Proporcional-Integral-Derivativo)...18 Figura 6 - Resposta de um sistema de controle típico com os modos de controle...20 Figura 7 - Plano complexo s e os critérios de estabilidade...22 Figura 8 Curva de resposta em forma de S...23 Figura 9 Oscilação mantida no período crítico...25 Figura 10 Processo Proposto...26 Figura 11 Sinal da saída do processo em variável desvio...27 Figura 12 Modelo Estudado...28 Figura 13 Programa da simulação para a resposta do degrau unitário...30 Figura 14 Sinal da resposta do modelo estudado...31 Figura 15 Respostas de saída para variações do ganho proporcional...33 Figura 16 Respostas de saída para variações do parâmetro integral...34 Figura 17 Respostas de saída para variações do parâmetro derivativo...35 Figura 18 Melhor sinal de resposta (verde) comparada com Alves (azul)...36 Figura 19 Respostas ao degrau unitário...38 Figura 20 - Acesso Matlab...42 Figura 21 Biblioteca de Blocos do Simulink...43 Figura 22 Editor do Simulink...44

10 8 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Regras de Sintonia de Ziegler e Nichols (Primeiro Método)...24 Tabela 2 Regras de sintonia de Ziegler e Nichols (Segundo Método)...25 Tabela 3 Funções de alguns blocos encontrados no Simulink...44

11 9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO OBJETIVOS Objetivo geral Objetivos específicos REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Controle Automático de Processo Controle regulador e servo Malha de Controle de Realimentação Ações de controle Ação Proporcional Ação Integral Ação Derivativa Ação Proporcional Integral Derivativa Sintonia Clássica de Controladores PID Estabilidade Métodos de Ziegler e Nichols Método de resposta ao degrau Método de resposta em frequência METODOLOGIA Processo Proposto Sistema Computacional Simulações Simulink M-file RESULTADOS E DISCUSSÃO CONCLUSÕES...39 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...40 APÊNDICE...42

12 10 1 INTRODUÇÃO A utilização de sistemas de controles automáticos ocorre a muito tempo. O primeiro trabalho significativo foi um regulador centrífugo para o controle de velocidade de uma máquina a vapor, construído por James Watt no século XVIII. Desde então esses tipos de controle vêm sendo utilizados cada vez de maneira mais eficiente e sofisticada (OGATA, 2007). Controlar sistemas e processos físicos tem sido uma necessidade desde tempos remotos. A primeira forma de controle, conhecida como controle manual, esteve e ainda está presente em muitos processos. Esse tipo de controle necessita da experiência e habilidade humana em realizar alguma forma de operação. A crescente sofisticação dessas atividades, impulsionou o interesse e a necessidade de automatizar determinados processos a partir do desenvolvimento tecnológico e científico. Com o acelerado avanço tecnológico nas diversas áreas do conhecimento humano, a automatização industrial tem se tornado cada vez maior, proporcionando um grande ganho produtivo na qualidade e quantidade, além dos preços atrativos (FERNANDES JUNIOR; LOPES; MAITELLI; ARAUJO; OLIVEIRA, 2005). Um processo automatizado e controlado é aquele em que o sistema atua de forma a manter suas variáveis estáveis com o passar do tempo, mesmo que perturbações externas tentem desviá-lo desta condição. A importância de um controle automático num processo produtivo se baseia na capacidade de se produzir bens com maior qualidade e quantidade em menos tempo e com menor custo. Atualmente, as diversas aplicações do controle automático estão se difundindo no controle de viscosidade, pressão, temperatura, umidade e ainda em diversas montagens mecânicas industriais, como no caso das montadoras de automóveis que utilizam robôs para realizar a maioria das atividades (BAYER; ARAÚJO, 2011). Há diferentes formas de controladores industriais. Na prática, a mais corriqueira, é o controlador PID, proporcional-integral-derivativo, e a ocorrência desses controladores na indústria gira em torno de 95% (CARMO; GOMES, 2005). Os controladores PID são muito utilizados em automação industrial, seu funcionamento é baseado no cálculo do erro entre o valor medido na saída e o valor desejado no processo. Dessa forma, o controlador tenta corrigir o erro que foi gerado na saída, ajustando sua entrada.

13 11 Os requisitos na escolha de um controlador são baseados principalmente na resposta em frequência do processo. As características mais importantes dessas respostas estão relacionadas com à estabilidade do sistema com a margem de ganho e de fase do mesmo. A sintonização de controladores de realimentação é o procedimento de se ajustar os parâmetros do controlador para se obter uma resposta especifica de uma malha fechada e a dificuldade de sintonização aumenta de acordo com o número de parâmetros a serem ajustados (SMITH; CORRIPIO, 2012). As etapas da sintonia de controladores PID normalmente são compostas pela identificação dos parâmetros seguida da aplicação de fórmulas baseadas nessas variáveis. Uma forma muito usada na sintonia de controladores PID baseia-se na identificação de um ponto de resposta em frequência do processo ponto crítico. Este ponto apresenta duas informações importantes: ganho e período críticos do processo, os quais são obtidos no limite da estabilidade do sistema. Sabendo as informações desse ponto, aplica-se as fórmulas de Ziegler-Nichols ou suas variações para realizar a sintonia dos controladores. A sintonia automática de controladores de processos é uma demanda crescente nas aplicações industriais, que busca a sincronização necessária do melhor comportamento para a malha de controle. Em ambientes industriais, onde se encontra a necessidade da máxima produtividade com menor custo existe uma grande dependência da automatização de seus processos. Os processos automatizados dependem principalmente dos seus controladores que precisam estar bem sintonizados para serem produtivos. Trabalhar com controladores bem sintonizados, que apresentam autossintonia e ferramentas capazes de acompanhar o processo ao longo do tempo é fundamental para manter a alta produtividade, baixo custo e a qualidade do produto final. Por essa razão, sintonizar controladores representa um papel muito importante no vasto campo da engenharia que envolve controlar tanto processos relativamente simples quanto sistemas de pilotagem de avião, mísseis guiados e veículos espaciais. Neste trabalho será analisada a dinâmica de resposta de um processo em malha fechada, com sintonia de controladores PID, segundo os métodos de Ziegler-Nichols. O processo a ser considerado será de terceira ordem.

14 12 2 OBJETIVOS 2.1 Objetivo geral Analisar o comportamento dinâmico de um processo de terceira ordem em malha fechada, com sintonia PID segundo os métodos de Ziegler-Nichols. 2.2 Objetivos específicos 1. Determinar a função transferência do processo com a ajuda do software de simulação Matlab/Simulink. 2. Aplicar os métodos de sintonia ao controlador PID. 3. Avaliar o comportamento dinâmico do processo controlado.

15 13 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 3.1 Controle Automático de Processo Conforme Smith e Corripio (2012, p. 3), O objetivo de um sistema de controle automático de processo é ajustar a variável manipulada em seu ponto fixo, independente de distúrbios. Segundo Ogata (2007, p.2), Controlar significa medir o valor da variável controlada do sistema e utilizar a variável manipulada para corrigir ou limitar os desvios do valor medido a partir de um valor desejado. Para Castrucci, Bittar e Sales (2011, p.1), Controlar uma grandeza ou variável física significa alterar o seu valor de acordo com uma intenção. Nem sempre isso é realizável perfeitamente, ou porque não se dispõe de energia suficiente ou porque há perturbações muito importantes ou muito rápidas. O controle automático de processo é realizado por várias etapas. Inicialmente, deve-se medir a variável controlada do processo. Essa medição é feita através de um sensor. Geralmente este sensor é ligado a um transmissor, o qual leva a potência desenvolvida do sensor e a converte em sinal forte o bastante para ser transmitido a um controlador. Este então recebe o sinal, que está relacionado com a variável controlada e o compara com o valor desejado. De acordo com os resultados comparados, o controlador decide como fazer para manter a variável controlada em seu valor desejado. Após tomar a decisão, o controlador envia um sinal para o elemento de controle final, o qual por sua vez manipula o ajuste necessário. 3.2 Controle regulador e servo Conforme Zuben (2010, p.14) descreve, servomecanismo: surgiu no contexto do desenvolvimento de certos mecanismos de controle de posição. O termo problema do servomecanismo serve para designar o problema de fazer a saída do sistema seguir (acompanhar, rastrear) uma referência especificada e variante no tempo. De acordo com Zuben (2010, p.14), Controle regulador é empregado para designar a função de controle que visa manter a saída do sistema próxima a uma referência especificada e constante no tempo. O termo problema da regulação designa o problema de regular a saída do sistema.

16 Malha de Controle de Realimentação Malha de controle de realimentação é formada por um conjunto de componentes, como controlador de realimentação e toda a instrumentação responsável por manter o circuito em operação. Essa instrumentação é composta por medições, transduções, transmissões e elementos atuadores. O funcionamento do controle de realimentação ocorre da seguinte forma como mostrado na figura 1: um transmissor-sensor mede a variável controlada e envia um sinal (B) proporcional a ela para o controlador, onde esse sinal é comparado com o valor de referência (R). O controlador efetua o cálculo do sinal de saída (U) ou variável manipulada, com base no erro (E) ou na diferença entre a medição e o ponto fixo (R). O sinal de saída (U) do controlador é encaminhado para o elemento atuador final que vai atuar de forma corretiva no processo (OGATA, 2007; SMITH; CORRIPIO, 2012). A figura 1 representa os elementos descritos nos blocos e suas funções de transferência, já aqueles elementos antes de um bloco são o sinal de entrada daquele bloco, enquanto que os apresentados após cada bloco são seu sinal de saída. Figura 1 Malha de controle. M G D R + - E Controlador Elemento final Processo U D G C G E G P + + C B G m Fonte: Autoria própria. Onde: C variável controlada; D variável manipulada; M variável de distúrbio; U saída do controlador; E sinal de erro; B valor medido de C; R valor de referência; GC - função de transferência do controlador; GE função de transferência do elemento final de controle; GP função de transferência do processo; Gm - função de transferência do sensor e do transmissor; GD função de transferência do elemento D.

17 Ações de controle O controlador PID é formado por 3 ações de controle: proporcional, integral e derivativa como mostrado na figura 2. Figura 2 Controlador PID. Fonte: Site: Ação Proporcional O controlador mais simples que será abordado é o controlador proporcional. Este tipo de controlador opera baseado na diferença entre o valor do ponto fixo e da variável controlada, essa diferença é conhecida como erro, ou seja, o controlador decide tomar uma ação corretiva proporcional ao erro detectado. Segundo Smith e Corripio (2006, p.159) descrevem as equações 1 e 2 do controle proporcional: = (1) onde é o sinal de erro, é o valor do ponto fixo e é o valor da variável controlada, e = (2) onde é o sinal de saída do controlador e é o ganho proporcional do controlador, normalmente adimensional. Na equação 2, é possível verificar que a saída do controlador é proporcional ao erro entre o ponto fixo e a variável controlada, essa relação proporcional é dada pelo ganho do controlador.

18 16 O valor do quanto a saída do controlador se altera para uma dada variação no erro é determinado pelo ganho do controlador. Quanto maior o valor de, maior a variação da saída do controlador para um dado erro, e dessa forma, o estabelece a sensibilidade do controlador a um erro. Para a maioria dos processos há um valor máximo de e acima desse valor o processo se torna instável. A vantagem dos controladores proporcionais é a presença de apenas um parâmetro de sintonia,. Por outro lado, esses controladores apresentam uma considerável desvantagem por operar com um erro residual. Um desvio de estado estacionário da variável controlada a partir do ponto fixo pode ser entendido como erro residual ou erro de estado estacionário da variável. A figura 3 mostra um exemplo da malha de controle com controlador proporcional. Figura 3 Controlador Proporcional P. Fonte: Matas (2012, p. 22) Ação Integral A ação integral não pode ser considerada uma ação de controle se estiver isolada, ela depende da ação proporcional. A principal importância da ação integral é a eliminação ou redução do erro residual (CAMPOS; TEIXEIRA, 2006; OGATA, 2007; BURNS, 2001). A lei de controle que define a relação de entrada e saída do controlador PI (Proporcional Integral) é apresentada pela equação 3 no domínio do tempo. = + Os parâmetros KC e Ti são respectivamente o ganho proporcional e o tempo integral. Além deles, u(t) é a saída do controlador e e(t) é o erro. Nesse contexto pode ser (3) incluída a constante de integração = Proporcional Integral.. A figura 4 representa a malha de controle

19 17 Figura 4 Controlador Proporcional Integral. Fonte: Matas (2012, p. 24). A ação integral pode induzir na diminuição do tempo de subida da resposta, no aumento do tempo de acomodação, na eliminação do erro residual e no aumento do sobressinal. A utilização excessiva desse termo pode levar o processo à instabilidade, bem como sua pouca atuação pode retardar a estabilidade do sistema (DUARTE FILHO; et. al, 2013). O principal benefício do controle proporcional-integral é a exclusão do erro residual. Por outro lado, esse tipo de controle apresenta uma tendência de gerar oscilações na variável controlada, reduzindo dessa forma a estabilidade do sistema de controle. Para controlar essas oscilações deve-se utilizar um controlador do tipo derivativo ou corrigir a sintonia do controlador em uso (SEBORG; EDGAR; MELLICHAMP, 2003) Ação Derivativa O termo derivativo do controlador, assim como a ação integral, não pode ser empregado separadamente da ação proporcional. Dessa maneira, a parcela derivativa, representada pelo parâmetro Td, age proporcionalmente à derivada do erro que ocorre entre o sinal de entrada e saída do sistema melhorando o desempenho do controlador. A equação 4 representa essa ação (DORF; BISHOP, 2001). = (4) Onde é o sinal de saída do controlador e Td é o tempo derivativo ou também conhecido como tempo de proporção. As mudanças em processos dinâmicos ocorrem de forma constante, e com essas alterações, o controlador PID também pode sofrer variações em seu processo de atuação. A ação derivativa tem a capacidade de melhorar a estabilidade do processo a controlar, independente da perturbação sofrida por ele. Essa ação também tem a função de

20 18 minimizar os efeitos oscilatórios causados pela ação integrativa e diminuir o tempo de estabilização do processo a controlar (ÅSTRÖM; HÄGGLUND, 2006) Ação Proporcional Integral Derivativa Controladores de Realimentação PID, conhecidos como o cérebro da malha de controle, são responsáveis por realizar a operação de decisão no sistema, ou melhor manter os processos em seus pontos operacionais de forma mais eficiente e econômica. Para efetuar essa operação, o controlador compara o sinal de processo C(s) que ele recebe da variável controlada com o ponto fixo R(s). Após essa comparação, ele envia um sinal ajustado U(s) para a válvula de controle, ou algum outro elemento de controle final, com o objetivo de manter a variável controlada em seu valor de referência R(s) como mostrado na figura 5. Figura 5 Controlador PID (Proporcional Integral Derivativo). Fonte: Adaptado de Matas (2012, p. 20). O controlador PID (Proporcional Integral Derivativo) representa a ação de controle mais utilizada nas industrias por fornecer ótimas respostas e grande performance em uma série de processos. A vantagem desse tipo de controlador está relacionada com as combinações entre as ações de controle: proporcional, integral e derivativa. De forma geral, um ganho proporcional elevado no ajuste do controlador tem como consequência reduzir o tempo de subida da curva de resposta do sistema e diminuir o erro residual. A ação integral tem como vantagem eliminar o erro residual e como desvantagem piorar a resposta de transição do sistema, tornando-o mais oscilatório. O principal efeito do controle derivativo está em melhorar a estabilidade do sistema, reduzindo o valor máximo de sobre elevação da curva de resposta, diminuindo o tempo de estabilização e melhorando sua resposta transitória (OGATA, 2007). A equação 5 representa o controlador PID clássico, onde o ganho proporcional também multiplica o termo integral e derivativo.

21 = (5) A equação 5 representa o modelo do controlador PID, onde é o sinal emitido pelo controlador PID e é o sinal do erro entre o sinal de referência (entrada) e a resposta do sistema (saída). Pode-se também observar na equação, que o sinal de controle emitido é composto por três componentes: sendo o primeiro proporcional ao erro, representado pelo ganho proporcional, o segundo proporcional à integral do erro, representado pelo ganho integrativo e o terceiro proporcional à derivada do erro, representado pelo ganho derivativo (BASILIO; MATOS, 2002). A função de transferência, equação 6, de um controlador PID segue o mesmo procedimento usado para os outros controladores já descritos, = + + (6) Os três parâmetros que precisam ser ajustados (sintonizados) no controlador PID para se ter um controle adequado são,, e. O modo de ação derivativo tem a capacidade de prever para onde o processo está caminhando, ou seja, ele antecipa o caminho do processo através do cálculo da derivada do erro sendo quantificado pelo parâmetro de sintonização, (SMITH; CORRIPIO, 2012). Os controladores P, PI e PD também podem ser obtidos a partir de um controlador PID, bastando apenas alterar os parâmetros Ti (tempo integral) e/ou Td (tempo derivativo). Deseja-se indicar agora a motivação prática para o uso de modos integrais e derivativos de controle. A figura 6 mostra o comportamento de um sistema de controle por realimentação típico quando o mesmo é sujeito a uma perturbação degrau. Observase que o valor da variável controlada aumenta no tempo zero devido a uma perturbação. Os resultados das respostas a essa perturbação estão em destaque na figura 6 e nas seguintes condições: sem ação de controle, sob ação de controle proporcional (P), sob controle proporcional-integral (PI) e sob controle proporcional-integral-derivativo (PID).

22 20 Figura 6 - Resposta de um sistema de controle típico com os modos de controle. Fonte: (Coughanowr; Koppel, 1978). Nos dias de hoje, grande parte das malhas de controle industriais apresentam tecnologia PID clássica, com as regras clássicas de sintonia de Ziegler e Nichols. Essas regras são usadas até no presente, no controle dos parâmetros dos controladores industriais e também serão utilizadas neste trabalho (GOODWIN; GRAEBE; SALGADO, 2000). 3.5 Sintonia Clássica de Controladores PID A sintonia de controladores pode ser definida como o procedimento de se ajustar os parâmetros do controlador de realimentação para se obter uma resposta específica de malha fechada. A dificuldade de sintonia aumenta com o número de parâmetros que necessitam de ajustes. Um controlador simples, proporcional (P) ou integral (I), necessita apenas de um ajuste, pois apresenta somente um parâmetro. Já o controlador proporcional-integral (PI) apresenta uma dificuldade maior para ser ajustado devido a presença de dois fatores, o ganho e o tempo de restauração. Por fim, o controlador proporcional-integral-derivativo (PID) apresenta o maior grau de dificuldade para ser ajustado, pois possuem três parâmetros, o ganho, o tempo de restauração e o tempo derivativo (SMITH; CORRIPIO, 2012). A velocidade de resposta para os ajustes de sintonização das malhas de realimentação pode levar muitos minutos ou até mesmo horas,

23 21 tornando esse procedimento cansativo e demorado devido sua ocorrência ser realizada por tentativa e erro, em alguns casos Estabilidade A maioria dos processos industriais é estável em malha aberta, mas em malha fechada para casos onde os ganhos do controlador são aumentados a certos valores, o sistema pode entrar numa zona de oscilações, tornando-se instável (ALVES, 2013). Pode-se estudar a estabilidade de um sistema de malha fechada no domínio de Laplace, a partir do conhecimento dos parâmetros e das equações desse sistema (ALVES, 2013). Para explicar essa observação será utilizado um exemplo de Alves (2013, p.113) de um sistema de terceira ordem representado pela equação 7: = + (7) A malha fechada do sistema segue a equação 8: = (8) referência. Onde é a variável controlada, é o ganho proporcional e é o valor de Considera-se o controlador com ação proporcional, ou melhor, GC = K, e introduzindo o ganho em malha fechada = na equação 9: = (9) Para verificar a estabilidade, é necessário observar o local das raízes da equação característica do denominador no plano complexo s. Essas raízes do denominador são chamadas de pólos da função. Os critérios de estabilidade podem ser verificados no plano complexo s mostrado pela figura 7. A estabilidade depende da posição das raízes da equação característica, ou seja, se todas as raízes estiverem no semiplano esquerdo, o sistema é estável, porém será instável se as raízes estiverem no semiplano direito.

24 22 Figura 7 - Plano complexo s e os critérios de estabilidade. Fonte: Alves (2013, p.114) Métodos de Ziegler e Nichols Existem dois métodos indicados como regras de Ziegler e Nichols, sendo o primeiro baseado na resposta do sistema em malha aberta e o segundo em malha fechada. As regras de sintonia propostas por Ziegler e Nichols (1942) para o controle PID básico, determinam os valores dos parâmetros proporcional, integral e derivativo (KC, Ti, Td) do controlador, com objetivo de garantir as especificações de desempenho e as necessidades de cada aplicação, de maneira ágil e eficaz, baseado na resposta transitória a controlar (OGATA, 2007). Apesar desses métodos terem sido criados há mais de 60 anos, ainda estão presentes em muitas indústrias na sintonia de controladores PID por apresentarem resultados satisfatórios e eficazes na busca de parâmetros (BAHAVARNIA; TAVAZOEI, 2013). Ao longo do tempo foram desenvolvidas muitas regras para sintonia de controladores PID, porém ainda não conseguiram substituir as regras de Ziegler e Nichols em termos de simplicidade e facilidade de uso para se conseguir bons ajustes dos parâmetros do controlador (DEY; MUDI, 2009).

25 Método de resposta ao degrau No primeiro método de Ziegler e Nichols para ajuste de um controlador PID, em malha aberta, obtém-se experimentalmente a resposta de uma planta ou processo à uma entrada em degrau unitário como mostrado na figura 8. Pode-se obter as respostas através de experimentos em ambientes de simulação, como Matlab, ou em ambientes reais, instalações de plantas. Se o processo não apresentar integradores, então a resposta ao degrau unitário pode ter característica de um S como mostrado na figura 8. Caso o formato da resposta seja diferente de S, supostamente a planta apresente integradores e este método não será aplicado (ÅSTRÖM; HÄGGLUND, 2004). Figura 8 Curva de resposta em forma de S. Fonte: (OGATA, 2002). A resposta em formato em S representada na figura 8, pode ser caracterizada por duas constantes quando uma reta tangente é traçada no ponto de inflexão da curva. No cruzamento da tangente traçada com o eixo das abscissas, do tempo, obtém-se o atraso L do sistema. Já na intersecção entre a reta tangente e a reta igual a K (paralela ao eixo das abscissas), obtém-se T representada pela constante do tempo que o sistema leva para estabilizar nas condições desejadas para o processo (VALÉRIO; COSTA, 2006). A equação 10 representa a função de transferência de um sistema de primeira ordem com retardo de transporte e apresenta semelhanças com as características apresentadas pela curva de resposta na figura 8 (BAHAVARNIA; TAVAZOEI, 2013).

26 24 = + (10) A tabela 1 proposta por Ziegler e Nichols é usada para ajustar os valores dos parâmetros (proporcional, integral e derivativo) dos controladores PID, PI (sem a parte derivativa) e somente P (proporcional) dos sistemas que apresentam seus modelos matemáticos aproximados da equação 10 (O DWYER, 2009; RUIZ, 2005). Tabela 1 Regras de Sintonia de Ziegler e Nichols (Primeiro Método) Tipo de controlador KC Ti Td P T/L 0 PI 0,9 T/L L/0,3 0 PID 1,2 T/L 2L 0,5L Fonte: Adaptado (RUIZ, 2005) Quando os dados apresentados na tabela 1 para os parâmetros KC, Ti e Td são substituídos na equação característica (equação 6) do controlador PID, obtém-se o modelo do controlador sintonizado, conforme o primeiro método de Ziegler e Nichols (OGATA, 2007) Método de resposta em frequência O segundo método de Ziegler e Nichols é aplicado quando a curva de resposta do sistema que está sob a ação de uma excitação em degrau unitário não apresenta formato em S, ou seja, o processo apresenta integradores. Esse segundo método pode ser realizado tanto em ambientes de simulações quanto em instalações físicas da planta, onde os parâmetros integradores e derivativos são ajustados respectivamente de acordo com as equações 11 e 12 (OGATA, 2002; ZIEGLER; NICHOLS, 1942). = (11) = (12) Introduzindo os valores, mostrados nas equações (11) e (12), de Ti e Td no controlador em malha fechada, e dessa forma empregando somente a ação proporcional (KC) com variação no valor do ganho proporcional de zero até um valor crítico K (KCR), a resposta do controle de processo apresenta oscilações constantes e é caracterizada por um período crítico (PCR), como destacado na figura 9 (OGATA, 2002).

27 25 Figura 9 Oscilação mantida no período crítico. Fonte: (OGATA, 2002). O segundo princípio de Ziegler e Nichols é obedecido se a resposta do sistema apresentar oscilações constantes e dois valores precisos: o ganho crítico (KCR) e o período crítico (PCR). Dessa forma, Ziegler e Nichols propuseram ajustar os valores de KC, Ti e Td de acordo com a tabela 2 (OGATA, 2002). Tabela 2 Regras de sintonia de Ziegler e Nichols (Segundo Método) Tipo de controlador KC Ti Td P 0,5 KCR 0 PI 0,45 KCR 1/1,2 PCR 0 PID 0,6 KCR 0,5 PCR 0,125 PCR Fonte: (OGATA, 2002) O modelo do controlador sintonizado de acordo com o segundo método de Ziegler e Nichols é obtido quando os valores indicados na tabela 2 substitui os parâmetros KC, Ti e Td do controlador PID em sua equação característica (equação 5) (OGATA, 2002).

28 26 4 METODOLOGIA 4.1 Processo Proposto O processo em estudo nessa monografia é baseado em Alves (2013, p.113) e representado pela equação = + quando um controlador PID representado pela função transferência = = + +, é sintonizado de acordo com o método de resposta em frequência de Ziegler-Nichols. O processo a ser considerado é de terceira ordem e representado pela figura 10. Figura 10 Processo Proposto. Fonte: Adaptado de Matas (2012, p. 20). A equação global do sistema pode ser representada pela equação 13: = =. +. = ( + + ). + ( + + ). + (13) + Onde: G(s) = equação global, GC = função de transferência do controlador PID e GP = equação de processo. Os parâmetros proporcional, integral e derivativo são representados por KC, Ti e Td. Os parâmetros do controlador da simulação do processo em destaque foram obtidos utilizando a tabela 2 e o conhecimento do ponto crítico, ganho crítico e período crítico, demonstrados segundo o item da revisão. Após serem determinados, o ganho e o período crítico da função transferência, resultando em KCR = 8, PCR = 3,63. Com a tabela 2, os parâmetros do controlador foram obtidos KC = 4,8, Ti = 1,81 e Td = 0,45 (ALVES, 2013, p.120). Substituindo os valores dos parâmetros KC = 4,8, Ti = 1,81 e Td = 0,45 na equação global (13) tem-se a equação global (14):

29 27 = =, +, +, + +, +, +, (14) Onde: G(s) = equação global A sintonia de controle no estudo desse processo visa encontrar os melhores parâmetros, proporcional, integral e derivativo, do controlador PID para obter uma resposta comparativa com o gráfico representado pela figura 11. O gráfico da figura 11 apresenta uma boa rejeição ao distúrbio da carga, e um sobrepasso de 50% na variação do set point, considerado elevado para muitas aplicações. O sobrepasso e as oscilações podem ser reduzidos através de ajustes dos parâmetros do controlador PID que foram desenvolvidos ao longo desse estudo. Figura 11 Sinal de Saída do Processo em variável desvio. Fonte: (ALVES, 2013). 4.2 Sistema Computacional Para a simulação da dinâmica de resposta foi empregado o software MATLAB/SIMULINK, versão 8.5, com o objetivo de comparar as características das respostas diante da sintonia dos parâmetros dos controladores PID que serão propostos no desenvolvimento do trabalho. MATLAB/SIMULINK é um software de alta performance voltado para o cálculo numérico. Ele tem capacidade de integrar análise numérica, cálculo com matrizes e construção de gráficos em ambiente fácil de usar. A simulação do processo foi realizada a partir do Simulink que utilizou uma disposição lógica dos blocos que quando interligados a outros comandos retornaram a

30 28 resposta gráfica do processo e o modo de utilização do software foi demonstrado no apêndice. Além do uso da ferramenta Simulink, também foram simuladas as respostas pelo modo M-file, que são arquivos-texto que contém uma sequência de comandos do Matlab. 4.3 Simulações Simulink O modelo do processo proposto foi simulado com auxílio da ferramenta Simulink do software Matlab. De acordo com a modelagem proposta no item 4.1, o processo em estudo foi simulado aplicando diversos ajustes nos parâmetros proporcional, integral e derivativo, com a intenção de gerar respostas comparativas com o sinal de resposta da figura 11 proposta por Alves (2013, p. 113). Com auxílio do Simulink, o sistema em estudo foi formado por um conjunto de blocos organizado de acordo com o processo proposto e representado pela figura 12. Figura 12 Modelo Estudado. Fonte: Autoria Própria M-file Ao executar os comandos em sequência, m-file, do programa Matlab, possibilitou obter a curva da resposta ao degrau unitário do sistema através dos ajustes dos parâmetros proporcional, integral e derivativo.

31 29 Para chegar nessas respostas, foi necessário substituir os valores dos parâmetros do controlador PID na equação global do sistema representado pela equação (13): = =. +. = ( + + ). + ( + + ). + (13) + Da equação (13) e dos seguintes valores dos parâmetros nela substituídos foram obtidas: primeira curva Kp = 4,8; Ti = 1.81; Td = 0,45, segunda curva Kp = 4,8; Ti = 2; Td = 0,73 e terceira curva Kp = 4,8; Ti = 3,6; Td = 0,9 e os resultados das respostas ao degrau unitário foram analisados. A simulação dessa resposta foi realizada por uma sequência de comandos inseridas na linha de comando do Matlab como demonstrado na figura 13. Primeiramente, foi calculada a equação global de acordo com a substituição dos parâmetros do controlador PID e deixou a equação na forma de fração polinomial, ou seja, como demonstrado abaixo. O exemplo mostrado foi da primeira curva da resposta ao degrau. Substituindo os parâmetros propostos por Alves (2013) Kp = 4,8; Ti = 1.81; Td = 0,45 na equação (13), foi obtida a equação (14): =, +, +, + +, +, +, (14) Para realizar a simulação, foi necessário inserir os coeficientes do numerador e do denominador, além da função step, os quais estão representados pela figura 13.

32 30 Figura 13 Programa de simulação para resposta ao degrau unitário. Fonte: Autoria própria Após inserir os comandos bastou clicar em enter para gerar o gráfico da resposta ao degrau unitário.

33 31 5 RESULTADOS E DISCUSSÃO O modelo representado pela figura 14 apresentou uma resposta de saída parecida com o sinal de saída do processo descrito por Alves (2013) e mostrado na figura 11. Para obter esse resultado comparativo, usou-se o método de resposta em frequência de Ziegler e Nichols para o processo em estudo quando um controlador PID esteve presente na malha de controle. A partir do ponto crítico, ganho crítico KCR = 8 e período crítico TCR = 3,63, e da tabela 2 foi possível encontrar os valores dos parâmetros proporcional, integral e derivativo. Os valores determinados de Kp, Ti e Td foram respectivamente 4,8, 1,81 e 0,45. Dessa forma, aplicando esses valores no controlador do modelo estudado foi obtido o sinal de resposta, figura 14, da simulação da equação global G(s) (equação 14). Essa resposta (figura 14) pode ser comparada com o sinal de saída proposto por Alves (2013) e mostrado na figura 11. Figura 14 Sinal da resposta do modelo estudado. Fonte: Autoria Própria. Os sinais de respostas descritos por Alves (2013) e por essa monografia apresentaram um perfil de saída bem próximos. Foi possível constatar uma sobreelevação na carga (processo) relacionada ao problema regulador (entre os tempos de 25 e 30 segundos). A pequena diferença observada foi em relação a sobre-elevação de entrada, do set point, causada pelas diferenças de cálculos dos parâmetros em estudo do problema servo. Por parte de Alves (2013), o parâmetro derivativo (Td) gerou um valor igual a 0,47. Já pelos cálculos desenvolvidos nesse estudo foi obtido um valor de 0,45 para o mesmo parâmetro, influenciando em uma sobre elevação menor como observada no sinal de saída entre os tempos 0 e 5 segundos.

34 32 Os parâmetros foram variados da seguinte forma: primeiro caso, mantiveram-se os parâmetros integral e derivativo constantes, e variou-se o parâmetro proporcional. Já no segundo caso, o parâmetro integral foi variado enquanto os outros dois se mantiveram constantes. No terceiro caso, o parâmetro variado foi o derivativo e o proporcional e integral permaneceram constantes. No primeiro caso, a constante proporcional KP foi variada acima e abaixo de 4,8 com objetivo de melhorar o sinal de resposta do processo em estudo quando comparado ao sinal proposto por Alves (2013, p.113). A observação comparativa mostrou que em ambas as mudanças do ganho proporcional, os sinais de respostas foram mais oscilatórios e apresentaram um tempo maior de estabilização. Houve um maior sobressinal obtido para a variação na carga (processo) quando o ganho proporcional foi diminuído (curva da resposta em vermelho) em relação ao proposto por Alves (2013). As respostas de saída para as variações do ganho proporcional estão mostradas na figura 15 e foram identificadas da seguinte forma: para os parâmetros, Kp = 4,8; Ti = 1,81; Td = 0,45, representados pela curva azul são aqueles propostos por Alves (2013). Já os parâmetros, Kp = 6; Ti = 1,81; Td = 0,45, representados pela curva verde mostrou o comportamento da variação do ganho proporcional acima do valor proposto por Alves. Por fim os parâmetros, Kp = 2; Ti = 1,81; Td = 0,45, representados pela curva vermelha mostrou o sinal de saída para variação do ganho proporcional abaixo do valor proposto por Alves.

35 33 Figura 15 Respostas de saída para variações do ganho proporcional. No segundo caso, o parâmetro variado foi a constante de tempo integral (Ti). Dessa forma, a figura 16 apresentou os sinais de respostas de acordo com as curvas e seus respectivos parâmetros: a resposta representada em azul foi proposta por Alves (2013) e apresentou os seguintes valores para os parâmetros Kp = 4,8; Ti = 1,81; Td = 0,45. O sinal de saída mostrado pela curva verde, apresentou uma variação do parâmetro integral acima do valor proposto por Alves e seus valores foram: Kp = 4,8; Ti = 4 ; Td = 0,45. Os parâmetros Kp = 4,8; Ti = 1,2; Td = 0,45 foram representados pela curva vermelha e houve variação da parcela integrativa abaixo do valor proposto por Alves. Das respostas obtidas, foi possível verificar que para um valor integrativo abaixo de 1,81 (curva vermelha), o sistema apresentou um sinal de saída inferior ao proposto por Alves (2013), pois notouse um maior sobressinal para variação no set point, um maior tempo de estabilização e um aumento oscilatório da resposta. Por outro lado, para um valor integrativo acima de 1,81 (curva verde), o sistema apresentou um comportamento mais controlado, devido à redução de 20 % de sobre elevação de entrada (set point) e ao perfil menos oscilatório do sinal de resposta. O sistema demorou um tempo maior para estabilizar a perturbação na carga (processo) como verificado pela curva verde na figura 16.

36 34 Figura 16 - Respostas de saída para variações do parâmetro integral. Fonte: Autoria própria No terceiro caso, as mudanças foram feitas nos parâmetros derivativos, ou seja, mantiveram as partes proporcional e integral constantes e alteraram o valor derivativo acima e abaixo do valor do estudo proposto por Alves (2013, p.113). As respostas de saída do sistema foram representadas pela figura 17 e mostradas pelos seguintes parâmetros: os valores de Kp = 4,8; Ti = 1,81; Td = 1,25 estão relacionados ao sinal de saída proposto por Alves(2013) e representado pela curva azul da figura 17. Já os parâmetros Kp = 4,8; Ti = 1,81; Td = 1,25, mostrou que o termo derivativo foi variado acima do valor proposto por Alves e a resposta de saída está apresentada pela curva verde. Quando a parcela derivativa foi variada abaixo do valor proposto por Alves, foi obtida a resposta de saída representada pela curva vermelha dos parâmetros Kp = 4,8; Ti = 1,81; Td = 0,2. Desses sinais de saída na figura 17, observou-se um melhor comportamento do sinal de resposta quando o parâmetro derivativo esteve acima daquele proposto pelo autor, representado pela curva verde, a qual apresentou uma resposta menos oscilatória, um tempo menor de estabilização e uma redução do sobressinal para variação no set point e na carga, causadas pelas perturbações degrau unitária.

37 35 Figura 17 - Respostas de saída para variações do parâmetro derivativo. Fonte: Autoria própria. Sintonizando os parâmetros nos seguintes valores: Kp = 4,8; Ti = 2; Td = 0,73 foi obtida a melhor resposta, representada pela curva verde, das simulações no Simulink. A figura 18 mostra um comparativo dos sinais de saída da melhor resposta (curva verde) e da resposta proposta por Alves (2013, p.113) representada pela curva azul. Foi observado que quando o sistema é sintonizado pelos parâmetros Kp = 4,8; Ti = 2; Td = 0,73, foi encontrada uma resposta melhor ajustada (curva verde) quando comparada ao sinal de saída proposto por Alves (2013) (curva azul). Constatou-se que o melhor sinal de saída (curva verde) apresentou um tempo menor de estabilização (próximo a 7,5 segundos), uma resposta menos oscilatória e uma redução do sobressinal para a variação de entrada do set point (de 1,5 para 1,2) e da carga (abaixo de 1,2) quando comparado ao proposto por Alves, mostrada pela figura 18.

38 36 Figura 18 Melhor sinal de resposta (verde) comparada com Alves (azul). Fonte: Autoria Própria Além dos resultados obtidos das simulações no Simulink, foram realizadas algumas simulações das respostas ao degrau unitário em uma sequência de comandos do software Matlab conhecida como m-file. Dessa forma, foram obtidas três respostas ao degrau unitário com os diferentes valores dos parâmetros aplicados no controlador PID. As resposta foram apresentadas pela figura 19. Na primeira resposta apresentada pela curva azul na figura 19, os parâmetros usados foram os mesmos propostos no estudo de Alves (2013) Kp = 4,8; Ti = 1.81; Td = 0,45, e foi observada uma resposta bem parecida com a demonstrada pelo Simulink. O programa 1 representa a sequência de comandos para simulação dos parâmetros Kp = 4,8; Ti = 1.81; Td = 0,45. Programa 1: num = [ ]; den = [ ]; step(num,den) Na segunda resposta obtida pela curva verde da figura 19, foram testados os parâmetros que apresentaram a melhor sintonia a partir do Simulink, representados por Kp = 4,8; Ti = 2; Td = 0,73. Esses mesmos parâmetros foram simulados por m-file e foi

39 37 verificado que o sinal de resposta para esses fatores apontou um aumento de sobressinal para variação no set point quando comparado a melhor simulação conseguida a partir do Simulink. O programa 2 representa a sequência de comandos para simulação dos parâmetros Kp = 4,8; Ti = 2; Td = 0,73. Programa 2: num = [ ]; den = [ ]; step(num,den) A melhor resposta encontrada para o degrau unitário da simulação m-file, foi obtida pela curva vinho da figura 19, pois foi observado que dobrando os valores dos parâmetros integral e derivativo propostos por Alves (2013) e mantendo constante o valor do ganho proporcional, Kp = 4,8; Ti = 3,6; Td = 0,9, foi possível encontrar uma resposta melhor sintonizada (curva vinho) em comparação a resposta de Alves(2013). Dessa melhor resposta (curva vinho), observou-se uma importante redução do sobressinal do set point e diminuição da oscilação do sinal de saída do sistema. Além disso, o tempo de estabilização foi mais rápido quando comparado com as demais respostas (curva azul e verde). O programa 3 representa a sequência de comandos para simulação dos parâmetros Kp = 4,8; Ti = 3,6; Td = 0,9. Programa 3: num = [ ]; den = [ ]; step(num,den)

40 38 Figura 19 Respostas ao degrau unitário Fonte: Autoria Própria

41 39 6 CONCLUSÕES Baseado no caso proposto por Alves (2013), pode-se concluir que a sintonia de controladores PID de um sistema de terceira ordem em malha fechada é efetiva em alguns casos, nos quais os ajustes dos parâmetros proporcional, integral e derivativo resultaram em uma resposta mais rápida, menos oscilatória e com um sobressinal reduzido. No entanto, foi notado que alguns valores inseridos no controlador apresentaram respostas não tão eficientes para o controle do processo proposto. No estudo, o melhor comportamento obtido do modelo simulado no Simulink apresentou os seguintes valores dos parâmetros de controle Kp = 4,8; Ti = 2; Td = 0,73, observou-se uma resposta com um tempo menor de estabilização (próximo a 7,5 segundos), uma resposta menos oscilatória e uma redução do sobressinal para a variação no set point (de 1,5 para 1,2) e na carga (abaixo de 1,2). A partir dessas constatações, verificou-se a importância do ajuste do ganho integrativo e derivativo na sintonia de controle. O mesmo ocorre para a simulação a partir do m-file do Matlab, foi verificado que duplicando os valores das parcelas integrativa e derivativa do controlador PID, Kp = 4,8; Ti = 3,6; Td = 0,9 quando comparada ao estudo proposto, obteve um melhor comportamento da resposta ao degrau unitário em relação ao tempo de estabilização, oscilação e sobressinal. Dessa forma, sintonizar controladores pode melhorar o comportamento e controle dos processos, garantindo uma boa produtividade, baixo custo e qualidade do produto final.