MODELAGEM MATEMÁTICA NUM CURSO DE LICENCIATURA: DISCUTINDO DIFERENTES SIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA NUM CURSO DE LICENCIATURA: DISCUTINDO DIFERENTES SIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO Isabela Galvão Barbosa Stempniak Universidade Bandeirante - UNIBAN isabelagalvao@gmail.com Alessandro Jacques Ribeiro Universidade Bandeirante - UNIBAN alessandro.ribeiro@uniban.br Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar um projeto de pesquisa em andamento, que visa investigar as contribuições que a abordagem dos Multisignificados de Equação, num ambiente de Modelagem Matemática, podem trazer para a formação/ampliação da concepção de equação presentes nos alunos de um curso de licenciatura em Matemática. Será desenvolvido na perspectiva de uma pesquisa qualitativa, com sessões de intervenção realizadas com os alunos do último ano da licenciatura. A pesquisa fundamenta-se nos resultados da tese de doutorado de Ribeiro Os Multisignificados da Noção de Equação no Ensino de Matemática, resultados estes que estão sendo utilizado na concepção e desenvolvimento desta pesquisa. Fundamenta-se ainda nas discussões de Modelagem Matemática propostas por Barbosa. Os resultados parciais que aqui são discutidos estão concentrados na importância e na relevância da temática para a Formação do Professor que ensina Álgebra, uma vez que contempla em sua formação inicial, discussões relativas a um importante conceito matemático, quer seja, a noção de equação. Palavras-chave: Multisignificados de Equação; Modelagem Matemática; Equação; Educação Algébrica; Formação de Professores. Introdução Um dos nossos questionamentos como professores de matemática, é que se o ensino da Matemática abordasse situações reais, práticas, os alunos poderiam se interessar mais, superando preconceitos que eles tenham por esta disciplina e, conseqüentemente, melhorar sua aprendizagem. Nesta direção, encontramos na Modelagem Matemática um ambiente de aprendizagem que viesse ao encontro de nossos anseios acima declarados. Parece-nos que a ausência de situações em que os professores relacionam conteúdos teóricos com a prática aos alunos, poderia estar diretamente ligada com à sua formação. Acreditamos que, se os professores não sabem ou não estão habituados a 1

2 relacionar a aplicação dos conteúdos matemáticos ao dia-a-dia, pode ser porque eles também não aprenderam dessa forma. Neste sentido, nossa pesquisa está inserida no contexto da formação inicial e continuada de professores de matemática. Este estudo está inserido num projeto de pesquisa mais amplo, que conta com a participação de outros alunos de mestrado. Tal projeto em sua concepção original tem dentre suas pretensões trazer contribuições para a formação inicial e continuada de professores de Matemática no âmbito da educação algébrica, no que se refere ao ensino e aprendizagem de equações. Esse projeto, no qual se insere este trabalho, é coordenado pelo orientador desta pesquisa, Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro, co-autor do presente trabalho. Um dos resultados de um dos trabalhos de mestrado já concluído no grupo (Barbosa, 2009), nos mostra que os professores não apresentam, de forma consolidada, os Multisignificados de Equação (Ribeiro, 2007) em suas concepções. Quando foram apresentados à situações-problema envolvendo os diferentes significados de equação, eles se mostraram bastante dependentes da utilização de fórmulas e algoritmos para trabalhar com equações, o que se relaciona especificamente com um dos significados que são discutidos no trabalho de Ribeiro (2007). Segundo Barbosa: No que se referem aos demais significados, os mesmos NÃO se manifestam na imagem de conceito do professor. Ele não reconhece e nem trata equação nas perspectivas assumidas em cada um dos referidos significados. (BARBOSA, p. 81) Entendemos que, ao se apropriar de diferentes significados para a noção de equação, o professor poderá usá-los em ambientes de aprendizagem, como os da modelagem matemática, por exemplo. Em nosso entendimento, tal ambiente este que proporciona ao aluno a motivação, socialização, à discussão em grupo e respostas ao aluno do porquê estudar determinado tipo de assunto, contribuindo assim com as discussões e reflexões acerca de problemas não-matemáticos que abordem, direta ou indiretamente, a noção de equação. Por fim, após a apresentação do cenário que motivou o desenvolvimento da presente projeto de pesquisa, anunciamos que o objetivo geral deste estudo é investigar 2

3 as contribuições que a abordagem dos Multisignificados de Equação, utilizando-se da Modelagem Matemática, pode trazer para a formação/ampliação da concepção de equação presentes nos alunos de um curso de licenciatura em Matemática. Fundamentado-se neste objetivo, apresentamos as seguintes questões de pesquisa que estamos investigando atualmente: 1) Quais significados de equação emergem dos alunos, quando eles estão envolvidos com a resolução de problemas, num ambiente de Modelagem Matemática? 2) Quais significados de equação podemos discutir com alunos, quando eles estão envolvidos com a resolução de problemas, num ambiente de Modelagem Matemática? 3) Como a discussão de diferentes significados de equação podem proporcionar a formação e/ou ampliação do conhecimento específico do conteúdo (Schulman, 1986) equação em alunos de um curso de licenciatura em Matemática? Considerações Teóricas Para o desenvolvimento desse projeto de pesquisa, utilizamos como referencial teórico as teses de doutorado de Ribeiro (2007) Equação e seus Multisignificados no Ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico, e a de Barbosa (2001) Modelagem Matemática: concepção e experiência de futuros professores. Em sua tese, Barbosa enfatiza que para trabalhar com este ambiente de aprendizagem, a Modelagem Matemática, o professor precisa estar familiarizado com Matemática e com a Modelagem, por isso se deve reforçar a necessidade da realização de tais atividades na formação acadêmica: Para implementar atividades de modelagem matemática com êxito, professores devem ter idéias claras sobre como matematizar situaçõesproblema, as características de modelos matemáticos apropriados e como avaliá-los. A forma que os professores pensam sobre situações-problema do mundo real, incluindo suas concepções de modelos matemáticos, modelagem e matemática em geral, influenciam as formas que estas 3

4 situações-problema são implementadas. (AMIT & HILLMAN, 1995 apud BARBOSA, 2001, p. 109) A organização e formulação das atividades para o ambiente de Modelagem Matemática segundo Barbosa (2001) dependem das possibilidades do contexto escolar, da experiência do professor, dos interesses dos alunos e de outros fatores. Cada configuração curricular é vista em termos de casos. O caso 1 é o professor que apresenta uma situação-problema, o caso 2 o professor traz a sala um problema, mas são os alunos que coletam as informações necessárias à sua resolução e no caso 3 a partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem os problemas. O foco da presente pesquisa são os multisignificados de equação como conhecimento específico na formação de professores, utilizando-se do ambiente de aprendizagem a Modelagem Matemática, na visão de Barbosa com a perspectiva sóciocritica e partir do primeiro caso e tentar chegar ao segundo caso para a utilização da modelagem. Com isso, pode-se notar, neste projeto, a mesma preocupação demonstrada pelo autor em seu trabalho de doutoramento, quando é enfatizado que a maneira diversificada de poder conceber a noção de equação, é a questão de poder trabalhar os seus multisignificados de maneira integrada, buscando relacionar um significado a outro. (RIBEIRO, 2007, p. 129) Em sua tese, Ribeiro investigou os diferentes significados da noção de equação no ensino da Matemática. Tal investigação se deu por meio de um estudo epistemológico e de um estudo didático-matemático, nos quais ele percebeu que não existia uma definição que assumisse todos os significados de equação que ele havia encontrado. Então Ribeiro, a partir da sua pesquisa, apresenta diferentes significados para essa noção matemática, os quais ele chamou de Multisignificados de Equação. Esses diferentes significados, que o autor chama de multisignificados de equação, serão utilizados como pressupostos teóricos para o desenvolvimento desta pesquisa. São eles mostrados na Figura 1 (RIBEIRO, 2008, p.112): Significado Características Exemplos 4

5 Intuitivo- Pragmático Dedutivo- Geométrico Estrutural- Generalista Estrutural- Conjuntista Processual- Tecnicista Axiomático- Postulacional Equação concebida como noção intuitiva, ligada à idéia de igualdade entre duas quantidades. Utilização relacionada à resolução de problemas de ordem prática originária de situações do dia-a-dia. Equação concebida como noção ligada às figuras geométricas, segmentos e curvas. Utilização relacionada à situações envolvendo cálculos e operações com segmentos, com medidas de lados de figuras geométricas e intersecção de curvas. Equação concebida como noção estrutural definida e com propriedades e características próprias, considerada por si própria e operando-se sobre ela. Utilização relacionada com a busca de soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza. Equação concebida dentro de uma visão estrutural, porém diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma ferramenta para resolver problemas que envolvam relações entre conjuntos. Equação concebida como a sua própria resolução os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos estruturalistas, não enxergam uma equação como um ente matemático. Equação como noção da Matemática que não precisa ser definida, uma idéia a partir da qual outras idéias, matemáticas e não matemáticas, são construídas. Utilizada no sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana. Figura 1 - Quadro resumo dos significados atribuídos para Equação Babilônios e Egípcios; Livros didáticos de: Bourdon e de Imenes & Lellis Gregos; Omar Khayyam Geometria das Curvas. Al-Khwarizmi; Descartes; Abel e Galois. Rogalski; Warusfel; Bourbaki. Pesquisas em Educação Matemática: Cotret (1997); Dreyfus & Hoch (2004). Chevallard; Primeiro significado Que poderia ser discutido no ensinoaprendizagem de Álgebra. Procedimentos Metodológicos Esta pesquisa será desenvolvida na perspectiva de uma abordagem qualitativa. Na primeira etapa estamos desenvolvendo a revisão da literatura e um estudo dos trabalhos que compõem a fundamentação teórica. Na segunda etapa iremos elaborar um instrumento de coleta de dados atividades contendo situações usando a modelagem matemática para a formulação de problemas com situações abertas, não-matemáticas, e que possam contemplar a Perspectiva Sócio-crítica de Modelagem Matemática (Barbosa, 2001), bem como Multisignificados de Equação (Ribeiro, 2007). 5

6 Tal instrumento será utilizado junto a alunos do último ano do curso de Licenciatura em Matemática numa instituição privada da cidade de São Paulo. Pretendemos que tais intervenções ocorram durante o horário de aula dos alunos, e sendo assim, iremos negociar tal espaço para a realização de nosso trabalho com algum dos professores que ministrem aulas na turma. Essas seções de intervenção serão filmadas com a intenção de explorarmos mais profundamente as discussões e reflexões que imaginamos surgirem no decorrer dos encontros. Trabalharemos em pequenos grupos com os alunos de licenciatura, metodologia esta utilizada para se trabalhar com a modelagem matemática, pois é destes pequenos grupos que podem surgir discussões ricas para o trabalho. A análise dos dados terá como fio condutor a preocupação em identificar se e quais dos multisignificados de equação se fazem presentes nas discussões dos alunos sobre as situações-problemas propostas nas atividades. Tem ainda o objetivo de levantar questionamentos e reflexões que auxiliem e possam subsidiar as futuras pesquisas do grupo envolvido no projeto mais amplo. Instrumento de coleta de dados Iremos apresentar a seguir uma das atividades que pretendemos utilizar para as discussões que iremos propor com nossos alunos, no intuito de ilustrar ao leitor o tipo de atividades que estamos pensando em utilizar. 1 a Situação Problema Alunos e professores fizeram uma visita a caixa d água da escola e mediram a altura e o diâmetro da mesma, sendo h= 3,10m e d= 2,63m. Durante a visita, foram elencadas as características do sólido geométrico que a caixa representa, sendo esta um cilindro. Nesta fase inicial os alunos procuraram a direção, funcionários da escola para responder as seguintes questões: a) A água na escola é fornecida por poço artesiano ou SABESP? b) A limpeza das caixas d água da escola é feita em intervalos de quanto tempo? Quem faz a limpeza? Que produtos são usados para limpá-las? c) Qual o consumo médio mensal de água em nossa escola em litros e m 3? 6

7 d) Quais os critérios usados pela SABESP para medir o consumo de água de seus clientes? E como faz a cobrança? e) Qual o gasto médio mensal de nossa escola com o consumo de água? Conclusões preliminares Por se tratar de uma pesquisa que está ainda em fase intermediária de desenvolvimento, as conclusões que apresentamos são bastante preliminares e estão fundamentadas basicamente na revisão da literatura que desenvolvemos. Nossas conjecturas iniciais referentes à importância de se propor, na formação do professor inicial do professor de Matemática, possibilidades de se discutir conteúdos da Educação Básica, como é o caso das equações, parece ser ratificada por resultados de pesquisas na área de Educação Matemática, como por exemplo, a de Barbosa (2009) e a de Figueiredo (2007). Ainda nesta direção, o trabalho de Ribeiro e Machado (2009) parece nos estimular ainda mais para continuarmos em tal caminho: Pesquisas como esta tendem a trazer para o ambiente da Formação do Professor de Matemática, um aprofundamento de temas da Educação Básica por exemplo, de equações. Neste sentido, tal proposta possibilita discussões epistemológicas e/ou didático-pedagógicas desses conhecimentos e sem tratar tais temas em caráter de revisão, de recordação. Enfim, isto pode possibilitar uma ampliação nas concepções que os professores têm dessas noções matemáticas. (RIBEIRO e MACHADO, 2009, p. 16) Complementando tal relevância, acreditamos que nossa pesquisa pode contribuir ainda no aprofundamento do conhecimento específico do conteúdo (Schulman, 1986) dos futuros professores de matemática que estamos investigando. Nessa direção, ainda iremos aprofundar nossos estudos deste referencial para melhor explorá-lo na continuidade de nossa pesquisa. No que se refere à Modelagem Matemática, acreditamos que tal abordagem de ensino deverá contribuir com os propósitos de nossa pesquisa, por possibilitar que as discussões possam ocorrer de forma não direcionada e participativa, como propõe Barbosa em seus trabalhos na área. Referências Bibliográficas 7

8 BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: Concepções e experiências de futuros professores. Rio Claro, SP: UNESP, 2001 BARBOSA, J. C.; SANTOS, M. A. Modelagem Matemática, perspectivas e discussões. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais... Recife: SBEM, CD ROM. BARBOSA, Y. O. Multisignificados de equação: uma investigação sobre as concepções de professores de Matemática. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2009, 196 f. FIGUEIREDO, A. C. Saberes e concepções de educação algébrica em um curso de licenciatura em Matemática. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, f. RIBEIRO, A J. Equação e seus Multisignificados no Ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico. São Paulo, Tese (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.. Multisignificados de Equação e o Ensino de Matemática: desafios e possibilidades. São Paulo: Blucher Acadêmico, RIBEIRO, A. J.; MACHADO, S. D. A. Equação e seus multisignificados: potencialidades para a construção do conhecimento matemático. Zetetiké, Campinas, v. 17, n. 31, p , SCHULMAN, L. Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational Reseach, USA, v.15, n.2, p. 4-14,