UMA EXPERIÊNCIA COM A MODELAGEM MATEMÁTICA POR MEIO DO ESTUDO DA RITALINA NO ORGANISMO

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1 UMA EXPERIÊNCIA COM A MODELAGEM MATEMÁTICA POR MEIO DO ESTUDO DA RITALINA NO ORGANISMO Renata Karoline Fernandes Universidade do Norte do Paraná/Universidade Estadual de Londrina Karina Alessandra Pessoa da Silva Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Câmpus Londrina Resumo: Este trabalho é relato de uma experiência com o desenvolvimento de uma atividade relacionada ao tempo em que o medicamento Ritalina, frequentemente indicado para tratamento do déficit de atenção por hiperatividade em crianças e depressão no idoso, permanece no organismo do indivíduo, utilizando Modelagem Matemática. Este relato é fruto de um trabalho desenvolvido e apresentado na disciplina de Modelagem Matemática de um curso de especialização em Educação Matemática de uma universidade pública do Paraná. Com o desenvolvimento da atividade que compõe este relato, foi possível realizar reflexões fora do âmbito da Matemática, assim como, aprofundar a aprendizagem relativa a conceitos matemáticos do Ensino Médio e do Ensino Superior. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Ritalina. Introdução Partindo do pressuposto de que ensinar não é transferir conhecimentos, mas criar possibilidades para a sua construção ou produção, é que tomamos, neste trabalho, a modelagem matemática como uma alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Trata-se de enxergar situações do cotidiano através de lentes matemáticas, ou seja, de interpretar, analisar e tomar decisões acerca de situações do cotidiano por meio do ferramental matemático. Neste sentido, é que desenvolvemos uma atividade de modelagem matemática como trabalho final de uma disciplina em um curso de especialização em Educação Matemática no ano de 2013 em uma universidade pública do Paraná. A partir de uma situação do cotidiano ingestão de Ritalina utilizamos de ferramental matemático para desenvolver a atividade de modelagem.

2 A ingestão de Ritalina foi escolhida como uma situação a ser investigada por ter relevância para os autores e por ganhar destaque em pesquisas relacionadas ao tratamento de Déficit de Atenção e Hiperatividade. Durante o processo de elaboração de um modelo matemático que descrevesse, de modo satisfatório, a situação escolhida, utilizou-se a interação de diversos conteúdos matemáticos, aos quais, inicialmente não foram pré-estabelecidos e, ao passar pelas etapas da modelagem, foi possível perceber a importância de cada uma delas, assim como a necessidade de validar o modelo final de acordo com os dados iniciais e hipóteses da situação. Neste trabalho relatamos como se deu o desenvolvimento dessa atividade nos valendo de uma experiência enquanto modeladores. Para tanto, inicialmente fizemos uma abordagem do que entendemos por Modelagem Matemática. Em seguida, relatamos o desenvolvimento da atividade e as ferramentas matemáticas utilizadas para a obtenção do modelo matemático que foi construído por meio de duas tentativas uma não validada e outra validada nas quais emergiram conteúdos matemáticos relevantes. Por fim, concluímos que a Modelagem Matemática pode ser utilizada como uma alternativa pedagógica para se ensinar Matemática. Sobre Modelagem Matemática neste trabalho A Modelagem Matemática nas últimas décadas tem se mostrado como uma oportunidade de aprendizagem para os estudantes em diversos níveis de formação, visto que ao proporcionar aos estudantes momentos em que formulem problemas, analisem hipóteses, apresentem informações por meio de distintas representações e descrevam uma situação por meio de um modelo matemático, eles desenvolvem capacidades e habilidades de extrema importância, tanto para a aprendizagem de diversos conteúdos matemáticos quanto para o desenvolvimento do pensamento crítico do indivíduo como sujeito. Neste trabalho compreendemos modelagem matemática, de acordo com Barbosa (2001, p. 6), que afirma ser um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade.

3 A Modelagem Matemática por lidar com situações de outras áreas auxilia para processos de ensino e aprendizagem mais dinâmicos, pois uma modelagem inicia-se a partir do interesse dos estudantes em um tema, geralmente do seu cotidiano e a partir deste interesse surgem hipóteses que são testadas e validadas por meio de procedimentos matemáticos. De acordo com Bassanezi (2002), de forma geral, uma atividade de modelagem segue etapas para seu desenvolvimento: escolha do tema e elaboração de um problema; levantamento de dados; ajuste de curvas; construção de um modelo; validação do modelo obtido; previsões por meio do modelo de fenômenos ainda não observados; discussões e críticas dos resultados. No entanto, o autor afirma que essas etapas não precisam necessariamente ocorrer de forma linear. Levando em consideração as etapas da modelagem propostas por Bassanezi (2002) e de que esse ambiente de aprendizagem possibilita indagar e investigar, por meio da matemática, situações baseadas na realidade (BARBOSA, 2007), relatamos uma atividade que desenvolvemos, desde a escolha do tema a ser estudado até as discussões e críticas. Para situar o leitor sobre o ambiente na qual a atividade foi desenvolvida e a escolha do tema, apresentamos algumas informações na seção subsequente. Sobre o tema: Ritalina, a droga da obediência Compõe a grade curricular das disciplinas do curso de pós-graduação de Educação Matemática de uma Universidade Estadual do norte do Paraná a disciplina de Modelagem Matemática. Foi nesse ambiente ministrado por um dos autores deste trabalho que a atividade foi proposta e desenvolvida. Após desenvolver atividades de modelagem em sala de aula, foi solicitado como tarefa final, a elaboração e a apresentação de uma situação modelada de acordo com as etapas apresentadas anteriormente. A escolha por estudar o tempo de permanência da Ritalina no organismo de adolescentes, deu-se devido à grande incidência de estudantes da Educação Básica que estão em tratamento com este medicamento, assim como a crescente quantidade de pesquisas que investigam a possível dependência que esse medicamento pode causar se usado por um tempo prolongado. Deste modo, sendo este o nosso interesse,

4 estabelecemos como problema de investigação para essa atividade de modelagem, a análise da quantidade, em miligramas, de Ritalina no organismo de um adolescente num determinado instante. Esse problema é oriundo das informações que coletamos sobre o tema. O composto de Cloridrato de metilfenidato, conhecido como Ritalina é um medicamento que atua diretamente no sistema nervoso central, que frequentemente é receitado para o tratamento de Déficit de Atenção e Hiperatividade (TDAH). Acreditase que de 14% a 18% dos adolescentes apresentam diagnóstico de TDAH em idade escolar e, ao receitar este medicamento tem-se o objetivo de reduzir o comportamento impulsivo e facilitar a concentração em atividades curtas e prolongadas (ITABORAHY, 2009). O tratamento com Ritalina não é indicado em todos os casos de TDAH e deve ser considerado somente após levantamento detalhado da história e avaliação do paciente. A decisão de prescrever este medicamento deve depender da gravidade dos sintomas e de sua adequação à idade, não considerando somente a presença de uma ou mais características incomuns de comportamento. Usualmente Ritalina é prescrito nas seguintes dosagens: 5-10 mg para crianças, 10-20mg para adolescentes e acima de 20mg para adultos, podendo haver variação de acordo com a necessidade. A meia-vida da Ritalina é de duas horas, ou seja, o tempo necessário para que este fármaco seja reduzido pela metade é este tempo. Sobre a atividade de modelagem matemática desenvolvida Para atingir o objetivo de realizar a análise da quantidade, em miligramas, de Ritalina no organismo de um adolescente num determinado instante, estabelecemos as seguintes hipóteses: o adolescente utiliza 20mg de Ritalina e ingere três vezes ao dia de oito em oito horas. Depois de estabelecidas as hipóteses iniciais, realizamos uma pesquisa relativa aos efeitos da Ritalina no organismo de um adolescente, assim como sua meia-vida que é de duas horas. Com isso, identificamos as variáveis para o desenvolvimento dessa situação, sendo essas: Variável dependente - Q: quantidade, em miligramas, de Ritalina no organismo;

5 Variável independente - t: tempo, em horas; Variável Auxiliar - n: quantidade de períodos de duas horas após a ingestão do primeiro comprimido de Ritalina; a: resto da divisão de t por 4, com. Tendo realizado as etapas iniciais desta atividade de modelagem, iniciou-se um processo de extrema importância, o de matematização na qual obtivemos o modelo matemático. Separamos esta matematização em primeira e segunda tentativa, visto que após a realização da primeira tentativa, no momento de realizar testes e previsões futuras por meio do modelo desenvolvido, verificou-se que ela não era totalmente satisfatória. Porém, optamos por manter as duas tentativas neste relato de experiência, pois ela foi de suma importância no processo de modelagem, além de ter sido significativa naquele momento para o processo de aprendizagem. Primeira tentativa de modelagem Para poder matematizar e construir um modelo matemático que representasse a situação que queríamos analisar, optamos pela construção de uma tabela (Tabela 1), como forma de organizar os dados e verificar aspectos variantes ou invariantes. Tabela 1 Estudo da concentração de Ritalina no organismo Primeira tentativa de criar um modelo matemático para a situação n Quantidade em mg de Ritalina no tempo n Concentração de Ritalina = =

6 n Fonte: construída pelos autores. Por meio da Tabela 1 e verificando os aspectos invariantes de nossa situação, podemos chegar que no tempo n (quantidade de períodos de duas horas após a ingestão do primeiro comprimido de Ritalina) a quantidade deste medicamento no organismo do adolescente pode ser descrito de acordo com o seguinte modelo: Organizando e evidenciando os termos semelhantes temos: [ ], mas ainda pudemos perceber que [ ] é a soma de uma Progressão Geométrica (P.G) finita de razão ou ainda ( ) e, utilizamos a fórmula da soma da P.G,, obtivemos: [ ] Substituindo na expressão de, ficamos com: [ ] Assim, o modelo matemático obtido na primeira tentativa foi: Como queríamos analisar a quantidade de Ritalina no organismo deste adolescente em qualquer momento, é necessário que haja uma mudança de variáveis,

7 tornando esta função discreta em uma função contínua. Como n é um período de tempo de 2 em duas horas que é o valor da meia-vida da Ritalina, utilizamos a seguinte igualdade n = 2t. Portanto, nosso modelo matemático para a situação na primeira tentativa foi: Uma etapa importante das atividades de modelagem é a validação do modelo matemático obtido. Ao tentarmos validar o modelo que obtivemos, foi possível perceber que para essa situação ele não era válido, pois os valores resultantes para os teste estão em torno de 21,34mg, sendo este um valor aproximado apenas para os momentos em que o adolescente ingere o remédio. Visto que este modelo não foi satisfatório, iniciou-se a segunda tentativa de modelar a situação em análise. Segunda tentativa de modelagem: o nosso modelo matemático da situação Na primeira tentativa de estabelecer um modelo matemático ao qual descrevesse a quantidade em miligramas de Ritalina no organismo de um adolescente, chegamos a uma expressão que se aproxima deste valor no instante em que o adolescente toma um comprimido de 20mg do remédio, mas como sempre sobra um pouco do composto no organismo, é de se imaginar que este valor vai aumentar um pouco a cada vez que tomar o remédio. Tendo percebido essa variante, decidimos analisar essa situação em partes distintas, nas horas em que o adolescente ingere o remédio e nos intervalos entre uma ingestão e outra. A primeira parte da análise se refere aos momentos em que o adolescente ingere o remédio, como verificamos na Tabela 2. Tabela 2 Estudo da concentração de Ritalina no organismo do adolescente ao ingerir o comprimido n Quantidade em mg de Ritalina no tempo n Modelo matemático

8 n Fonte: construída pelos autores. Como podemos verificar no tempo n, com n múltiplo de quatro, é a soma de P.G finita com e q= e, realizando essa soma temos: [ ] Substituindo novamente na expressão inicial: Essa expressão é valida para todos os n múltiplos de 4, que é o momento em que o adolescente toma o remédio. Após realizarmos testes baseados nos dados, verificamos que este modelo matemático é bom, ou seja, este modelo nos fornece uma quantidade próxima a quantidade real remédio no organismo do adolescente no momento em que ele ingere um comprimido. No caso de determinar a quantidade aproximada de Ritalina no organismo depois de tomada certa quantidade c de comprimidos é possível também realizar outra mudança de variável, tornando a expressão da seguinte maneira, em que c representa a quantidade de comprimidos que o adolescente já tomou: Lembrando que essas duas expressões são válidas para o momento em que o adolescente tomar o Ritalina. A segunda parte da análise foi relativa aos valores de n que não são múltiplos de quatro, ou seja, horas em que este adolescente não ingere o remédio (Tabela 3). Tabela 3 Estudo da concentração de Ritalina no organismo, com k Quantidade de Ritalina no tempo n Modelo Matemático

9 1 2 = = k+1 4k+2 4k+3 Fonte: construída pelos autores. Nessa etapa da análise usamos a variável a, para representar o resto da divisão de n por 4. Utilizamos uma mudança de variável de n para t para que os valores se tornem contínuos no contexto e encontramos o modelo matemático: [ ] Fazendo a verificação do modelo matemático encontrado para descrever a situação analisada, observamos que se com, temos: [ ], que é o mesmo modelo utilizado para calcular a quantidade em miligramas de Ritalina no organismo do adolescente nos instantes múltiplos de 8 horas, portanto a expressão: [ ] é válida para quaisquer valores de com.

10 Por meio desse modelo matemático foi possível perceber que a quantidade de Ritalina a cada vez que o adolescente ingere o remédio aumenta poucas miligramas e fica por volta de 21,34mg. Uma hora antes de ingerir o remédio novamente, a quantidade é de aproximadamente 0,088mg, quantidade esta que tem pouca interferência no Sistema Nervoso Central. Observamos também, por meio desse modelo, que se um usuário de Ritalina que utilize 20mg, três vezes ao dia, deixar de tomar seu medicamento, em aproximadamente 24 horas quase todo o remédio será eliminado de seu organismo. Algumas considerações O tema relacionado à ingestão de Ritalina foi escolhido por nós por ser um tema atual e muito presente no contexto escolar, visto que, não incomum encontrar nas salas de aula estudantes que utilizam este medicamento. A atividade de modelagem matemática desenvolvida para este tema foi muito produtiva e se tornou realmente um desafio estimulador, sendo que em vários momentos tivemos que mudar a estratégia de resolução e nos deparamos também com caminhos que não nos levaram ao final esperado. Para desenvolver um modelo matemático que descrevesse de maneira satisfatória nossa situação, envolvemos principalmente os conceitos de funções e funções do tipo exponencial, comumente ensinados no Ensino Médio e a ideia de resto de divisão, a notação modular algébrica, apresentada nos anos iniciais da graduação de Licenciatura em Matemática na mesma Universidade estadual do norte do Paraná na qual realizou-se essa experiência com Modelagem Matemática e, em diversas outras. De maneira surpreendente verificamos que houve aprendizagem com modelagem matemática até mesmo em uma tentativa que não nos conduziu a um modelo representativo da situação analisada, mas cada um desses caminhos estabelecidos de alguma maneira nos auxiliou na elaboração de um modelo matemático satisfatório que possibilitou discussões que vão além da própria Matemática, voltadas a ética profissional e ao custo benefício da utilização de um remédio que torna as pessoas obedientes e calmas, mas que de certa forma pode usurpar características da própria etapa eu a criança vive.

11 Agradecimento. XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática Agradecemos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), via projeto Observatório da Educação, pelo apoio financeiro concedido a este trabalho. Referências BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24., 2001, Caxambu. Anais... Rio Janeiro: ANPED, CD-ROM. BARBOSA, J. C. A prática dos alunos no ambiente de Modelagem Matemática: o esboço de um framework. Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais, Recife, v. 3, BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, ITABORAHY, C. A Ritalina no Brasil: uma década de produção, divulgação e consumo. Dissertação (mestrado) Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Medicina Social

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