Multisignificados de equação e a modelagem matemática num curso de formação continuada de professores

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1 Multisignificados de equação e a modelagem matemática num curso de formação continuada de professores Etienne Lautenschlager Universidade Bandeirante de São Paulo Brasil Alessandro Jacques Ribeiro Universidade Federal do ABC Brasil Resumo Nossa pesquisa encontra-se em fase inicial e está inserida num projeto mais amplo que tem por objetivo principal avaliar as contribuições que a abordagem dos multisignificados de equação no ensino e aprendizagem de Matemática poderá fornecer à Formação do Professor de Matemática, no que se refere ao ensino e a aprendizagem de Álgebra. Diante disso, esta pesquisa pretende investigar e analisar quais são os significados concebidos pelo professor de Matemática ao ensinar Álgebra, mais especificamente no que se refere às equações. Desenvolveremos nossa pesquisa num ambiente de Modelagem Matemática, observando as potencialidades que tal ambiente pode propiciar num contexto de Formação Continuada de Professores, para a ampliação de suas concepções acerca das equações e do ensino de equações. Palavras chave: multisignificados de equação, modelagem matemática, formação do professor de matemática. Introdução Nunca compreendi muito bem as aulas de Matemática. Foi na antiga sexta série do Ensino Fundamental que comecei a ter problemas em aprender essa matéria. Nesta época comecei a acreditar que a Matemática era uma disciplina que exigia uma espécie de dom divino para compreendê-la e, com certeza, eu estava convencida de que não era portadora desse dom. Tudo piorou, lembro-me bem, quando as letras começaram a fazer parte das contas. Que terror! Como posso fazer continhas com letras? O que são essas letras? Não posso fazer as contas com os números em seus devidos lugares desde o inicio da conta? Eu tinha muitas perguntas, mas não eram as perguntas esperadas pelos meus professores. Eu não conseguia formular as tais perguntas esperadas e em contrapartida eles não respondiam aos meus questionamentos.

2 2 Foi então que aceitei o desafio e decidi entender a tão temida Matemática. No segundo semestre de 1998 comecei a estudar na Universidade Braz Cubas (UBC) o curso de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Neste momento, o meu objetivo era procurar todas as respostas para as perguntas que eu tinha e, então, me dediquei muito. Assim sendo, percebi que não era necessário ter um dom divino porque as coisas só começaram a fazer sentido na faculdade e eu me perguntava por quê não me mostraram isso antes? Por que só agora na faculdade é que estou descobrindo as respostas para minhas perguntas? Neste momento percebi que meus professores também não sabiam as respostas. Durante a graduação fui convidada a integrar o grupo de pesquisa do Núcleo de Matemática e Matemática Aplicada da UBC onde tive a oportunidade de trabalhar com a Formação de Professores no qual pude comprovar que há muitas lacunas, haja vista que a grande maioria dos professores envolvidos no projeto apresentavam uma formação frágil com grande defasagem dos conteúdos matemáticos elementares. Também foi neste momento que me apresentaram a Modelagem Matemática como uma possibilidade, um recurso que oportuniza situações de aplicação de conteúdos da matemática escolar e elementos da realidade. Fiquei encantada ao perceber que uma atividade de modelagem pode tornar a matemática mais interessante para o aluno em qualquer nível de ensino, levando a incorporar conceitos e compreender estruturas matemáticas de forma mais significativa. Destarte, senti a necessidade de aprofundar e ampliar meus conhecimentos no que diz respeito ao Ensino da Álgebra e Modelagem Matemática. Diante disso, ingressei no curso de mestrado em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo, na linha de pesquisa em Formação de Professores que Ensinam Matemática. Ao entrar neste grupo fui convidada a participar de uma pesquisa mais ampla que tem por objetivo principal avaliar as contribuições que a abordagem dos Multisignificados de Equação1 no ensino e aprendizagem de Matemática, poderão fornecer à Formação do Professor de Matemática, no que diz respeito à ampliação das concepções de equação. Este projeto, do qual meu trabalho faz parte, é coordenado pelo orientador desta pesquisa, Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro. Com a reunião dos resultados das demais pesquisas integrantes deste projeto maior pretende-se trazer contribuições para a formação inicial e continuada de professores de Matemática, no âmbito da Educação Algébrica, no que se refere ao ensino e aprendizagem de equações. Diante disso vislumbramos na Modelagem Matemática uma possibilidade para o desenvolvimento de atividades matemáticas de maneira mais interessante, levando a incorporação de conceitos e a compreensão de estruturas matemáticas de forma mais significativa. Considerando as potencialidades que um ambiente de Modelagem Matemática, que seja: criatividade, motivação e postura de um verdadeiro cientista na busca da solução de um problema, acreditamos que o trabalho com todos estes elementos promoverá o desenvolvimento e aprimoramento profissional dos envolvidos nesta pesquisa. 1 O termo Multisignificados de Equação foi concebido dentre os resultados da tese de doutoramento de um dos autores (Ribeiro, 2007), e será amplamente explorado no decorrer do presente trabalho.

3 3 Apresentaremos aqui as considerações iniciais dessa pesquisa, a qual tem por objetivo principal analisar e investigar quais são os significados concebidos pelo professor de Matemática ao ensinar Álgebra, mais especificamente no que se refere às equações. Iremos utilizar a Modelagem Matemática como um ambiente de aprendizagem, no qual os professores de um curso de Formação Continuada serão convidados a (re)pensar suas concepções de equação. Considerando o objetivo acima exposto, apresentamos a seguinte questão de pesquisa: De quais significados de equação os professores de Matemática se utilizam, quando estão envolvidos com a resolução de problemas, num ambiente de Modelagem Matemática? Para o desenvolvimento desta pesquisa, adotaremos como principais referenciais teóricos os trabalhos a tese de doutorado de Ribeiro (2007) no qual o autor apresenta seis diferentes significados para a noção de equação e os denomina de multisignificados de equação e a tese de doutorado de Barbosa (2001) em que o autor investiga as concepções de futuros professores de Matemática em relação à Modelagem Matemática. Problemática Ao realizarmos uma breve pesquisa dos resultados das avaliações em Matemática do SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica), ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) e SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) notamos um quadro preocupante, com índices que indicam um resultado insatisfatório, reforçando a consideração (talvez equivocada) de que a Matemática é realmente muito difícil de compreender. Por vezes, observamos que isso ocorre em razão da postura que o professor de Matemática assume, transformando as aulas de Matemática em um processo árduo de aprendizagem (e consequentemente de ensino); desprovido de significados tanto para o aluno como também para o próprio professor, sendo assim, todo o processo de ensino e aprendizagem de Matemática fica reduzido ao mero procedimento de reproduzir os passos ou as técnicas ensinadas pelo mestre. Não podemos nos esquecer de que a forma que o professor trabalha estes conceitos e procedimentos algébricos pode estar dificultando ainda mais a sua aprendizagem, fazendo com que o aluno tenha verdadeiro horror à Matemática. (GIL, 2007). O baixo rendimento dos alunos nos remete diretamente a pensar na prática de ensino que é desenvolvida pelos professores de Matemática em sala de aula e também no quanto o papel do professor é importante para que realmente exista a construção do conhecimento. Pesquisas como Ball (1990), Attorps (2003), Ribeiro (2007), Barbosa (2009), entre outros, indicam que muitos professores de matemática não possuem a compreensão conceitual de muitos tópicos de matemática elementar, e por isso, acaba por privilegiar em suas aulas o desenvolvimento de habilidades algorítmicas, a memorização de regras dando menor ou nenhuma atenção ao desenvolvimento do conhecimento conceitual. Ao tomar como exemplo e ao realizar a análise dos trabalhos de Ribeiro (2001), Gil (2007), Scariassari & Moura (2005), entre outros, percebemos que o cenário atual do ensino e, por conseqüência, da aprendizagem da álgebra, no Brasil, é preocupante por apresentar resultados insatisfatórios.

4 4 Ribeiro (2001) após realizar a análise dos resultados do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, edição de 1.997, concluiu que a Álgebra representa um problema no ensino e aprendizagem de Matemática, pois os alunos analisados apresentaram dificuldades em resolver questões básicas com equações de 1º grau. O autor também detecta a grande diferença que faz o tipo de ensino e a postura empregada pelo professor em sala de aula, no resultado do desempenho dos alunos e acredita ser importante os cursos de capacitação em ensino da Álgebra para os professores, nos quais pudessem ser oferecidas oportunidades para estudo e discussão de diferentes abordagens que pudessem ser utilizadas em sala de aula, no ensino da Álgebra. Scarlassari & Moura (2005) identificam e relacionam algumas dificuldades que os alunos apresentam em álgebra, tais como: a não compreensão das operações elementares; a dificuldade de relacionar ou associar o que está representado; a dificuldade em contextualizar as expressões escritas na linguagem simbólica com relação aos enunciados das questões com o modo como o professor trabalha. Isso ocorre porque, em sala de aula, segundo (Sousa apud Scarlassari & Moura, 2005), os professores ensinam os conteúdos matemáticos a partir das concepções que elaboraram enquanto se constituíam professores, na licenciatura, se restringindo assim ao caráter pragmático da álgebra. A Álgebra tem sido ensinada na maioria das escolas através de uma abordagem mecânica em que o professor, em geral, parece não possuir as informações necessárias para justificar, de maneira significativa, o uso de regras e símbolos. Tal fato contribui para instalar a rotina que os alunos adotam de decorar e aplicar os conceitos algébricos igualmente de maneira mecânica, com o único objetivo de busca de aprovação. (NETO, 2007, grifo nosso). Barbosa (2009) detecta que os significados de equação processual-tecnicista, no qual uma equação é concebida como a sua própria resolução, e o intuitivo-pragmático, cuja equação é concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades foram os que apareceram com mais naturalidade na imagem de conceito dos professores por ele investigados. Percebemos que a postura do professor e a prática pedagógica por ele desenvolvida em sala de aula são de fundamental importância para se reverter um ensino pautado em manipulações mecânicas de técnicas operatórias e desprovido de significado, tanto para o professor quanto para o aluno, em um ensino eficiente. Por isso se faz necessário promover momentos de reflexão e estudo buscando alternativas que possibilitem sanar os problemas detectados no processo de ensino de conteúdos algébricos. Fundamentação Teórica Apresentaremos a seguir os principais referenciais teóricos, tendo em vista que o presente trabalho encontra-se em fase de elaboração e idealização. 1. Multisignificados de Equação Ribeiro (2007), em sua tese de doutoramento intitulada: "Equação e seus multisignificados no Ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico", apresenta, analisa e caracteriza os significados atribuídos à equação no ensino da matemática ao

5 5 longo da História os quais denomina de multisignificados de equação. Tais multisignificados são descritos em uma outra obra do autor, da seguinte maneira: Significado Características Exemplos Intuitivo Pragmático Dedutivo Geométrico Estrutural Generalista Estrutural Conjuntista Processual Tecnicista Equação concebida como noção intuitiva, ligada à idéia de igualdade entre duas quantidades. Utilização relacionada à resolução de problema de ordem prática originários de situações do diaa-dia. Equação concebida como noção ligada às figuras geométricas, segmentos e curvas. Utilização relacionada às relações envolvendo cálculos e operações com segmentos, com medida de lados de figuras geométricas e intersecção de curvas. Equação concebida como noção estrutural definida e com propriedades e características próprias, considerada por si própria e operando-se sobre ela. Utilização relacionada com a busca de soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza. Equação concebida dentro de uma visão estrutural, porém diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma ferramenta para resolver problemas que envolvam relações entre conjuntos. Equação concebida como a sua própria resolução os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos estruturalistas, não enxergam a equação como um ente matemático. Equação como noção da Matemática que não precisa ser definida, uma idéia a partir da qual outras idéias, matemáticas Babilônios e Egípcios; Livros didáticos de: Bourdon e de Imenes & Lellis. Gregos; Omar Khayyam Geometria das Curvas al- Khwarizmi; Descartes; Abel e Galois. Rogalski, Warusfel; Bourbak. Pesquisas em Educação Matemática; Cotret (1997); Dreyfus & Hoch (2004). Chevallard; Primeiro

6 6 Axiomático Postulacional e não matemáticas, são construídas. Utilizada no sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana. significado que poderia ser discutido no ensinoaprendizagem de Álgebra. (RIBEIRO, 2008, p.112) Destarte, pretendemos oferecer a oportunidade aos professores de aprender sobre os multisignificados, para que os mesmos sejam capazes de ensinar usando os multisignificados de equação promovendo assim o aprimoramento e ampliação dos saberes dos professores a respeito das equações. 2. Modelagem Matemática Nas últimas décadas, o interesse pela Modelagem Matemática no campo da Educação Matemática tem crescido e ganhado visibilidade. Sua principal preocupação refere-se à utilização de situações do dia-a-dia ou de outras ciências nas aulas de matemática. Existem diferentes concepções para a Modelagem Matemática. Conforme Bassanezi (2002, p. 16) a Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. Para Borges & Silva (2007) Modelagem Matemática é um recurso didático que oportuniza situações de aplicação de conteúdos da matemática escolar a elementos da realidade. Rosa (2007) concebe a modelagem como uma estratégia eficaz para o ensinoaprendizagem em matemática, pois valoriza o conhecimento matemático e incentiva a atuação sócio-crítica dos alunos na sociedade. Biembengut (1999) considera que a modelagem é o processo que envolve a obtenção de um modelo. Barbosa (2001) assume Modelagem como um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade. Neste trabalho, consideramos a Modelagem como um ambiente de aprendizagem no qual os professores serão convidados a indagar, investigar e analisar, refletir, levantar hipóteses e imaginar soluções na busca de respostas dos problemas que serão apresentados e também percebemos a Modelagem Matemática como uma estratégia importante para o desenvolvimento de atividades de matemática, pois ela viabiliza a interação da matemática com a realidade. Segundo D Ambrosio (2002, p. 31) o ciclo de aquisição de conhecimento é deflagrado a partir da realidade, que é plena de fatos. A resolução de problemas reais usando a Modelagem Matemática como instrumento, é um procedimento de pesquisa que permite a coleta e análise de dados, avaliações, cálculos, comparação de resultados, que melhora consideravelmente a qualidade das decisões e das ações do cidadão sobre a realidade.

7 7 De forma geral, uma atividade de Modelagem Matemática compreende alguns procedimentos. Primeiramente, é preciso compreender a situação problema que se pretende estudar, organizando todas as informações obtidas em relação a ela; a seguir, o que se tem a fazer é levantar as hipóteses e procurar analisá-las; na seqüência torna-se necessário definir todas as variáveis essenciais envolvidas no problema em questão, cujas relações conduzem ao problema matemático que se precisa resolver, e finalmente as possíveis soluções encontradas poderão ser avaliadas. Assim, uma atividade de modelagem pode tornar a matemática mais interessante, levando os envolvidos por tal atividade a incorporar conceitos e compreender estruturas matemáticas de forma mais significativa. Considerações iniciais... Como esta pesquisa encontra-se em fase inicial não podemos apresentar as conclusões ou considerações finais. Nosso trabalho encontra-se dividido em três etapas, a saber: A primeira etapa consistiu na realização da revisão bibliográfica e estudo dos trabalhos relacionados com a pesquisa. Estamos na segunda etapa onde estamos elaborando diferentes instrumentos para coleta de dados: questionários que serão utilizados em entrevistas, atividades sobre equações, roteiro para observação dos momentos em que o professor leciona ou realiza atividade e situações matemáticas envolvendo diferentes significados de equação. Vale ressaltar que todas as atividades serão desenvolvidas num ambiente de Modelagem. Nosso objetivo é utilizar diferentes instrumentos para detectar quais dos multisignificados de equação fazem parte do repertório dos professores de Matemática. Estes instrumentos serão aplicados num grupo de professores que participam de cursos para aperfeiçoamento promovido pela OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) e se encontram em atividade no magistério. Fará parte de nossa pesquisa professores com diferentes tempos de experiência docente que lecionam no Ensino Fundamental ou Médio. Acreditamos que o tempo de magistério e o tipo de ensino, fundamental ou médio, possam produzir diferentes visões para o professor no que se refere ao ensino de equações. A análise dos dados será realizada na terceira etapa em que estaremos identificando quais dos multisignificados foram utilizados nas atividades e nas discussões propostas e obtendo as conclusões finais. Imaginamos que nossos resultados contribuirão na busca pela melhoria da qualidade dos cursos que proporcionam a Formação Continuada dos professores de Matemática.

8 8 Bibliografia e referências ATTORPS, I. Teachers Images of the Equation Concept. Disponível em: Acesso em 06/09/10 às 19h58. BALL, D.L. e WILSON, S. (1990). Knowing the subject and learning to teach it: examining assumptions about becoming a mathematics teacher. Research Report N.C.R.T.E. BARBOSA, J.C. Modelagem Matemática: concepções e experiências de futuros professores Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas (IGCE), Unesp - Rio Claro. BARBOSA, Y.O. Multisignificados de Equação: uma investigação sobre as concepções de professores de Matemática. São Paulo, Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Bandeirante de São Paulo. BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:Contexto, p. 389 BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem Matemática no ensino. São Paulo: Contexto, BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & implicações no ensino e aprendizagem de matemática. Blumenau: Ed. da Furb, 1999, 134p BORGES, P.A.P. & SILVA, D.K. Modelagem Matemática, Escola e Transformação da Realidade. In Anais da V Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática, Ouro Preto/MG CD-ROM BRASIL Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, D AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, GIL, K.H. & PORTANOVA, R. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de Álgebra. In Anais do IX Encontro Nacional de Educação Matemática, Belo Horizonte/MG, 2007, CD- ROM. NETO, M.O.T. Uma proposta para a aprendizagem de conceitos algébricos a partir do material dourado. Universidade do Estado do Pará. Disponível em: Acesso em: 09/05/2010 RIBEIRO, A.J. Analisando o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP. São Paulo, p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de SP. RIBEIRO, A.J. Equação e seus multisignificados no ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico. São Paulo, p. (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. RIBEIRO, A J. Multisignificados de Equação e o Ensino de Matemática: desafios e possibilidades. Blucher Acadêmico, São Paulo ROSA, M. A Modelagem como ação pedagógica para o Programa de Etnomatemática. In Anais da V Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática, Ouro Preto/MG, CD- ROM SCARLASSARI, N.T. & MOURA, A.R.L. Dificuldades dos alunos no ensino fundamental, em álgebra, e

9 9 suas possíveis origens. In Anais do XV Congresso de Leitura do Brasil, Disponível em: Acesso em 03/06/2010 às 12h32

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