IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES UTILIZANDO A LÓGICA FUZZY

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1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES UTILIZANDO A LÓGICA FUZZY Marcelo Vieira Corrêa. Professor do Curso de Engenharia Elétrica UnilesteMG. Doutor em Engenharia Elétrica - UFMG João Pedro Drumond Baéssa. Graduando do Curso de Engenharia Elétrica UnilesteMG. RESUMO Saber o comportamento futuro de um sistema pode ser vantajoso em vários aspectos, uma das formas de predizer esse comportamento é obter um modelo capaz de representar determinado sistema quando se tem conhecimento de suas variáveis e da maneira pela qual tais variáveis se relacionam. Neste trabalho, utiliza-se a lógica Fuzzy para a utilização de ferramentas de identificação de sistemas dinâmicos não-lineares, comparando o desempenho alcançado com o de representações NARMAX polinomiais. Palavras-chave: Fuzzy, identificação, NARMAX ABSTRACT To know the future behavior of a system can be advantageous in some aspects, one of the forms to predict this behavior is to get a model capable to represent definitive system when knowledge of its variable and the way for which is had such variable if they relate. In this work, we will use the Fuzzy logic for the use of tools of identification of nonlinear dynamic systems, comparing the performance reached with the one of polynomial representations NARMAX. Key-words: Fuzzy, Identification, NARMAX INTRODUÇÃO Compreender sistemas e fenômenos da vida real é um desafio para a humanidade. Em várias áreas da ciência (econômica, médica, entre outras) e tecnologia, predizer o comportamento futuro de um sistema pode ser vantajoso em vários aspectos. O problema da previsão da evolução de sistemas reais é um dos grandes desafios da análise moderna de séries temporais. A grande pergunta é: dado o passado e o presente, como se pode prever o futuro? A resposta para esta pergunta não é trivial, pois se baseia no conhecimento da dinâmica que rege o sistema. Deve-se não apenas conhecer a dinâmica, mas também reproduzi-la (Aguirre, 2000). Investigação desenvolvida com apoio financeiro do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica PROBIC/FAPEMIG

2 69 Uma das formas de realizar essa tarefa é utilizar modelos. É possível obter um modelo capaz de representar determinado sistema quando se tem conhecimento de suas variáveis e da maneira pela qual tais variáveis se relacionam (Ljung, 1987). Tal modelagem é de vital importância, através dela pode-se predizer o que acontecerá com um sistema, conhecendo-se, por exemplo, seus dados (observações ou medições) passados. A modelagem também permite entender e explicar fenômenos observados tanto na natureza quanto em sistemas sociais, biomédicos e equipamentos, projetar sistemas de monitorização e controle, estimar, simular e treinar (como por exemplo, os simuladores de vôo). É importante ressaltar que não existe apenas um único modelo matemático para um dado sistema (Ogata, 1993). Trabalha-se normalmente com famílias de modelos. A escolha do modelo depende da sua capacidade de explicar satisfatoriamente (segundo algum critério, normalmente de erro) os dados medidos e de entender ao objetivo final para o qual foi obtido. O objetivo principal da modelagem de um sistema real pode variar: auxiliar o projeto de controladores, estudar e analisar um determinado processo, predizer dados futuros (Aguirre, 2000). Este projeto de pesquisa pretende analisar a lógica fuzzy para a utilização de ferramentas de identificação de sistemas não-lineares. A Lógica Fuzzy fornece os fundamentos para efetuar o raciocínio aproximado, com preposições imprecisas, usando a teoria de conjuntos nebulosos como ferramenta principal. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS Modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais (Aguirre, 2000). Entende-se o modelo matemático dinâmico de um sistema como sendo um conjunto de equações que descrevem seu comportamento dinâmico e estático. É importante que a obtenção de um modelo matemático estabeleça um compromisso entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise (Ogata, 1993). Identificação de sistemas é uma área do conhecimento que estuda técnicas alternativas de modelagem matemática. Uma das características dessas técnicas é que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário. No processo de identificação, o modelo matemático é obtido a partir de dados coletados do sistema e pode reproduzir características dinâmicas e estáticas do sistema original (Corrêa, 1997). A identificação pode ser paramétrica ou não-paramétrica. Os métodos paramétricos são caracterizados por estruturas matemáticas parametrizadas que descrevem o comportamento

3 70 dinâmico do sistema original. Os parâmetros destas estruturas são estimados por métodos de otimização de parâmetros a partir de dados medidos (Ljung, 1987). Já os métodos nãoparamétricos caracterizam-se por determinar o comportamento dos sistemas dinâmicos por meio de funções gráficas, tais como os métodos de resposta ao impulso, resposta ao degrau e diagramas de resposta em freqüência e as funções de correlação (Cassini, 1999). Os modelos matemáticos gerados pela identificação de sistemas podem ser divididos em duas classes: Modelos entrada-saída Modelos em espaço de estados Os modelos de entrada-saída descrevem a saída futura do sistema em função dos valores passados da saída e da entrada (modelos não-autônomos) ou simplesmente em função de valores passados da saída (modelos autônomos). Já os modelos em espaço de estados descrevem a saída futura do sistema em função de seu estado atual. As etapas do processo de identificação de sistemas podem ser assim dispostas (Aguirre, 2000): Coleta de dados Escolha de representação matemática Seleção da estrutura de modelo Estimação de parâmetros Validação do modelo Os modelos caixa-branca têm sua estrutura totalmente definida a partir do conhecimento a priori do sistema a ser identificado. Neste caso a forma da equação matemática que representa o sistema é previamente conhecida. Nos modelos caixa-cinza a utilização do conhecimento a priori simplifica os algoritmos de seleção de estrutura. Os modelos caixapreta não utilizam nenhuma informação conhecida a priori do sistema. A estrutura desses modelos é selecionada dentro de famílias conhecidas por apresentar boa flexibilidade na modelagem de sistemas (Ljung, 1995). Conhecendo a Lógica Fuzzy A Lógica Fuzzy suscita atualmente um interesse geral por parte dos pesquisadores, dos engenheiros e dos industriais, e mais geralmente por parte de todos aqueles que necessitam da formalização de métodos empíricos, da generalização do raciocínio natural, da automatização de decisões, da construção de sistemas artificiais realizando os empreendimentos a que os humanos se propõem (Tanscheit & Sharf, 1990).

4 71 Os conhecimentos disponíveis que temos sobre uma situação qualquer são geralmente imperfeitos, seja porque tenhamos uma dúvida sobre sua validade, portanto são incertos, seja porque nos coloquem uma dificuldade para que os expressemos claramente, sendo portanto imprecisos (Tanscheit & Sharf,, 1990). Esses dois tipos de imperfeição do conhecimento estão freqüentemente interligados. A matemática clássica nem sempre dá conta da modelagem dessas imperfeições. L. A. Zadeh criou a matemática fuzzy que fornece meios de representação e de manipulação de conhecimentos imperfeitamente descritos, vagos ou imprecisos (Tanscheit & Sharf, 1990). A matemática fuzzy estabelece uma interface entre os dados descritos simbolicamente (com as palavras) numericamente (com os algarismos). Conjuntos Fuzzy e Lógica Fuzzy Os conjuntos Fuzzy e a lógica Fuzzy provêm a base para a geração de técnicas poderosas para a solução de problemas, com uma vasta aplicabilidade, especialmente, nas áreas de controle e tomada de decisão (Fabri & Rissoli, 2000). A força da lógica Fuzzy está na sua habilidade em inferir conclusões e gerar respostas baseadas em informações vagas, ambíguas e qualitativamente incompletas e imprecisas. Neste aspecto, os sistemas de bases Fuzzy têm habilidade de raciocinar de forma semelhante à dos homens. Seu comportamento é representado de maneira muito simples e natural, levando a construção de sistemas compreensíveis e de fácil manutenção. A lógica Fuzzy é baseada na teoria dos Conjuntos Fuzzy. Esta é uma generalização da teoria dos Conjuntos Tradicionais para resolver os paradoxos gerados a partir da classificação verdadeiro ou falso da Lógica Clássica. Tradicionalmente, uma proposição lógica tem dois extremos: ou completamente verdadeiro ou completamente falso. Entretanto, na Lógica Fuzzy, uma premissa varia em grau de pertinência de 0 a 1, o que leva a ser parcialmente verdadeira ou parcialmente falsa (Fabri & Rissoli, 2000). Com a incorporação do conceito de grau de pertinência, a teoria dos Conjuntos Fuzzy estende a teoria dos Conjuntos Tradicionais. Os grupos são rotulados qualitativamente (usando termos lingüísticos, tais como: alto, baixo, quente, frio, longe, perto, etc) e os elementos deste conjunto são caracterizados variando o grau de pertinência (valor que indica o grau em que um elemento pertence a um conjunto). Por exemplo, um homem de 1,90 metro e um homem de 1,80 metro pertencem ao conjunto alto, embora o homem de 1,90 metro tenha um grau de pertinência maior neste conjunto.

5 72 A teoria dos Conjuntos Fuzzy é em grande parte uma extensão da teoria dos conjuntos tradicionais. Na teoria dos Conjuntos Tradicionais, os elementos de um conjunto A simplesmente pertencem ou não pertencem a um determinado universo X. A pertinência dos elementos do conjunto A no universo X pode ser definida como: 1 f A ( x) = 0 para para x A x A Na teoria dos Conjuntos Fuzzy, a pertinência dos elementos do conjunto A no universo X pode assumir um número infinito de valores diferentes no intervalo [0,1]. Portanto, um conjunto nebuloso é um conjunto de pares ordenados A = { μ A (x)/x}, x X Onde μ A (x) é a função de pertinência de x em A e é definida como o mapeamento de X no intervalo fechado [0,1]: μ A (x) : X [0,1] Controladores Nebulosos Em um Controlador Nebuloso baseado em Regras a estratégia de controle é descrita por intermédio de regras lingüísticas que conectam, de modo impreciso, várias situações com as ações a serem tomadas. As regras são expressas por declarações condicionais do tipo SE... ENTÃO e implementadas como implicações lógicas através da utilização das propriedades e técnicas da lógica fuzzy, vista anteriormente. A estrutura básica de um controlador deste tipo é mostrada a seguir (Tanscheit, 1992).

6 73 FIGURA 1 - Estrutura básica do Controlador Nebuloso baseado em Regras (Tanscheit, 1992) A interface de saída recebe informações a respeito do processo e as converte para a linguagem de conjuntos fuzzy. A interface de entrada converte a saída nebulosa do controlador para um valor determinístico a ser fornecido ao processo. O algoritmo de controle utiliza as regras disponíveis e produz, para um determinado estado do processo, a decisão sobre a próxima entrada do processo. As regras constituem a quantidade de informação necessária para executar uma determinada tarefa de controle com o processo em questão. A estrutura apresentada, de forma geral, pode representar qualquer processo que utiliza controladores nebulosos. Projeto de Sistemas Difusos Os elementos fundamentais para o projeto de um sistema difuso são: a fuzzificação, uma base de conhecimento, um motor de inferência, e a defuzzificação. A definição das propriedades de cada um dos elementos citados constitui o aspecto fundamental do projeto de sistemas difusos. A Fuzzificação é o processo de conversão da entrada numérica em conjuntos difusos. É uma operação fundamental, pois em grande parte das aplicações de lógica difusa os dados são numéricos, sendo necessário então fuzzificar estes em conjuntos difusos. Um conjunto numérico x é convertido no conjunto difuso X através de um fuzzificador: X = fuzzificador (x)

7 74 A estratégia de fuzzificação a utilizar é definida a partir do tipo de inferência utilizado. A base de conhecimento é composta pela base de regras e base de dados. A base de regras é o conjunto de regras que descrevem o sistema. Essas regras são definidas da seguinte forma: SE ( entrada ) ENTÃO ( saída ) antecedente consequente A construção da base de regras envolve: a escolha das variáveis lingüísticas, a seleção do formato das regras condicionais, a seleção dos termos associados a cada variável lingüística e a síntese do conjunto de regras. A seleção das variáveis lingüísticas depende dos fatores de análise inerentes a identificação de sistemas. Basicamente, essa seleção é efetuada com base no conhecimento disponível sobre o sistema, bem como na possibilidade de aquisição das variáveis pretendidas (Paiva, 1999). Dependendo do formato da saída do sistema, definem-se dois tipos de regras condicionais: regras lingüísticas (Mandani) e regras de Takagi-Sugeno. Nas regras lingüísticas, tanto o antecedente (entrada) como o conseqüente (saída) são conjuntos difusos, do tipo: SE (X é LX) ENTÃO (Y é LY) Nas de Takagi-Sugeno apenas o antecedente é um conjunto difuso, o conseqüente é função do antecedente, do tipo: SE (X 1 é LX1) E (X 2 é LX2) E... E (X n é LXn) ENTÃO y= f(x 1, x 2,..., x n ) onde, x 1, x 2,..., x n representam valores numéricos a cada uma das variáveis lingüísticas do antecedente. O conseqüente corresponde a uma variável numérica, onde o resultado é obtido como uma função f dos valores numéricos dos antecedentes, geralmente, é uma função polinomial de ordem 0 ou 1, definindo-se o sistema difuso de Takagi-Sugeno de ordem 0 ou 1. Em se tratando de sistema de ordem 1, têm-se: y = b0 + b1x 1 + b2x bmxm = b0 + bi xi, b i R, i = 1,2,..., m m i= 1

8 75 Em sistemas de ordem 0, a equação acima se reduz a y= b o. A seleção das regras a incluir no modelo de um sistema pode ser efetuada de duas maneiras: manual ou automática. Na seleção manual, as regras são definidas a partir do conhecimento humano, de uma especialista. Mas apresenta desvantagens, pois diferentes especialistas poderão definir diferentes regras para um mesmo sistema. Já a seleção automática requer uma recolha de dados de funcionamento do sistema. Da análise automática desses dados são definidas as regras condicionais do sistema, a partir das relações entre as variáveis deste sistema. A seleção dos termos lingüísticos é efetuada após a definição da base de regras e da base de dados. Estes termos podem ser: baixo, médio, alto,.... E podem ainda ser modificados em intensidade, obtendo-se termos como muito baixo ou muito alto. A função principal da base de dados é armazenar e fornecer a informação necessária ao funcionamento adequado dos módulos de fuzzificação, base de regras e defuzzificação. As funções de pertinência mais utilizadas são: triangulares, trapezoidais ou gaussianas. Apesar das funções triangulares serem as que possuem maior eficiência computacional, as funções gaussianas são as mais utilizadas em modelização de sistemas não-lineares. O motor de inferência determina o valor da saída com base nos parâmetros estabelecidos anteriormente, na fuzzificação e na base de conhecimento. Na lógica nebulosa são utilizados dois métodos de inferência. Um desses métodos é chamado de Mandani, mais popular devido a sua simplicidade, utiliza variáveis lingüísticas. O outro método é chamado de Sugeno, como visto anteriormente, utiliza funções lineares. A defuzzificação é uma operação de conversão de um conjunto fuzzy em um valor numérico. A saída do controlador nebuloso é um subconjunto nebuloso U 1 do universo da saída. Como o processo requer um sinal não-nebuloso em sua entrada, deve-se fazer uma interpretação daquele conjunto nebuloso. Esta defuzzificação pode ser feita através de vários métodos, mas os mais consagrados são a Média dos Máximos e o Centro de Gravidade. No primeiro, a saída determinística (não-nebulosa), denominada U MOM, é obtida tomando-se a média entre os dois elementos extremos no universo que correspondem aos maiores valores das funções de pertinência. Com o Centro de Gravidade, a saída U COG é o valor no universo que divide a área sob a curva em duas partes iguais (Tanscheit, 1992). Quando os universos utilizados são discretos, o resultado da defuzzificação tem de ser arredondado para o valor inteiro mais próximo no universo. O arredondamento para o valo arredondamento para o valo inteiro imediatamente abaixo impossibilitará que se obtenha o

9 76 valor mais alto do universo quando o conjunto suporte é um conjunto pequeno localizado no extremo do universo. Na realidade, com o Centro de Gravidade nunca se consegue obter os valores extremos do universo, devido à própria natureza do método. Isto acarretar uma resposta mais lenta do que a obtida com a Média dos Máximos (Tanscheit, 1992). O modelo de Takagi-Sugeno apresenta como característica o fato de apresentar em suas saídas funções lineares das entradas. Quando as funções conseqüentes são polinômios de primeira ordem, o sistema de inferência nebulosa é chamado de Modelo Sugeno de primeira ordem. Os parâmetros dos termos conseqüentes podem ser estimados pelo método dos mínimos quadrados (Veiga, 2005). Quando aplicado em identificação de sistemas, é comum o sistema de inferência Takagi- Sugeno levar em conta uma autoregressão da própria saída: - R1: se y(k) é A1 E u(k) é B1 então y(k+1) = a1y(k)+b1u(k)+c1 - R2: se y(k) é A2 E u(k) é B2 então y(k+1) = a2y(k)+b2u(k)+c2 O modelo Fuzzy Takagi-Sugeno é capaz de aproximar um sistema não-linear com uma combinação de vários sistemas lineares afins, pela decomposição de todo o espaço de entrada / saída com uma equação linear. Identificação Nebulosa Nos métodos clássicos de identificação paramétrica de sistemas, é comum a aplicação do método dos mínimos quadrados. Geralmente, para sistemas lineares, o modelo obtido apresenta coeficientes de regressão linear, como: ŷ (t/ θ) = b 0 + b 1 u 1 + b 2 u b p u p + a 1 y 1 + a 2 y a n y n Porém, para sistemas não lineares, fica muito difícil modelar toda uma faixa de operação de um sistema através de um único modelo de regressão, conforme FIG. 2. FIGURA 2 - Tentativa de modelar linearmente um sistema não linear (Veiga, 2005).

10 77 Há duas soluções para o problema apresentado, podem ser utilizadas técnicas de modelagem não-linear ou dividir toda faixa de operação do sistema em subsistemas, onde estes podem ser modelados linearmente. A FIG. 3 apresenta um exemplo dessa segunda técnica citada. FIGURA 3 - Modelos lineares locais (Veiga, 2005). Porém, os pontos de transição entre os submodelos apresentam um grave problema, estas transições, numa abordagem tradicional seriam bruscas (chamadas de booleanas ou crisp), com isso, o modelo se diverge muito do sistema real. Para resolver este problema, pode-se utilizar o modelo de identificação nebulosa sugerido por Takagi e Sugeno. A FIG. 4 apresenta o resultado obtido: FIGURA 4 - Suavização dos pontos de transição entre os submodelos (Veiga, 2005). Modelos Simulados A primeira massa de dados utilizada foi gerada a partir da simulação de um sistema linear no Matlab, identificada como dados.mat. Sistema linear é um sistema que satisfaz o principio da superposição. Um sistema que ao ser excitado pela entrada u 1 (t) produz a saída y 1 (t). O mesmo sistema quando excitado por u 2 (t) produz y 2 (t). Se tal sistema satisfaz o princípio da superposição, então quando excitado por au 1 (t) + bu 2 (t), o sistema produz ay 1 (t) + by 2 (t) (Aguirre, 2000). O sistema simulado tem a seguinte função de transferência: G () s 1 = s + 1

11 78 Função de transferência é uma função que modela o comportamento dinâmico de um par entrada-saída de um sistema. A FIG. 5 apresenta os gráficos de entrada e saída desse sistema: FIGURA 5 - Dados de entrada e saída (dados.mat) Os demais dados utilizados foram de um sistema não-linear simulado (Corrêa, 2001). Um sistema não-linear não satisfaz o princípio da superposição. O sistema teórico simulado, é um sistema de primeira ordem representado por (Haber & Unbehauen, 1990): dy dt [ 1 + α u( t) ] + y( t) u( t) = 0 ou seja, um sistema cujo ganho é constante e a constante de tempo varia com o ponto de operação na seguinte forma т(u) = 1 + αu. A equação acima foi simulada com α = 0,5, gerando massas de dados para identificação e validação. A partir da massa de dados gerada para identificação, deu-se origem a mais duas massas de dados, sendo que nessas duas últimas foi adicionado ruído, simulando erro de medição. Então, para o processo de estimação de parâmetros será usado: Massa de dados dad_ctv1 sinal original y(k), sem ruído acrescido; Massa de dados dad_ctv2 sinal com ruído adicionado y 2 (k) = y(k) + ε, sendo que ε possui distribuição gaussiana de média zero e variância σ 2 = 0,01; Massa de dados dad_ctv3 sinal com ruído adicionado y 3 (k) = y(k) + ε, sendo que ε possui distribuição gaussiana de média zero e variância σ 2 = 0,05.

12 79 Desta forma é possível analisar o efeito do ruído no procedimento de identificação. Trechos dos sinais usados na identificação estão apresentados nas FIG. 6, 7 e 8. Como pode ser observado, a entrada possui amplitude aleatória, excursionado o sistema em toda a sua faixa de operação com duração de cada patamar também aleatório. O tempo de amostragem usado foi de Τ s = 0,1 s, e a massa de dados total possui 2002 amostras (Corrêa, 2001). FIGURA 6 - Massa de dados dad_ctv1 FIGURA 7 - Massa de dados dad_ctv2 FIGURA 8 - Massa de dados dad_ctv3

13 80 RESULTADOS E DISCUSSÃO Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos utilizando a lógica Fuzzy para a identificação de sistemas não-lineares, serão também discutidos, com base na teoria que subsidiou este projeto de pesquisa. Para o treinamento dos dados utilizou-se o programa treina.m, onde apenas a primeira metade da massa de dados é utilizada. Os parâmetros definidos para o processo de identificação foram: três regras; funções de pertinência gaussianas; defuzzificação pelo método do gradiente; passo para o método do gradiente igual a 0,025; o número máximo de épocas igual a 100; 500 iterações por época de treinamento; e a tolerância máxima para o erro foi 0,2. Para a validação do modelo utilizou-se o programa valida.m, a outra metade dos dados é utilizada nesse processo, é onde ocorre todo o processo de inferência fuzzy. A partir desse programas, a primeira massa de dados utilizada, para base de teste, foi a dados.mat. Os resultados obtidos podem ser observados nas FIG. 9 e 10. FIGURA 9 - Resultado do treinamento dos dados dados.mat

14 81 FIGURA 10 - Resultado da validação dos dados dados.mat A FIG. 9 mostra o resultado do treinamento, verifica-se que só a primeira metade dos dados foram utilizados, a outra metade foi utilizada para a validação do modelo, mostrada na FIG. 10. Analisando os resultados obtidos, verificou-se que os mesmos foram satisfatórios, com um erro médio quadrático igual a 0,0592. A partir do resultado obtido com a simulação do sistema linear, passou-se para a análise de sistemas não-lineares, com as seguintes massas de dados: dad_ctv1, dad_ctv2 e dad_ctv3. Os parâmetros utilizados foram os mesmos usados anteriormente. As FIG. 11 e 12 mostram os resultados obtidos através da utilização dos dados dad_ctv1, os resultados de dad_ctv2 são mostrados nas FIG. 13 e 14, e da massa de dados dad_ctv3 nas FIG. 15 e 16. As FIG. 11, 13 e 15 mostram os resultados dos treinamentos para as massas de dados dad_ctv1, dad_ctv2 e dad_ctv3, respectivamente, utilizando-se da primeira metade dos dados para o treinamento e a segunda para a validação dos sistemas, apresentadas nas FIG. 12, 14 e 16.

15 82 FIGURA 11 - Resultado do treinamento dos dados dad_ctv1 FIGURA 12 - Resultado da validação dos dados dad_ctv1 FIGURA 13 - Resultado do treinamento dos dados dad_ctv2

16 83 FIGURA 14 - Resultado da validação da dos dados dad_ctv2 FIGURA 15 - Resultado do treinamento dos dados dad_ctv3 FIGURA 16 - Resultado da validação dos dados dad_ctv3 Verificamos que os resultados obtidos foram satisfatórios, os valores do erro médio quadrático de cada sistema para os modelos Fuzzy e NARMAX encontram-se na TAB. 1. O modelo não se comportou muito diferente para os sistemas com e sem ruído, a diferença entre seus erros médios quadráticos foi pequena, com erro um pouco maior para os sistemas que possuíam ruído.

17 84 Comparação dos Métodos de Identificação O critério utilizado para a comparação dos métodos de identificação fuzzy e NARMAX foi o erro médio quadrático (rmse). O resultado obtido para a identificação utilizando o modelo Fuzzy e NARMAX estão apresentados na TAB. 1, para base de teste variou-se a quantidade de regras do sistema com o objetivo de verificar com que quantidade de regras o erro seria menor, nota-se que os melhores resultados foram obtidos com cinco regras, e que uma maior quantidade de regras não significa, necessariamente, um melhor resultado, ou seja, dependendo do sistema um aumento no número de regras diminui o valor do erro, mas até uma certa quantidade de regras, a partir desta o aumento no número de regras não diminui o erro. Essa quantidade de regras varia de acordo com o sistema em questão, no sistema utilizado verifica-se que a partir de seis regras o valor do erro aumenta a medida que se aumenta a quantidade de regras. Modelo/ Massa de dados TABELA 1 Valores do erro RMSE para os modelos dad_ctv1 dad_ctv2 dad_ctv3 Fuzzy com 3 regras 0,2686 0,2687 0,2731 Fuzzy com 4 regras 0,2598 0,2597 0,2657 Fuzzy com 5 regras 0,2196 0,2195 0,2270 Fuzzy com 6 regras 0,2598 0,2596 0,2663 Fuzzy com 10 regras 0,3347 0,3352 0,3366 Fuzzy com 20 regras 0,3792 0,3812 0,3815 Modelo NARMAX 0,0881 0,0877 0,1101 Verificou-se que para o modelo Fuzzy os valores dos erros foram maiores do que com o modelo NARMAX, isso se deve pela técnica de modelagem não-linear utilizada, de dividir toda faixa de operação do sistema em subsistemas, onde estes são modelados linearmente, verificou-se também que a diferença no valor do erro para os sistemas com e sem ruído quando utilizado o modelo Fuzzy é menor, para sistemas com ruído ele se comporta de forma semelhante a sistemas sem ruído, ocorrido pela robustez a presença de ruído. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES A identificação de sistemas dinâmicos não-lineares utilizando modelos fuzzy mostrou bons desempenhos. O desempenho dos modelos propostos foi avaliado considerando problemas de

18 85 identificação de sistemas dinâmicos não-lineares, explorando exemplos utilizados na literatura, de complexidade diversa. Os modelos Fuzzy podem ser de dois tipos, o de Mandani e Takagi-Sugeno, este último tem um comportamento melhor para problemas de controle. No método de Mandani, as variáveis de entrada e saída são lingüísticas, o método detakagi-sugeno por sua vez apresenta como característica o fato de apresentar em suas saídas funções lineares das entradas. Os resultados da simulação demonstraram que os modelos fuzzy apresentados neste estudo são capazes de resolver problemas que envolvam dinâmicas não-lineares. Foi observado que, nem sempre a quantidade de regras no sistema irá apresentar uma melhor resposta. A validação do modelo indica se o mesmo é capaz de reproduzir as características estáticas e dinâmicas do sistema simulado. Comparando os dois métodos verificou-se que para os sistemas não-lineares em questão, o modelo NARMAX se comportou melhor que o modelo Fuzzy, variando-se o número de regras verificou-se que o erro diminui, mas ainda assim fica maior que o NARMAX, a utilização de outra função de pertinência pode ser uma solução para minimizar este erro. Uma outra proposta para continuação deste trabalho que não foi analisada é a utilização de outro método de Defuzzificação. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AGUIRRE, L.A. Introdução à identificação de sistemas: técnicas lineares e não- lineares aplicadas a sistemas reais. Belo Horizonte: UFMG, p. CASSINI, C. Identificação recursiva de características estáticas não lineares utilizando modelos polynomiais NARMAX Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte. CORRÊA, M.V. Identificação de sistemas dinâmicos não lineares utilizando modelos NARMAX racionais: aplicação a sistemas reais f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, CORRÊA, M.V. Identificação caixa-cinza de sistemas não-lineares utilizando representações NARMAX racionais e polinomiais f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, FABRI, J.A; RISSOLI, V.RV. Desenvolvimento de um sistema especialista fuzzy aplicado a domínios genéricos do conhecimento. In: SEMINÁRIO DE COMPUTAÇÃO SEMINCO, 9., 2000, Blumenau, SC. Anais. Blumenau, SC: Universidade Regional de Blumenau, HAYKIN, S. Redes neurais: princípios e prática. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, p.

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