Colisões Elásticas e Inelásticas

Transcrição

1 Colisões Elásticas e Inelásticas 1. Introdução Colisão é a interação entre dois ou mais corpos, com mútua troca de quantidade de movimento e energia. O choque entre bolas de bilhar é um exemplo, o movimento das bolas se altera após a colisão, elas mudam a direção, o sentido e a intensidade de suas velocidades. Outras colisões ocorrem sem que haja contato material, como é o caso de um meteorito que desvia sua órbita ao passar pelas proximidades de um planeta. Em física procura-se saber o comportamento dos corpos após a colisão. Para isto são usadas as leis de conservação de energia cinética e momento linear, conforme o tipo de colisão. Adiante estas leis serão descritas e usadas para encontrar resultados em casos simples de colisões unidimensionais entre dois corpos. Este trabalho propõe a você um estudo sobre as leis físicas envolvidas na descrição das colisões. Além da tradicional explanação de princípios físicos, você terá à disposição uma simulação onde poderá comprovar e testar os resultados obtidos a partir da teoria. Verá que muitos deles já lhes são comuns de seu cotidiano. O caso a ser estudado é dos mais elementares, mas a aplicação dos princípios é válida para fenômenos com qualquer nível de complexidade. - Colisões elásticas a energia cinética (movimento) total do sistema de corpos que se chocam se conserva. - Colisão parcialmente elástica a energia cinética total do sistema de corpos que se chocam não se conserva. - Colisão inelástica após o choque os corpos não se separam. Em um sistema isolado (não há forças externas resultantes atuando sobre os corpos dentro do sistema) e fechado (não há massas entrando e saindo dele), contendo uma colisão, a quantidade de movimento linear total P do sistema não pode variar, seja a colisão elástica ou inelástica.

2 . Colisões elásticas, perfeitamente inelásticas e parcialmente elásticas.1. Colisões elásticas Numa colisão elástica a energia mecânica e o momento linear dos corpos envolvidos permanecem os mesmos antes e depois da colisão. Diz-se que houve conservação de momento linear e energia. Figura 1. Colisão elástica. Considera-se o caso de dois corpos de massas m 1 e m movendo-se em linha reta, com velocidades v 1 e v respectivamente, permanecendo os mesmos dois após a colisão (sem que haja desagregação), conforme a Figura 1. Antes da colisão o corpo de massa m 1 tinha uma energia cinética E 1i e um momento linear p 1i e o corpo de massa m tinha uma energia cinética E i e um momento linear p i que podem ser expressos pelas fórmulas: E 1i = (1/)m 1 v 1i p 1i = m 1 v 1i E i = (1/)m v i p i = m v i (1a) (1b) (1c) (1d) Após a colisão as fórmulas são as mesmas, mas agora os corpos terão quantidades de movimento e energias diferentes do que tinham antes da colisão, que são representadas com o índice f (final), assim: E 1f =(1/)m 1 v 1f p 1f = m 1 v 1f E f = (1/)m v f p f = m v f (a) (b) (c) (d) Como há conservação de energia e momento pode-se escrever que a energia total e o momento total inicial e final do sistema de corpos não variam, desta maneira:

3 E 1i + E i = E 1f + E f p 1i + p i = p 1f + p f (3a) (3b) Substituindo nas equações 3a e 3b os valores para cada termo: (1/)m 1 v 1i + (1/)m v i = (1/)m 1 v 1f + (1/)m v f m 1 v 1i + m v i = m 1 v 1f + m v f (4a) (4b) A resolução do sistema de equações formado pelas Equações 4a e 4b é possível e permite o conhecimento das condições do movimento após a colisão. A divisão da equação 4a por (1/) e o agrupamento dos termos com mesma massa em cada lado terá como resultado: m 1 (v 1i - v 1f ) = m (v f - v i ) (5) Juntando os termos com mesma massa em cada lado, para a equação 4b: m 1 (v 1i - v 1f ) = m (v f - v i ) (6) O termo que multiplica m 1 na Equação 5 tem alguma relação com o termo que multiplica o mesmo m 1 na Equação 6. Esta relação pode ser conhecida a partir da expressão: (v 1i - v 1f )(v 1i + v 1f ) = (v 1i - v 1f ) (7) A mesma conclusão (com uma pequena diferença pela troca de sinais) pode ser tirada para o termo que multiplica m na Equação 5: (v f - v i )(v i + v f ) = (v f - v i ) (8) Substituindo as Equações 7 e 8 na Equação 5: m 1 (v 1i - v 1f )(v 1i + v 1f ) = m (v f - v i )(v i + v f ) (9) Escreve-se a Equação 6 para conservação de momento e compara-se com a Equação 9: m 1 (v 1i - v 1f ) = m (v f - v i ) (6) Nota-se que o primeiro termo da Equação 6 está contido no primeiro termo da Equação 9 e o segundo termo da Equação 6 também está contido no segundo termo da Equação 9, ou seja, a Equação 6 está "contida" na Equação 9. Logo,

4 pode-se dividir a Equação 9 pela Equação 6, para se obter um resultado mais simplificado. O resultado desta divisão será: (v 1i + v 1f ) = (v i + v f ) (10) Isolando v 1f na Equação 10 e substituindo na Equação 6 obtém-se: E portanto: v f = m 1 v 1i /(m 1 + m ) + v i (m - m 1 )/(m + m 1 ) (11) v 1f = m v i /(m 1 + m ) + v 1i (m 1 - m )/(m 1 + m ) (1) Desta maneira, usando os princípios de conservação de energia e momento linear, foram obtidos os parâmetros do movimento após a colisão... Colisões perfeitamente inelásticas Colisões perfeitamente inelásticas são aquelas onde não ocorre conservação de energia mecânica mas somente quantidade de movimento. Após o choque ambos os corpos seguem juntos, como um único corpo com a massa igual à soma das massas de todos os corpos antes do choque. A Figura ilustra esta colisão para dois corpos. Figura. Colisão inelástica Admite-se que os corpos de massa m 1 e m tenham quantidades de movimento p 1i e p i antes da colisão, respectivamente. Após a colisão a quantidade de movimento será: Pela lei de conservação: p f = v f (m 1 + m ) (13)

5 p 1i + p i = p f (14) Substituindo os termos da Equação 14 por suas respectivas expressões: m 1 v 1i + m v i = (m 1 + m )v f (15) Da Equação 15 conclui-se que o valor para a velocidade final dos corpos é: v f = (m 1 v 1i + m v i )/(m 1 + m ) (16).3. Colisões parcialmente elásticas Existe um outro tipo de colisão onde não ocorre conservação de toda a energia cinética do sistema, mas somente parte dela. É o que chamamos de colisão parcialmente elástica. Na natureza é difícil de se encontrar colisões perfeitamente elásticas, encontramos normalmente as parcialmente elásticas. Isto é devido à existência de forças dissipativas durante o processo de colisão, como o atrito ou a deformação dos corpos, que sempre consomem uma parte da energia cinética original. Nas colisões parcialmente elásticas os corpos tem uma velocidade relativa não nula após a colisão. Quando não há velocidade relativa, isto é, os corpos movem-se com a mesma velocidade, está caracterizada uma colisão inelástica. Da equação 10 encontra-se uma expressão para as velocidades relativas antes e após uma colisão perfeitamente elástica, num sistema de dois corpos, que é: E ainda pode-se escrever: (v f - v 1f ) = -(v i - v 1i ) (17) (v f - v 1f )/-(v i - v 1i ) = 1 (18) A Equação 18 informa que numa colisão perfeitamente elástica a velocidade relativa de afastamento (após a colisão, (v f - v 1f )) é igual à velocidade relativa de aproximação (antes da colisão, -(v i - v 1i )), ou seja, a razão entre elas é um. Numa colisão que não é perfeitamente elástica essa razão não vale 1, já que os corpos perdem energia cinética e suas velocidades diminuem após a colisão. A razão entre as velocidades relativas de afastamento e aproximação é chamada de coeficiente de restituição e: e = (v f - v 1f )/-(v i - v 1i ) (19)

6 Numa colisão perfeitamente inelástica os corpos seguem com a mesma velocidade após a colisão, logo a velocidade relativa de afastamento é nula, e o coeficiente de restituição vale 0. Substituindo-se a equação 10 pela equação 19 e realizando operações similares às realizadas para colisões elásticas, chega-se às velocidades finais para o caso de colisões parcialmente elásticas unidimensionais num sistema de dois corpos. Elas são: v 1f = (1+e)m v i /(m 1 + m ) + v 1i (m 1 - m e)/(m 1 + m) v f = (1+e)m 1 v 1i /(m 1 + m ) + v i (m - m 1 e)/(m + m 1 ) (0a) (0b) Estas fórmulas servem para todo tipo de colisão. Variações no coeficiente de restituição, conforme o tipo de colisão, levam às fórmulas para colisões elásticas e perfeitamente inelásticas. Exercícios do livro Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e Walker. E Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma força média de 50 N em um intervalo de 10 ms. Se a bola tivesse massa de 0 kg, que velocidade ela teria após o impacto? P Uma arma de ar comprimido atira dez chumbinhos dez g por segundo com uma velocidade de 500m/s, que são detidos por uma parede rígida. (a) Qual é o momento linear de cada chumbinho? (b) Qual é a energia cinética de cada um? (c) Qual é a força média exercida pelo fluxo de chumbinhos sobre a parede? (d) Se cada chumbinho permanecer em contato com a parede por 0,6 ms, qual será a força média exercida sobre a parede por cada um deles enquanto estiver em contato? (e) Por que esta força é tão diferente da força em (c)? P A espaçonave Voyager (de massa m e velocidade v relativa ao Sol) aproxima-se do planeta Júpiter (de massa M e velocidade V relativa ao Sol). A espaçonave rodeia o planeta e parte no sentido oposto. Qual é a sua velocidade, em relação ao Sol, após este encontro com efeito estilingue? Considera v= 1 km/s e V=1 km/s (a velocidade orbital de Júpiter). A massa de Júpiter é muito maior do que a da espaçonave; M>>m. (Para informações adicionais, veja The slingshot effect: explanation and analogies, de Albert A. Bartlett e Charles W. Hord, The Physics Teacher, novembro de 1985.) P Um vagão de carga de 35 t colide com um carrinho auxiliar que está em repouso. Eles se unem e 7% da energia cinética inicial é dissipada em calor, som, vibrações, etc. Encontre o peso do carrinho auxiliar.