Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem

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1 Universidade de Coibra Faculdade de Ciências e Tecnologia Eng.ª Bioédica Modelos dos Processos Fisiológicos no Hoe Trabalo elaborado por: Csspereira@iol.pt Carla Pereira Edite Figueiras Lara Aires Narciso Beça

2 INTRODUÇÃO No âbito do prograa da disciplina de Modelos dos processos fisiológicos no Hoe que visa o estudo da odelização de sisteas biológicos, processo este que é cada vez ais iportante, ua vez que perite caracterizar o coportaento e evolução dos esos se étodos invasivos. Assi sendo, as siulações desepena u papel preponderante ua vez que perite variações nas condições dos sisteas e dos respectivos eios abientes, be coo das suas propriedades intrínsecas se iplicar consequências nefastas para o organiso odelizado. A siulação representa assi u étodo seguro, eficaz e fiável de estudar e prever o coportaento dos organisos vivos. Durante algu tepo o odo coo ua célula é excitada era ua incerteza que persistia as que foi clarificada co base nos trabalos realizados por Hodgkin e Huxley. O nosso estudo consistiu e interpretar o odelo proposto por Hodgkin e Huxley que explica coo evolui o potencial de acção ebranar e ipleentá-lo e Siulink. 2

3 Nos trabalos realizados por Hodgkin e Huxley foi utilizado o neurónio da lula para fazer estudos sobre o potencial de acção pois o diâetro do seu axónio perite a inserção de eléctrodos axiais. Colocando outro eléctrodo nu fluido fora do axónio a diferença de potencial através da ebrana pode ser edida. Tabé se pode estiular este axónio injectando corrente co eléctrodos extra celulares produzindo ua potencial de acção que se propaga ao longo do axónio. Este potencial de acção pode ser registado por u eléctrodo intracelular. Os neurónios dos aíferos são uito pequenos, por isso, não é possível realizar esta experiência co estes neurónios. Todas as células vivas apresenta u gradiente eléctrico através das suas ebranas, as o sistea nervoso, constituído por neurónios, é o que faz o ais sofisticado uso dos potenciais da ebrana. O sistea nervoso dirige e regula processos corporais usando coo eio de transissão de inforação os potenciais eléctricos. Estes sinais eléctricos são originados pelo ipulso nervoso, ua onda óvel de alterações quíicas e eléctricas que afecta a ebrana da célula nervosa e envolve alterações sequenciais na pereabilidade do neurónio aos iões de sódio e de potássio. Os neurónios são constituídos pelo corpo celular, dendrite e o axónio. Os ipulsos são recebidos pelo corpo celular e passa, coo ua pulsão de corrente eléctrica, ao longo do axónio, a qual terina na sinapse, área especializada e uito ligada à célula seguinte que pode ser outro neurónio ou outra célula. Ao atingir a sinapse, o ipulso liberta ua substância quíica, neurotransissores, que se difunde à célula vizina, estiulando aí outro ipulso. A transissão do ipulso nervoso é apresentada na figura seguinte. 3

4 A transissão do ipulso nervoso envolve a abertura e o encerraento de certos canais selectivos existentes na ebrana celular, para peritir que deterinados iões entre ou saia da célula. A fibra nervosa e repouso te ua carga negativa líquida, porque á ais iões de Na + no exterior do axónio do que no interior. Esta diferença de potencial anté-se graças a ua boba quíica que envia esses iões de Na + para fora e os de K + para dentro. Estes tabé deixa o axónio por difusão, através dos poros da ebrana (1). 4

5 A cegada do ipulso nervoso abre as portas dos Na +, que entra no axónio, tornando-o positivo (despolarizado) (2). E seguida, essas portas feca-se e a boba Na + /K + restabelece a pouco e pouco o potencial de repouso (3). O ipulso passa à célula seguinte através da sinapse (4). Os axónios são os eleentos neuronais especificaente preparados para a transissão de potenciais de acção, funcionando coo u cabo condutor que transite ipulsos. Ua diferença de potencial aplicada através de ua ebrana neuronal não consegue percorrer u ilíetro se sofrer distorções devido às propriedades capacitivas da ebrana e devido à diinuição de aplitude que resulta da perda de corrente através da ebrana. A capacitância (C ) e resistência (R ) são dois factores deterinantes das propriedades axoniais. O axónio copensa ao increentar o seu sinal ao longo de todo o percurso, regenerando continuaente o potencial de acção. Desde que u estíulo, nu dos lados, produza ua corrente de despolarização suficienteente intensa para elevar a ebrana circundante até ao liiar da despolarização, fica assegurado que o ipulso seja transitido até a extreidade do axónio. 5

6 POTENCIAL DE NERNST Coo já foi referido, a concentração de K + é aior dentro do axónio, enquanto que o Na + esta ais concentrado fora deste. Este gradiente de concentração é antido devido à boba Na + /K +. Coo consequência, o potencial desta célula é negativo. O K + vai difundir-se segundo o seu gradiente de concentração, isto é, para fora do axónio, criando excesso de carga positiva fora do neurónio. Esta carga ipede a difusão continuada do K + para o fluido extracelular. Atinge-se assi u ponto de equilíbrio e que a diferença de potencial através da ebrana suficienteente forte para ipedir o fluxo de K + para o exterior do neurónio. A diferença de potencial resultante do ponto de equilíbrio pode ser directaente calculada a partir da relação da concentração do ião óvel, dentro e fora do neurónio, aplicando a equação de Nernst. O potencial de equilíbrio do ião K + é: RT K e EK log F K i R: constante dos gases T: teperatura absoluta F: carga por ole de ião univalente 6

7 MEMBRANA LINEAR Considera-se a ebrana celular constituída por ua bicaada lipídica, co elevada resistência, e por canais de potássio. A corrente através dos poros é dada por: I K =g K (V-E K ) (1) Figura: Circuito equivalente à fórula A corrente será igual a zero se o potencial transebranar está ao potencial de Nernst; a corrente entrará na célula se o potencial transebranar for negativo relativaente ao potencial de Nernst e sairá caso contrário. Quando o potencial da ebrana não esta nu valor de equilíbrio, isto é, quando a potencial é alterada averá corrente através do condensador. A capacitância é devida ao facto da ebrana ser isoladora e estar rodeada e abos os lados por u fluido condutor. A equação do condensador é: Q = -CV Q: carga do condensador C: capacitância 7

8 V: potencial nos terinais do condensador Diferenciando a equação: Co: dv dt C = g K dq I= dt I K gk V EK V EK (2) C C : constante teporal A solução da equação diferencial (2) é: V(t) = E K -(E K -V(0))e -t\ (3) Na realidade, a corrente de potássio não é dada pela equação (1), pois foi assuido que a probabilidade do canal estar aberto é constante, independente do tepo e da potencial (g k não é função do tepo e da voltage), o que não acontece. 8

9 VOLTAGE-CLAMPING Esta técnica envolve a introdução de dois eléctrodos internos: u para edir o potencial transebranar, e outro para injectar corrente. Usando u circuito electrónico de feedback, u deterinado potencial é antido através da ebrana. A corrente injectada pelo circuito é o reflexo da corrente na ebrana àquele potencial. O taano da preparação é suficienteente curto para que os efeitos da velocidade da corrente intracelular seja desprezados. A corrente resultante de u degrau voltage-clap desde -65V ate -9Mv é a soa de quatro diferentes correntes: 9

10 Corrente capacitiva, corrente leakage, corrente de sódio e corrente de potássio. A corrente de potássio activa-se lentaente, as não fica inactiva. A corrente de sódio activa-se rapidaente, as depois torna-se inactiva, apesar do potencial se anter constante. 10

11 FORMALISMO DE HODGKIN-HUXLEY O odelo de Hodgkin-Huxley para o axónio da lula é u sistea de equações diferenciais a quatro diensões que descreve as três correntes responsáveis pelo potencial de acção nestes neurónios. A corrente de sódio (I Na ) é responsável por gerar o pico do potencial de acção, a corrente de potássio (I K ) repolariza a ebrana. A corrente leakage (I L ) é uito enor do que as outras duas. No entanto outros neurónios pode ter outras correntes que não são consideradas neste odelo. Fizera-se vários registos da corrente de K + através de u poro quando o potencial varia de -100V até 50V: De onde resulta a seguinte curva, que representa ua édia dos registos obtidos para a corrente de K + : 11

12 Considera-se que existe apenas u poro por onde passa a corrente de K +, que segue u esquea reaccional de prieira orde : n e n são constantes de velocidade e função do potencial. Estas constantes controla a transição entre o canal fecado (C) e o canal aberto. A variável n é a fracção de poros que estão abertos. Então: dn n n n ( 1 n) nn (4) dt n Onde: n n n n n 1 n n As curvas de n e n evolue e função do potencial. A solução da equação diferencial (4) quando V é constante é: n(t) -t/ n n - (n - n(0))e (5) Então a fórula para a corrente será: I k = g K n (V-E K ) (6) 12

13 g K : áxia condutância Mas a figura seguinte ostra que g k te fora de onda, não sendo ua siples exponencial. Então, Hodgkin e Huxley elevara n a potência 4, resultando: I K 4 (V, t) g (V - E ) g [n(v, t)] (V - E ) (7) K K K K A evolução de n e n 4 e função do tepo. Coo se pode verificar, a curva n 4 ostra correctaente a evolução da corrente de potássio. 13

14 Fizera-se vários registos da corrente de Na + através de u poro quando o potencial varia de -80V até -40V: De onde resulta a seguinte curva, que representa ua édia dos registos obtidos para a corrente de Na + : A equação desenvolvida por Hodgkin e Huxley para descrever a corrente de Na + (I Na ), é: I Na 3 (V, t) g (V - E ) g (V - E ) (8) Na Na Na Na 14

15 : variável de activação : variável de inactivação Nela está iplícito que: 3 g Na (V,t) = g [(V, t)] (V, t) Na = I Na ( V, t) ( V E ) Na (9) A figura seguinte representa esta equação: As equações que reflecte o oviento no canal são seelantes às do canal n. Assuindo novaente u esquea cinético de prieira orde: e são constantes e função do potencial. A variável satisfaz: Onde: d dt ( 1 ) (11) 15

16 1 A solução da equação diferencial (11) quando V é constante é: (t) - ( (0))e -t/ - (12) Para o poro : e são constantes e função do potencial. A variável satisfaz: Onde: d dt ( 1 ) (13) 1 A solução da equação diferencial (13) quando V é constante é: (t) - ( - (0))e -t/ (14) A fórula geral para I Na é: I Na g Na 3 (V - E Na ) E que satisfaz a equação (11) e satisfaz a equação (13). 16

17 Quando,, e e função do potencial. A evolução de 3 e 3 * e função do tepo 17

18 Então o sistea de quatro equações não lineares que irão ser usadas no MatLab/Siulink é: d dt d dt dn dt dv dt (1 ) (1 ) n n n (1 n) nn 1 3 ( ) 4 Na V ENa g K n [ g C n ( V E K ) g L ( V E ) I L sti ] Onde: g Na g K 120 Sc 36 Sc 2 2 g L Sc E Na = +55 V E K = - 72 V E L = V C = 1 µfc -2 I sti correntes de estíulos As constantes dependentes do potencial são dadas por: = 0.1 (V+35)/(1-exp(-(V+35)/10)) = 4 exp(-(v+60)/18) = 0.07 exp(-(v+60)/20) = 1/(exp(-(V+30)/10)+1) n = 0.01(V+50)/(1-exp(-(V+50)/10)) n = exp(-(v+60)/80) Reunindo todas as equações anteriores, produz-se u odelo de ipleentação e Matlab e outro e Siulink, que se encontra anexados. 18

19 Gráfico resultante do MatLab 1º gráfico Azul dv/dt 2º gráfico Azul d/dt Verelo dn/dt Verde d/dt 19

20 Gráfico resultante do Siulink 1º gráfico Azul dv/dt Verde I sti 2º gráfico Azul d/dt Verelo dn/dt Verde d/dt 20

21 Verifica-se que os resultados das siulações realizadas são bastante seelantes aos obtidos por Hodgkin e Huxley. Há a ter e conta que se nota u ligeiro desfasaento, devido ao facto de a ipleentação do ipulso na siulação ser realizado na prieira unidade de tepo e não na quinta, coo no odelo experiental. 21

22 CONCLUSÃO Co este trabalo tiveos oportunidade de conecer o Modelo proposto por Hodgkin e Huxley e confirar os resultados por eles obtidos. Deve ter-se e atenção que este odelo contepla apenas três correntes iónicas, sendo que existe células co ais. A sua ipleentação e Siulink é bastante coplexa, devido ao elevado núero de constantes e equações diferenciais. Contudo a sua ipleentação e Matlab torna-se acessível pois trata-se de equações diferenciais de prieira orde, as quais são facilente definidas pela função Ode. E abos os casos, os resultados obtidos são concretos e fiáveis. Tratando as inforações obtidas nas siulações, pode prever-se coo evolui o potencial de acção ebranar e concluir coo decorre o processo de excitação na célula. 22

23 BIBLIOGRAFIA Manual cedido pelo docente. 23