De Boltzman às Fronteiras da Mecânica Estatística. Antônio Murilo S. Macêdo Departamento de Física Universidade Federal de Pernambuco Recife, Brazil

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1 De Boltzman às Fronteiras da Mecânica Estatística Antônio Murilo S. Macêdo Departamento de Física Universidade Federal de Pernambuco Recife, Brazil

2 Evolução Conceitual Entropia como Desordem Entropia como Informação Faltante Atomicismo X Energicismo Reducionismo X Emergentismo Sistemas Macroscópicos e Limite Termodinâmico Sistemas Mesoscópicos e Efeitos de Borda Caos Molecular e Seta do tempo Métodos Projetivos e Função Memória

3 Conteúdo 1. Introdução Histórica 2. Entropia e Informação 3. Reducionismo X Emergentismo 4. Sistemas Mesoscópicos 5. Sistemas de Não-Equilíbrio 6. Conclusões

4 James C. Maxwell Maxwell foi um dos fundadores da teoria cinética dos gases e introduziu em 1860 pela primeira vez o conceito de probabilidade na física com a dedução da função distribuição de velocidades de um gás ideal em equilíbrio térmico. Hipóteses básicas: Isotropia e independência estatística

5 Ludwig Boltzmann apresentou em 1872 uma equação integro-diferencial para a função distribuição de velocidades de um gás real fora do equilíbrio térmico. Hipóteses básicas: 1) Gás rarefeito (colisões binárias) 2) Colisões são dominadas por forças internas 3) As velocidades de duas partículas não são correlacionadas (caos molecular) 4) A função distribuição não varia apreciavelmente entre colisões.

6 Boltzmann definiu a grandeza e mostrou que Teorema H Em 1877 Boltzmann estudou um modelo de energias discretas e obteve a conexão entre H(t) e a entropia termodinâmica.

7 Maximizando s mantendo u fixo Boltzmann estabelece as bases da mecânica estatística de equilíbrio. Em 1902 Gibbs sistematiza o método de Boltzmann através da noção de ensembles Josiah Wilhelm Gibbs

8 Evolução Conceitual Entropia como Desordem Entropia como Informação Faltante Atomicismo X Energicismo Reducionismo X Emergentismo Sistemas Macroscópicos e Limite Termodinâmico Sistemas Mesoscópicos e Efeitos de Borda Caos Molecular e Seta do tempo Métodos Projetivos e Função Memória

9 Teoria da Informação Em 1948 Claude Shannon publicou o livro Mathematical Theory of Communication estabelecendo os fundamentos da teoria a informação e definindo a grandeza como uma medida da informação faltante.

10 A Escolha do Nome My greatest concern was what to call it. I thought of calling it information, but the word was overly used, so I decided to call it uncertainty. When I discussed it with John von Neumann, he had a better idea. Von Neumann told me, You should call it entropy, for two reasons. In the first place your uncertainty function has been used in statistical mechanics under that name, so it already has a name. In the second place, and more important, nobody knows what entropy really is, so in a debate you will always have the advantage.

11 A Informação Faltante A informação faltante corresponde ao número de perguntas binárias da melhor estratégia.

12 Exemplo Simples Entropia de Shannon

13 Para mais detalhes veja por exemplo

14 Evolução Conceitual Entropia como Desordem Entropia como Informação Faltante Atomicismo X Energicismo Reducionismo X Emergentismo Sistemas Macroscópicos e Limite Termodinâmico Sistemas Mesoscópicos e Efeitos de Borda Caos Molecular e Seta do tempo Métodos Projetivos e Função Memória

15 Reducionismo na Física Energicistas Atomicistas X Ernst Mach Ludwig Boltzmann

16 Versão Moderna da Disputa Reducionismo Emergentismo O sistema tem unidades básicas que seguem leis fundamentais O sistema é um macrofluido que segue leis emergentes Leis básicas eficazes Algoritmos ineficientes Leis emergentes eficazes Algoritmos eficientes

17 Visão Esquemática Reducionismo X Emergentismo Eficácia X Eficiência Dedução X Inferência

18 Analogia com Ciência da Computação Regras de autômatos Leis Fundamentais Algoritmos Deduções Físicas Conjuntos Decidíveis Fenômenos Observáveis

19 O Sonho Reducionista A Teoria de Tudo: A Máquina Universal de Turing Característica: Universalmente eficaz, mas ineficiente. Limitação Fundamental: O problema da decibilidade.

20 O Problema de Decibilidade Seria este fenômeno dedutível da Teoria de Tudo? Definição: Um conjunto é decidível se for possível escrever um programa numa máquina para determinar se um dado elemento pertence ao conjunto e o programa sempre termina com uma resposta SIM ou NÃO após um conjunto finito de passos. Conjuntos Decidíveis (Classe enumerável) Conjunto dos números primos. Conjunto dos naturais que satisfazem x 2 +y 2 =z 2. Conjuntos Indecidíveis (Classe não-enumerável) Conjunto dos programas que terminam após um número finito de passos. Conjunto das fórmulas válidas envolvendo números inteiros (Gödel).

21 Computabilidade: Eficácia Classes Computacionais Classe computável: Problemas solúveis por algoritmos (conjuntos decidíveis) Classe não computável: Problemas insolúveis por algoritmos. Eficácia Universal: A Máquina de Turing. Complexidade: Eficiência Classe P: Problemas solúveis numa máquina determinística em tempo polinomial. Classe NP: Problemas solúveis numa máquina não-determinística em tempo polinomial. Classe NP-completo: Problemas NP fáceis de verificar. Otimização: Aumentar eficiência na classe P através de codificação.

22 Reducionismo Emergentismo Regras de autômatos Leis Fundamentais Problemas P Fenômenos Observáveis Algoritmos Deduções Algoritmos Inferências Conjuntos Decidíveis Fenômenos Físicos Códigos Leis Emergentes

23 Consenso em Decisões de Grupo Reducionismo Emergentismo Modelo de Kuramoto: Equação de Fokker-Planck não-linear.

24 Movimento do Giroscópio Reducionismo Equações de movimento para cada átomo pela teoria quântica. Rigidez é um fenômeno cooperativo. Descrição eficaz, mas ineficiente. Emergentismo Rigidez é uma ordem emergente. Equações de movimento newtonianas para os graus de liberdade relevantes. Descrição eficaz e eficiente.

25 Física da Matéria Condensada Procedimento de Landau-Anderson Teoria Microscópica Teoria Efetiva de Campos Livres Continuidade Adiabática Fronteira de Fase

26 Líquidos Quânticos Superfluido (campo sem massa de Goldstone) Supercondutor (campo de calibre massivo; Higgs) Líquido de Fermi em metais (massa renormalizada) Líquido de Luttinger (separação carga-spin, d=1) Líquido Hall fracionário (carga fracionária, d=2) N S N L N HF

27 Classificação de Wen

28 Sumário Reducionismo Abordagem de baixo para cima. Argumento dedutivo. Campos fundamentais acoplados. Ordem é fenômeno cooperativo. Realismo representativo: campos são partículas reais colocadas no vácuo. Emergentismo Abordagem de cima para baixo. Argumento inferencial. Campos efetivos livres. Ordem é fenômeno emergente. Realismo não-representativo: campos efetivos representam excitações numa fase ordenada.

29 Evolução Conceitual Entropia como Desordem Entropia como Informação Faltante Atomicismo X Energicismo Reducionismo X Emergentismo Sistemas Macroscópicos e Limite Termodinâmico Sistemas Mesoscópicos e Efeitos de Borda Caos Molecular e Seta do tempo Métodos Projetivos e Função Memória

30 Mecânica Estatística de Sistemas Quânticos Finitos Como descrever transporte de carga e spin num gás de elétrons bidimensional confinado?

31 Transistor de Spin Proposto por Datta e Das (APL 56, 1990) Princípio básico: Polarizador e analizador ferromagnético Gate Precessão de spin controlado por porta (efeito Rashba) FM1 2DEG FM2 S.Datta (Th. Schäpers)

32 Teoria de Landauer-Büttiker Combina espalhamento quântico com termodinâmica irreversível. Leis de conservação quanto-mecânicas (unitariedade). Reservatórios (produção de entropia e forças termodinâmicas). Conectores (espalhadores com coerência de fase). Canais de transporte com ocupação variável. Estatística de eventos de transmissão (observáveis).

33 Rede de Nós e Conectores Separação de desvios de fase controláveis e incontroláveis. Similar à separação de forças determinísticas e estocásticas na equação de Langevin e à separação da energia em trabalho e calor na termodinâmica

34 Modelo Físico para os Nós Cavidade balística caótica Pedaço de um condutor sujo

35 Ponto Quântico Aberto

36 Estatística de Transferência de Carga Contagem do número de elétrons transferidos através do sistema para um número fixo de tentativas de transmissão N at =5 (a); 10(b); 20(c) e transparência T=0,7.

37 Cumulantes de uma Distribuição Os cumulantes oferecem uma descrição quantitativa de algumas características de uma distribuição.

38 Cumulantes de Transferência de Carga Caos Condutância Caos Potência do ruído de disparo Caos

39 Método de Gibbs: Considere a entropia de Shannon H( P) d ( S) P( S)ln P( S) Estatística suficiente é obtida através das médias S pq nm pq nm tanh( pn / 2) ; T pn 1 S pp nn 2 sech 2 ( pn / 2) A estimativa de máxima entropia é o núcleo de Poisson P( S) C det(1 S S ) ( N1 N2 1 2 / ) N 1 e N 2 são os números de canais abertos.

40 Distribuição de Cumulantes de Transferência de Carga de um Ponto Quântico F.A.G.Almeida, S. Rodríguez-Pérez, e AMSM PRB 80, (2009)

41 Transição Ponto-Fio Simulações de Monte-Carlo da distribuição de condutância de um fio quase-1d mostrando uma lei de escala e pontos de não-analiticidade. L.S.F-Peréz et al., Microelectronics Journal 36, 893 (2005).

42 Abordagem Emergentista Fase de alta energia e pequenas distâncias TCS Fase de baixas energias e grandes distâncias

43 TCS

44 Interpretação Física Visão reducionista Visão emergentista O campo Q é a unidade de informação do líquido quântico.

45 Evolução Conceitual Entropia como Desordem Entropia como Informação Faltante Atomicismo X Energicismo Reducionismo X Emergentismo Sistemas Macroscópicos e Limite Termodinâmico Sistemas Mesoscópicos e Efeitos de Borda Caos Molecular e Seta do tempo Métodos Projetivos e Função Memória

46 Sistemas de Não-Equilíbrio Fora do equilíbrio a função distribuição de velocidades depende da posição e do tempo e é afetada pelas colisões entre as partículas. Na equação de Boltzmann o sistema é rarefeito de modo que colisões são binárias e as velocidades de duas partículas arbitrárias não são correlacionadas (caos molecular)

47 O Método Projetivo Uma importanrte ferramenta para descrever sistemas fora do equilíbrio é o método projetivo, que consiste em projetar a dinâmica num subespaço gerado por operadores relevantes. Robert Zwanzig

48 Ensembles de Não-Equilíbrio Outra abordagem bastante geral consiste na extensão do método de Gibbs para situações fora do equilíbrio. Aplicações incluem física de semicondutores, condensados de Bose-Einstein e sistemas biológicos. Roberto Luzzi IFGW-Unicamp

49 Conclusão Entropia como Desordem Entropia como Informação Faltante Atomicismo X Energicismo Reducionismo X Emergentismo Sistemas Macroscópicos e Limite Termodinâmico Sistemas Mesoscópicos e Efeitos de Borda Caos Molecular e Seta do tempo Métodos Projetivos e Função Memória