A2-AA182 18/02/2009 ANATEL. Agência Nacional de Telecomunicações Técnico Administrativo. Matemática. Brasília

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1 A2-AA182 18/02/2009 ANATEL Agência Nacional de Telecomunicações Técnico Administrativo Matemática Brasília 2009

2 2009 Vestcon Editora Ltda. Todos os direitos autorais desta obra são reservados e protegidos pela Lei nº 9.610, de 19/2/1998. Proibida a reprodução de qualquer parte deste material, sem autorização prévia expressa por escrito do autor e da editora, por quaisquer meios empregados, sejam eletrônicos, mecânicos, videográficos, fonográficos, reprográficos, microfílmicos, fotográficos, gráficos ou outros. Essas proibições aplicam-se também à editoração da obra, bem como às suas características gráficas. Título da obra: Adendo ANATEL Técnico Administrativo Matemática Autor: Júlio Lociks DIRETORIA EXECUTIVA Norma Suely A. P. Pimentel DIREÇÃO DE PRODUÇÃO Cláudia Alcântara Prego de Araújo SUPERVISÃO DE PRODUÇÃO Julio Cesar Joveli CAPA Bertoni Design Agnelo Pacheco EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Daniel dos Santos Sampaio REVISÃO Julio César M. de França SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP Brasília/DF SAC: Tel.: (61) Fax: (61) Publicação em 18/2/2009 (A2-AA182)

3 MATEMÁTICA Júlio Lociks PORCENTAGENS RAZÃO CENTESIMAL Chamamos de razão centesimal toda razão cujo conseqüente (denominador) seja igual a. 37 em cada 37/ 19 em cada 19/ Diversas outras razões não centesimais podem ser facilmente reescritas na forma centesimal. 3 em cada 10 3/10 = 30/ 30 em cada 2 em cada 5 2/5 = 40/ 40 em cada 1 em cada 4 1/4 = 25/ 25 em cada Outros nomes usados para uma razão centesimal são razão porcentual, índice porcentual e percentil. FORMA PORCENTUAL Uma razão centesimal pode ser indicada na forma porcentual anotando-se o antecedente (numerador) da razão centesimal seguido do símbolo % (lê-se por cento ). 12 = 12% (doze por cento)

4 3 = 3% (três por cento) PORCENTAGEM Dados dois números quaisquer, A e B, dizemos que A é igual a p% de B quando o valor A for igual a p/ do valor B. A é p% de B p A = B Na expressão acima, o valor B é a referência do cál culo porcentual. Dizemos, então, que A é uma porcentagem do número B. Todo problema de porcentagens depende, basicamente, de determinarmos um dos valores dados na expressão acima, A, B ou p em função dos outros dois. Observação: Nas questões de concursos públicos, é comum encontrarmos: - lucro, rendimento, desconto, abatimento, prejuízo etc. indicando uma porcentagem em situações específicas; - a expressão principal indicando o valor de referência que corresponde a %. 1) Calcular 20% de 250. Solução: o número procurado é igual a 20% de 250. Logo: x é 20% de x = 250 x = x = = = 50 Então, 20% de 250 dá 50. 2) 30 é igual a 20% de quanto? Solução: da definição de porcentagem temos: é 20% de x 30 = x 4

5 30x = 20 x 30 x = = Portanto, 30 é igual a 20% de ) 21 representa quanto por cento de 15? Solução: da definição de porcentagem temos: 21 é x% de = x x = 15 x 2 x = = Logo, 21 representa 140% de 15. FORMA UNITÁRIA Além da forma porcentual, existe uma outra forma de expressarmos uma razão porcentual, a qual chamamos de forma unitária. A forma unitária da razão p/ é o número decimal que obtemos dividindo o valor p por. 23% = 23/ = 0,23 6% = 6/ = 0,06 133% = 133/ = 1,33 0,5% = 0,5/ = 0,005 AUMENTOS E REDUÇÕES PORCENTUAIS Quando queremos calcular um aumento ou uma redução de p% sobre determinado valor, normalmente somos levados a calcular o resultado em duas etapas: 1 a Calculamos a porcentagem p% do valor dado; 5

6 2 a Adicionamos ou subtraímos do valor original a porcentagem encontrada, para obter, respectivamente, o valor aumentado ou reduzido em p% do valor dado, conforme o caso desejado. Usando a forma unitária, poderemos calcular aumentos e reduções percentuais de modo mais rápido, usando um dos seguintes raciocínios: Para calcular um aumento de p%: Quando aumentamos em p% um valor V, fi camos com (+p)% de V. Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de (+p)% para termos o resultado desejado. 1) Aumentar o valor 230 em 30% Solução: (+30)% = 130% = 1, x 1,30 = 299 2) Aumentar o valor 400 em 3,4% Solução: (+3,4)% = 103,4% = 1, x 1,034 = 413,6 Para calcular uma redução de p%: Quando reduzimos em p% um valor V, fi camos com ( - p)% de V. Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de ( - p)% para termos o resultado desejado. 1) Reduzir o valor 300 em 30% Solução: ( - 30)% = 70% = 0, x 0,70 = 210 2) Reduzir o valor 400 em 2,5% Solução: ( - 2,5)% = 97,5% = 0, x 0,975 = 390 6

7 AUMENTOS E REDUÇÕES PORCENTUAIS SUCESSIVOS Aumentos sucessivos: Para aumentarmos um valor V sucessivamente em p 1 %, p 2 %,..., p n %, de tal forma que cada um dos aumentos, a partir do segundo, incida sobre o resultado do aumento anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de (+p 1 )%, (+p 2 )%,..., (+p n )%. 1) Aumentar o valor 2000 sucessivamente em 10%, 20% e 30% Solução: 2000 x 1,10 x 1,20 x 1,30 = ) Se o valor 4000 sofrer três aumentos sucessivos de 5%, qual será o valor resultante? Solução: 4000 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 4630,5 Reduções sucessivas: Para reduzirmos um valor V sucessivamente em p 1 %, p 2 %,..., p n %, de tal forma que cada uma das reduções, a partir da segunda, incida sobre o resultado da anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de ( - p 1 )%, ( - p 2 )%,..., ( - p n )%. 1) Reduzir o valor 5000 sucessivamente em 10%, 20% e 30%. Solução: 2000 x 0,90 x 0,80 x 0,70 = ) Se o valor 4000 sofrer três reduções sucessivas de 5%, qual será o valor resultante? Solução: 4000 x 0,95 x 0,95 x 0,95 = 3429,5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$ 26,00 e trazia a seguinte observação: Não incluí mos os 10% de serviço. Quanto representam, em dinheiro, os 10% de serviço e quanto fi ca o total da despesa se nela incluirmos a porcentagem referente ao serviço? 7

8 Solução: Serviço = 10% de 26,00 = 2,60 Portanto, os 10% cobrados como serviço representam R$ 2,60. Incluindo esta porcentagem na despesa original, teremos: 26,00 + 2,60 = 28,60 Assim, o total da despesa passa a ser de R$ 28, Numa pequena agência bancária, 32% dos clientes são pessoas jurídicas e os outros são pessoas físicas. Quantos clientes, ao todo, tem esta agência? Solução: O total de clientes corresponde a %: Pess. Jurídicas (32%) + Pess. Físicas (x%) = Total (%) 32% + x% = % x% = % - 32% = 68% Então, os clientes pessoas físicas correspondem a 68% do total de clientes. Chamando o total de clientes de T, poderemos escrever: 68% de T = T = T = = T = Portanto, a agência tem clientes. 3. O preço de um produto A é 30% maior que o de B e o preço deste é 20% menor que o de C. Sabe-se que A, B e C custaram, juntos, R$ 28,40. Qual o preço de cada um deles? Solução: Digamos que os preços de A, B e C são a, b e c, respectivamente: 8

9 a = (%+30%) de b = 130% de b a = 1,3 b b = (% - 20%) de c = 80% de c b = 0,8 c Comparando as duas igualdades acima, temos: b = 0,8c e a = 1,3b, portanto a = 1,3 x 0,8c a = 1,04c O preço dos três, juntos, é R$ 28,40: a + b + c = 28,40 1,04c + 0,8c + 1c = 28,40 2,84c = 28,40 c = 10,00 (valor de C) b = 0,8c = 0,8 x 10 = 8,00 (valor de B) a = 1,04c = 1,04 x 10 = 10,40 (valor de A) Então, os preços são: A custa R$ 10,40, B custa R$ 8,00 e C custa R$ 10, Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre a venda. Qual o preço de venda desta mercadoria se o seu preço de custo foi de R$ 160,00? Solução: A expressão sobre a venda significa que o valor de referência para o cálculo porcentual do lucro, neste exercício, deverá ser o preço de venda (ao contrário do que é comum!). Portanto, devemos fazer o preço de venda corresponder a %. Observe, então, o esquema: x % + 20% = % logo: x% = 80% (Preço de Custo) + (Lucro) = (Preço de Venda) x % + 20% = % Então, o preço de custo (R$ 160,00) corresponde a 80% do preço de venda (V): 80% de V = 160,00 (custo) 9

10 80 V 160 = Resolvendo, nos dá: 160 V = = O preço de venda foi de R$ 200,00 5. Para atrair fregueses, um supermercado anuncia por R$ 10,00 um determinado produto que lhe custou R$ 13,00. Determine a taxa porcentual de prejuízo sobre o preço de venda. Solução: O valor de referência para o cálculo porcentual do prejuízo deverá ser o preço de venda. Observe o esquema: (Preço de Custo) (Prejuízo) = (Preço de Venda) ( + x)% x % = % O valor do prejuízo, em dinheiro, pode ser determina do pela diferença entre os preços de custo e de venda: 13,00-10,00 = 3,00 Assim, podemos dizer que o prejuízo (R$ 3,00) é igual a x% do preço de venda (R$ 10,00): x% de 10 = 3 x 10 = 3 Resolvendo a expressão, encontramos: 3 x = = O porcentual de prejuízo sobre a venda é de 30%. 10

11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Qual a porcentagem correspondente à fração 13/20? 2. A fração 1/3 corresponde a quantos por cento de 5/6? 3. Um terreno foi comprado por R$ 1.200,00 e vendido por R$ 6.000,00. De quanto foi o porcentual do aumento? 4. Quanto é 30% de 20% de 40% de 6.250? 5. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$,00. Qual foi o percentual do meu lucro sobre o preço de custo? 6. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$,00. Qual foi o percentual do meu lucro sobre o preço de venda? 7. Um lucro de 25% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento se for calculado sobre o preço de venda? 8. Um prejuízo de 50% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quantos por cento se for calculado sobre o preço de venda? 9. Se um produto que custa R$ 40,00 tiver seu preço reajustado sucessivamente em 5% e em 10%, qual será seu preço final? 10. Se dermos dois descontos sucessivos, um de 5% e outro de 10%, a uma mercadoria que tem um preço inicial de R$ 40,00, qual será seu preço final? 11. Dois aumentos sucessivos, um de 15% e outro de 20%, equivalem a um único aumento de quantos por cento? 12. Antônio ganha 30% a mais que Beatriz e Carlos, 20% a menos que Antônio. Se a diferença entre os salários de Antônio e de Carlos é de R$ 130,00, qual é o salário de Beatriz? 13. O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total das vendas que exceder a R$ ,00. Estima-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre o salário bruto. Em determinado mês, o vendedor recebeu, líquido, o valor de R$ 4.500,00. Quanto ele vendeu neste mês? 14. Um comerciante comprou 350 litros de aguardente à razão de R$ 1,35 o litro. Que quantidade de água ele deverá acrescer ao volume total de aguardente adquirida para vendê-la a R$ 1,75 e ainda ganhar 30% sobre o preço de compra? 11

12 15. Comprei numa promoção uma calça e uma camisa. Após o término da promoção, a calça ficou 20% mais cara e a camisa, 10% mais cara. Se comprasse as mesmas duas peças pagando estes novos preços, eu gastaria 16% a mais. Quanto me custou a mais a calça em relação à camisa? TESTES 1. (Esaf) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço de venda anunciado para uma mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda anunciado, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante: a) lucro de 5% d) prejuízo de 2% b) prejuízo de 4% e) lucro de 2% c) lucro de 4% 2. (Esaf) Um terreno foi vendido por R$ ,00, com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$ ,00. A variação total de preço das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de a) 38,00% d) 51,80% b) 40,00% e) 25,45% c) 28,00% 3. (Esaf) Maria vendeu um relógio por R$ ,50 com um prejuízo de 15,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por a) ,37 d) ,64 b) ,00 e) ,00 c) ,00 4. (Cespe) Um trabalhador gastava 30% do seu salário com aluguel. Após certo período, seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário, reajustado em 500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel foi: a) 34% b) 38% c) 40% d) 42% e) 45% 5. (Cespe) Uma empresa admitiu um funcionário no mês de outubro deste ano, sabendo que, já em janeiro de 1997, ele terá 25% de aumento de salário. A empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim, a empresa admitiu-o com um salário de X reais. Então, X satisfaz à condição: a) X < 1.,00 b) 1.,00 X < 1.170,00 c) 1.170,00 X < 1.190,00 d) 1.190,00 X < 1.220,00 e) X 1.220,00 12

13 6. (Cespe) Uma loja adota a seguinte política de venda: à vista com 10% de desconto sobre o preço de tabela, ou pagamento em 30 dias após a compra com 8% de acréscimo sobre o preço de tabela. O preço de uma mercadoria que à vista é vendida por R$ 540,00, para pagamento em 30 dias, será de: a) R$ 594,00 b) R$ 641,00 c) R$ 648,00 d) R$ 652,42 e) R$ 653,27 7. (Cespe) O prefeito de uma cidade dispensou 20% dos funcionários públicos municipais e concedeu, aos que permaneceram, um reajuste salarial que elevou a folha de pagamentos em 10%. Assim, o salário médio dos funcionários sofreu uma variação de: a) 10,0% d) 37,5% b) 30,0% e) 40,5% c) 35,5% 8. (Esaf) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ ,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em: a) 18% b) 20% c) 30% d) 33% e) 41% 9. (Cespe) Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00, desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois anos, o proprietário decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% maior em relação ao valor praticado dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, o proprietário deverá desembolsar a quantia de: a) R$ 4.200,00 d) R$ 4.820,00 b) R$ 4.620,00 e) R$ 4.900,00 c) R$ 4.700, (Cespe) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses, é correto afirmar que: a) o valor das ações permaneceu inalterado. b) as ações desvalorizaram 7,84%. c) as ações valorizaram 7,84%. d) as ações desvalorizaram 8,48%. e) as ações valorizaram 8,48%. 13

14 11. Um comerciante de veículos comercializa dois tipos de automóveis, um nacional e outro importado. Observa-se que, anualmente, as vendas dos veículos nacionais diminuem em 20% e as dos importados aumenta 20%. Em 1994, 60% do total das vendas dessa revendedora foram de carros nacionais e 40% de carros importados. Em 1996, o percentual de automóveis importados comercializados pela revendedora foi de: a) 54% b) 57,6% c) 60% d) 62,6% e) 63,2% 12. (Cespe) Nas eleições do dia 3 de outubro, 25% dos eleitores de uma cidade votaram, para prefeito, no candidato X, 30%, no candidato Y, e os eleitores restantes votaram em branco ou anularam seus votos. Não houve abstenções e os votos nulos corresponderam a 25% dos votos em branco. Com base na situação apresentada, assinale a opção incorreta. a) O número total de eleitores da cidade é de b) eleitores votaram no candidato X. c) 450 eleitores anularam seus votos. d) Houve menos votos brancos ou nulos do que votos válidos. e) eleitores votaram no candidato Y. 13. (Cespe) Em uma comunidade, somente 18% dos habitantes são a favor de certa proposta. Se 30% dos homens são favoráveis à proposta e 10% das mulheres também são favoráveis à mesma proposta, então a porcentagem de homens nessa comunidade é de a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% 14. (Cespe) O funcionário da biblioteca de uma escola comprou 10 exemplares de um mesmo livro de Matemática. O vendedor concedeu-lhe um desconto de 10%, tendo ele pago R$ 585,00 pela compra. Se x é o preço original de cada livro, em reais, então a) x < 64,00 b) 64,00 x < 65,00 c) 65,00 x < 66,00 d) 66,00 x < 67,00 e) x 67, (Cespe) Em 1992, estudantes de um certo estado foram reprovados durante o 1º grau. A partir do ano seguinte, a Secretaria de Educação daquele estado iniciou o projeto: Repetência - vamos riscá-la de nossas escolas, consistindo em um 14

15 esforço conjunto de pais e professores para a recuperação dos alunos durante todo o ano letivo. Em decorrência dessa iniciativa, o número de estudantes reprovados diminuiu, anualmente, em 9%. Nessas condições, o número de alunos de 1º grau que foram reprovados em 1994 foi de a) b) c) d) e) (Cespe) Foi solicitado a um aluno que calculasse 5% de vinte e quatro milésimos. A calculadora evidenciou como resultado a) 0,012 b) 0,0012 c) 0,00012 d) 0, e) 0, PORCENTAGENS GABARITO 1. 65% 2. 40% % % 6. 20% 7. 20% 8. % 9. R$ 46, R$ 34, % 12. R$ 500, R$.000, litro %t TESTES 1. b 2. a 3. b 4. c 5. d 6. c 7. d 8. c 9. b 10. b 11. c 12. c 13. d 14. c 15. c 16. b 15

16 Formato 15x21cm Mancha 11,5x17,5 cm Papel Offset Gramatura 70 gr/m 2 Número de páginas 16 SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP Brasília/DF SAC: Tel.: (61) Fax: (61)