9 - Fluidos: Estática e Dinâmica

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1 PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo Última atualização: 8/11/006 11:16 H 9 - Fluidos: Estática e Dinâmica Fundamentos de Física Hallida, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996 Cap Fluidos Física Resnick, Hallida, Krane 4ª Edição, LTC, 1996 Cap Estática dos Fluidos Cap Dinâmica dos Fluidos Física Resnick, Hallida, Krane 5ª Edição, LTC, 003 Cap Estática dos Fluidos Cap Dinâmica dos Fluidos Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/006)

2 HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FUNDAMENTOS DE FÍSICA CAPÍTULO 16 - FLUIDOS EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 16 Fluidos

3 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FÍSICA CAPÍTULO 17 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS PROBLEMAS Em 1654, Otto von Guericke, prefeito de Magdeburgo e inventor da bomba de vácuo, realizou uma demonstração diante do Conselho Imperial, em que duas parelhas de cavalos não foram capazes de separar dois hemisférios de latão no interior dos quais se havia feito vácuo. (a) Mostre que a força F necessária para separar os hemisférios é F = πr Δρ, onde R é o raio (externo) dos hemisférios e Δρ é a diferença entre a parte interna e a externa da esfera (Fig. 18). (b) Supondo R = 0,305 m e a pressão interna igual a 0,100 atm, qual a força que deveriam exercer as parelhas de cavalos para separar os hemisférios? (c) Porque foram utilizadas duas parelhas de cavalos? Não seria suficiente utilizar apenas uma para fazer a demonstração? (a) Considere o seguinte esquema da situação: (Pág. 73) Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 3

4 z Rdφ R φ dφ df d F sen φ sen θ θ dθ d F sen θ R sen φ R sen φ dθ x A força df que age num elemento de área ds da superfície da esfera sujeita a uma diferença de pressão Δp vale: ' df =ΔpdS A força que age sobre toda a superfície esférica devido a Δp vale: ' F = df ' senθ senφ () Na Eq. (), df sen θ sen φ é a componente de df paralela ao eixo. É esta componente que se opõe a F, que é a força externa exercida pelos cavalos (confira no esquema acima). O elemento de área ds é dado por: ds = Rdφ. R senφdθ O resultado acima é obtido por meio do produto dos comprimentos dos lados do elemento de área. ds = R senφdφdθ (3) Substituindo-se (1) e (3) em (): ' F = R Δpsenθ sen d d φ φ θ Como as integrais são independentes, podemos fazer: π ' F R p sen φdφ senθd F = Δ θ = π R Δp ' F = π R Δ p 0 0 π A força que agem em cada hemisfério (F) é a metade de F. Logo: Podemos notar que a força em cada hemisfério é o produto da área do hemisfério projetada no plano xz (ortogonal ao eixo ), ou seja a área de uma circunferência de raio R, pela diferença de pressão. (b) 5 5 F = π ( 0,305 m) ( 1,01 10 Pa) ( 0,100 1,01 10 Pa) = 6.565, N F 6,6 kn (1) Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 4

5 (c) Uma parelha de cavalos seria suficiente, desde que a corda ligada ao outro hemisfério fosse amarrada em algum lugar fixo e resistente, como um tronco de árvore. Temos que nos lembrar que à época do experimento as leis de Newton, em particular a lei da ação e reação, não eram conhecidas. 13. Um tubo em U simples contém mercúrio. Quando 11, cm de água são derramados no ramo direito, a que altura sobe o mercúrio no lado esquerdo, com relação ao seu nível inicial? (Pág. 73) Considere o seguinte esquema da situação: HO l d h Hg Este problema deve ser resolvido tendo-se em vista que as pressões nos pontos 1 e são iguais. A pressão no ponto 1 vale: p = p + ρ gd (1) 1 0 HO A pressão no ponto vale: p = p + ρ gh () 0 Hg Igualando-se (1) e (): p + ρ gh= p + ρ gd 0 Hg 0 HO 3 ( 998 kg/m ) ,6 10 kg/m Hg ρho h= d = 11, cm = 0,8188 cm ρ Hg Em relação ao nível original, o deslocamento d é a metade de h, como mostra o esquema: h ( 0,8188 cm) d = = = 0, cm d 0, 411 cm 14. Na face vertical de uma represa que está voltada contra a corrente do rio, a água se encontra a uma profundidade D, como mostra a Fig. 0. Seja L a largura da represa. (a) Determine a força horizontal exercida sobre a represa pela pressão manométrica da água e (b) o torque total devido à pressão manométrica da água, aplicado em relação a uma linha que passa pelo ponto O, paralelamente à largura da represa. (c) Onde está a linha de ação da força resultante equivalente? Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 5

6 (a) Considere o seguinte esquema da situação: (Pág. 73) L d df D r O Considere um elemento de área da, de comprimento L e altura d (da = Ld), localizado a uma profundidade ao longo da represa. A pressão hidrostática sobre esse elemento de área vale: df p( ) = = ρ g da Onde ρ é a densidade da água da represa. Logo: df = ρ gda = ρ gld (1) D ρ 0 F = df = gld ρgld F = (b) O elemento de torque dτ provocado por df, em relação ao eixo que passa pelo ponto O ao longo da largura da represa, é dado por: dτ = r df π dτ = ( D ). df.sen dτ = ( D ) df Substituindo-se (1) em (): dτ = ρgl D d 3 3 D D D τ = dτ = ρgl ( D ) d = ρgl 0 3 () Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 6

7 3 ρgld τ = 6 (c) A linha de ação da força resultante (F) é a profundidade h, contada a partir da superfície, onde essa força deve agir na represa para produzir o torque τ. Ou seja: τ = r F π τ = ( D h). F.sen = ( D h) F Substituindo-se os resultados dos itens (a) e (b) em (3): ρgld ρgld = ( D h) 6 D D h= 3 h = D 3 3 (3) 3. Dois recipientes cilíndricos idênticos, cujas bases estão no mesmo nível, contém um líquido de densidade ρ. A área de cada base é A, mas em um dos recipientes a altura do líquido é h 1, e no outro, h. Determine o trabalho realizado pela gravidade para equalizar os níveis quando os dois recipientes são conectados. (Pág. 74) Considere o seguinte esquema da situação: h1 - h ( h1 - h )/ ( h1 - h)/ h1 h A B C No esquema A, vemos a situação inicial do problema, onde os cilindros da direita e da esquerda acabaram de ser conectados. Para igualar o nível dos cilindros, podemos fazer uma operação em duas etapas. A primeira etapa consiste em transpor a metade superior da coluna de líquido mais alta para a direita (B). Nesta etapa, nenhum trabalho gravitacional é executado. Na segunda etapa, a porção de líquido de altura (h 1 h )/ deverá ser baixada de uma altura também igual a (h 1 h )/. O trabalho gravitacional executado nesta etapa será: W h h mg 1 = Na equação acima, m é a massa da coluna líquida de altura (h 1 h )/. Podemos substituir m por ρv, em que V é o volume dessa coluna. Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 7

8 h 1 h h 1 h h h 1 W = ρvg = ρa g W = ρ Ag ( h h ) Um tubo em U está cheio com um único líquido homogêneo, que é temporariamente comprimido em um dos lados por um pistão. O pistão é removido e o nível do líquido em cada ramo oscila. Mostre que o período de oscilação é π(l/g) 1/, onde L é o comprimento total de líquido no tubo. (Pág. 74) Considere o seguinte esquema da situação: x x Seja ρ a densidade do líquido. Se o nível de uma das colunas for baixado de uma distância x, o nível da outra coluna atingirá uma altura x em relação à primeira. A coluna de altura x exercerá uma força gravitacional que será capaz de acelerar toda a massa líquida (m). Vamos resolver a segunda lei de Newton para o sistema: F x = ma x A força gravitacional exercida pela coluna líquida x corresponde ao produto entre a pressão do líquido (p) e a área da seção reta da coluna (A). O sinal negativo é devido à força ter o sentido contrário ao deslocamento x. d x pa = m dt d x ρgxa= ρal dt d x g + 0 x = (1) dt L A Eq. (1) é a equação diferencial do movimento harmônico simples, sendo que o coeficiente de x é ω. Logo: ω = π T = ω g L Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 8

9 T = π L g 8. A tração num fio que sustenta um bloco sólido abaixo da superfície de um líquido (de densidade maior do que a do sólido), é T 0 quando o vasilhame que o contém (Fig. 3) está em repouso. Mostre que a tração T, aplicada quando o vasilhame sofre uma aceleração a, em sentido vertical para cima, é dada por T 0 (1 + a/g). (Pág. 74) Considere o seguinte esquema, onde a situação A corresponde ao sistema em equilíbrio (a = 0) e B ao sistema acelerado para cima (a = +aj): A B E0 E P T0 P T x a = 0 Na situação A temos: F = 0 E0 T0 P= 0 E0 = T0 + P Na situação B temos: F = ma E T P= ma P T = E P a g a T E P 1 a = + g () Precisamos agora de uma relação entre E e E 0 : Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos (1) 9

10 E0 = ρgv E = ρ g+ a V Sendo o líquido supostamente incompressível, seu volume nas situações A e B são iguais. Logo: E0 g = E g+ a E 1 a = + 0 g E (3) Substituindo-se (1) em (3): a a a E = 1+ ( T0 + P) = 1+ T P g g g Substituindo-se (4) em (): a a a T = 1+ T P P 1+ g g g T 1 a = + T0 g (4) 3. Um bloco de madeira flutua na água com 0,646 do seu volume submerso. No óleo, 0,918 do seu volume fica submerso. Determine a densidade (a) da madeira e (b) do óleo. (Pág. 75) Quando o bloco de madeira é colocado na água, observa-se a seguinte situação, onde P é o peso do bloco e E a é o empuxo da água sobre o bloco: Ea P Água P = E a a ( 0,646 ) mg = ρ g V m V = 0,646ρ a (1) Mas m/v é a densidade da madeira (ρ m ) e a densidade da água é ρ a = 1, kg/m 3. Logo: 3 3 ρ = 0,646 1,00 10 kg/m m ρ = kg/m m 3 3 Quando o bloco é colocado no óleo, observa-se a seguinte situação, onde E o é o empuxo do óleo sobre o bloco: Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 10

11 Eo P Óleo P = E o o ( 0,918 ) mg = ρ g V m = 0,918ρ o () V Igualando-se (1) e (): 0, ρo = ρa = 0, ( 1, kg/m ) 0,918 ρ kg/m o Um objeto cúbico cuja aresta mede L = 0,608 m e cujo peso P = N, no vácuo, pende da extremidade de um fio dentro de um tanque aberto cheio de um líquido de densidade ρ = 944 kg/m 3, como mostra a Fig. 5. (a) Determine a força total para baixo, exercida pelo líquido e pela atmosfera, no topo do objeto. (b) Determine a força total para cima, aplicada no fundo do objeto. (c) Determine a tensão no fio. (d) Calcule a força de empuxo sobre o objeto, aplicando o princípio de Arquimedes. Que relação existe entre essas três quantidades? Considere o seguinte esquema das forças que agem sobre o corpo submerso: (Pág. 75) Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 11

12 Fs T P Fi (a) A força exercida na parte superior do corpo (F s ) é igual à pressão total nessa região (p s ) multiplicada pela área da parte superior do corpo (A): F s = p A s A pressão total na parte superior do corpo é igual à soma da pressão atmosférica (p 0 ) e da pressão exercida pelo líquido à profundidade L/: L Fs = p0 + ρ g A= ,75 N F 38,4 kn s (b) A pressão total na parte inferior do corpo (p i ) vale: F i = p A i L Fi = p0 + ρg L+ L 5 3 0,608 m F ( 1,01 Pa) ( 944 kg/m )( 9,81 m/s ) i ( 0,608 m) = ,608 m F i = ,13 N Fi 40,5 kn (c) A tensão no fio (T) é obtida por meio da condição de equilíbrio estático do corpo, em que P é o peso do corpo: F = 0 T + F F P= 0 i s T = F + P F = , 75 N N ,13 N =.368,88 N s T,37 kn (d) A força de empuxo (E) vale: E gv gl i = ρ = ρ = = E,08 kn A relação entre essas forças é: E = F F i s 944 kg/m 9,81 m/s 0, 608 m.081,38 N Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 1

13 41. Uma casca esférica oca, feita de ferro, flutua quase completamente submersa na água; veja a Fig. 7. O diâmetro externo é de 58,7 cm e a densidade do ferro é de 7,87 g/cm 3. Determine o diâmetro interno da casca. Considere o seguinte esquema da situação: (Pág. 75) Água E D/ P d/ x Nas equações a seguir, P é o peso da casca esférica, E é o empuxo que a água exerce sobre a casca, ρ Fe e ρ Água são as densidades da casca e da água, V Int e V Ext são os volumes interno e externo da casca e m Fe é a massa da casca. A casca esférica oca está em equilíbrio, logo: F = 0 P E = 0 m g = ρ Fe Água gv Ext ρ gv V = ρ gv Fe Ext Int Água Ext D d 4 D ρfeg π = ρ g π Água 3 3 ρ 3 3 Água D d = D 3 d 3 3 ρ Fe ρ = D 1 ρ Água Fe 3 ( 0,998 g/cm ) 3 ( 7,87 g/cm ) 1/3 3 ρ Água d = D 1 = ( 58, 7 cm) 1 = 56,1057 cm ρfe d 56,1 cm 1/3 Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 13

14 43. Três crianças, cada uma pesando 366,5 N, constroem uma jangada amarrando toras de madeira de 0,3 m de diâmetro e 1,77 de comprimento. Quantas toras serão necessárias para manter as crianças à tona? Considere a densidade da madeira como sendo 757,7 kg/m 3. (Pág. 76) Considere o seguinte esquema da situação: Ea Pc Água Pt Na situação de equilíbrio, o peso de n toras (cada uma pesando P t ) somado ao peso das três crianças (cada uma pesando P c ) será igual ao empuxo exercido pela água (E a ): 3P c + np t = E a P + ρ g( nv ) = ρ g( nv ) 3 c t t a t ngv ( ρ ρ ) = 3 t a t ( 3P c n = gv ρ ρ t a t ) P c Na Eq. (1), V t é o volume e ρ t é a densidade de cada tora e ρ a é a densidade da água. O volume de cada tora, em que l é o seu comprimento e d é o seu diâmetro, vale: d Vt = l π πld Vt = () 4 Substituindo-se () em (1): 1P n = c πlgd ρ ρ a t 1 366,5 N n = 3, 764 π ( 1, 77 m)( 9,81 m/s )( 0,3 m) ( 998 kg/m 3 ) ( 757, 7 kg/m 3 ) = Aqui não é possível arredondar o resultado para 3. Caso isto seja feito, o uso de três toras não irá suportar o peso das crianças, já que uma fração de tora ainda seria necessária (0,49...) para equilibrar o sistema. Portanto, é necessário acrescentar mais uma tora para satisfazer à condição de flutuabilidade. n = 4 toras (1) Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 17 Estática dos Fluidos 14

15 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FÍSICA CAPÍTULO 18 - DINÂMICA DOS FLUIDOS PROBLEMAS Em um furacão, o ar (densidade 1, kg/m 3 ) sopra sobre o telhado de uma casa a 110 km/h. (a) Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior da casa que tende a arrancar o teto? (b) Qual o módulo da força devida a esta diferença de pressão sobre um teto de 93 m? (Pág. 94) Considere o seguinte esquema da situação, onde A é a área do telhado: i e ve F A (a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) do telhado da casa: 1 1 pi + ρ gi + ρvi = pe + ρge + ρ v e A pressão no interior é a pressão atmosférica (p 0 ), enquanto que a pressão no exterior é p. Considerando-se que os pontos i e e encontram-se no mesmo nível em relação ao solo, teremos i = e =. Pode-se considerar que a velocidade do ar no interior (v i ) é aproximadamente zero. Logo: 1 pi + ρ g+ 0 = pe + ρg+ ρv e (b) pi pe = ρve = ( 1, kg/m ) m/s 560,1851 Pa = 3,6 p p 560 Pa i e Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 15

16 ( i e) F = p p A= 560,1851 Pa 93 m = 5.097, N F 5 kn Esta força é equivalente ao peso de uma massa de cerca de 5 toneladas, ou seja, cerca de cinco carros de passeio. 13. As janelas de um edifício medem 4,6 m por 5,6 m. Num dia de tempestade, o vento está soprando a 8 m/s paralelamente a uma janela do 53 o andar. Calcule a força resultante sobre a janela. A densidade do ar é 1,3 kg/m 3. (Pág. 94) Aplicando-se a equação de Bernoulli a pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) da janela do prédio: 1 1 pi + ρ gi + ρvi = pe + ρge + ρ v e Considerando-se que a pressão no interior é a pressão atmosférica (p 0 ), que a pressão no exterior é p, que i = e e que a velocidade do ar no interior (v i ) é aproximadamente zero, teremos: 1 p0 p+ ρv Nesta equação, chamamos a velocidade do ar no exterior simplesmente de v. Logo: 1 p0 p ρv (1) A força resultante sobre o vidro será: F = p p A= p p DH () 0 0 Na Eq. (), D é a largura e H é a altura da janela. Substituindo-se (1) em (): 3 F 1 ρv DH = 1 ( 1,3 kg/m )( 8 m/s ) ( 4,6 m )( 5,6 m ) = ,048 N F 10,8 kn Esta força é exercida de dentro para fora do edifício. Quanto maior for a velocidade do vento no exterior, maior será a diferença de pressão sobre a janela e, portanto, maior será a força. Caso esta força seja maior que a força máxima de coesão do material que compõe o vidro, haverá ruptura do mesmo. 15. A Fig. 30 mostra um líquido escoando por um orifício em um tanque de grandes dimensões a uma distância h abaixo da superfície do líquido. O tanque é aberto na parte superior. (a) Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que liga os pontos 1, e 3, mostre que a velocidade com que o líquido sai do orifício é v= gh. Este resultado é conhecido como lei de Torricelli. (b) Se a saída do orifício apontasse diretamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jato de líquido? (c) Como a Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 16

17 viscosidade ou a turbulência afetariam a sua análise? (a) Considere o seguinte esquema da situação: (Pág. 94) h 1 0 v Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e, teremos: 1 1 p1+ ρ g1+ ρv1 = p + ρg + ρ v A análise da situação revela que p 1 = p = p 0, em que p 0 é a pressão atmosférica. Considerando-se que o diâmetro do tanque é muito maior do que o diâmetro do orifício, temos que v 1 << v. Logo, se observarmos o escoamento por curto período de tempo podemos supor que v 1 0. De acordo com o referencial adotado temos = 0. Portanto: 1 p0 + ρ gh+ 0= p ρv 1 gh = v v= gh Este resultado é o mesmo obtido para um corpo solto em queda livre de uma altura h. (b) Considere o seguinte esquema: h v Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 3 e 4, teremos: 1 1 p3 + ρ g3 + ρv3 = p4 + ρg4 + ρ v 4 No topo do jato líquido a velocidade de escoamento é zero. Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 17

18 1 p ρv = p0 + ρghmax + 0 Substituindo-se o resultado do item (a): 1 ρ gh = ρghmax hmax = h Este resultado é esperado, pois sendo o fluido ideal não há dissipação de energia mecânica durante o fluxo. Logo, a energia potencial gravitacional inicial que é convertida em energia cinética no item (a) é reconvertida em potencial no item (b). (c) A viscosidade do líquido dissiparia parte da energia mecânica do sistema, enquanto que a turbulência ocasionaria perda de pressão. Em ambos os casos, o resultado prático seria a diminuição da velocidade de saída do fluido em (a) e da altura em (b). 16. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício em sua parede, à profundidade h abaixo da superfície da água (Fig. 31). (a) Mostre que a distância x da base da parede até onde o jato atinge o solo é dado por x = [h(h h)] 1/. (b) Poderia ser perfurado um orifício a outra profundidade, de modo que este segundo jato tivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a que profundidade? (c) Determinar a que profundidade h deveria ser feito um pequeno orifício para que a água que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base. Qual é esta distância máxima? Considere o seguinte esquema da situação: 1 h H v (Pág. 94) x Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos x 18

19 Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e : 1 1 p1+ ρ g1+ ρv1 = p + ρg + ρ v 1 1 p0 + ρ g1+ ρ0 = p0 + ρg + ρ v 1 ρ g( 1 ) = ρv Como 1 = h, temos: v = gh (1) Na coordenada x, o jato de fluido possui velocidade constante: x = x0 + vxt x = 0 + vt () Substituindo-se (1) em (): x = t gh (3) Na coordenada, o jato de fluido possui movimento com aceleração constante: 1 0 = v0t+ at = 0t gt ( H h) = 1 gt ( ) H h t = (4) g Na Eq. (4), t é o tempo que o jato de fluido leva para atingir o solo. Substituindo-se (4) em (3): x = ( ) H h gh g x = H h h (5) (b) Sim. Veja o esquema a seguir. H 1 h h x x A outra profundidade (h ) deve produzir o mesmo alcance x. Isto significa que na expressão: Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 19

20 ' ' x = H h h = H h h ' ' ( ) = ( ) ' ' h Hh ( Hh h ) H h h H h h + = 0 As raízes desta equação são: Logo: ' h1 ' h = h = H h ' h = H h (c) O alcance máximo é obtido derivando-se (5) em relação a h e igualando-se o resultado a zero (ponto de máximo da função): dx d = ( ( H h) h) = 0 dh dh H h = 0 H h h H h = 0. A água represada por um dique tem 15, m de profundidade. Um cano horizontal de 4,30 cm de diâmetro passa através do dique 6,15 m abaixo da superfície da água, como ilustra a Fig. 34. A extremidade do cano no lado seco do dique está tampada. (a) Calcule a força de atrito entre a parede do cano e a tampa. (b) A tampa é removida. Qual o volume de água que escoa pelo cano em 3 horas? Considere o seguinte esquema da situação: (Pág. 94) Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 0

21 1 0 h F 3 d/ fat (a) Para que a rolha permaneça em equilíbrio estático na horizontal (coordenada x), a força devido à pressão hidrostática, exercida da esquerda para a direita, deve ter o mesmo módulo da força de atrito estático entre a rolha e a represa, exercida da direita para a esquerda. Logo: d fat F pa ( ρgh) = = = π f at 3 πρ ghd π 998 kg/m 9,81 m/s 6,15 m 0,043 m = = = 87,438 N 4 4 f 87 N at (b) Considere agora o seguinte esquema para a nova situação: 1 0 h 3 d/ v3 Para determinar o volume escoado é preciso calcular a vazão, que por sua vez depende do cálculo da velocidade de escoamento (v 3 ). Este é feito por meio da aplicação da equação de Bernoulli aos pontos 1 e 3: 1 1 p1+ ρ g1+ ρv1 = p3 + ρg3 + ρ v p0 + ρ g1+ ρ0 = p0 + ρg3 + ρ v 3 1 ρ g( 1 3) = ρv 3 Como 1 3 = h, temos: v = gh 3 A vazão no ponto 3 (V z ) vale: V z d 3 3 π V = Δ = Av = Δt gh Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 1

22 π d Δ V = gh Δt 4 0,043 m s Δ V = π ( 9,81 m/s )( 6,15 m) 3 h = 17, 810 m 4 h ΔV 170 m Um sifão é um dispositivo para remover líquidos de um recipiente que não pode ser tombado. Ele funciona como mostra a Fig. 35. O tubo deve ser inicialmente cheio, mas tão logo isso tenha sido feito, o líquido escoará até que seu nível paire abaixo da abertura do tubo em A. O líquido tem densidade ρ e viscosidade desprezível. (a) Com que velocidade o líquido sai do tubo em C? (b) Qual é a pressão no líquido no ponto máximo B? (c) Qual é a maior altura possível h 1, a que um sifão pode fazer subir a água? 0 (a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e C, teremos: 1 1 ps + ρ gs + ρvs = pc + ρgc + ρ v C Como v S << v C, é razoável desprezar o termo que envolve v S. Logo: 1 p + ρ g( d + h ) + 0 p + 0+ ρvc 0 0 (Pág. 95) v g d + h C (b) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos B e C, teremos: 1 1 pb + ρ gb + ρvb = pc + ρgc + ρ v C Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos

23 1 1 pb + ρ g( d + h1+ h) + ρvb = p ρ v C (1) De acordo com a equação de continuidade, temos: Av = Av B B C C Como A B B = AC, isto implica em v BB B p + ρg d + h + h = p 1 0 p = p ρg d + h + h B 0 1 = v C. Aplicando-se este raciocínio em (1), teremos: (c) Uma das condições que limitam a altura h 1 é a velocidade com que o líquido passa pelo ponto B. Quanto maior for h 1, menor será v B. B O maior valor que h1 pode ter é quando v BB = 0. Logo, aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e B, teremos: 1 1 ps + ρ gs + ρvs = pb + ρgb + ρv B ρ p + ρg d + h + 0= p + g d + h + h B 1 p = p + ρ gh () 0 B Na Eq. (), a soma p B B + ρgh 1 1 deve ter o valor constante p 0 (pressão atmosférica). Quanto maior for que a soma continue dando p 0. O limite dessa situação ocorre quando 1 = h 1max. Portanto: = 0 + ρgh h 1, menor deverá ser p BB para p B B = 0. Neste caso, h p h 0 1max 5 ( 1,01 10 Pa) ( 998 kg/m )( 9,81 m/s ) p = = = 10,316 m ρg 0 1max 3 h 10,3 m 1max 5. Um tubo oco está colado, em uma das extremidades, a um disco DD (Fig. 37). O conjunto é colocado um pouco acima de um outro disco CC de papelão. Soprando-se pelo tubo, o disco CC é atraído para DD. Seja A a área do papelão e v a velocidade média do ar entre CC e DD. Determinar a força dirigida para cima que atua no papelão, cujo peso deve ser desprezado. Suponha que v 0 << v, onde v 0 é a velocidade do ar no interior do tubo. Considere o seguinte esquema da situação: (Pág. 95) Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 3

24 1 -v p p0 Fres A força resultante sobre o papelão vale: res res F = p A= p p A 0 v Para calcular p B, B aplicamos a equação de Bernoulli aos pontos 1 e : 1 1 p1+ ρ g1+ ρv1 = p + ρg + ρ v Como p 1 = p 0, ρg 1 ρg (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível) e v 0 << v, teremos: 1 p0 = p+ ρv 1 p0 p = ρv () Substituindo-se () em (1): Fres 1 = ρ va (1) 7. O ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é A, com velocidade v s, e sob a parte inferior da asa com velocidade v i. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de sustentação S orientada para cima sobre a asa será 1 S = ρ A v v ( s i ) onde ρ é a densidade do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à superfície inferior. Você pode justificar o fato de termos considerado as constantes para as duas linhas de corrente iguais?) (Pág. 96) Considere o seguinte esquema da situação: Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 4

25 B S vs A vi A força de sustentação (S) é a força resultante da diferença de pressão do ar imediatamente acima e abaixo da asa (p i > p s ). ( F = S = p p )A res i s O termo p i p s é pode ser calculado por meio da aplicação da equação de Bernoulli às linhas de corrente do ar bem próximas à asa, nas partes superior e inferior: 1 1 ps + ρ gs + ρvs = pi + ρgi + ρ v i Como ρg s ρg i (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível), teremos: 1 p ( i ps ρ vs vi ) () Substituindo-se () em (1): 1 S ρ A v v ( s i ) A equação de Bernoulli somente tem validade quando aplicada a pontos sobre a mesma linha de corrente. Para que ela possa ser plicada a pontos que estejam em linhas de corrente diferentes, o escoamento além de ser estacionário, incompressível e não-viscoso, deverá ser irrotacional. Para que seja irrotacional e homogêneo, as linhas de corrente do escoamento devem ser paralelas e igualmente espaçadas, como no esquema abaixo: (1) No caso das linhas de corrente que fluem ao longo da asa do avião, essa condição não é satisfeita. Pode-se obter boa aproximação ao tomarmos pontos sobre linhas de corrente próximas à asa, acima e abaixo da mesma, como os pontos A e B do esquema inicial. 31. Considere o medidor de Venturi da Fig. 9. Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e, e a equação de continuidade (Eq. 3), verifique a Eq. 11 para a velocidade do escoamento no ponto 1. Av = Av Eq v= a ρ ' ρ gh ( A a ) Eq. 11 Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 5

26 Aplicando-se a equação de continuidade aos pontos 1 e, teremos: Av v = Av 1 1 A v (Pág. 96) 1 1 = (1) A Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e, teremos: 1 1 p1+ ρ g1+ ρv1 = p + ρg + ρ v Como os pontos 1 e estão no mesmo nível em relação ao solo horizontal, temos 1 =. Logo: 1 1 p1 p = ρv ρv 1 Mas, p 1 p = ρ gh, em que ρ é a densidade do líquido no tubo curvo. Logo: ' 1 ρ gh = ρ( v v 1 ) v 1 ' ρ gh v = () ρ Substituindo-se (1) em (): Av 1 1 v1 = A ' ρ gh 1 A1 A ρ A v v ' ρ = = A ' ρ gh gh ρ ( A1 A ) 1 ρ Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 18 Dinâmica dos Fluidos 6

27 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 003. FÍSICA CAPÍTULO 15 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS EXERCÍCIOS PROBLEMAS Resnick, Hallida, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 15 Estática dos Fluidos 7

28 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 003. FÍSICA CAPÍTULO 16 - DINÂMICA DOS FLUIDOS EXERCÍCIOS PROBLEMAS (a) Considere um fluido de massa específica ρ que escoa com velocidade v 1 e passa abruptamente de uma tubulação cilíndrica com área de seção transversal a 1, para outra tubulação cilíndrica mais larga, cuja área de seção transversal é a (veja a Fig. 36). O jato de líquido que emerge da tubulação estreita mistura-se com o que se encontra na tubulação mais larga, depois ele escoa quase uniformemente com velocidade média v. Sem se preocupar com os detalhes de menor importância relacionados à mistura, utilize o conceito de momento linear para mostrar que o aumento de pressão devido à mistura é aproximadamente igual a p p = ρv v v. 1 1 (b) Mostre, partindo-se da equação de Bernoulli, que em uma tubulação cuja seção transversal aumente gradativamente, esta diferença de pressão pode ser expressa por 1 p p1 = ρ ( v1 v). (c) Determine a perda de pressão devida ao alargamento brusco da tubulação. Você seria capaz de fazer uma analogia com os choques elásticos e inelásticos entre partículas, estudados na mecânica? (Pág. 96) Resnick, Hallida, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 16 Dinâmica dos Fluidos 8

29 (a) Vamos considerar uma porção do fluido de massa m que ocupe a região de turbulência durante um intervalo de tempo δt. Uma vez que a pressão deve ser contínua, esperamos que no ponto A, imediatamente após o estreitamento e no limite esquerdo de m, a pressão seja p 1 e no ponto B, imediatamente após a região de turbulência e no limite direito de m, seja p. Veja o esquema a seguir. δm a1 v1, p1 v, p A B a z x A força horizontal resultante F sobre a porção de massa m é dada por: F = p a i p a i 1 F= p p a i 1 Como o escoamento é estacionário antes e após a região de turbulência (antes do ponto A e após o ponto B), o momento linear de m antes de ocupar a região de turbulência é: p = mv i 1 1 E após ocupar a região de turbulência é: p = mv i A variação do momento linear Δp sofrida por m é igual ao impulso recebido pela força resultante devido à variação de pressão quando esta ocupa a região de turbulência. Sendo δt o intervalo de tempo que m permanece na região de turbulência, temos: Δ p= p p = F 1 δt mv i mv i= p p a i δt m p p = v v ) (1) 1 1 a δt ( Como a vazão mássica é a mesma antes e após a turbulência, temos: m ρav 1 1 ρav δ t = = () Substituindo-se () em (1): 1 p p = 1 av( v1 v) a ρ p p = ρv v v 1 1 Note que se tivéssemos substituído () em (1) da forma seguinte: 1 p p = 1 av 1 1( v1 v a ρ ) (3) Da equação de continuidade temos: av = av 1 1 Substituindo-se (4) em (3): Resnick, Hallida, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 16 Dinâmica dos Fluidos (4) 9

30 1 p p = a v v v a ρ 1 1 p p = ρv v v 1 1 (b) No caso de o fluxo ser estacionário ao longo de toda a tubulação, podemos aplicar a equação de Bernoulli: 1 1 p1+ ρ g1+ ρv1 = p + ρg + ρ v Desprezando-se a variação de nível na tubulação ( 1 = ): 1 1 p1+ ρv1 = p + ρv 1 p p1 = ρ ( v1 v) (c) A perda de pressão Δp corresponde à diferença das respostas obtidas nos itens (b) e (a): 1 Δ p = ρ( v1 v) ρv( v1 v ) Δ p= ρ ( v1 v) v( v1 v) ρ( v1 v vv 1 v) ρ( v1 vv 1 v) = + = + 1 Δ p = ρ ( v ) 1 v Resnick, Hallida, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 16 Dinâmica dos Fluidos 30