Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo. Hidrostática

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1 Hidrostática 01. Introdução De maneira simples, pode-se dizer que um fluido adquire o formato do recipiente que o contém. São considerados fluidos os líquidos e os gases. Dessa maneira estudaremos as propriedades dos líquidos em equilíbrio estático, embora tais propriedades possam ser estendidas aos fluidos em geral. 02. Massa Específica de uma Substância ( µ ) É a razão entre a massa de uma quantidade da substância e o correspondente volume ocupado por essa substância: m µ = Unidades: Kg/m 3 (S.I.) ou g/cm 3 (C.G.S.) v Relação entre Kg/m 3 (S.I.) g/cm 3 (C.G.S.): a) de Kg/m 3 para g/cm 3 basta dividir por b) de g/cm 3 para Kg/m 3 basta multiplicar por g 1 = 3 cm 3 10 Kg = = m 3 Kg / m Densidade de um Corpo É a razão entre a massa do corpo (porção limitada de matéria) e o correspondente volume que ele ocupa: m d = v 04. Pressão (P) Conceito que relaciona a força aplicada sobre uma superfície com a área dessa superfície. Assim, a pressão de uma força sobre uma superfície é a razão entre a componente normal da força e a área da superfície na qual ela atua: 1

2 P = F A No S.I., a unidade de pressão é N/m 2, também conhecida como pascal (Pa). 05. Pressão Atmosférica A atmosfera, composta de vários gases, exerce pressão sobre a superfície da Terra denominada de Pressão Atmosférica. Ao nível do mar a pressão atmosférica é dita normal e vale: 1 atm = 1,01 x 10 5 N/m 2 = 1,01 x 10 5 N/m 2 (Pa) 06. Pressão Hidrostática (P H ) É a pressão exercida pelo peso de uma coluna fluida em equilíbrio. Considere um cilindro com um líquido até a altura h e um ponto B marcado no fundo de área A. O líquido exerce uma pressão no ponto B, dada por: P P P P H H H H P líquido =, como Plíquido = m. g, teremos : Área m.g m =, como d = m = d.v, teremos : A v d.v.g =, como V = A. h (volume do cilindro), termos : A d.a.h.g = A P H = d. g. h Unidade no S.I: N/m 2 = Kg/m 3. m/s 2. m Observação: A pressão hidrostática depende da densidade do fluido (d), da altura do fluido acima do ponto considerado (h) e do lugar da experiência (g), independendo do formato e do tamanho do recipiente. 2

3 07. Pressão Absoluta (ou Total) No fundo do recipiente, a pressão total leva em conta a pressão atmosférica: P absoluta = P atmosférica + P hidrostática Exemplos: 01. (FAAP SP) Calcular, em N/m 2, a pressão que exerce uma determinada quantidade de petróleo sobre o fundo de um poço, se a altura do petróleo no poço for igual a 10m e a sua densidade 800kg/m 3. Dado: g = 10m/s 2 Solução: d = 800kg/m 3 h = 10m g = 10m/s 2 A pressão pedida é hidrostática será: P = d. h. g P = P = N/m No interior do Brasil, é comum a prática da pesca do bodó com as mãos. Se um pescador mergulhar a 10m de profundidade, em relação à superfície de um lago, para capturar alguns desses peixes, qual será a pressão a que ele estará submetido? Dados: Patm = 10 5 N/m 2 (pressão atmosférica local); d água = 10 3 kg/m 3. Solução: Deseja-se calcular a pressão total (ou absoluta) sobre o mergulhador: Pabsoluta = Patmosférica + Phidrostática Pabsoluta = Pabsoluta = N/m 2 3

4 08. Lei de Steven As pressões em A e B são: P A = P atmosférica + d.g.h A P B = P atmosférica + d.g.h B Então, a diferença de pressão ( p) entre A e B é: P A P A = d. g. (h A h B ) ou p = d. g. h Conclusão: dois pontos na mesma horizontal dentro de um fluido em equilíbrio estão submetidos à mesma pressão. Uma das grandes aplicações da Lei de Steven encontra-se em Vasos Comunicantes, conforme será visto no exemplo abaixo. Exemplo: No tubo em U da figura, tem-se água e óleo em equilíbrio. Sendo h A = 10cm a altura da água, determine a altura h B do óleo, sendo dados: d A = 1,0g/cm 3 (densidade da água); d B = 0,8g/cm 3 (densidade do óleo). 4

5 Solução: Na horizontal que passa pela superfície de separação dos líquidos, a pressão hidrostática é a mesma: P 1 = P 2 d B. h B. g = d A. h B. g d B. h B = d A. h A 0,8. h B = 1,0. 10 h B = 12,5 cm 09. Princípio de Pascal O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido. Dois recipientes ligados pela base são preenchidos por um líquido (geralmente óleo) em equilíbrio. Sobre a superfície livre do líquido são colocados êmbolos de áreas S 1 e S 2. Ao aplicar uma força F 1 ao êmbolo de área menor, o êmbolo maior ficará sujeito a uma força F 2, em razão da transmissão do acréscimo de pressão p. Segundo o Princípio de Pascal: p 1 = p 2 F 1 = S 1 F A 2 2 5

6 Importante: o Princípio de Pascal é largamente utilizado na construção de dispositivos ampliadores de força (macaco hidráulico), prensa hidráulica, direção hidráulica, etc. 10. Empuxo (Teorema de Arquimedes) - Equilíbrio de Corpos Imersos e Flutuantes Você sabe que um corpo qualquer, colocado num líquido, nem sempre afunda. Uma pedra de gelo flutua na superfície de um refrigerante, e um barco flutua, num lago, num rio ou num oceano. Por que acontece isto? A explicação é dada pelo Teorema de Arquimedes. Este princípio mostra que, quando se introduz um corpo num líquido, a parte do corpo que penetra no seio do líquido desloca uma certa quantidade de líquido, e que aparece uma força vertical dirigida de baixo para cima, que tende a fazer com que o corpo flutue. A essa força denominamos de Empuxo. a) e ele permanece parado no ponto em que foi colocado, a intensidade do empuxo é igual à intensidade da força peso (E = P). b) se ele afunda, a intensidade do empuxo é menor do que a intensidade da força peso (E < P). c) se ele é levado para a superfície, a intensidade do empuxo é maior do que a intensidade da força peso (E > P) durante a subida. Na experiência ilustrada na figura abaixo, quando o corpo (sem porosidades) é introduzido na jarra preenchida com água até o nível do seu bico, certo volume do líquido extravasa, sendo recolhido no pequeno recipiente lateral. 6

7 O volume de água extravasado é exatamente igual ao volume do corpo, e a intensidade do empuxo recebido por ele é igual à do peso do líquido deslocado. E = P E = m E = d líquido deslocado líquido líquido.v deslocado líquido.g deslocado Como o volume do líquido deslocado é igual ao volume imerso do corpo teremos: 10. Peso Real e Peso Aparente E = d líquido.v.g imerso do corpo. g Unidade: N = Kg. m 3. m/s 2 Suponha que um bloco cúbico, maciço, de alumínio, imerso no ar, seja pendurado em um dinamômetro (medidor de forças) que indica um valor P para o peso do bloco. Em seguida, o bloco é imerso em água, e uma nova leitura é feita. Seja Pa a indicação do dinamômetro para o peso do bloco na nova situação. O valor P é o peso real. O valor Pa é o peso aparente. Assim: P > Pa A diferença entre o peso real e o peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo líquido: E = Preal - Paparente E = P - Pa 7

8 Importante: quando um corpo flutua em um líquido, o seu peso aparente é nulo: Pa = P E E = P Pa = 0 Exercícios (Hidrostática - Corpos Imersos e Flutuantes) 01. (Fuvest - SP) Iceberg são blocos de gelo flutuantes que se desprendem das geleiras polares. Se apenas 10% do volume de um iceberg fica acima da superfície do mar, e se a massa específica da água do mar vale 1,03 g/cm 3, podemos afirmar que a massa específica do gelo do iceberg, em g/cm 3, vale, aproximadamente: A) 0,10 B) 0,90 C) 0,93 D) 0,97 E) 1, (PUC - SP) Um corpo M, de volume 50 cm 3 e densidade 8,0 g/cm 3, está totalmente submerso num líquido de densidade 1,3 g/cm 3, num local onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s 2. O empuxo exercido pelo líquido em M é, em newtons, igual a: A) 6,5 x 10-1 B) 3,4 x 10-1 C) 1,04 x 10-1 D) 3,4 x 10-2 E) 1,04 x (Vunesp - SP) Uma pequena bola de borracha está presa por um fio leve no fundo de um recipiente com água, como mostra a figura. Se o volume da bola submersa for 5,0 x 10-4 m 3 e sua massa, 1,0 x 10-1 Kg, qual será a tração no fio? ( Considere g = 10 m/s 2 e massa específica da água = 10 3 Kg/m 3 ). A) 1 N B) 2 N C) 3 N D) 4 N E) 5 N 04. (FEI - SP) Um cilindro maciço e homogêneo, cuja massa específica é de 0,8 g/cm 3, flutua na água (d = 1 g/cm 3 ) com 10 cm de sua altura acima da superfície da água. A altura do cilindro, em centímetros, é igual a: A) 25 B) 50 C) 125 D) 40 E) 100 8

9 05. (PUCC - SP) Duas esferas, P e Q, de mesmo volume, estão presas a duas molas iguais e fixas no interior de um mesmo líquido, como mostra o esquema a seguir. A constante elástica das molas vale 50 N/m. No equilíbrio da mola sob a esfera P fica comprimida em 10 cm, enquanto a mola sob a esfera Q fica distentida em 10 cm. Nessas condições, julgue os ítens a seguir em verdadeiros ou falso, em relação às duas esferas: V F - os pesos das duas são iguais aos respectivos empuxos. V F - o empuxo sobre P é maior que sobre Q. V F - o empuxo sobre Q é maior que sobre P. V F - o peso de P é o dobro do peso de Q. V F - o peso de P é 10 N maior que o peso de Q. 06. (FEI - SP) Um grupo de náufragos está em uma ilha. Nela, eles acham um tambor vazio, de 10 Kg de massa com 40 cm de diâmetro e 80 cm de altura. Decidem, então, por sorteio, que um determinado náufrago usará o tambor como balsa para ir em busca de socorro. Sabe-se que, com o peso do náufrago, metade do tambor fica submerso (como mostra afigura). Sendo a densidade da água 1 g/cm 3, π = 3,14, g = 10 m/s 2, massa do náufrago sobre o tambor é: A) 34,48 Kg B) 38,88 Kg C) 40,24 Kg D) 47,84 Kg E) 50,24 Kg 07. (Unifor - CE) No ar, o peso de um corpo maciço, de densidade 7,8 g/cm 3, é obtido por um dinamômetro, que indica 3,9 N. Mergulhando-se o corpo totalmente num liquido, a indicação do dinamômetro é de 3,0 N. Adotando g = 10 m/s 2, a densidade do líquido, em g/cm 3, é de: A) 2,4 B) 1,8 C) 1,2 D) 0,9 E) 0,5 9

10 08. (FGV - SP) Uma pessoa de densidade 1,1 g/cm 3, quando totalmente submersa nas águas de uma piscina, fica sujeita a um empuxo de 600 N. Sendo a densidade da água da piscina 1,0 g/cm 3, responda: A) Qual é a massa dessa pessoa? B) Apoiada numa bóia de 12 L de volume e massa 200 g, ela conseguirá manter-se na superfície da água? Explique. 09. (FEI - SP / Modificada pelo CPO) Um garoto, em pé dentro de um barco, abandona um objeto de densidade 2,00 g/cm 3, de uma altura de 1,25 m acima do nível das águas de um lago, cuja profundidade, nesse local, é de 14,40 m. Julgue os ítens abaixo em verdadeiros ou falsos: Adotar: g = 10 m/s 2 e densidade da água = 1,0 g/cm 3. V F - dentro da água a velocidade do objeto é constante e vale 5 m/s. V F - o tempo gasto pelo objeto para atingir a superfície da água é 0,5 s. V F - o tempo gasto para atingir o fundo do lago é 1,3 s. V F - a velocidade do corpo ao atingir o fundo do lago é 13 m/s. V F - ao atingir a superfície do lago o objeto afunda 5 m e volta à superfície no qual passa a flutuar. 10. (CPO) Um barco de massa igual a 200 Kg está flutuando na água. Espalham-se moedas de 10 g no fundo do barco, até que o volume da parte imersa passe a ser de 0,25 m 3. Sabe-se que o barco continua flutuando. Julgue os ítens abaixo em verdadeiros oo falsos: Adotar: g = 10 m/s 2 e densidade da água = 1,0 g/cm 3. V F - o empuxo exercido sobre o barco vale 2 x 10 3 N. V F - o peso das moedas é de 5 x V F - o número de moedas espalhadas é de 5 x V F - se o volume de cada moeda é de 4 cm 3 a densidade da moeda é 2,5 g/cm 3. V F - o empuxo é igual ao volume imerso do barco. 11. (UF) Um cubo de madeira, maciço, possui 10 cm de aresta e massa de 800 g. Ele é colocado num recipiente contendo água, de densidade absoluta 1,0 g/cm 3, num local onde g = 10 m/s 2. Analise as afirmações que são feitas sobre esse evento. V F - a densidade absoluta da madeira vale 8,0 x 10 2 Kg/m 3. V F - o cubo de madeira afunda totalmente na água. V F - o empuxo exercido pela água sobre o cubo tem densidade de 8,0 N. 10

11 V F - a densidade da madeira em relação à da água é 8,0. V F - a densidade da água em unidades do Sistema Internacional é 1,0 x 10 2 Kg/m (CPO) Um bloco de dimensões 10m x 4m x 2m e densidade 0,2 g/cm 3, flutua no água de um rio, servindo como ponte. Quando um caminhão passa por ele, o volume da parte submersa é 25% do volume do bloco. Analise as afirmações que são feitas sobre esse evento. V F - a massa do bloco vale 16 x 10 3 Kg. V F - o volume submerso do bloco vale 40 m 3. V F - o empuxo exercido sobre o bloco vale 4 x 10 5 N. V F - a massa do caminhão vale 4 x 10 3 Kg. V F - o empuxo é exercido apenas no bloco. 13. (CPO) Um cubo de 2 cm de aresta e 6,4 g de massa está flutuando na água, cuja densidade é 1,0 g/cm 3. Julgue os itens abaixo em verdadeiros ou falsos. V F - a densidade do cubo é 3,2 g/cm 3. V F - a altura imersa do cubo é de 0,4 cm. V F - o volume submerso do cubo é 80% do volume total do corpo. V F - o empuxo exercido pela água é de 3,2 x 10-2 N. V F - a massa do corpo a ser colocado na face superior do cubo para que o mesmo fique aflorando a superfície da água é 1,6 g. 14. (CPO) Duas esferas A e B ligadas por um fio inextensível, massa e volume desprezíveis encontram-se em equilíbrio, imerso na água (d = 1,0 g/cm 3 ) contida num recipiente, conforme figura. A esfera A possui volume 20 cm 3 e densidade igual a 5,0 g/cm 3. A esfera B possui massa de 120 g e densidade igual a 0,60 g/cm 3. Analise as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas: V F - o peso da esfera A vale 1 N. 11

12 V F - o volume da esfera B vale 20 cm 3. V F - o empuxo sobre a esfera A vale 0,2 N. V F - o empuxo sobre a esfera B vale 2 N. V F - a tração que liga as esferas vele 0,8 N. 15. (CPO) Um objeto de chumbo (d = 8 g/cm 3 ), cujo volume é de 10 cm 3 está totalmente mergulhado na água (d = 1 g/cm 3 ). Analise as afirmações abaixo: V F - a massa do objeto é 80 g. V F - o empuxo exercido sobre o objeto é 10-2 N. V F - o peso aparente do objeto é 0,7 N. V F - o objeto fica em equilíbrio no interior da água. V F - o peso aparente do objeto dentro d água é a metade do peso do objeto fora d água. 16. (CPO) Um cubo de 2 cm de aresta e 6,4 g de massa está em equilíbrio, flutuando na água (d = 1 g/cm 3 ). V F - a densidade do cubo é 3,2 g/cm 3. V F - a altura submersa do cubo é 0,4 cm. V F - o volume submerso do cubo é 80% do volume total do corpo. V F - o empuxo exercido pela água é 3,2 x 10-2 N. V F - a massa de um corpo a ser colocado na face superior do cubo, a fim de que o cubo fique totalmente submerso é 1,6 g. 17. (CP ) Um tanque de 3,0 m de profundidade está completamente cheio de água cuja densidade é 1,0 x 10 3 Kg/m 3. Larga-se na superfície da água um corpo de massa 5 Kg e densidade 2,5 x 10 3 Kg/m 3. Adotar g = 10 m/s 2. V F - o volume do corpo vale 2,0 x 10-3 m 3. V F - o empuxo exercido pela água quando o corpo se encontra a 2 m de profundidade vale 2 N. V F - a aceleração de queda do corpo é de 6 m/s 2. V F - o tempo gasto para atingir o fundo do recipiente é de 1 s. V F - a velocidade ao atingir o fundo do recipiente é de 6 m/s. 18. (CPO) Um cubo de madeira com 10 cm de aresta está imerso num recipiente que contém óleo e água, como indica a figura. A face inferior do cubo está situada 2,0 cm abaixo da superfície de separação entre os líquidos. Sendo a densidade do óleo igual a 0,60 g/cm 3 e a da água 1,0 g/cm 3. Analise as afirmações: V F - o volume imerso do corpo é de 800 cm 3. V F - o empuxo exercido pela água vale 1,6 N. 12

13 V F - o empuxo exercido pelo óleo vale 2 N. V F - a massa do cubo vale 680 g. V F - a densidade do cubo é 0,68 g/cm (CPO) Três frascos contendo, gasolina (0,70 g/cm 3 ), álcool (0,80 g/cm 3 ) e água (1,0 g/cm 3 ) é abandonado um sólido de massa igual a 320 g e volume 400 cm 3. Analise as afirmações abaixo: V F - a densidade do sólido é igual a 0,9 g/cm 3. V F - o sólido afundará com aceleração constante na gasolina. V F - o sólido afundará com velocidade constante no álcool. V F - o sólido flutua na água com 20% do seu volume submerso. V F - o empuxo sofrido pelo sólido na água é igual a 3,2 N. 20. (CPO) Três corpos, de mesmas dimensões, estão em equilíbrio mecânico na água cuja densidade é 1,0 g/cm 3, como está representado na figura. Se o peso do corpo III vale 60 N, e a aceleração da gravidade vale 10 m/s 2. Analise as afirmações abaixo: V F - o módulo do empuxo sobre o corpo III vale 60 N. V F - o peso do corpo I vale 30 N. V F - o peso do corpo II vale 40 N. V F - o módulo do empuxo sobre o corpo I é menor que seu peso. V F - o módulo do empuxo sobre o corpo III é o dobro do módulo do empuxo sobre o corpo I. Gabarito 01. C 02. A 03. D 04. B 05. F F F F V 06. C 13

14 07. B 08. A) 66 Kg B) Não, ele afundará. 09. F V F V F 10. F V V V F 11. V F V F F 12. V F F V V 13. F F V F V 14. V F V V V 15. V F V F F 16. F F V F V 17. V F V V V 18. V F F V V 19. F F V F V 20. V V V F V 14