Métodos Variacionais, Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser e Aplicações

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1 Universidade Federal de Sergipe Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Métodos Variacionais, Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser e plicações Izabela ndrade dos Santos São Cristóvão SE Fevereiro de 017

2 Universidade Federal de Sergipe Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Métodos Variacionais, Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser e plicações por Izabela ndrade dos Santos sob a orientação do Prof. Dr. Wilberclay Gonçalves Melo São Cristóvão SE Fevereiro de 017

3 Catalogação na publicação Universidade Federal de Sergipe Biblioteca da UFS XXXX plicações dos Santos, Izabela ndrade. Métodos Variacionais, Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser e xxxxxxxxxxxxxxxx / xxxx xxx xx xxxxx xxxxxxxxxx. Orientador: Wilberclay Gonçalves Melo xxxxx. xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx. BC/UFS CDU: xxxx(xxx)

4 Métodos Variacionais, Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser e plicações por Izabela ndrade dos Santos 1 Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós Graduação em Matemática da Universidade Federal de Sergipe como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: nálise/equações Diferenciais Parciais provada em 16 de Fevereiro de 017. Banca Examinadora: Prof. Dr. Wilberclay Gonçalves Melo UFS (Orientador) Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo (Examinador Externo) Prof a. Dr a. Crislene Santos da Paixão (Examinadora Externa) 1 autora foi bolsista da CPES durante a elaboração desta dissertação.

5 os meus pais

6 gradecimentos realização desta dissertação foi possível graças à participação e apoio de pessoas especiais. E com gratidão, expresso os meus sinceros agradecimentos: DEUS, o qual me deu o Dom da vida e pelo seu infinito amor. gradeço por todas as vezes que a minha fé foi renovada e pela força que me deste para concluir esse trabalho. E à Virgem MRI, por passar à frente das minhas aflições, me amparando no seu colo de mãe. minha Família, meus pais Lourdes e Liberato, pela oportunidade que me deram de estudar. Serei eternamente grata pelo amor de vocês. gradeço ainda aos meus irmãos, cunhados e Primo (nderson), pelo carinho, atenção e cuidado. Sei o quanto torceram por mim. E meus sobrinhos lindos, que amo tanto. Em especial a Rafael (meu bebê, minha mangabinha, meu homem aranha), por alegrar os meus dias com sua inocência e sabedoria de gente grande. o meu esposo, Diego, pelo carinho e compreensão. os meus eternos amigos da infância e do grupo de Oração Ruah Iavé, pelo carinho e por compreender a minha ausência em algumas convivências durante esse processo. Em especial, a minha amiga/irmã ndreza, sou grata a Deus por nossa amizade. o meu orientador, Wilberclay, pela orientação, paciência e disponibilidade durante todo o período de Mestrado e pela amizade. gradeço por contribuir na minha formação acadêmica. os professores Paulo Rabelo e Ivanete, por serem profissionais e pessoas incríveis que me ensinaram, incentivaram desde a graduação e permaneceram comigo até aqui. E a todos os professores que contribuíram, direta ou indiretamente, com o meu aprendizado. os meus colegas de turma, em especial Danilo, Diego, Jonisson e Rafael, pela amizade que foi construída durante o mestrado e por todos os conhecimentos partilhados. gradeço também aos colegas que conheci na graduação e que também me ajudaram quando ingressei no mestrado lan Gois, Suelen, Taynara, Natã, Geivison e Franciele. o secretário da Pós-Graduação Igor, por ser um excelente profissional. CPES, pelo apoio financeiro, importante durante esses períodos de especialização. os professores Uberlandio Batista Severo e Crislene Santos da Paixão, por aceitarem participar da Banca Examinadora.

7 Resumo Neste trabalho, estamos interessados em apresentar alguns Métodos Variacionais, juntamente com aplicações que determinam existência e não unicidade de soluções fracas para a Equação Diferencial Parcial Elíptica não linear div (K(x) u) = K(x)f(u) + h, x R, onde K é um peso exponencial, h é um funcional linear e f é a não linearidade que apresenta crescimento exponencial crítico. Em um primeiro momento, para uma maior comodidade do leitor, estabelecemos provas detalhadas de alguns resultados clássicos da teoria que contém esses métodos como, por exemplo, os Teoremas da Deformação e do Passo da Montanha; e o Princípio Variacional de Ekeland. Em seguida, trabalhamos com uma Desigualdade do tipo Trudinger-Moser em um Espaço de Sobolev com peso K com o objetivo de alcançarmos nossa meta. Palavras-chave: Método Variacional; Desigualdade de Trudinger-Moser; Soluções Fracas.

8 bstract In this work, we are interested in establishing some variational methods, together with applications, that determine the existence and non uniqueness of weak solutions for the nonlinear elliptic partial differential equation div (K(x) u) = K(x)f(u) + h, x R, where K is an exponential weight, h is a linear functional and f is the nonlinearity that presents critical exponential growth. First of all, for the sake of convenience of the reader, this study shows detailed proofs of some classic results of the theory that involves these methods as, for example, the deformation and mountain pass theorems; and Ekeland s variational principle. Second of all, we work with a Trudinger-Moser inequality that is related to a Sobolev space with weight K in order to achieve our aim. Keywords: Variational methods; Trudinger-Moser inequality; weak solutions.

9 Sumário Lista de Notações 1 Introdução 4 1 Definições e Resultados Básicos 10 lguns Métodos Variacionais 13.1 Teorema da Deformação Teorema do Passo da Montanha Princípio Variacional de Ekeland Desigualdade de Trudinger-Moser e plicações Desigualdade de Trudinger-Moser em Espaços de Sobolev com Peso Existência de Solução Fraca para o Problema (3.1) Não Unicidade para Soluções Fracas do Problema (3.1) Compacidade Local Estimativa do Tipo Minimax Referências Bibliográficas 103 i

10 Lista de Notações Permita-nos apresentar uma lista com os significados das notações mais importantes utilizadas neste trabalho. representa a norma do espaço discutido no capítulo correspondente. Em alguns momentos, também diz respeito à norma usual do espaço dual em questão;, denota o produto interno do espaço discutido no capítulo correspondente; B R (u) = {x : x u < R} é a bola aberta de centro u e raio R > 0; B R (u) = {x : x u R} é a bola fechada de centro u e raio R > 0; B R (u) = {x : x u = R} é a esfera de centro u e raio R > 0; significa convergência fraca; denota a convergência forte; é medida de Lebesgue de um conjunto mensurável ; q.t.p. significa quase toda parte; supp (u) = {x : u(x) 0} denota o suporte da função u, onde a barra indica fecho do conjunto em questão; é a derivada parcial em relação a x i ; x i div f = i=1 f i x i representa o divergente da aplicação f, onde f i é a i-ésima componente de f; ( ) = x 1, x corresponde ao gradiente definido em R ; 1

11 = C c i=1 x i é o operador Laplaciano; (Ω) denota o espaço das funções, definidas sobre Ω, infinitamente diferenciáveis com suporte compacto; diz respeito à norma (proveniente do produto escalar, denotado por ) Euclidiana ou ao módulo de um número real; X é o dual do espaço X; L p K (Ω) = {u : Ω R mensurável : K(x) u(x) p dx < } denota o espaço de Lebesgue Ω ( ) 1 com peso K, munido da norma u L p K (Ω) = K(x) u(x) p p dx, onde 1 p <. p,k Ω representa L p K ); (R L p (Ω) denota o espaço de Lebesgue {u : Ω R mensurável : u(x) p dx < }, com Ω ( ) 1 1 p <, munido da norma u L p (Ω) = u(x) p p dx ; Ω L (Ω) representa o espaço de Lebesgue {u : Ω R mensurável : u é limitada q.t.p. em Ω}, munido da norma u L (Ω) = supess x Ω { u(x) } := inf{c > 0 : u(x) C q.t.p. em Ω}; W 1,p (Ω) é o espaço de Sobolev {u L p (Ω) : D α u L p (Ω), α 1}, com 1 p, 1 α multi-índice, munido da norma u W 1,p (Ω) = p D α u p L p (Ω), se 1 p < ; e u W 1, (Ω) = supess { D α u L (Ω)}; H 1 (Ω) = W 1, (Ω); α 1 H0 1 1, (Ω) = W0 (Ω) = Cc (Ω), onde o fecho é tomado com respeito à norma H 1 (Ω); L 1 loc (Ω) é contituído de todas as aplicações em L1 (U), onde U Ω é compacto. representa um mergulho contínuo ou compacto; C p ou C(p) respresentam constantes que dependem de p, estas podem ser modificadas linha a linha; ou B\ denotam o complementar do conjunto com relação ao conjunto B;

12 C 1 (X, R) é o conjunto de todas as aplicações reais, definidas sobre X, que possuem derivada de Fréchet contínua. C(, B) denota o conjunto de todas as funções contínuas de em B; Cc,rad (Ω) é o conjunto das aplicações, definidas sobre Ω, reais, radiais, infinitamente diferenciáveis e que possuem suporte compacto; X rad = Cc,rad (R ), onde o fecho é tomado com relação à norma do espaço X; { χ denota a função caracterítica definida sobre o conjunto, isto é, χ (x) = 1, se x ; 0, se x /. 3

13 Introdução Neste trabalho, apresentamos um estudo detalhado que tem como finalidade a garantia de que a Equação Diferencial Parcial Elíptica não linear div (K(x) u) = K(x)f(u) + h, x R, (1) possui pelo menos duas soluções fracas; onde, h é um funcional linear e K(x) = e x 4 (x R ). Para este fim, assumimos que a não linearidade f exibe crescimento exponencial crítico, isto é, f(s) (f 0 ) Existe α 0 > 0 tal que lim = 0, para todo α > α 0 ; s + e αs e é suposta satisfazer as seguintes condições: f(s) (f 1 ) O limite lim = 0 é válido; s 0 s (f ) Existe θ 0 > tal que (f 3 ) Dado θ >, existe R θ > 0 tal que s 0 θ 0 F (s) := θ 0 f(t) dt sf(s), s R; 0 0 < θf (s) sf(s), s R θ ; (f 4 ) Existe β 0 > 0 tal que lim inf s { } f(s)s e α 0s β 0 > 4 { ( )} 1 r min α 0 r>0 r exp 4 + r. 56 Permita-nos esclarecer qual é o caminho percorrido nesta dissertação para que nosso objetivo, citado acima, seja alcançado. Primeiramente, a partir da leitura dos Capítulos e 3, é perceptível 4

14 que todo o trabalho tem seu desenvolvimento solidificado em uma teoria básica de Métodos Variacionais. Sendo assim, precisamos de um espaço normado sobre o qual o funcional, cujos pontos críticos serão as soluções desejadas para (1), esteja bem definido. Tal espaço será denotado por X e representará o fecho de C c (R ) com relação à norma ( ) 1 u := K(x) u(x) dx. R Esse funcional é dado precisamente pela seguinte definição: I(u) := 1 u K(x)F (u(x)) dx h(u), u X. R Salientamos que toda a estrutura necessária para encontrarmos os pontos críticos de I provém do Teorema do Passo da Montanha e do Princípio Variacional de Ekeland. Dessa forma, para a comodidade do leitor, decidimos estabelecer provas detalhadas destes teoremas, a partir de um resultado conhecido como o Teorema da Deformação (o qual também será demonstrado). Relembrando os teoremas, referenciados acima, e a definição do funcional I, notamos que é imprescindível fazermos uso de uma Desigualdade do tipo Trudinger-Moser (ver [15, 0, ] e referências inclusas), e das condições satisfeitas por f, para garantirmos que I verifica as hipóteses do Passo da Montanha e do Princípio de Ekeland. Sendo assim, apresentamos e provamos essa desigualdade, envolvendo o espaço X, a qual está inserida no resultado a seguir. Teorema 0.1. Para todo u X e β > 0 temos que K u (e βu 1) L 1 (R ). lém disso, se u M e βm < 4π, então existe uma constante positiva C = C(M, β) tal que K(x) u(x) (e β[u(x)] 1) dx C. R Gostaríamos de enfatizar que o teorema, enunciado acima, acarreta informações tais como: Teorema 0.. Sejam u X, β > 0, q > 0 tais que u M, com βm < 4π. Então, existe uma constante C = C(β, M, q) > 0 tal que K(x) u(x) +q (e β[u(x)] 1) dx C u q+. R Teorema 0.3. Seja (v n ) X, com v n = 1, e suponha que v n v em X com v < 1. Então, 5

15 para todo 0 < p < 4π(1 v ) 1, a menos de subsequência, temos que { } sup K(x)[v n (x)] p[vn(x)] (e 1) dx <. n N R Considerando que o funcional I obedece as hipóteses do Princípio de Ekeland, estamos prontos para obter o resultado de existência de solução fraca para o problema (1). Este é apresentado como segue. Teorema 0.4. Suponha que f satisfaz (f 0 ) (f ). Então, existe δ 1 > 0 tal que, se 0 < h < δ 1, o problema (1) tem solução fraca u h X. lém disso, temos que u h 0 quando h 0. É importante ressaltar que, (f 3 ) e (f 4 ) não são citadas no resultado acima; porém, se desejarmos encontrar uma outra solução para o problema (1), precisamos supor que essas condições sejam satisfeitas pela não linearidade f com a finalidade de que o funcional I verifique a estrutura requerida pelo Passo da Montanha. Mais especificamente, o resultado de multiplicidade de soluções, o qual é a garantia da existência de no mínimo duas soluções para o problema (1), está descrito no seguinte teorema: Teorema 0.5. Suponha que f satisfaz (f 0 ) (f 4 ). Então, existe δ > 0 tal que, se 0 < h < δ, então o problema (1) tem no mínimo duas soluções fracas. Portanto, descrevemos sucintamente como os nossos resultados principais de existência, e não unicidade, de soluções para o problema (1) são obtidos nesta dissertação. Permita-nos, agora, citar alguns artigos que nos motivaram a estudar [17]. Estes trabalhos nos inspiraram por uma razão óbvia, os problemas estudados pelos respectivos autores têm algo em comum com os termos descritos na equação (1): condições semelhantes sobre a não linearidade, presença de um peso ou, até mesmo, generalização do Laplaciano para o p-laplaciano. F. Catrina, M. Furtado e M. Montenegro [9] apresentaram um estudo da existência de solução para o problema div (K(x) u) = K(x)u 1 + λk(x) x α u, u > 0 R n, () onde n 3, K(x) = e x 4, α, = n n e λ é um parâmetro. Considerando que o primeiro autovalor do problema div (K(x) u) = λk(x) x α 6

16 é λ 1 = 1 4α(n + α), o artigo [9] apresenta como principais resultados os seguintes teoremas: Teorema 0.6. Se < α n, o problema () tem solução se, e somente se, λ ( 1 λ 1, λ 1 ). Teorema 0.7. Se n < α e λ ( α 4, λ 1), o problema () tem uma solução. lém disso, se λ 1 λ 1 ou λ λ 1, então () não tem solução. É importante destacar que, o artigo [9] tem nos inspirado devido à presença do peso K em () (ver também [16] e referências inclusas). Buscamos incentivo com respeito à multiplicidade de soluções fracas, para uma Equação Diferencial Parcial Elíptica, através do artigo [10] (ver também [4] e referências inclusas). Neste trabalho, J. M. do O, E. Medeiros e U. B. Severo [10] estudam o problema u + V (x)u = f(u) + h(x), x R, (3) onde V satisfaz as seguintes hipóteses: (V 1 ) V : R R é contínua e V (x) V 0 > 0, para todo x R ; (V ) V 1 L 1 (R ), e f, que tem crescimento exponencial crítico ou subcrítico, satisfaz as seguintes condições: (g 0 ) f C(R, R) e f(0) = 0; (g 1 ) Existe θ > e s 1 > 0 tais que 0 < θf (s) = θ (g ) Existem constantes R 0, M 0 > 0 tais que s 0 f(t) dt s, s s 1 ; 0 < F (s) f(s), s R 0 ; (g 3 ) lim s 0 F (s)s < λ 1, onde λ 1 V 0 (para mais detalhes ver [10]). Os resultados encontrados em [10] estão descritos a seguir. Teorema 0.8. Se f tem crescimento subcrítico e (V 1 ) (V ), (g 0 ), (g 1 ), (g 3 ) são satisfeitas, então existe δ 1 > 0 tal que se 0 < h < δ 1, o problema (3) tem ao menos duas soluções fracas, uma com energia positiva e outra com energia negativa. 7

17 O teorema acima diz respeito à multiplicidade das soluções fracas de (3) no caso subcrítico. baixo, J. M. do Ó, E. Medeiros e U. B. Severo estabelecem informações sobre o sinal de tais soluções. Teorema 0.9. Sob as hipóteses do Teorema 0.8, se h 0 (h 0) q.t.p. em R, então as soluções obtidas no Teorema 0.8 são não negativas (não positivas). Os seguintes dois resultados relatam o caso crítico para o problema (3). O primeiro deles garante a existência de solução fraca para este mesmo problema. Teorema Se f tem crescimento crítico e (V 1 ) (V ), (g 0 ), (g ), (g 3 ) são satisfeitas, então existe δ 1 > 0 tal que, se 0 < h < δ 1, o problema (3) tem uma solução fraca com energia negativa. Quanto a multiplicidade de soluções para o caso crítico, temos o seguinte resultado. Teorema Sob as hipóteses do Teorema 0.10, considere que existe β 0 > 0 tal que (f + 4 ) lim s sf(s)e α 0s β 0, então, existe δ > 0 tal que, se 0 < h < δ, então o problema (3) tem uma segunda solução fraca. seguir. Com respeito ao sinal das soluções fracas no caso crítico, o artigo [10] estabelece o teorema a Teorema 0.1. Sob as hipóteses do Teorema 0.11, se h 0 q.t.p. em R, então as soluções obtidas no Teorema 0.11 são não negativas. lém disso, se h 0 q.t.p. em R e f satisfaz (f 4 ) lim s sf(s)e α 0s β 0 > 0, então estas soluções são não positivas. Gostaríamos de salientar que é possível encontrar na literatura alguns artigos que apresentam resultados que envolvem o p-laplaciano (ver, por exemplo, [3, 4] e referências inclusas). Sendo assim, permita-nos discorrer sobre um trabalho em especial que serviu de inspiração para o estudo desta dissertação. Este artigo é atribuído a dimurthi [3] e estuda o problema { p u = f(x, u) u p em Ω; u 0, onde Ω R n (n N) é aberto e limitado, com fronteira suave, 1 < p n, p u = div ( u p u) é o p-laplaciano e f C 1 (Ω R, R) é uma aplicação que satisfaz: f(x, 0) = 0, f(x, t) 0, para 8

18 todo t 0; e f apresenta crescimento crítico. Mais precisamente, considerando que f(x, t) = h(x, t) exp(b t n n 1 ) é uma função com crescimento crítico e F (x, t) sua primitiva, dimurthi [3] demonstrou o seguinte resultado: Teorema ssuma que as afirmações abaixo são válidas: i) J : W 1,n 0 (Ω) R satisfaz a condição (P S) no intervalo (, 1 n ( α n b ) n 1 ); ii) Seja f (x, t) = t Então, existe u 0 W 1,n 0 (Ω) tal que f(x, t) e assuma que sup f (x, 0) < λ 1 (Ω) e lim sup x Ω t n u 0 = f(x, u 0 )u p 0, em Ω; u 0 0, u 0 = 0, em Ω. inf {h(x, t)t n 1 } =. x Ω (4) qui e também α n = nw J(u) = 1 u(x) n dx F (x, u(x)) dx, n Ω Ω { } λ 1 (u) = inf u(x) n dx : u(x) n dx = 1, u W 1,n 0 (Ω), Ω Ω 1 n 1 n obtém solução para o problema (4)., onde w n é o volume de B 1 (0). É importante ressaltar que o teorema Por fim, um esboço deste trabalho é dado como segue: no Capítulo 1, apresentamos as definições mais importantes e os resultados elementares (sem provas) que serão utilizados no decorrer da dissertação. No Capítulo, enunciamos e demonstramos os Teoremas da Deformação, do Passo da Montanha e do Princípio Variacional de Ekeland. No Capítulo 3, provamos os resultados principais. 9

19 Capítulo 1 Definições e Resultados Básicos Neste capítulo, apresentaremos as definições e os resultados elementares estreitamente ligados ao nosso trabalho. dadas logo a seguir. É importante enfatizar que, as referências [1, 5, 6, 7, 1] contêm as informações Comecemos com o conceito de derivada de Fréchet de um funcional real. Definição 1.1. Seja I : X R um funcional, onde X é um espaço normado. Dizemos que I é Fréchet diferenciável em u X, se existir T u X (dual de X) tal que I(u + h) I(u) T u (h) lim = 0. h 0 h Neste caso, I (u) h = T u (h), h X. Escrevemos, I C 1 (X, R) se I : X X existir e for contínua. Existe uma uma outra forma de garantir que um funcional real é diferenciável. Definição 1.. Seja I : X R um funcional, onde X é um espaço normado. Dizemos que I é Gâteaux diferenciável em u X se existir T u X tal que I(u + th) I(u) T u (h) = lim, h X. t 0 t Se I for diferenciável em u X então I é Gâteaux diferenciável e I (u) h = T u (h), h X. 10

20 baixo adicionamos a definição de ponto crítico para um funcional real. lém disso, aproveitamos o momento para esclarecer o significado de valor crítico. Definição 1.3. Sejam X um espaço de Banach e I C 1 (X, R). Dizemos que c R é um valor crítico de I se existe u X com I (u) = 0 e I(u) = c. Neste caso, a igualdade I (u) = 0 caracteriza u X como ponto crítico de I. Possibilite-nos esclarecer o significado da expressão o funcional I satisfaz a condição (P S). Definição 1.4. Seja I : X R um funcional (Fréchet) diferenciável, onde X é um espaço de Banach. Dizemos que I satisfaz a condição de Palais- Smale (P S) se qualquer sequência (u n ) X tal que I(u n ) C, e lim n I (u n ) = 0, n N, onde C > 0 é uma constante, possui uma subsequência que converge fortemente em X. Vejamos como conceituar a afirmação o funcional I satisfaz (P S) c. Definição 1.5. Seja I : X R um funcional (Fréchet) diferenciável, onde X é um espaço de Banach. Dizemos que I satisfaz a condição (P S) c se para qualquer sequência (u n ) X que goza das propriedades lim I(u n) = c e n podemos concluir que c é um valor crítico de I. lim n I (u n ) = 0, seguir, apresentamos uma lista que fornece alguns resultados elementares que são aplicados neste trabalho. Mergulho contínuo e compacto: Sejam X, Y espaços normados, onde X Y. Dizemos que X está mergulhado continuamente (compactamente) em Y, e escrevemos X Y continuamente (compactamente), se a inclusão i : X Y (dada por i(x) = x), é um operador contínuo (compacto); Desigualdade de Hölder: Seja 1 p e denote por q o expoente conjugado de p (isto é, 1 p + 1 q = 1). Se u Lp (Ω) e v L q (Ω), então uv L 1 (Ω), e u(x)v(x) dx u L p (Ω) v L q (Ω); Ω 11

21 Desigualdade de Hölder Generalizada: Suponha que u = u 1... u N, onde u j L p j (Ω) (1 j N) com 0 < p j <. Se 1 q = 1 p p N, então u L q (Ω) e u L q (Ω) u L p 1 (Ω)... u L p N (Ω) ; Desigualdade de Interpolação: Seja 1 p < q < r tais que 1 q = θ p + 1 θ r, para algum θ (0, 1). Se u L p (Ω) L r (Ω), então u L q (Ω) e u L q (Ω) u θ L p (Ω) u 1 θ L r (Ω) ; Desigualdade de Young: Dados dois números reais positivos a e b, tem-se ab 1 p ap + 1 q bq, onde p e q são expoentes conjugados; Teorema da Convergência Dominada: Seja (f n ) uma sequência de funções mensuráveis sobre Ω tal que lim f n = f q.t.p. em Ω. Se existe g L 1 (Ω) tal que f n g, para todo n n N e q.t.p. em Ω, então lim f n (x) dx = f(x) dx; n Ω Ω Teorema da Convergência Monótona: Seja (f n ) uma sequência de funções mensuráveis sobre Ω tais que 0 f 1 f... f n..., em Ω e também lim n f n = f q.t.p. em Ω. Então, podemos inferir que lim f n (x) dx = f(x) dx; n Ω Ω Teorema de Egoroff: Suponha que µ(ω) < + e que (f n ) é uma sequência de funções reais mensuráveis que converge quase toda parte em Ω para a função real mensurável f. Então, a sequência (f n ) converge quase uniformemente para f, isto é, para todo δ > 0 existe um conjunto E δ Ω com µ(e δ ) < δ e (f n ) converge uniformemente para f em Ω\E δ. Teorema da Representação de Riesz para Espaços de Hilbert: Sejam X um espaço de Hilbert e f : X R um funcional linear e limitado. Então, existe um único v X tal que f(u) = u, v, u X. lém disso, f = v. 1

22 Capítulo lguns Métodos Variacionais Neste capítulo, apresentaremos alguns resultados que serão aplicados nesta dissertação e que desempenham um papel imprescindível em um curso introdutório de Métodos Variacionais; entre estes, citamos: o Teorema da Deformação, o Teorema do Passo da Montanha e o Princípio Variacional de Ekeland. É importante ressaltar aqui que, a utilização mais relevante destes teoremas, para este trabalho, será exposta com mais detalhes no próximo capítulo. Permita-nos esclarecer que este capítulo apresenta em detalhes algumas informações contidas em [7, 3]..1 Teorema da Deformação Nesta seção, estamos interessados em provar o Teorema da Deformação e apresentar uma consequência que será utilizada no problema principal desta dissertação. Esse, por sua vez, também desempenhará um papel relevante na prova do Teorema do Passo da Montanha (ver Teorema.3 abaixo). Com a finalidade de estabelecer uma prova para o Teorema da Deformação, permita-nos garantir a existência de uma campo pseudo-gradiente associado a um funcional. Lema.1. Sejam X um espaço de Banach e φ C 1 (X, R). Então, existe um campo pseudogradiente para φ em Y = {u X : φ (u) 0}, isto é, existe V : Y X localmente Lipschitziana tal que V (u) α φ (u) e φ (u) [V (u)] β φ (u), u Y, (.1) 13

23 onde 0 < β < α. Demonstração. Seja ũ Y, então ũ X e φ (ũ) 0. Pela definição de norma de um funcional linear, temos que existe w X tal que w = 1 e pois β α+β β α + β φ (ũ) < φ (ũ) w < φ (ũ), (.) < 1. firmamos que, o campo Ṽ : Y X dado por Ṽ (ũ) := α + β φ (ũ) w, satisfaz as desigualdades descritas em (.1). Com efeito, note que Ṽ (ũ) = α + β pois β < α, e também, por (.), encontramos φ (ũ) w = α + β φ (ũ) < α φ (ũ), (.3) φ (ũ) [Ṽ (ũ)] = α + β φ (ũ) [φ (ũ) w] > β φ (ũ). (.4) firmamos também que, para cada ũ Y, existe Vũ Y, vizinhança aberta de ũ, tal que Ṽ (ũ) < α φ (u) e φ (u) [Ṽ (ũ)] > β φ (u), u Vũ. (.5) De fato, como φ C 1 (X, R), então φ : X X é contínua. ssim, dado ϵ > 0, existe δ = δ(ϵ, ũ) > 0 tal que φ (u) φ (ũ) < ϵ, sempre que u ũ < δ. Sendo assim, assuma que Vũ = B δ (ũ) para obter φ (u) φ (ũ) φ (u) φ (ũ) < ϵ, u Vũ. Logo, chegamos a φ (ũ) ϵ < φ (u) < φ (ũ) + ϵ, u Vũ. Com isso, para 0 < ϵ min φ (ũ) [ Ṽ (ũ), α ] φ 1 (ũ) [Ṽ (ũ)] β φ (ũ), 14

24 ver (.3) e (3.19), deduzimos que e também α φ (u) > α ( φ (ũ) ϵ ) α [ φ (ũ) φ (ũ) + ] Ṽ (ũ) = Ṽ α (ũ), β φ (u) < β [ φ (ũ) + ϵ ] [ ] β φ φ 1 (ũ) [Ṽ (ũ) + (ũ)] φ (ũ) β = φ (ũ) [Ṽ (ũ)], para todo u Vũ. Isto prova (.5). É fácil ver que Y ũ Y V ũ. Logo, Ỹ = {V ũ : ũ Y } é uma cobertura aberta de Y. Como Y é metrizável (X é Banach), então Y é paracompacto (ver [19]), isto é, existe um refinamento localmente finito para Ỹ, ou seja, existe {U ũ i : ũ i Y } i I Ỹ, cobertura aberta de Y tal que para cada z Y, existe V z vizinhança aberta de Y de forma que F z = {i I : Uũi V z } é finito. gora, defina ρ i : Y R (i I) por ρ i (x) = d(x, Uũi ), x Y. (.6) Note que, ρ i (x) = 0, x / Uũi. Dessa forma, podemos estabelecer uma aplicação φ i : Y R (i I), pondo φ i (x) = ρ i (x) j I ρ, x Y. (.7) j(x) Observe que a soma colocada no denominador acima é finita e positiva para cada x Y. De fato, se x Y, então existe V x vizinhança de x tal que Uũi V x, para todo i F x (finito). Logo, x Uũi, para todo i / F x. ssim, ρ j (x) = 0, para qualquer j F x. Então, j I ρ j(x) = i F x ρ i (x) (F x é finito). lém disso, i F x ρ i (x) > 0, pois x Uũi para algum i F x (ver (.6)). É fácil ver, através de (3.0), que a coleção {φ i : Y R} i I satisfaz as afirmações abaixo: 15

25 0 φ i 1, i I; φ i é contínua, para todo i I; φ i (x) = 1, para cada x Y. i I gora defina V : Y X por V (u) = i I φ i (u)ṽ (ũ i), u Y. firmamos que V é a aplicação procurada neste lema. Vamos verificar, primeiramente, que V é localmente Lipschitziana. Sendo assim, seja x Y, então existe V x uma vizinhança aberta de x tal que Uũi V x, para todo i F x (finito). Daí, para todo y, z V x, obtemos V (y) V (x) = φ i (y)ṽ (ũ i) φ i (z)ṽ (ũ i) i I i I i F x φ i (y) φ i (z) Ṽ (ũ i) M x i F x = M x i F x ρ i (y) j F x ρ j (y) ρ i (y) j F x ρ j (y) ρ i (z) j F x ρ j (z) ρ i (y) j F x ρ j (z) + ρ i (y) j F x ρ j (z) onde M x = max i F x { Ṽ (ũ i) }. Consequentemente, usando (.6), chegamos a [ ( i F V (y) V (x) M x ρ i (y))( j F x ρ j (z) ρ j (y) ) x [ j F x ρ j (y)][ + j F x ρ j (z)] i F = M x ρ i (y) ρ i (z) x i F x ρ i (z) i F M x y z x i F x ρ i (z) = M x N x y z i F x ρ i (z), ρ i (z) j F x ρ j (z), i F x ρ i (y) ρ i (z) j F x ρ j (z) ] para todo y, z V x ; onde, N x é uma constante (F x é finito). Mas, i F x ρ i (x) > 0. Logo, por continuidade, existe a x > 0 e W x uma vizinhança aberta de x tal que ρ i (b) > a x, b W x. i F x 16

26 Seja Z x = V x W x (vizinhança aberta de x). Então, ( ) Mx N x V (y) V (x) y z, y, z Z x. Portanto, concluímos que V é localmente Lipschitziana. Resta provar que V verifica (.1). Com efeito, aplicando (.5), resulta que a x V (u) = φ i (u)ṽ (ũ i) = φ i (u)ṽ (ũ i) i I i F u φ i (u) Ṽ (ũ i) < α φ (u) φ i (u) i F u i F u α φ (u) i I φ i (u) α φ (u) e também φ (u) [V (u)] = φ (u) = [ i F u φ i (u)ṽ (ũ i) φ i (u)φ (u) [Ṽ (ũ i)] i F u > ( φ i (u) β φ (u) ) i F u = β φ (u) φ i (u) i F u β φ (u), ] para todo u Y. Como queríamos demonstrar. Permita-nos enunciar e demonstrar o resultado que dá nome a esta seção. Teorema.1. Sejam X um espaço de Banach e φ C 1 (X, R). Considere que S X, c R, 0 < α β < α, ϵ > 0 pequeno e δ > 0 são tais que φ (u) 4ϵ δ, u φ 1 Então, existe uma aplicação η C([0, 1] X, X) tal que i) η(0, u) = u, u X; ii) η(t, u) = u, u φ 1 ([c ϵ ([ ( ) ( )]) 4β 4β c ϵ α 1, c + ϵ α 1 S δ. (.8) ( ) ( )]) 4β α 1, c + ϵ 4β α 1 S δ, t [0, 1]; 17

27 iii) η(1, φ c+ϵ( 4β α 1) S) φ c ϵ S δ ; iv) η(1, ) : X X é um homeomorfismo. qui φ c = {u X : φ(u) c} e S δ = {u X : d(u, S) δ}, onde d(u, S) = inf { u v }. v S Demonstração. Primeiramente, sejam e também ( ) ( )]) 4β 4β = φ ([c 1 ϵ α 1, c + ϵ α 1 S δ, ( ) ( )]) 4β 4β B = φ ([c 1 ϵ α 1, c + ϵ α 1 S δ Y = {u X : φ (u) 0}. É fácil ver que B int Y. primeira inclusão segue das definições dos conjuntos e B, e do fato de φ ser contínua. Por outro lado, a inclusão Y segue de (.8). Por conseguinte, podemos escrever B =. Com isso, d(u, ) + d(u, B) > 0, u X, pois e B são fechados. Dessa forma, podemos definir ρ : X R por ρ(u) = d(u, ) d(u, ) + d(u, B), u X. Note que 0 ρ(u) 1 e ρ(u) = { 1, se u B = B; 0, se u, lém disso, temos que ρ é localmente Lipschitziana. continuidade, existem C u0 > 0 e V u0 (vizinhança aberta de u 0 ) X tais que Com efeito, assuma u 0 X. Então, por 0 < C u0 d(u, ) + d(u, B), u V u0. (.9) ssim, para quaisquer u, v V u0, temos que ρ(u) ρ(v) = d(u, ) d(u, ) + d(u, B) d(u, ) d(v, ) = d(u, ) + d(u, B) d(v, ) d(v, ) + d(v, B) d(v, )[d(v, ) + d(v, B)] d(v, )[d(u, ) + d(u, B)] +. [d(u, ) + d(u, B)][d(v, ) + d(v, B)] 18

28 Consequentemente, chegamos a u v d(v, ) [d(v, ) d(u, ) + [d(v, B) d(u, B)] ρ(u) ρ(v) d(u, ) + d(u, B) + [d(v, ) + d(v, B)][d(u, ) + d(u, B)] u v u v + u v + d(u, ) + d(u, B) d(u, ) + d(u, B). Por fim, por (.9), concluímos ρ(u) ρ(v) Isto prova que ρ é localmente Lipschitziana. 3 u v d(u, ) + d(u, B) 3 u v, u, v V u0. C u0 gora, considere que f : X X é uma função dada por f(u) = { ρ(u)v (u) V (u), se u ; 0, se u, onde V foi dado no Lema.1. Note que, a função acima está bem definida, pois aplicando o Lema.1, chegamos a e, consequentemente, φ (u) [V (u)] γ φ (u), u Y, V (u) γ φ (u) > 0, u Y. (.10) onde γ > 0 (é representado por β no Lema.1). firmamos que f é localmente Lipschitziana. Provaremos este fato, seguindo alguns passos. Primeiramente, vimos acima que, para cada u 0 X, existe V u0 (vizinhança aberta de u 0 ) X tal que ρ é Lipschitziana em V u0. u 0 Y : Neste caso, podemos tomar V u0 Y (diminuindo, se necessário), pois Y é aberto, de forma que V seja Lipischitziana em V u0 (ver Lema.1). Consequentemente, para todo u, v V u0, 19

29 encontramos f(u) f(v) = = ρ(u)v (u) V (u) ρ(u)v (u) V (u) ρ(u) ρ(v) + Por conseguinte, por (.10) e (.8), segue que ρ(v)v (v) V (v) ρ(v)v (u) ρ(v)v (u) ρ(v)v (v) + V (u) V (u) V (v) ρ(v) V (v) V (u) V (u) V (v). V (u) V (v) V (v) V (u) V (u) V (u) + V (u) V (u) V (u) V (v) f(u) f(v) ρ(u) ρ(v) + V (u) V (v) V (v) V (u) + V (u) V (v) ρ(u) ρ(v) + V (v) V (u) V (v) ρ(u) ρ(v) + V (v) δ V (u) V (v) ρ(u) ρ(v) +. ϵγ Como ρ e V são Lipschitzianas em V u0, inferimos que existe C u0 > 0 tal que f(u) f(v) C u0 u v. Por outro lado, se u V u0 e v V u0, inferimos f(u) f(v) = f(u) = ρ(u)v (u) V (u) = ρ(u) V (u) V (u) = ρ(u) = ρ(u) ρ(v). Como ρ é Lipschitziana em V u0, concluímos que existe C u0 > 0 tal que f(u) f(v) C u0 u v. nalogamente, se u V u0 e v V u0, chegamos a f(u) f(v) C u0 u v, onde C u0 é uma constante positiva. Por fim, se u, v V u0, obtemos f(u) f(v) = 0 u v. Em qualquer um dos casos discutidos acima, deduzimos que f é Lipschitziana em V u0. 0

30 u 0 / Y : Neste caso, u 0. Como é aberto, então podemos assumir que V u0 (diminuindo, se necessário). Dessa forma, se u, v V u0, obtemos f(u) f(v) = 0 u v. Isto nos diz que f é Lipschitziana em V u0. Outra informação importante sobre f é a seguinte: f(u) 1, u X. (.11) De fato, as desigualdades abaixo são válidas: f(u) = ρ(u)v (u) V (u) = ρ(u) = ρ(u) 1, u, e também é verdade que f(u) = 0 1, u. Considerando todas as propriedade que a aplicação f satisfaz, podemos concluir que o problema de Cauchy dw dt (t) = f(w(t)); (.1) w(0) = u, onde u X está fixo, tem única solução definida em R (ver Proposição B.1 em [13]). Seja w(, u) : R X tal solução e defina η : [0, 1] X X por η(t, u) = w(δt, u), (t, u) [0, 1] X. Vamos provar que η é a aplicação desejada. Com efeito, podemos escrever i) η(0, u) = w(δ 0, u) = w(0, u) = u, u X. Isto prova i), por (.1); ii) Seja u. Então, f(u) = 0. Daí, o problema de Cauchy (.1) tem como solução constante a aplicação w(t, u) = u, t R, 1

31 pois dw d(u) (t, u) = = 0 = f(u) = f(w(t, u)) dt dt e também w(0, u) = u. Como tal solução é única, temos que η(t, u) = w(δt, u) = u, t [0, 1] e u. prova de ii) está completa. iii) Note que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que w(t, u) w(0, u) = ssim, por (.11) e (.1), podemos deduzir w(t, u) u Portanto, obtém-se, por (.13), que t 0 t 0 dw (τ, u) dτ. dτ f(w(τ, u)) dτ t δ, t [0, δ]. (.13) d(w(t, u), S) = inf { w(t, u) v } w(t, u) u δ, t [0, δ] e u S. v S Logo, inferimos que w(t, u) S δ, t [0, δ] e u S. (.14) Consequentemente, η(t, u) = w(δt, u) S δ, t [0, 1] e u S. (.15) gora, estamos interessados em provar que a aplicação g = φ w(, u) : R R é não crescente. Para este fim, primeiramente, observe que, por (.1), deduzimos que [ ] dw(t, u) g (t) = φ (w(t, u)) dt = φ (w(t, u)) [f(w(t, u))], isto é, g (t) = { 0, se w(t, u) ; ρ(w(t,u)) V (w(t,u)) φ (w(t, u)) [V (w(t, u))], se w(t, u).

32 Consequentemente, pelo Lema.1, encontramos g (t) { 0, se w(t, u) ; ρ(w(t,u)) V (w(t,u)) γ φ (w(t, u)), se w(t, u). Por conseguinte, g (t) 0, para todo t R. Logo, g é não crescente. Vamos, agora, checar a veracidade de iii) deste teorema. Seja, u φ c+ϵ( 4β α 1) S. Consequentemente, podemos supor que g( t) = φ(w( t, u)) < c ϵ, para algum t [0, δ], para obter φ(η(1, u)) := φ(w(δ 1, u)) = φ(w(δ, u)) = g(δ) g( t) = φ(w( t, u)) < c ϵ. Logo, η(1, u) φ c ϵ. Por (.15), temos que η(1, u) S δ, pois u S. Consequentemente, η(1, u) φ c ϵ S δ. Isto verifica iii), neste caso específico. ssuma, agora, que φ(w(t, u)) c ϵ, t [0, δ]. (.16) Primeiramente, lembre que u φ c+ϵ( 4β α 1). Então, ( ) 4β φ(u) c + ϵ α 1. (.17) Logo, pela monotonicidade de g e pelo problema (.1), temos que ( ) 4β φ(w(t, u)) = g(t) g(0) = φ(w(0, u)) = φ(u) c + ϵ α 1, t 0. Portanto, por (.16), chegamos a desde que β α, isto é, ( ) ( ) 4β 4β c ϵ α 1 φ(w(t, u)) c + ϵ α 1, t [0, δ], ( ) ( )]) 4β 4β w(t, u) φ ([c 1 ϵ α 1, c + ϵ α 1, t [0, δ]. 3

33 Por, (.14), obtemos ( ) ( )]) 4β 4β w(t, u) φ ([c 1 ϵ α 1, c + ϵ α 1 S δ = B, t [0, δ], (.18) pois u S. Por conseguinte, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, (.1) e (.18), resulta que φ(η(1, u)) = φ(w(δ, u)) = φ(w(0, u)) + δ = φ(u) + = φ(u) + = φ(u) 0 δ 0 δ 0 δ 0 d φ(w(t, u)) dt dt [ ] d w(t, u) dt dt φ (w(t, u)) φ (w(t, u)) [f(w(t, u))] dt Consequentemente, por (.17) e (.18), chegamos a δ φ(η(1, u)) = φ(u) 0 c + ϵ( 4β α 1) γ γ 1 ρ(w(t, u)) V (w(t, u)) φ (w(t, u)) [V (w(t, u))] dt. 1 V (w(t, u)) φ (w(t, u)) [V (w(t, u))] dt δ c + ϵ( 4β α 1) γ 4ϵ γ 1 δ = c + ϵ( 4β α 1) 4γ ϵ = c ϵ + 4ϵ γ 1 [ β α γ ], γ 1 φ (w(t, u)) φ (w(t, u)) dt 0 δ onde γ 1 > γ (aqui γ 1 representa α no Lema.1) foram encontrados no Lema.1. Considere que γ = β e γ 1 = α (β < α). Daí, [ β φ(η(1, u)) c ϵ + 4ϵ α β ] = c ϵ. α 0 dt Com isso, η(1, u) φ c ϵ. Deste modo, por (.15), deduzimos η(1, u) S δ (u S). conseguinte, η(1, u) φ c ϵ S δ. Por 4

34 Por fim, η(1, φ c+ϵ( 4β α 1) S) φ c ϵ S δ. Isto prova o item iii). iv) Defina ξ δ : X X por Daí, pelo problema (.1), temos que ξ δ (u) = w( δ, u), u X. [η(1, ) ξ δ ](u) = η(1, )(ξ δ (u)) = η(1, ξ δ (u)) = w(δ, w( δ, u)) = w(δ δ, u) = w(0, u) = u, e também [ξ δ η(1, )](u) = ξ δ (η(1, )) = ξ δ (w(δ, u)) = w( δ, w(δ, u))) = w( δ + δ, u) = w(0, u) = u, para todo u X (ver [13]). Logo, ξ δ = w( δ, ) é a inversa de η(1, ) = w(δ, ). Logo, η(1, ) é contínua pela dependência contínua com relação aos dados iniciais (ver Proposição B.1 em [13]). O mesmo ocorre com ξ δ. Dessa forma, η(1, ) é um homeomorfismo. Como queríamos demonstrar. seguir, apresentaremos um resultado que será utilizado no desenvolvimento da teoria que comprova todas as afirmações, já realizadas, sobre o problema principal desta dissertação. Corolário.. Sejam X um espaço de Banach e φ C 1 (X, R). Suponha que φ satisfaz (P S). Se c R não é um valor crítico de φ, então dado ϵ > 0 pequeno, existe uma aplicação η C([0, 1] X, X) tal que i) η(0, u) = u, u X; ii) η(t, u) = u, u φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]), t [0, 1]; iii) η(1, φ c+ϵ ) φ c ϵ ; 5

35 iv) η(1, ) : X X é um homeomorfismo. Demonstração. Primeiramente, vamos provar que existem θ, γ > 0 tais que φ (u) γ, u φ 1 ([c θ, c + θ]). (.19) Suponha, por absurdo, que a desigualdade acima é falsa. ssim, teríamos (u n ) φ 1 ( [c n, c + n ]) satisfazendo φ (u) < 1 n. Dessa forma, c n φ(u n) c + n e φ (u n ) < 1 n, n N. Logo, obtemos φ(u n ) c e φ (u n ) 0. Como φ satisfaz (P S), então existe (u nk ) (u n ) tal que u nk lado, como φ C 1 (X, R), deduzimos u, para algum u X. Por outro φ(u nk ) φ(u) e φ (u nk ) φ (u). Logo, por unicidade de limite, φ(u) = c e φ (u) = 0. Daí, c é valor crítico de φ. Isto é um absurdo (c não é valor crítico de φ). Sejam S = X, ϵ (0, θ], δ = 4ϵ γ, α = e β = 1 no Teorema.1. Como S δ = S δ = X e φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]) φ 1 ([c θ, c + θ]), então, aplicando (.19), encontramos φ (u) γ = 4ϵ δ, u φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]). Portanto, existe uma aplicação η C([0, 1] X, X) tal que i) η(0, u) = u, u X; ii) η(t, u) = u, u φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]) e t [0, 1]; iii) η(1, φ c+ϵ S) φ c ϵ ; iv) η(1, ) : X X é um homeomorfismo. Obs.1. través da demonstração do Corolário., podemos notar que a condição (P S) pode ser substituída pela mais fraca (P S) c. 6

36 . Teorema do Passo da Montanha Esta seção será desenvolvida em torno do conhecido Teorema do Passo da Montanha. resultado será aplicado em nosso estudo das Equações Diferenciais Parciais. Este Teorema.3. Sejam X um espaço de Banach e φ C 1 (X, R) um funcional satisfazendo a condição (P S) (ou (P S) c ). Se e X e 0 < r < e são tais que então é valor crítico de φ, com c b, onde a := max{φ(0), φ(e)} < c = inf γ Γ { inf {φ(u)} =: b, u B r(0) sup {φ(γ(t))} t [0,1] Γ = {γ C([0, 1], X) : γ(0) = 0 e γ(1) = e}. } Demonstração. Primeiramente, vamos provar que γ([0, 1]) B r (0), γ Γ. (.0) Como γ C([0, 1]), X) e [0, 1] é conexo, então γ([0, 1]) é conexo. lém disso, também temos que 0 = γ(0) γ([0, 1]) e e = γ(1) γ([0, 1]). ssim sendo, 0 γ([0, 1]) B r (0) e e γ([0, 1]) (X\B r (0)), já que e > r. gora defina f : γ([0, 1]) R por f(x) = d(x, B r (0)) d(x, (X\B r (0))), x γ([0, 1]). Note que, e também f(0) = d(0, B r (0)) d(0, (X\B r (0))) = d(0, X\B r (0))) < 0 f(e) = d(e, B r (0)) d(e, (X\B r (0))) = d(e, B r (0)) > 0. Daí, chegamos a f(0) < 0 < f(e). Como f é a subtração de aplicações contínuas, então existe x 0 γ([0, 1]) (i.e., x 0 = γ(t 0 ), para algum t 0 [0, 1]) tal que f(γ(t 0 )) = f(x 0 ) = 0. Com isso, d(x 0, B r (0)) = d(x 0, (X\B r (0))). Logo, x 0 B r [0]. Por fim, x 0 γ([0, 1]) B r (0), ou seja, a afirmação (.0) está provada. 7

37 partir de (.0), podemos concluir b := inf {φ(u)} φ(x 0) = φ(γ(t 0 )) sup {φ(γ(t))}, γ Γ. u B r(0) t [0,1] Por conseguinte, pela definição de ínfimo, temos que b inf γ Γ { sup {φ(γ(t))} t [0,1] } =: c. gora vamos provar, por absudo, que c é valor crítico de φ. Sendo assim, assuma que c não é valor crítico de φ. Usando o Corolário., com 0 < ϵ < b a, temos que existe η C([0, 1] X, X) tal que i) η(t, u) = u, se u φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]), t [0, 1]; ii) η(1, φ c+ϵ ) φ c ε. Por outro lado, pela definição de ínfimo, obtemos, γ 0 Γ tal que Daí, inferimos que φ(γ 0 (t)) sup {φ(γ 0 (t))} < c + ϵ, t [0, 1]. t [0,1] γ 0 (t) φ c+ϵ, t [0, 1]. (.1) gora, defina γ : [0, 1] X pondo γ(t) = η(1, γ 0 (t)), t [0, 1]. firmamos que γ Γ. Primeiramente, é fácil ver que γ é contínua, pois η e γ 0 o são. gora, observe que 0 φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]) φ(0) [c ϵ, c + ϵ] φ(0) > c + ϵ ou φ(0) < c ϵ. Por outro lado, sabemos que φ(0) max{φ(0), φ(e)} =: a < b c. 8

38 Consequentemente, φ(0) c (b a) < c ϵ. Dessa forma, deduzimos que 0 φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]). Por conseguinte, pelo item i) acima, encontramos γ(0) = η(1, γ 0 (0)) = η(1, 0) = 0. nalogamente, é simples verificar que e φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]) φ(e) > c + ϵ ou φ(e) < c ϵ. Mas, as desigualdades φ(e) max{φ(0), φ(e)} =: a < b c, implicam que φ(e) < c (b a) < c ϵ. Com isso, podemos escrever e φ 1 ([c ϵ, c + ϵ]). Deste modo, chegamos a γ(1) = η(1, γ 0 (1)) = η(1, e) = e, ver item i) acima. Dessa forma, γ Γ. gora, usando o item ii) acima e (.1), concluímos que γ(t) = η(1, γ 0 (t)) φ c ϵ, t [0, 1]. Portanto, φ( γ(t)) c ϵ, t [0, 1]. Daí, pela definição de supremo, chegamos a sup {φ( γ(t))} c ϵ < c. t [0,1] Isto é um absurdo, pois c := inf { sup {φ(γ(t))}}. Por fim, c é um valor crítico de φ. Como γ Γ t [0,1] queríamos demonstrar..3 Princípio Variacional de Ekeland Nesta seção, apresentaremos outro teorema de extrema relevância na teoria dos Métodos Variacionais. Este é conhecido como o Princípio Variacional de Ekeland. Enfatizamos que este desempenhará um papel importante na prova dos nossos resultados principais. Mais especificamente, 9

39 temos o seguinte teorema. Teorema.4. Sejam X um espaço métrico completo e ϕ : X R um funcional semicontínuo e limitado inferiormente. Dados ϵ > 0 e x X tais que temos, para qualquer δ > 0, que existe y X tal que i) ϕ(y) ϕ(x); ii) d(x, y) δ; ϕ(x) inf {ϕ(u)} + ϵ, (.) u X iii) ϕ(y) < ϕ(u) + ϵ δ d(u, y), u X\{y}. Demonstração. Defina, sobre X, a seguinte relação: u v ϕ(u) ϕ(v) ϵ d(u, v). δ É fácil ver que é uma relação de ordem parcial em X. Com efeito, v v, pois ϕ(v) ϕ(v) ϵ δ d(v, v); Se u v e v u, então ϕ(u) ϕ(v) ϵ δ d(u, v) e ϕ(v) ϕ(u) ϵ d(v, u). δ Logo, inferimos ϕ(u) ϕ(u) ϵ δ d(u, v) ϵ d(u, v). δ Isto nos diz que d(u, v) = 0, ou seja, u = v. Se u v e v w, então ϕ(u) ϕ(v) ϵ δ d(u, v) e ϕ(v) ϕ(w) ϵ d(v, w). δ 30

40 Logo, podemos escrever ϕ(u) ϕ(w) ϵ δ d(v, w) ϵ d(u, v) δ = ϕ(w) ϵ [d(u, v) + d(v, w)] δ ϕ(w) ϵ d(u, w). δ Portanto, u w. Vamos em busca de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não vazios (S n ) n N {0} X tal que diam (S n ) 0. Seja u 0 = x dado em (.). Defina, S 0 = {w X : w u 0 }. Note que u 0 S 0, pois u 0 u 0. Portanto, S 0. Por outro lado, pela definição de ínfimo, existe u 1 S 0 tal que ϕ(u 1 ) inf u S 0 {ϕ(u)} + ϵ. Defina S 1 = {w X : w u 1 }. Note que, S 1, pois u 1 u 1. Indutivamente, defina S n = {w X : w u n }, onde u n S n 1 e ϕ(u n ) inf {ϕ(u)} + ϵ, n N. (.3) u S n 1 n + 1 Note que, S n, pois u n S n. lém disso, como u n S n 1, temos que u n u n 1. Daí, ϕ(u n ) ϕ(u n 1 ) ϵ δ d(u n, u n 1 ). Também temos que S n+1 S n. pois w S n+1 w u n+1 w u n w S n. Com isso, chegamos a isto é, (S n ) n N {0} é decrescente. S 0 S 1... S n S n+1..., Vamos agora verificar que diam (S n ) 0. Com efeito, w S n inf {ϕ(u)} inf {ϕ(u)} ϕ(w). u S n 1 u S n 31

41 lém disso, w u n (w S n ), ou seja, ϕ(w) ϕ(u n ) ϵ δ d(w, u n). Portanto, por (.3), chegamos a ssim, deduzimos ϵ δ d(w, u n) ϕ(u n ) ϕ(w) inf {ϕ(u)} + ϵ u S n 1 n + 1 inf {ϕ(u)} = u S n 1 d(w, u n ) Por conseguinte, para w 1, w S n, obtemos d(w 1, w ) d(w 1, u n ) + d(u n, w ) δ n + 1, n N {0}. δ n δ n + 1 = ϵ n + 1. δ n + 1, n N {0}. Deste modo, podemos concluir diam (S n ) diam (S n ) 0. δ n+1, para todo n N {0}. Consequentemente, gora vamos mostrar que S n é fechado, para todo n N {0}. De fato, seja n N {0} fixo e considere que (v m ) S n é tal que lim m v m = w. Como v m S n, para todo m N, então v m u n, para qualquer m N. Logo, Como ϕ é semicontínua inferiormente e ϕ(v m ) ϕ(u n ) ϵ δ d(v m, u n ), m N. (.4) lim v m = w, então m ϕ(w) lim inf m ϕ(v m). lém disso, d(, u n ) é contínua. Então, d(v m, u n ) d(w, u n ), quando m. Daí, passando ao limite inferior, quando m, em (.4), obtemos ϕ(w) lim inf m ϕ(v m) ϕ(u n ) ϵ δ d(w, u n). Logo, w u n, ou seja, w S n. Por isso, S n é fechado, para cada n N {0}. Resumindo, (S n ) n N {0} é uma sequência decrescente de fechados não vazios tais que diam S n 0. Isto nos garante que existe um único y n N {0} S n. Vamos verificar que y X é o ponto procurado. a) Primeiramente, note que y n N {0} S n y S 0 y u 0 = x ϕ(y) ϕ(x) ϵ d(x, y) ϕ(x). δ 3

42 Isto prova i). b) lém disso, através das desigualdades acima e (.), concluímos que ϵ d(x, y) ϕ(x) ϕ(y) inf {ϕ(u)} + ϵ ϕ(y) ϕ(y) + ϵ ϕ(y). δ u X Logo, d(x, y) δ. Isto completa a prova de ii). c) Seja u X\{y}. firmamos que u y Suponha por absurdo que u y. Sabemos que, y n N {0} S n. Logo, y S n, para todo n N {0}. Daí, y u n, para qualquer n N {0}. Consequentemente, u u n, para todo n N {0}. Portanto, u n N {0} S n. Pela unicidade de y, temos que u = y. Isto é um absurdo, pois u y. Portanto, deduzimos que u y ϕ(u) > ϕ(y) ϵ δ d(u, y) ϕ(y) < ϕ(u) + ϵ d(u, y). δ Isto completa a prova de c). Como queríamos demonstrar. Uma consequência do Princípio Variacional de Ekeland, que será aplicada neste trabalho, está precisamente enunciada abaixo. Corolário.5. Sejam X um espaço de Banach e φ C 1 (X, R). Suponha que φ é um funcional limitado inferiormente numa bola fechada B r (0) que satisfaz: inf {φ(u)} < 0 e φ(u) δ, (.5) u B r (0) para todo u B r (0) e algum δ > 0. Então, existe uma sequência (v n ) B r (0) tal que lim φ(v n) = inf {φ(u)} e n u B r(0) lim n φ (v n ) = 0. Demonstração. Seja B r (u) uma bola qualquer. firmamos que B r (u) é um espaço métrico completo. Com efeito, seja (u n ) B r (u) uma sequência de Cauchy. Como X é um espaço de Banach, temos que u n v em X (com v X). Note que, u n u r. Logo, passando ao limite, quando n, tem-se v u r. Portanto, v B r (u). Por hipótese, temos que φ : B r (0) R é limitado inferiormente. Então, pela definição de 33

43 ínfimo, existe (u n ) B r (0) tal que inf {φ(x)} φ(u n ) < inf {φ(x)} + 1 x B r(0) x B r(0) n, n N. Consequentemente, φ(u n ) inf x B r (0) {φ(x)}, quando n. Como φ C 1 (X, R), concluímos que esta aplicação é contínua (logo, semicontínua inferiormente). Por conseguinte, pelo Teorema.4 i), concluímos que existe (v n ) B r (0) tal que inf {φ(x)} φ(v n ) φ(u n ), n N. x B r (0) Daí, passando ao limite, quando n, inferimos que lim φ(v n) = inf {φ(x)}. (.6) n x B r (0) Por outro lado, afirmamos que v n < r para n suficientemente grande. Caso contrário, passando a uma subsequência, se necessário, v n = r para todo n N. Neste caso, teríamos, por (.5), que φ(v n ) δ para todo n N. Consequentemente, por (.6) e (.5), concluiríamos que δ lim φ(v n) = inf {φ(x)} < 0. n x B r (0) Isto é uma contradição (δ > 0). Portanto, temos que v n < r para n suficientemente grande. Dessa forma, considere w X com w = 1 e, para cada n N (grande), assuma que t > 0 é suficientemente pequeno de forma que v n + tw B r (0) (i.e., 0 < t r v n ). Deste modo, pelo Teorema.4 iii), deduzimos que ϕ(v n ) ϕ(v n + tw) < pois v n + tw v n (t > 0 e w 0), ou equivalentemente, 1 1 n v n (v n + tw) = n t, ϕ(v n ) ϕ(v n + tw) t < 1 n. Passando ao limite, quando t 0, chegamos a φ (v n ) ( w) 1, w X, w = 1. n 34

44 Dessa forma, concluímos que φ (v n ) 1 n, n N (grande). gora, passando ao limite, quando n, inferimos que lim n ϕ (v n ) = 0. (.7) Por fim, por (.6) e (.7), chegamos a conclusão deste resultado em questão. 35

45 Capítulo 3 Desigualdade de Trudinger-Moser e plicações Neste capítulo, estamos interessados em obter uma desigualdade do tipo Trudinger-Moser e aplicá-la a uma Equação Diferencial Parcial envolvendo um Espaço de Sobolev (com um peso do tipo exponencial). Mais precisamente, estamos interessados em estudar a existência, como também, o comportamento de soluções fracas para a Equação Elíptica Semilinear div (K(x) u(x)) = K(x)f(u(x)) + h, x R, (3.1) onde f apresenta um crescimento exponencial crítico e h X, onde X = C c é considerado com respeito à norma ( ) 1 u := K(x) u(x) dx, u X, R (R ). qui, tal fecho onde K(x) = exp( x /4), para todo x R. Tal norma é proviniente do produto interno u, v := K(x)[ u(x) v(x)] dx, u, v X. R Gostaríamos de informar que X, munido do produto interno acima, é um Espaço de Hilbert. É importante deixar claro o que significa solução fraca para o problema (3.1). Definição 3.1. Uma solução fraca para o problema (3.1) é uma aplicação u X tal que R [K(x) u(x) v(x) K(x)f(u(x))v(x)] dx h(v) = 0, v X. 36

46 Para ser mais específico, um dos principais resultados apresentados neste capítulo diz repeito à garantia de existência de solução fraca para o problema (3.1), quando consideramos que a função contínua f satisfaz as seguintes condições: f(s) (f 0 ) Existe α 0 > 0 tal que lim = 0, para todo α > α 0 ; s + e αs f(s) (f 1 ) O limite lim = 0 é válido; s 0 s (f ) Existe θ 0 > tal que s 0 θ 0 F (s) := θ 0 f(t) dt sf(s), s R. De forma mais precisa, provaremos aqui o resultado abaixo. 0 Teorema 3.1. Suponha que f satisfaz (f 0 ) (f ). Então, existe δ 1 > 0 tal que, se 0 < h < δ 1, o problema (3.1) tem solução fraca u h X. lém disso, temos que u h 0 quando h 0. É importante ressaltar que, este capítulo está voltado a detalhar todos os resultados obtidos no artigo [17]. Com o objetivo de testar que as condições (f 0 ) (f ) descritas acima podem ser verificadas, vejamos o seguinte exemplo. Exemplo 3.1. Seja f dada por f(s) = Consequentemente, sua primitiva é dada por { F (s) = 0, se s < 0; (3s + s 4 )e s, se s 0. { 0, se s < 0; s 3 e s, se s 0. função f, satisfaz as condições (f 0 ) (f ) com α 0 = 1. Comecemos com a verificação de (f 0 ). Primeiramente, note que f(s) e αs plicando a Regra de L Hospital, inferimos que f(s) 3s + s 4 lim = lim = lim s e αs s e (α 1)s s = (3s + s 4 )e s e αs = 3s + s 4 e (α 1)s, s > s (α 1)e (α 1)s = lim s 4 (α 1) e (α 1)s = 0, 37

47 desde que α > 1. Isto verifica (f 0 ), pois f(s) = 0 para todo s < 0. condição (f 1 ) segue diretamente das igualdades abaixo: f(s) lim = lim(3s + s 3 )e s = 0. s 0 s s 0 Para estabelecermos que o exemplo dado acima verifica a condição (f ), observe que sf(s) F (s) = 3 + s 3, s > 0, ou equivalentemente, 0 3F (s) sf(s) para todo s R (F (s) = f(s) = 0, se s < 0). Isto verifica a condição (f ), com θ 0 = 3 >. Para estabelecermos a demonstração do Teorema 3.1, apresentaremos uma desigualdade do tipo Trudinger-Moser envolvendo o espaço X acima. 3.1 Desigualdade de Trudinger-Moser em Espaços de Sobolev com Peso Nesta seção, trabalharemos no intuito de estabelecer em quais espaços podemos mergulhar X e quais condições são necessárias para obtermos uma Desigualdade de Trudinger-Moser envolvendo funções pertencentes a este espaço. De forma mais clara, estamos principalmente interessados em encontrar uma extensão da Desigualdade de Trudinger-Moser, dada abaixo, com respeito ao espaço X. Teorema 3.. Para todo u H 1 (R ) e α > 0 temos que (e αu 1) L 1 (R ). lém disso, se u L (R ) 1, u L (R ) M e α < 4π, então existe uma constante positiva C = C(M, α) tal que R (e α[u(x)] 1) dx C. (3.) Para mais detalhes ver [8] (ver também [, 0, ] e referências inclusas). Mais especificamente, provaremos o seguinte resultado: Teorema 3.3. Para todo u X e β > 0 temos que K u (e βu 1) L 1 (R ). lém disso, se u M e βm < 4π, então existe uma constante positiva C = C(M, β) tal que K(x) u(x) (e β[u(x)] 1) dx C. R 38