( ) Propostas de resolução. Capítulo 6 Medidas de localização Avalia o que sabes Avalia o que sabes

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1 Capítulo 6 Medidas de localização Avalia o que sabes Pág Vamos analisar cada uma das seguintes opções: (A): Se cada figura representa 10 jornais, então no sábado passado a D. Rita vendeu jornais, ou seja, 35 jornais. ( ) Exclui-se a opção. (B): A D. Rita vendeu ( 9 10) jornais desportivos, ou seja, 90 jornais. Vendeu, também, ( 6 10) semanários, ou seja, 60 jornais. De facto, vendeu mais 30 jornais desportivos que semanários. (C): A D. Rita vendeu ( ) jornais diários, ou seja, 85 jornais. Exclui-se a opção. (D): Exclui-se esta opção analisando apenas o pictograma. Resposta: (B). Determinemos a média, x, do número de gelados vendidos pelo Sr. João na última semana x = = 114, O valor da média arredondada às décimas é 114,3. Resposta: (D) 3.1. O desporto favorito foi o futebol Avalia o que sabes Pág a) 5 0, 40 = 10. Dez alunos responderam futebol. b) 5 0,04 = 1. Um aluno respondeu natação. c) 5 0, 0 = 5. Cinco alunos responderam automobilismo. d) 5 0,16 = 4. Quatro alunos responderam atletismo A soma das percentagens correspondentes a cada grupo é igual a 100%. Assim, a percentagem correspondente à fruta é dada por: 100% ( 8% + 3% + 18% + 5% + 4% + % ) = 100% 80% = 0% A percentagem correspondente ao setor da fruta é 0%. Capítulo 6 Página 1

2 4.. Vamos estabelecer uma regra de três simples para determinar a amplitude de cada setor que corresponde ao grupo: Cereais e derivados, tubérculos Percentagem Amplitude x x = = 100,8 100 A amplitude do ângulo correspondente ao setor Cereais e derivados, tubérculos é 100,8º. Hortícolas Percentagem Amplitude x x = 8,8 A amplitude do ângulo correspondente ao setor Hortícolas é 8,8º. Fruta Percentagem Amplitude x x = = A amplitude do ângulo correspondente ao setor Fruta é 7º. Gorduras e óleos Percentagem Amplitude x 360 x = = 7, 100 A amplitude do ângulo correspondente ao setor Gorduras e óleos é 7,º. Laticínios Percentagem Amplitude x x = = 64,8 100 A amplitude do ângulo correspondente ao setor Lacticínios é 64,8º. Carne, pescado e ovos Percentagem Amplitude x x = = A amplitude do ângulo correspondente ao setor Carne, pescado e ovos é 18º. Capítulo 6 Página

3 Leguminosos Percentagem Amplitude x x = = 14,4 100 A amplitude do ângulo correspondente ao setor Leguminosos é 14,4º Aplicar Pág Determinemos a média, x, do número de carros transportados pelo ferryboat nos primeiros seis dias da semana: x = = = O ferryboat transportou, em média, 18 carros por dia, nos últimos seus dias. 1.. Pretende-se determinar o número de carros transportados no domingo, sabendo que a média é 18. x = onde d representa o número de carros vendidos no domingo. Resolvendo a igualdade, obtém-se: d d = 18 = d = d = d = 18 No domingo, foram transportados 18 carros no ferryboat. d Capítulo 6 Página 3

4 . Determinemos a média e indiquemos a moda do número de peixes pescados por cada um dos pescadores: Paulo: Moda: 7 e 1 peixes Média: x = = 8,9 7 7 Pedro: Moda: 4 e 5 peixes Média: x = = 7,7 7 7 João: Moda: não existe (conjunto de dados amodal) Média: x = = 10,9 7 7 A moda do número de peixes pescados pelo Paulo é 7 e 1 peixes, do Pedro é 4 e 5 peixes e do João não existe, já que nenhum dado registado tem maior frequência que qualquer outro. A média do número de peixes pescados pelo Paulo é aproximadamente 8,9 peixes, do Pedro é aproximadamente 7,7 peixes e do João é 10,9 peixes Determinemos a média, x, em percentagem das classificações obtidas pela Ana nos quatro testes: x = = 50,5 4 Nos quatro testes realizados, a Ana obteve uma classificação média de 50,5%. 3.. Seja t a classificação obtida pela Ana no 5.º teste. Como a média das classificações dos cinco testes é 58%, tem-se: t = t = t = t = 89 A Ana obteve 89% no quinto teste A moda é 0 anos. Aplicar Pág. 19 Capítulo 6 Página 4

5 1.. A média, x, das idades dos 11 jogadores é: x = = = =,5 11 A média das idades dos 11 jogadores da equipa de futebol é, aproximadamente,,5 anos Consideremos a sequência crescente (em sentido lato) das idades dos jogadores: A mediana é 1 anos.. Turma A: Moda: 3 Média: 18, 19, 0, 0, 0, 1,,, 7, 8, 30 Valor central x = = = 3,375. A média é 3, Mediana: Como são 16 dados (número par), então a mediana é igual à média aritmética dos dados que se encontram nas posições 16 8 = e = 9 da sequência ordenada. Observando o gráfico conseguimos encontrar esses valores: = 3 A mediana é 3. Turma B: Como todos os dados apresentam a mesma frequência, então a moda não existe. Média: x = = = Mediana: Corresponde ao valor do dado que se encontra na posição = da sequência ordenada, ou seja, corresponde a 3. Turma C: Moda: 3 Média: x = = = Mediana: Observando o gráfico facilmente se verifica que a mediana é A moda é 6 kg. Capítulo 6 Página 5

6 3.. A média, x, é dada por: x = = 6,7 6 6 A média das massas é, 6,7 kg, aproximadamente Dados ordenados: 59, 60, 6, 6, 65, 68 Valores centrais Logo, a mediana é = 6. A mediana das massas é 6 kg Não, este conjunto de dados não tem moda. Nenhum dos dados ocorre com maior frequência do que qualquer outro. 4.. A média dos ordenados é dada por: 500, , , , , ,00 x = ,00 = 6 = 1355,00 A média dos ordenados é 1355 euros Dados ordenados: 500,00 50,00 560,00 750,00 800, ,00 Valores centrais Logo, a mediana é 560, ,00 = 1310,00 = 655, Existe um empregado da empresa cujo ordenado é 5000,00 euros, que é muito elevado comparado com o dos restantes. Desta forma, dizer-se que, em média, a empresa oferece ordenados de 1355,00 euros é pouco adequado, pois, aproximadamente, 83% dos empregados tem ordenados inferiores a 1000,00 euros A mediana é a medida mais indicada para caracterizar os ordenados dos empregados da empresa, pois é uma medida mais resistente quando existem dados muito afastados dos restantes. De facto, 655,00 euros representa melhor os ordenados dos empregados que 1355,00 euros. Repara que se o valor 5000,00 fosse retirado do conjunto de dados a média passaria a ser 66,00 euros. Capítulo 6 Página 6

7 Aplicar Pág Vamos organizar os dados numa tabela para facilitar os cálculos. SMS Número de dias Determinemos a média, x : x = = Em média, o António enviou 18 SMS por dia, aproximadamente. Determinemos a mediana: Como é um conjunto constituído por 19 dados (número ímpar) o valor do dado central corresponde à posição = 10. Observando a tabela elaborada anteriormente, conclui-se que: x ɶ = 18. A mediana é 18 SMS. A moda é 1 SMS. 1.. O António nestes últimos 10 dias recebeu entre 8 e 3 SMS por dia. Em pelo menos 50% dos dias recebeu 18 ou mais SMS Como houve um aumento de duas mensagens em cada um dos dias, então essa alteração vai-se refletir em duas unidades nos valores da média, da moda e da mediana, ou seja, este novo conjunto de dados admite: x = 0 SMS; xɶ = 0 SMS; Moda: M = 3 SMS o.1. A moda é 57%. Determinemos a média, x, dos resultados obtidos, em percentagem: x = = 56,86% A média dos resultados obtidos é 56,86%, aproximadamente. Determinemos a mediana, ɶ x : Observando os dados representados no diagrama de caule-e-folhas, tem-se que: ɶ x = = 57,5% A mediana dos resultados é 57,5%... No último teste de Matemática, os resultados na turma A do 7.º ano variaram entre 1% e 83%. O resultado mais frequente foi 57%. A média dos resultados dos testes foi, Capítulo 6 Página 7

8 aproximadamente, 56,86%. Pelo menos 50% dos alunos da turma obtiveram resultados iguais ou inferiores a 57,5% Determinemos a média das classificações obtidas pela turma A e B: x A = = = 69,5 6 6 A média das classificações, na turma A é 69,5%. x B = = 55,9% 6 6 A média das classificações, na turma B, é aproximadamente, 55,9%. Observando os diagramas sabendo que 6 é um número par, a mediana encontra-se efetuando a média aritmética dos dois valores centrais que correspondem, neste caso, aos valores nas posições 6 6 = 13 e + 1= 14. Para a turma A, a mediana é = 75,5 e para a turma B a mediana é = 58,8. Relativamente à moda, na turma A é 8% e 83% e na turma B é 58%. Resumindo-se: Moda Média Mediana Teste A 8% e 83% 69,5% 75,5% Teste B 58% 55,9% 58% 3.. O teste B foi mais difícil. A média das classificações foi inferior no teste B, assim como a moda e a mediana. Assim, pelo menos 50% dos alunos obtiveram no teste B classificação inferior ou igual a 58%, enquanto que no teste A, pelo menos 50% dos alunos obtiveram classificação superior ou igual a 75,5%. Para além disso, pode-se observar que a maioria das classificações do teste A é superior ou igual a 60% (concretamente 1 em 6 classificações) e apenas três alunos obtiveram uma classificação inferior a 50%. No que diz respeito ao teste B, há apenas 10 classificações iguais ou superiores a 60% (concretamente 10 em 6) e 10 alunos obtiveram classificação inferior a 50%. 4. A moda do número de objetos é 3. Determinemos a média do número de objetos, considerando a frequência relativa em dízima: x = 0 0, ,4 + 0, , , ,16 =,76 Capítulo 6 Página 8

9 A média do número de objetos é,76 objetos. Sabe-se que pelo menos 50% dos dados são inferiores ou iguais ao valor da mediana. Assim, acumulando as frequências relativas concluímos que a mediana é 3 objetos. 5. Uma vez que a mediana é 4, significa que pelo menos 50% dos alunos foram quatro ou menos vezes ao cinema (e, consequentemente, 50% dos alunos foram 4 ou mais vezes ao cinema) a) Uma vez que 1 e 8 são valores do conjunto de dados sobre as idas ao cinema, 1 é o número mínimo e 13 é o número máximo. b) Tendo em conta o referido anteriormente, 1 é o número mínimo e 13 é o número máximo. c) Por exemplo: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 8 Atividades fundamentais Pág Consideremos a sequência crescente (em sentido lato) dos dados: A mediana é 10. Resposta: (B) 7, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 1, 8, 30 Valor central. Tendo em conta a lombada de cada livro, tem-se: 5, ,5 1, ,5 9 x = = = =, Resposta: (D) 3. Como temos um número par de registos, a mediana obtém-se efetuando a média dos valores correspondentes às posições 6 3 = e 6 + 1= 4, da sequência ordenada dos dados. Dado que a mediana é 50%, observa-se: A resposta (A) exclui-se pois desta forma a mediana seria 47,50%, valor obtido através do quociente 45% + 50% No caso da opção (B), tem-se: ɶ 45% + 55% x = = 50% que é o que se pretende. Capítulo 6 Página 9

10 Analisemos, ainda assim, as restantes duas opções: 45% + 60% 5,5% 50% Opção (C): x ɶ = = ( ) Exclui-se esta opção. 45% + 65% 55% 50% Opção (D): x ɶ = = ( ) Exclui-se esta opção. Resposta: (B) 4. A amplitude do ângulo correspondente ao setor verde (representa o número de votos na lista B) é igual a 360º ( 10º + 80º ) = 360º 00º = 160º. Como a amplitude do ângulo de cada setor é diretamente proporcional à frequência da categoria/classe correspondente, tem-se: Número de votos obtidos pela lista A: Amplitude do ângulo 80º º x Número de votos 160º 0 x = = 40 80º Conclui-se que a lista A obteve 40 votos, o dobro do número de votos da lista C. Exclui-se as opções (A) e (C). Por outro lado, exclui-se a opção (B) dado que a amplitude do setor correspondente à lista B é superior à amplitude do ângulo do setor correspondente à lista A. Resposta: (D) Atividades fundamentais Pág A moda é 10 pontos, pelo que se exclui a opção (A). Observando o gráfico e a distribuição dos dados, conclui-se que a mediana é 10 e a média também é 10 pontos. Exclui-se a opção (C). O número de jogos efetuados pelo pedro nessa semana é igual a: = 90 ( 50) Exclui-se a opção (D). Resposta (B) 6. Se o Pedro acertou duas vezes no setor com o número 10, então obteve nesse caso 0 pontos. Significa, portanto, que nos restantes oito lançamento obteve 36 pontos. Vamos analisar cada umas das quatro opções: Capítulo 6 Página 10

11 (A) Se o Pedro acertou no zero uma só vez, significa que no máximo poderá obter 7 5 = 35 pontos, o que não pode acontecer pelo referido anteriormente. Exclui-se a opção (A). (B) Se acertar cinco vezes no 4 significa que poderá acertar três vezes num setor com o mesmo número. Desta forma, a moda seria apenas 4, o que contradiz o facto de o enunciado referir que o conjunto de dados ter duas modas. (C) Se considerarmos que o Pedro acertou quatro vezes no setor com o número 5, poderá ter acertado também quatro vezes no setor com o número 4. Nesse caso, a moda é 4 e 5 e a soma dos pontos obtidos é = 36. (D) A mediana não poderá ser 10, pois apenas acertou duas vezes no setor com o número 10. Significa, portanto, que 80% dos restantes dados são inferiores a 10. Resposta: (C) 7. Vamos analisar cada uma das seguintes opções: (A) A turma tem = 0 alunos e não 10 alunos. Exclui-se esta opção. (B) Determinemos a média do número de livros: x = = = =, Exclui-se esta opção. ( ) (C) Sabe-se que cinco alunos leram dois livros e seis alunos lerem três livros. Portanto, 11 alunos leram dois ou três livros. De facto, mais de metade dos alunos dois ou três livros. 0 11> leu (D) 5 dos 0 alunos leram um livro ou não leram qualquer livro. Ora, 5 0,5 5% 0 = =. Exclui-se esta opção. Resposta: (C) Atividades fundamentais Pág Foi vendido o mesmo número de par de sapatos na quarta-feira e na sexta-feira. Venderam-se dez pares de sapatos em cada um desses dias x = = = 8,4 5 5 Venderam-se, em média, 8,4 pares de sapatos, por dia, nessa semana. Capítulo 6 Página 11

12 1.3. A moda de venda foi dez pares de sapatos vendidos Consideremos a sequência ordenada do número de sapatos vendidos nos seis dias da semana: Logo, ɶ x = = 9,5. 6, 7, 9, 10, 10, 1 Valores centrais A mediana do número de vendas de pares de sapatos é 9,5 pares..1. Se a média para os 15 rapazes é de,50, significa que no total têm ( 15,5 ), ou seja, 37,50. Se a média para as dez raparigas é 3,15, significa que no total têm, ( 10 3,15 ), ou seja, 31,50. Portanto, no total os alunos da turma têm ( ) ou seja, 69,00... ɶ 69,00 69 x = = =, Em média, cada aluno tem,76. 37,50 31,50, 3.1. a) 1 + 7, ,50 57,5 x = = 9, Em média, foram vendidos 9,58 litros por dia. b) Consideremos a sequência ordenada dos dados: 7,50 8,00 8,50 8, Valores centrais Portanto, a mediana é dada por ɶ 8,50 + 8,50 x = = 8,50, ou seja, 8,50 litros. 3.. Pretende-se determinar o número de litros de sumo vendidos no sétimo dia, sabendo que a média nos sete dias será exatamente 57, Assim, obtém-se: 6 57,5 + l 57,5 = ( 57,5 + l ) = 7 57, l = 40, l 99,5 6l = 40, l = 99,5 = l 16, Vendeu-se no dia seguinte 16,6 litros, aproximadamente. Capítulo 6 Página 1

13 Atividades fundamentais Pág Sabor preferido Frequência absoluta Frequência relativa Morango 5 Kiwi 15 Pêssego 5 Natural Total Determinemos a amplitude do setor circular correspondente a cada sabor de iogurte, utilizando a frequência absoluta: Morango º 5 360º x x = 164º ( 0 c.d. ) Kiwi º º x x = 98º ( 0 c.d. ) Pêssego º 5 360º x x = 33º ( 0 c.d. ) Natural º º x x = 65º ( 0 c.d. ) Capítulo 6 Página 13

14 Construindo o gráfico, obtém-se: 5.1. a) Fração: 4 = 1 ; percentagem: 50% 8 b) Fração: 1 8 ; percentagem: 1,5% 5.. Os pais compraram metade dos bilhetes, ou seja, 80 bilhetes. Os professores compraram 1 8 dos bilhetes, ou seja, = bilhetes Os funcionários compraram 1 8 dos bilhetes, ou seja, 0 bilhetes. 8 foram vendidos a outras pessoas que correspondem a = bilhetes. Construindo o gráfico de barras, obtém-se: Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Observando-se o gráfico conclui-se que é em Itália que os estudantes têm mais dias de férias. Capítulo 6 Página 14

15 1.. Os estudantes belgas tiveram direito a nove semanas de férias, ou seja, 9 7 = 63 dias O número de alunos da turma A do 7.º ano é dado por: = 30 A turma A do 7.º ano tem 30 alunos... Determinemos a frequência relativa (em %) para cada uma das opções: Frequência relativa (%) CT 6 : 30 = 0,0 = 0% ACC 5 : 30 = 0,17 = 17% ACL 9 : 30 = 0,30 = 30%.3. NS/OO 10 : 30 = 0,33 = 33% 3. Turma A Dos 13 alunos desta turma 8 obtiveram positivas num total de 13. Assim, 8 100% = 61,5% ou seja, cerca de 61,5% dos alunos obtiveram positiva. 13 Turma B Dos 18 alunos desta turma 10 obtiveram positivas. Assim, % = 55,6% ou seja, 18 cerca de 55,6% dos alunos obtiveram positiva. Conclui-se, assim, que a turma A obteve melhores resultados, pois 61,5% > 55,6%. Capítulo 6 Página 15

16 4. No gráfico da esquerda parece que a evolução das vendas é maior do que foi na realidade, devido à escala utilizada, como se mostra no gráfico da direita. Na leitura de um gráfico deve-se ter atenção à escala usada no eixo vertical. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Estabelecemos uma proporção entre a frequência relativa, em percentagem, e o dinheiro correspondente. Milhões ( ) Percentagem 35, x , x = = A Santa Casa da Misericórdia de Lisboa investiu, no total, 131 milhões de euros. Por outro lado, na saúde foram investidos, em milhões, de euros: 0,9 131= 37,99. A Santa Casa da Misericórdia investiu, aproximadamente, 38 milhões de euros na saúde. a. A amplitude do setor circular corresponde às garrafas de embalagens de 1 litro (ou 0,5 litro) é igual a 150º. Estabelecendo uma proporção entre o número de pessoas e a amplitude do setor, tem-se: Amplitude Número de pessoas 360º º x 150º 880 x = = º 100 pessoas pediram embalagens de 1 litro. b. Determinemos a amplitude do setor correspondente: 360º ( 10º + 150º ) = 360º 70º = 90º (corresponde a 1 4 do círculo). Significa que 1 4 das pessoas pediram garrafas de 1,5 litro = 70 pessoas pediram garrafas de 1,5 litro Determinemos a amplitude de cada um dos setores que irão corresponder à atividade: Capítulo 6 Página 16

17 Dormir Amplitude Tempo (horas) 360º x x = = 135º 4 Escola Amplitude Tempo (horas) 360º x x = = 105º 4 Trabalhos de casa Amplitude Tempo (horas) 360º x x = = 30º 4 Como a frequência das atividades Ver televisão, Brincar e Comer é igual à atividade Trabalhos de casa, então a amplitude dos setores correspondentes é igual a 30º. Assim, utilizando régua, transferidor e compasso, tem-se o seguinte gráfico: Exercícios, problemas e desafios complementares Pág A afirmação é verdadeira. De facto, observando o gráfico, prevê-se um aumento considerável (quase que duplica) da população com 65 ou mais anos, de 008 para 060. Tal cenário sucede em oposição à diminuição da proporção da restante população. 8.. População residente em 008: habitantes Capítulo 6 Página 17

18 Projeção da população residente em 060: habitantes Assim, tem-se: 0,019 ( 3 c. d. ) Estima-se que a população total residente em Portugal decresça, aproximadamente, 1,9% de 008 para População residente em 008 com 65 anos ou mais: habitantes População residente em 008 com 65 anos ou mais (projeção): habitantes , De acordo com a projeção, estima-se que a população idosa aumente aproximadamente 67% de 008 para Por exemplo: Poder-se-á verificar, de 008 para 060, um decréscimo populacional onde a população envelhecida aumentará. 9. Determinemos inicialmente alguns dados para elaborar o texto: Média do número de alunos que frequentam cada um dos anos de escolaridade, em cada um dos Ciclos: 1.º Ciclo: 4974 : 4 = 143,5.º Ciclo: 110 : = º Ciclo: 343 : 3 = 1141 Determinemos o número de professores necessários para o 1.º Ciclo, tendo em conta que uma turma não poderá ter mais que 0 alunos: 4974 : 0 = 48,7. Significa que são necessárias 49 turmas para o 1.º Ciclo. Se cada turma tem apenas um professor, são necessários 49 professores. Assim, podemos elaborar o seguinte texto: A média do número de alunos que frequentam cada um dos anos do 1. Ciclo é, aproximadamente, 144 alunos. No. Ciclo essa média é 1055 alunos, enquanto que no 3. Ciclo a média de alunos que frequentam cada um dos anos (7., 8. e 9. anos) é de 1141 alunos. Serão necessários cerca de 49 professores para lecionar às turmas do 1. Ciclo. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág a) Número de alunos que utilizam o comboio para irem para a escola: 0,5 500 = alunos utilizam o comboio para se deslocarem para a escola. b) Número de alunos que utilizam o autocarro para irem para a escola: 0,1 500 = alunos utilizam o autocarro para se deslocarem para a escola. Capítulo 6 Página 18

19 c) Número de alunos que utilizam a bicicleta para irem para a escola: 0, = alunos deslocam-se para a escola de bicicleta Para construir a tabela, determinemos o número de alunos que se deslocam de carro para a escola: 0,0 500 = 100 Assim, tendo em conta os resultados obtidos em 10.1., obtém-se: Transporte Frequência absoluta Frequência relativa Autocarro 60 0,1 Carro 100 0,0 Bicicleta 90 0,18 A pé 15 0,5 Comboio 15 0,5 Total alunos responderam que se deslocaram para a escola a pé e 60 alunos responderam que vão de autocarro para a escola. Como = 65, significa que vão a pé mais 65 alunos que aqueles que vão de autocarro A moda do meio de transporte é A pé e Comboio Elaborando uma tabela de frequências, obtém-se: Golos marcados nas 30 jornadas pela equipa do Ronaldinho Número de golos Frequência absoluta Frequência relativa ,7% 1 8 6,7% 7 3,3% 3 6 0,0% ,3% Total % 11.. Em 10 das 30 jornadas, a equipa do Ronaldinho marcou mais que dois golos = 33,3% 30 3 Em 33,3% (aproximadamente) dos jogos do campeonato, a equipa do Ronaldinho marco mais que dois golos num jogo. Capítulo 6 Página 19

20 ,9 1 c.d Determinemos a média de golos, x = = ( ) Em média, a equipa do Ronaldinho marcou 11,9 golo por jogo. Determinemos a mediana: Observando a tabela construída em conclui-se que em 43,4% dos jogos, a equipa do Ronaldinho marcou, no máximo, um golo por jogo. Assim, conclui-se que a mediana é dois golos. A moda do conjunto de dados é um golo, pois foi o valor que mais vezes se observou (ou seja, a equipa do Ronaldinho marcou um golo em mais jogos). Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Vamos construir a tabela de frequências optando por exprimir a frequência relativa sob a forma de fração irredutível. Número de livros que os alunos trouxeram para a escola nesse dia Número de livros Frequência absoluta Frequência relativa = = Total Determinemos a média do número de livros que cada aluno trouxe nesse dia para a escola: x = =,8 8 8 Em média, cada aluno trouxe,8 livros para a escola. Determinemos a mediana: Poderíamos observar na tabela a frequência relativa e tirarmos a nossa conclusão. Mas vamos optar por outro processo. Capítulo 6 Página 0

21 Como temos 8 dados, então as posições centrais da sequência ordenada são: 8 8 = 14 e + 1= 15. Portanto, a mediana é igual à média aritmética entre os valores centrais. Assim, neste caso, tem-se: ɶ x = = 3 A mediana é três livros O número total de dias é obtido através da soma: = 15 A Ana fez o registo em 15 dias A moda do número de minutos de atraso é zero minutos x = = 1, Em média, o autocarro chega com 1,9 minutos de atraso Consideremos a sequência ordenada dos dados: A mediana é 1 minuto. 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,, 4, 4, 4, 4, 5 Valor central Por exemplo, 1,, 6, 6, 7 e 8. Reparemos que: 14.. Por exemplo,, 1, 0, 1 e x = = = 5 ; ɶ x = = Reparemos que: ( ) ɶ x = = 0 = 0, x = 0 ; ɶ x = = Pretende-se determinar a massa, em kg, do professor sabendo que a média dos 30 alunos juntamente com o professor será de (50,5 + 0,5) kg = 51 kg ,5 + p = 51, sendo p a massa, em kg, do professor. 31 Assim, p = p = 1581 p = O professor tem 66 kg. Capítulo 6 Página 1

22 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág O número de alunos é obtido pela seguinte soma: = 6. A turma tem 6 alunos A moda é dois irmãos O número de irmãos de todos os alunos da turma é dado por: = 54 No total, os alunos da turma B do 7.º ano têm 54 irmãos Tendo em conta o resultado da questão anterior, tem-se: 54 x = 6 Em média, cada aluno tem dois irmãos Se a turma tem 6 alunos, então as posições dos valores centrais são dados por: 6 6 = 13 e + 1= 14 Considerando as frequências de cada valor respeitante ao número de irmãos, conclui-se: Posição 13.ª Posição 14.ª Logo, ɶ + x = =. A mediana é dois irmãos Considerando que a frequência relativa de uma determinada categoria/classe é obtida pelo quociente entre a frequência absoluta e o número total de dados, tem-se: Número de irmãos dos alunos do 7.º B Número de irmãos Frequência absoluta Frequência relativa % 1 3 1% 8 31% % % Total 6 100% Capítulo 6 Página

23 16.7. a) 10 alunos dos 6 alunos têm mais que dois irmãos. Assim, o número de alunos que utilizam o comboio para irem para a escola: 0,5 500 = 15 Como 10 38%, então cerca de 38% dos alunos têm mais que dois irmãos. 6 b) Cinco dos 6 alunos têm mais que um irmão. Como 5 19%, então cerca de 19% dos alunos têm mais que um irmão. 6 Autoavaliação Pág Determinemos o número de alunos da turma A do sétimo ano: = 6. Como estamos perante um conjunto com u número par de dados podemos encontrar na sequência ordenada, os valores centrais: 6 6 = 13 e + 1= 14 Ora, os valores correspondentes na sequência ordenada à 13.ª posição e 14.ª posição, são 11 e 11. Assim, a mediana é ɶ x = = 11. A mediana é 11 idas à piscina no mês de maio x = = 9,8 6 6 Em média, os alunos da turma A do 7.º ano foram à piscina 9,8 vezes no mês de maio..1. A percentagem referente aos lucros dos jogos sociais da Santa Casa da Misericórdia de Lisboa é dada pela diferença: 100% ( 30% + 5% + 0% ) = 5% A Santa Casa da Misericórdia de Lisboa recebe 5% dos lucros... De acordo com os valores das percentagens, facilmente concluímos que 1 b = d = 360º = 90º 4 Determinemos os valores de a e de b tendo em conta a proporção que existe entre a frequência e a amplitude dos setores correspondentes: Percentagem Amplitude a a = = Capítulo 6 Página 3

24 Percentagem Amplitude c Portanto, b = d = 90º, a = 108º e c = 7º c = = a) x = = 9,5 1 O número médio de bolos vendidos no bar da escola é, aproximadamente, 9,5. b) A moda é 4 bolos. c) Considerando a sequência ordenada dos dados, o valor da mediana correspondente ao valor do dado que se encontra na posição = 11. Observando o diagrama, conclui-se que corresponde a 30. A mediana é 30 bolos de arroz Determinemos a média das idades dos alunos: x = = = 1, A média das idades dos alunos desta turma é 1,88 anos. Determinemos a mediana das idades dos alunos. Considerando a sequência ordenada das idades dos alunos, o valor da mediana diz respeito ao valor da idade que se encontra na posição = 13. Considerando a frequência absoluta, conclui-se que corresponde a 13. A mediana das idades dos alunos é 13 anos. Capítulo 6 Página 4

25 4.. Consideremos que s é a soma das idades dos cinco alunos. Assim, uma vez que a média é agora 13 anos, tem-se: 3 + s = 13 s = s = Portanto, a média das idades dos cinco novos alunos é 68 13,6 5 =. A média das idades dos cinco novos alunos é 13,6 anos. Capítulo 6 Página 5