COS767 - Modelagem e Análise Aula 2 - Simulação. Algoritmo para simular uma fila Medidas de interesse

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1 COS767 - Modelagem e Análise Aula 2 - Simulação Algoritmo para simular uma fila Medidas de interesse

2 Simulação O que é uma simulação? realização da evolução de um sistema estocástico no tempo Como caracterizar o sistema em um instante de tempo? através de seu estado Como construir um simulador? programa que acompanha evolução do estado do sistema no tempo

3 Fila Tempo Médio de Espera Como obter tempo médio de espera de uma fila via simulação? Tempo médio de espera tempo desde o instante de chegada até o instante de saída W i : tempo de espera do i-ésimo elemento a chegar na fila (v.a.) Estimativa n W = 1 n i=1 W i

4 Fila - Parâmetros O que precisamos saber para simular uma fila? Processo de chegada Tempo de serviço Capacidade da fila Política de atendimento Parâmetros das v.a. ex. Poisson (taxa) aleatório determinístico

5 Fila - Estado Qual o estado do sistema? número de elementos na fila Estado evolui (muda) em instantes discretos no tempo Em que instantes? instante de chegada e instante de saída

6 Fila - Eventos Ações que modificam o estado do sistema Dois eventos: chegada e saída O que ocorre em cada um destes eventos? Chegada anotar o instante de chegada do elemento incrementar a fila Quando atualizar o tempo? Saída anotar instante de saída do elemento decrementar a fila Quando gerar próxima chegada ou saída?

7 Simulação Variáveis Variáveis t: representa o instante de tempo que o simulador se encontra variáveis de estado: representam o estado do sistema no tempo t variáveis de interesse: representam valores que permitem o cálculo de medidas de interesse

8 Eventos Simulação Eventos ações que modificam o estado do sistema Ao ocorrer um evento variáveis são atualizadas (tempo, estado do sistema, medidas de interesse) Permite seguir o modelo no tempo eventos t variáveis são atualizadas (tempo, estado, etc)

9 Lista de Eventos Lista contendo todos os eventos que irão ocorrer no futuro tipo de evento, instante de ocorrência do evento ordenada por ordem de ocorrência Lista de Eventos E 1 E 2 E 1 E 1 T 1 T 2 T 3 T 4 Simulador processa próximo evento da lista remove evento da lista Quando adicionar eventos na lista? ao processar um evento!

10 Simulador Genérico 1.Inicializar variáveis 2.Inserir um ou mais eventos na lista de eventos 3.Enquanto não chegar ao fim da simulação 4.Remover próximo evento da lista de eventos 5.Processar evento Definir estado inicial Dá início a simulação Condição para terminar simulação (ex. t > t max ) Diminui lista de eventos Atualiza variáveis, gera eventos, gera outras informações

11 Simulação da Fila Estado: N (número de elementos no sistema) Eventos: E C, E S (chegada e saída) Tempo: t Condição de parada: t > t max Estado inicial: fila vazia (N = 0) Início: chegada no instante 0 (E C, 0) Lista de Eventos E C 0

12 Simulação da Fila Calcular tempo médio de espera W i : tempo de espera do i-ésimo elemento Outras variáveis N C : número total de chegadas até o momento N S : número total de saídas até o momento C(i) : instante de chegada do i-ésimo elemento S(i) : instante de saída do i-ésimo elemento W i = S(i) C(i)

13 Inicialização 1.t = 0 2.N = 0 3.N C = 0 4.N S = 0 5.Adicionar evento (E C, 0)

14 Evento de Chegada 1.t = t E // t E = tempo de ocorrência do evento 2.N = N N C = N C C(N C ) = t 5.Gerar x ~ F X (x) // tempo até próxima chegada 6.Adicionar evento (E C, t+x) 7.Se (N = 1) // fila estava vazia 8. Gerar y ~ F S (y) // tempo de serviço 9. Adicionar evento (E S, t+y)

15 Evento de Saída 1.t = t E 2.N = N 1 3.N S = N S S(N S ) = t 5.Se (N > 0) // fila não está vazia 6. Gerar y ~ F S (y) // tempo de serviço 7. Adicionar evento (E S, t+y)

16 Medida de Interesse S(i) C(i) : tempo de espera do i-ésimo elemento a chegar (sair) na fila N S W = 1 N S i=1 S i C i Uma estimativa do tempo médio de espera na fila

17 Outras Medidas de Interesse Utilização (fração de tempo servindo) Número médio no sistema (fila + servidor) Número médio na fila Probabilidade de descarte (fila finita) Fração de tempo que a fila possui mais do que k elementos

18 Utilização N(t) (no sistema) Sistema ocioso Sistema ocupado t Utilização: fração de tempo que sistema está ocupado Medir os tempos ocioso e ocupado

19 Número Médio no Sistema N(t) (no sistema) Como medir E[N] (até certo T grande)? t E[N] = T N t d t T

20 Número Médio no Sistema N(t) T i : tempo que o sistema passa com i elementos t T : tempo total i =0 T i =T E[N] = t =T 1/T i= 0 i T i = 1 /T t =0 N t d t

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