Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Transcrição

1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Departamento Acadêmico de Matemática Disciplina: Cálculo Numérico (MA6C-MA7C) / o Semestre de Professor: Rudimar Luiz Nós PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS Erro, Zero de função, Sistemas Lineares, Ajuste de Curvas (MMQ). Seja a função f cose, representada graficamente abaio. y Figura : Gráfico de f cose,,. a) Mostre que a função f() tem uma única raiz negativa. b) Delimite um intervalo para a menor raiz positiva de f(), garantindo a unicidade da raiz nesse intervalo. c) Mostre que o Método de Newton-Raphson gera uma sequência convergente para a menor raiz positiva de f() no intervalo delimitado no item b. d) Calcule a menor raiz positiva de f() empregando o Método de Newton- Raphson, e aritmética de ponto flutuante com quatro algarismos significativos. Re sposta : I.6,.68,.68,. 66 e) O Método de Newton-Raphson pode ser utilizado sem problemas no cálculo das demais raízes positivas? Justifique.

2 f) Estime o número de iterações necessárias no Método da Bissecção para calcular a menor raiz positiva de f() no intervalo delimitado no item b com precisão. Compare esse número de iterações com aquele obtido utilizando o Método de Newton-Raphson (item d).. A função polinomial f e 9 6 e 7e, e representada graficamente abaio, tem três raízes reais., y Figura : Gráfico da função f e 6 e 7e Determine a maior raiz de f() sabendo que ela se encontra no intervalo I,. No cálculo dessa raiz: a) garanta a unicidade da mesma no intervalo I,, alterando a amplitude do mesmo se necessário; b) garanta a convergência do Método de Newton-Raphson no intervalo delimitado no item a; c) empregue o Método de Newton-Raphson com precisão. Trabalhe com aritmética de ponto flutuante com quatro algarismos significativos. Re sposta : I.9,.,.9,. 967

3 . Um circuito elétrico está representado no diagrama abaio. Figura : Circuito elétrico. A corrente i, medida em ampères, que flui do nó p para o nó q de uma rede elétrica é dada por Vp Vq ipq, R pq onde V p e V q são as voltagens nos nós p e q, respectivamente, e R pq é a resistência, medida em ohms, no arco pq (Lei de Ohm). A soma das correntes que chegam a cada nó é nula (Lei de Kirchoff). Assim, as equações que relacionam as voltagens podem ser obtidas. No nó da Figura, tem-se a equação ia 4 i i, ou seja, V V4 V V V 4V V V4. Trabalhando-se de forma análoga nos nós, e 4, obtém-se o seguinte sistema de equações lineares: 4 V V. V V4 () a) Solucione o sistema linear () empregando o Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos. V 76,7,68,6

4 b) Calcule uma etapa de refinamento da solução aproimada 7.,7.8,67.7,9.9 V. Re V sposta : r.,.4,.4,.8, c.,.,.,.,, 76,7,68,6 V,,,, c) Solucione o sistema linear usando o Método de Gauss-Seidel,, máimo de iterações e aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos. O que se pode afirmar sobre a convergência do método? V.,4.,4.,8.7 A matriz dos coeficientes não é estritamente diagonal dominante. Critério de Sassenfeld: M ma.7,.87,.96, Gauss-Seidel gera uma sequência convergente à solução. 4. Solucione o sistema de equações lineares pelo Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal, utilizando aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos..44,.4,.889. Empregando-se o Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal e dois algarismos significativos na solução do sistema linear ,... obtém-se a matriz escalonada (com multiplicadores em suas respectivas posições) ,.7 tendo-se efetuado as permutações p e p. Utilizando as informações dadas e aritmética de ponto flutuante com dois algarismos significativos, obteve-se 4

5 .49,. a solução aproimada., dessa solução. Re sposta : r.4,.74,.99, c. Calcule uma etapa de refinamento.98,.6,.,.,-.48,. 6. Considere o seguinte sistema linear: () a) O Método de Gauss-Seidel é convergente quando aplicado ao sistema ()? Justifique. Re sposta: A matriz dos coeficientes não é estritamente diagonal dominante. Critério de Sassenfeld (permutando-se linhas): M ma.9,.9,.8.9. Gauss-Seidel gera uma sequência convergente à solução. b) Solucione o sistema () empregando o Método de Gauss-Seidel, aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos,,,, e número máimo de iterações igual a. -.78,-.7,. 7. A intensidade I da radiação de uma fonte radioativa é dada por I I t e. A tabela abaio fornece alguns resultados eperimentais para I t. t I(t) Calcule I e pelo Método dos Mínimos Quadrados. Mostre as etapas do escalonamento do sistema normal e verifique se o ajuste efetuado é bom ou não. Trunque na seta casa decimal e arredonde se necessário..877t Re sposta: I t.684e,.877t, I.684e i. 98 EQ I i i

6 8. Em um circuito, a corrente i foi medida em alguns instantes de tempo e os dados obtidos estão relacionados na tabela abaio. t (s)....4 i (ampères) bc Ajuste os dados tabelados por uma função f () a.e empregando MMQ. Calcule o erro quadrático cometido no ajuste e mostre as etapas do escalonamento do sistema normal. Trunque na quarta casa decimal e arredonde se necessário. Pode-se afirmar que o ajuste efetuado é bom? Por quê? Você consegue pensar em uma função que ajusta melhor os dados tabelados?.. f.76e, EQa,b,c yi.76e i Aproime a função f e,, f a n a n n cos L i, pela série trigonométrica b n n sen L X cos.67678sen.474cos.9486sen.Analise o código em C abaio. Descreva o que ele eecuta. #include<stdio.h> #include<conio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> void main() { float a[][],[],e,big,temp,relerror,sum; int n,i,j,mait,itr; printf("enter the number of equations : "); scanf("%d",&n); for(i=;i<=n;i++){ printf("enter the coefficients of equation %d : ",i); for(j=;j<=n+;j++) scanf("%f",&a[i][j]); printf("enter relative error and maimum number of iterations : "); scanf("%f%d",&e,&mait);. 6

7 for(i=;i<=n;i++) [i]=; for(itr=;itr<=mait;itr++){ big=; for(i=;i<=n;i++){ sum=; for(j=;j<=n;j++){ if(i!=j) sum=sum+a[i][j]*[j]; temp=(a[i][n+]-sum)/a[i][i]; relerror=fabs(([i]-temp)/temp); if(relerror>big) big=relerror; [i]=temp; if(big<=e){ printf("nconverges to a solution in %d iterationsn",itr); for(i=;i<=n;i++) printf("%.4ftn",[i]); getch(); eit(); printf("ndoes not converge in %d iterations n",mait); getch();. Refaça todos os eercícios selecionados dos capítulos,, e 4 do livro Noções de Cálculo Numérico (Humes et al). 7