PARTE II LUGARES GEOMÉTRICOS E ÂNGULOS

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professores: Deise Maria Bertholdi Costa, Luzia Vidal de Souza e Paulo Henrique Siqueira. Disciplina: Expressão Gráfica I PARTE I INTRODUÇÃO 1.1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO Assim como no estudo da Geometria se aceitam, sem definir, certas noções primitivas e sem demonstrar certas proposições primitivas (ou postulados, ou axiomas), no estudo do Desenho é necessário aceitar certos postulados que tornam a matéria objetiva. 1º Postulado: Os únicos instrumentos permitidos no Desenho Geométrico, além do lápis, papel, borracha e prancheta, são: a régua não graduada e o compasso. A graduação da régua ou "escala" só pode ser usada para colocar no papel os dados de um problema ou eventualmente para medir a resposta, a fim de conferi-la. 2º Postulado: É proibido em Desenho Geométrico fazer contas com as medidas dos dados; todavia, considerações algébricas são permitidas na dedução (ou justificativa) de um problema, desde que a resposta seja depois obtida graficamente obedecendo aos outros postulados. 3º Postulado: Em Desenho Geométrico é proibido obter respostas "à mão livre", bem como "por tentativas". Admite-se, no entanto, o traçado de uma cônica à mão livre ou com o uso de curvas francesas, desde que a resposta de um problema não seja obtida através desse traçado INSTRUMENTOS DE DESENHO GEOMÉTRICO Régua, compasso, esquadros, lapiseira grafite B e HB. PARTE II LUGARES GEOMÉTRICOS E ÂNGULOS 2. O MÉTODO DOS LUGARES GEOMÉTRICOS Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. Definição: Um conjunto de pontos do plano constitui um lugar geométrico (LG) em relação a uma determinada propriedade P quando satisfaz às seguintes condições: a) Todo ponto que pertence ao lugar geométrico possui a propriedade P; b) Todo ponto que possui a propriedade P pertence ao lugar geométrico.

2 Expressão Gráfica I Observação: Na resolução de problemas, procuramos construir graficamente uma determinada figura que satisfaça as condições impostas (ou propriedades). Geralmente, estas condições impostas são lugares geométricos construtíveis com régua e compasso. O emprego de figuras que constituem lugares geométricos na resolução de problemas gráficos é chamado de Método dos Lugares Geométricos. Na discussão do problema deve constar o número de possíveis soluções LG1: CIRCUNFERÊNCIA Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano situados a uma distância constante, r, de um ponto fixo O é a circunferência de centro O e raio r. Notação: Circunf(O,r); (O,r); Circ(O,r). Exercícios 1. Dados um ponto P, uma reta t e uma distância d, determinar um ponto X da reta t que esteja à distância d do ponto P. 2. São dados os pontos A e B e as distâncias m e n. Obter um ponto X que esteja situado à distância m de A e n de B.

3 Expressão Gráfica I Construir um triângulo ABC sendo dados os três lados a, b e c. Observação: Construir um triângulo equivale a determinar 3 pontos (vértices). Devemos levar em consideração: a posição, a forma e o tamanho. Propriedade dos triângulos: um triângulo fica determinado em forma e tamanho quando dele são conhecidos 3 elementos, sendo pelos menos um deles linear, isto é, um lado ou uma mediana, etc. 4. Dados os pontos A e B, e uma distância r. Construir a circunferência que passa pelos pontos A e B e que tenha raio igual a r.

4 Expressão Gráfica I Exercícios propostos 1. Dados o ponto A, a circunferência λ e a distância r. Determinar um ponto X de λ que esteja à distância r do ponto A. 2. Dados os pontos B e C e uma circunferência λ. Construir um triângulo ABC, sendo dado o lado b e sabendo que o vértice A pertence à circunferência λ. 3. Dados a reta s, o ponto A e a distância d. Construir o triângulo ABC, isósceles de base BC, sabendo os lados têm medida d e que a base BC está contida na reta s.

5 Expressão Gráfica I Dados os pontos B e C e a reta s. Construir um triângulo ABC, sendo dado o lado b e sabendo que A pertence à reta s. 5. Dados o ponto P, a reta s e a distância r. Construir a circunferência que passe pelo ponto P, tenha raio r e cujo centro pertença à reta s. 6. São dados uma circunferência λ, um ponto T sobre λ e uma distância r. Construir uma circunferência de raio r que seja tangente a λ no ponto T. Dica: os centros das circunferências tangentes e o ponto de tangência são colineares.

6 Expressão Gráfica I LG2: MEDIATRIZ Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de dois pontos A e B dados é a mediatriz do segmento AB. Definição: Uma circunferência é dita circunscrita a um triângulo quando ela passa pelos seus três vértices. O centro da circunferência circunscrita é denominado circuncentro. Definição: Duas retas são ditas perpendiculares quando são concorrentes e formam ângulos de 90 o entre si. Definição: A distância de um ponto a uma reta é a medida do segmento traçado do ponto até a reta, perpendicularmente à mesma. Exercícios 1. Construir a mediatriz do segmento dado AB. 2. Dados dois pontos B e C e uma circunferência λ. Construir um triângulo ABC isósceles, de base BC, sabendo-se que o vértice A pertence a λ.

7 Expressão Gráfica I Dados três pontos A, B e C, não colineares, construir a circunferência que passa por esses pontos. 4. Traçar uma reta perpendicular a uma reta dada r, que passa por um ponto P dado. a) P r; b) P r.

8 Expressão Gráfica I Exercícios propostos 1. São dados os pontos B e C e a reta a. Determinar um ponto de a que seja equidistante de B e C. 2. Dados os pontos A, B e C, e uma distância r. Determinar um ponto X, tal que a distância de X a B seja igual a r e X seja equidistante de A e C. 3. São dados os pontos P e Q e uma reta s. Construir uma circunferência que passe por P e Q, sabendo que seu centro pertence à reta s.

9 Expressão Gráfica I Dada uma circunferência de centro desconhecido, obter seu centro. 5. São dados um ponto O e uma reta t. Construir uma circunferência que tem centro O e é tangente à reta t. Dica: a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 6. Dada uma circunferência de centro O e um ponto T pertencente à ela, traçar a reta t tangente à circunferência no ponto T.

10 Expressão Gráfica I LG3: RETAS PARALELAS Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância dada d de uma reta dada r compõe-se de duas retas s 1 e s 2 paralelas à reta r e que têm distância até ela igual à distância dada. Exercícios 1. Dados uma reta t e um ponto P, não pertencente a t, traçar a reta s paralela à reta t. 2. Dada uma reta t, construir o LG dos pontos que distam 2cm de t. 3. São dados um ponto A, uma reta t e uma distância r. Construir uma circunferência de raio r, que passe pelo ponto A e seja tangente à reta t.

11 Expressão Gráfica I São dados um ângulo A Bˆ C e uma distância r. Construir uma circunferência de raio r tangente aos lados do ângulo dado. Exercícios Propostos 1. Dados dois pontos A e B, a reta r e a distância d. Obter um ponto X que diste d de r e seja equidistante de A e B. 2. Dados a reta r, os pontos A e B sobre r e o ponto P fora de r. Construir uma circunferência que passe por A e B, sabendo que o seu centro pertence à reta paralela a r conduzida por P.

12 Expressão Gráfica I Dadas duas retas a e b concorrentes, construir uma circunferência de raio r dado que seja tangente a ambas as retas. 4. Dadas duas retas concorrentes s e t e um ponto P fora delas. Determinar a reta r que passe por P e seja paralela a t. Construir uma circunferência tangente à reta t, sabendo que o seu centro é o ponto de interseção das retas r e s. 5. Construir um triângulo ABC, dados os lados a e b e a distância h do vértice A ao lado BC. Dados: a=55mm, b=30mm, h=25mm.

13 Expressão Gráfica I LG4: BISSETRIZ Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de duas retas concorrentes dadas é composto de duas outras retas, perpendiculares entre si, e bissetrizes dos ângulos formados pelas retas dadas. Exercícios 1. Construir a bissetriz do ângulo dado. 2. São dadas duas retas concorrentes r e s e um ponto T de r. Construir uma circunferência tangente às retas r e s, sabendo que T é o ponto em que ela tangencia a reta r.

14 Expressão Gráfica I Definição: Uma circunferência é dita inscrita a um triângulo quando ela for tangente aos lados do triângulo. O centro da circunferência inscrita é denominado incentro. 3. Construir a circunferência inscrita ao triângulo ABC dado. Exercícios propostos 1. Dadas as retas a, b e c. Construir uma circunferência tangente às retas b e c, sabendo-se que o seu centro pertence à reta a. 2. Construir a circunferência de centro B, dados o raio r e a distância AB=d. Considere o centro da circunferência equidistante dos segmentos.

15 Expressão Gráfica I CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS 1. Transportar o ângulo de medida α dado, sabendo-se que O será o seu vértice e a semirreta OA dada um de seus lados. 2. Construir os ângulos notáveis de 90 e 60. Construir os ângulos de 45, 22 30', 30, 15, 120, 150, 135, 75.

16 Expressão Gráfica I ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Definição: Em uma circunferência de centro O e raio r, define-se: Corda: é qualquer segmento que possui as extremidades em dois pontos da circunferência; Diâmetro: é qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência; Dois pontos A e B de uma circunferência dividem-na em duas partes, A M ) B e A N ) B. Cada parte denomina-se arco circular ou simplesmente arco e os pontos A e B são os extremos. Observação: A corda que une os extremos de um arco subtende o arco. Definição: Ângulo central é todo o ângulo que possui o vértice no centro da circunferência e cada um de seus lados contém um raio da mesma. Observações: 1. O arco interceptado por um ângulo central é correspondente a esse ângulo, ou ele é chamado arco que o ângulo central enxerga. 2. A medida angular de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente. Definição: Ângulo inscrito é todo ângulo convexo que possui seu vértice sobre a circunferência e cada um de seus lados contém uma corda da mesma. Observações: 1. O arco interceptado por um ângulo inscrito é correspondente a esse ângulo, ou ele é chamado arco que o ângulo inscrito enxerga. 2. Quando os lados de um ângulo inscrito e de um ângulo central cortam-se sobre os mesmos pontos sobre a mesma circunferência então eles são ditos ângulos correspondentes na circunferência. Definição: Ângulo de segmento (ou ângulo semi-inscrito) é o ângulo formado por uma corda e a tangente à circunferência conduzida por uma das extremidades da corda.

17 Expressão Gráfica I Propriedade: Todo ângulo inscrito numa circunferência mede a metade do ângulo central correspondente. Propriedade: A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do ângulo central correspondente LG5: ARCO CAPAZ Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano que enxergam um segmento AB segundo um ângulo de medida α constante é o par de arcos capazes do ângulo α descrito sobre AB.

18 Expressão Gráfica I Exercícios 1. Construir o Arco Capaz de 60 o do segmento dado AB. 2. Quanto vale o ângulo inscrito numa semicircunferência? 3. Construir o Arco Capaz de 90 o do segmento dado AB. 4. Quanto vale b em função de α?

19 Expressão Gráfica I São dados uma circunferência λ de centro O e um ponto P exterior a mesma. Traçar pelo ponto P retas tangentes a λ. 6. Traçar retas tangentes comuns a duas circunferências (A, m) e (B, n) dadas Tangentes exteriores 6.2. Tangentes interiores

20 Expressão Gráfica I Exercícios Propostos 1. Construir um triângulo ABC, sendo dados o lado a=50mm, a altura relativa ao lado a, ha=30mm e o ângulo e Â=60 o. 2. Construir a peça abaixo, com as medidas indicadas de AB e do ângulo de 45º. 3. Construir a seta abaixo, com as medidas indicadas.

21 Expressão Gráfica I PARTE III OPERAÇÕES COM SEGMENTOS 3.1. DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES PROPORCIONAIS Teorema de Tales: um feixe de retas concorrentes corta um outro feixe de retas paralelas segundo segmentos proporcionais. Exercícios 1. Dividir um segmento AB=11cm em n=7 partes iguais. 2. Dividir um segmento AB=12cm em partes proporcionais aos segmentos m, n e p dados.

22 Expressão Gráfica I Dividir um segmento AB=13cm em partes proporcionais a números dados: m=2, n=4,2 e p=5,3. 4. Dado um segmento m=3,2cm, obter um segmento x, tal que x = 2m/5. 5. Dividir os segmentos a=3cm, b=4,5cm e c=5,3cm em 5 partes iguais.

23 Expressão Gráfica I PARTE IV TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS 4.1. CEVIANAS E PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro. Propriedade: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Observação: O circuncentro pode ser interno (no triângulo acutângulo) ou externo (no triângulo obtusângulo) ou pertencer a um dos lados, sendo, neste caso o seu ponto médio (no triângulo retângulo). Definição: Ceviana é todo segmento que tem uma extremidade num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vértice. Definição: Mediana é toda ceviana que tem uma extremidade no ponto médio de um lado. O ponto de encontro das medianas é único e chama-se baricentro. Propriedade: o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida do terceiro lado. Propriedade: O baricentro de um triângulo divide cada mediana na razão de 2 para 1, a partir do vértice. Observação: O baricentro é sempre interno ao triângulo. Definição: Bissetriz interna é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e congruentes. O ponto de encontro das bissetrizes internas é único e chama-se incentro. Propriedade: O incentro é o centro da circunferência inscrita ao triângulo. Observação: O incentro é sempre interno ao triângulo. Definição: Altura é toda ceviana perpendicular a um lado ou ao seu suporte. O ponto de encontro das alturas de um triângulo é único e chama-se ortocentro. Observação: O ortocentro pode ser interno (no triângulo acutângulo) ou externo (no triângulo obtusângulo) ou coincidir com um dos vértices, no caso, o do ângulo reto (no triângulo retângulo).

24 Expressão Gráfica I CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS Construir um triângulo significa determinar a posição dos seus vértices. Devem ser fornecidos sempre 3 elementos, um deles necessariamente linear, isto é, ou um lado ou uma altura ou uma mediana, etc. Na discussão da quantidade de soluções pode-se analisar a posição na qual o triângulo foi desenhado e o tamanho obtido. Normas gerais para a construção de triângulos: 1º Imagina-se o problema já resolvido e faz-se uma figura rascunho onde aparecem, além do contorno do triângulo, todos os elementos dados. 2º Estuda-se a figura rascunho em busca de propriedades que permitam obter os vértices. 3º Determinadas as propriedades, passa-se à construção. Exercícios propostos Construir triângulo ABC, sendo dados: 1. um lado, uma altura e um ângulo: a=6cm, h a =3,5cm, Bˆ =45 o 2. um lado, uma mediana e um ângulo: a=6cm, m a =5,5cm e Ĉ =60 o 3. um lado, o raio da circunf inscrita e um ângulo: a=5,5cm, r=1,2cm e Bˆ =75 o 4. um lado, o raio da circunf inscrita e um ângulo: b=6cm, r=15 e Â=90 o

25 Expressão Gráfica I um lado, o raio da circunf circunscrita e uma altura: a=6cm, R=4cm e h a =4,2cm 6. dois lados e uma mediana: b=5cm, c=7cm e m b =7,2cm 7. um lado, uma bissetriz e um ângulo: c=4,5cm, b b =4,8cm e Bˆ =60 o 8. um lado e duas medianas: a=5,5cm, m b =4cm e m c =4,5cm 9. um lado e duas medianas: a=4,7cm, m a =5cm e m b =4,2cm 10. os pontos médios dos lados: M a, M b e M c

26 Expressão Gráfica I QUADRILÁTEROS Propriedades: Em um quadrilátero qualquer ABCD a soma dos ângulos internos é Um quadrilátero ABCD é inscritível quando Um quadrilátero ABCD é circunscritível quando QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS TRAPÉZIO Definição: Trapézio é o quadrilátero que possui um par, e somente um par, de lados opostos paralelos. Bases: Lados não-paralelos: A distância entre as bases é chamada de altura do trapézio. Os trapézios se classificam em: - Escaleno: quando os lados não-paralelos não são congruentes - Isósceles: quando os lados não-paralelos são congruentes - Retângulo: quando um dos os lados não-paralelos é perpendicular às bases Propriedade: Em um trapézio isósceles os ângulos de uma mesma base são e as diagonais são. PARALELOGRAMO Definição: Paralelogramo é o quadrilátero que possui os pares de lados opostos respectivamente paralelos. Propriedades: - Os ângulos opostos são. - Quaisquer dois ângulos internos consecutivos são. - Os lados opostos são. - As diagonais interceptam-se em seus.

27 Expressão Gráfica I Propriedades Recíprocas: - Se num quadrilátero os pares de lados opostos são respectivamente congruentes, então o quadrilátero é um. - Se num quadrilátero um par de lados opostos são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um. - Se num quadrilátero as diagonais interceptam-se em seus pontos médios, então o quadrilátero é um. Os paralelogramos se classificam em: - Paralelogramos - Retângulo: quando possui ângulos retos. - Losango: quando possui os quatro lados congruentes. - Quadrado: quando possui os ângulo retos e os quatro lados congruentes. O retângulo, o quadrado e o losango possuem todas as propriedades dos paralelogramos. E, além disso, possuem as seguintes propriedades: - Em todo retângulo as diagonais são. - Em todo losango as diagonais são e dos ângulos internos. - Como todo quadrado é um retângulo, então suas diagonais são, e como ele também é losango, suas diagonais são e dos ângulos internos CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS Um quadrilátero pode ser entendido como uma composição de dois triângulos. Para construí-lo, é necessário conhecer 5 elementos, sendo necessariamente um deles linear. Com três deles, pode-se construir um dos triângulos em que o quadrilátero fica dividido por uma de suas diagonais, e com os outros dois determina-se o quarto vértice. Quando se trata de um quadrilátero notável, há dados que já estão implícitos. As técnicas de construções de quadriláteros são as mesmas utilizadas para os triângulos. Exercícios propostos Construir os quadriláteros ABCD indicados, dados: 1. quadrado de lado AB=3,4cm 2. quadrado de diagonal BD=5cm

28 Expressão Gráfica I retângulo AC=6,5cm e lado AB=3cm. 4. retângulo inscrito em uma circunf de raio R=3cm e lado AB=4,5cm 5. losango de diagonais AC=6cm e BD=2,5cm. 6. losango de lado AB=3,7cm e Ĉ = paralelogramo de lados AB=4,5cm e BC=2,5cm e Bˆ = paralelogramo de lados AB=4cm e BC=2,2cm e diagonal AC=5,7cm.

29 Expressão Gráfica I paralelogramo de diagonais AC=5,7cm e BD=3,5cm e o lado BC=2,5cm. 10. trapézio isósceles de bases AB=5,5cm e CD=2,5cm e altura h=2,7cm. PARTE V DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS REGULARES 5.1. DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS Dividir a circunferência em partes (ou arcos) iguais é o mesmo que construir polígonos regulares. Isso porque os pontos que dividem uma circunferência em um número n (n>2) qualquer de partes iguais são sempre vértices de um polígono regular inscrito na mesma. Ao dividir uma circunferência em n partes iguais, tem-se também a divisão da mesma em 2n partes, bastando para isso traçar bissetrizes. 1. Dividir uma circunferência em n = 2, 4, 8, 16,... = 2.2 m partes; m N n ÂNGULO CÊNTRICO POLÍGONO REGULAR o 2 arcos capazes de 90 o 4 90 o Quadrado 8 45 o Octógono 16 22,5 o Hexadecágono 32 11,25 o Triacontadígono

30 Expressão Gráfica I Dividir uma circunferência em n = 3, 6, 12,... = 3.2m partes; m N n ÂNGULO CÊNTRICO POLÍGONO REGULAR o Triângulo equilátero 6 60 o Hexágono o Dodecágono o Icositetrágono 48 7,5 o Tetracontoctógono 3. Dividir uma circunferência em n = 5, 10, 20,... = 5.2 m partes; m N n ÂNGULO CÊNTRICO POLÍGONO REGULAR 5 72 o Pentágono o Decágono o Icoságono 40 9 o Tetracontágono

31 Expressão Gráfica I PROCESSOS APROXIMADOS Quando se propõe uma divisão da circunferência em n partes iguais, se existir um processo exato, este deverá sempre ser utilizado. Nos casos em que não exista tal processo utilizamos processos aproximados. Exemplo: dividir a circunferência dada em 7 partes iguais Exemplo: dividir a circunferência dada em 9 partes iguais

32 Expressão Gráfica I Exercícios propostos Construir os polígonos regulares de n lados sendo dada a medida do lado l = 4cm. 1. n = 3 2. n = 4 3. n = 5 4. n = 6 5. n = 8 6. n = n = 7 8. n = 9

33 Expressão Gráfica I PARTE VI SISTEMAS DE PROJEÇÃO 6.1. MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO Para se representar os objetos graficamente utilizam-se vários métodos. Existem aqueles que utilizam apenas um Plano de Projeção, como o Método de Projeção Central (de Brook Taylor), o qual utiliza um Sistema de Projeção Cônico; o Método de Projeção Cotada (de Felipe Büache) que utiliza um Sistema de Projeção Cilíndrico Ortogonal; o Método de Projeção Axonométrica (de Polke) que utiliza um Sistema de Projeção Cilíndrico; e Métodos Especiais utilizados em Representações Cartográficas. Existe também um Método de Representação que utiliza dois ou mais Planos de Projeção em conjunto com um Sistema de Projeção Cilíndrico Ortogonal denominado de Método de Monge ou Mongeano ou Método da Dupla Projeção Ortogonal (de Gaspard Monge). Num Sistema de Projeção devem ser definidos os seus elementos principais que são: - Objeto a ser projetado - Projetante - Plano de projeção 6.2. TIPOS DE PROJEÇÕES cônica perspectiva cônica oblíquas perspectiva cavaleira um só plano cilíndrica perspectiva axonométrica ortogonais projeção cotada especiais projeções cartográficas dois ou mais planos Dupla Projeção Ortogonal (ou Método Mongeano ou de Monge)

34 Expressão Gráfica I OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS DO DESENHO PROJETIVO CONCEITO DE PROJETAR a. Projetar um ponto A a partir de um outro ponto O, distinto de A, significa determinar a reta pertencente aos dois pontos. A reta OA é denominada projetante do ponto A, e o ponto O é denominado de centro de projeção. b. Projetar uma reta r partir de um ponto O, não pertencente a essa reta, significa determinar o plano pertencente ao ponto e à reta. Esse plano, α, é denominado plano projetante da reta r. c. Projetar um objeto a partir de um ponto O significa determinar as projetantes de todos os pontos desse objeto. Quando se quer projetar um sólido, normalmente são projetados somente os elementos necessários e suficientes que o determinam. Observação: Sejam uma reta a e um ponto A fixos e b uma reta móvel passando por A, que rotaciona em torno do ponto A. Em apenas uma posição não há interseção física entre as duas retas, convencionamos então que existe um ponto de interseção denominado de Ponto Impróprio e denotado por B.

35 Expressão Gráfica I CONCEITO DE CORTAR a. Cortar uma reta a por outra b, significa obter o ponto (ab) comum às duas retas. O ponto considerado pode ser próprio ou impróprio, conforme as retas sejam concorrentes ou paralelas. b. Cortar um plano α por uma reta a, ou uma reta a por um plano α, significa obter o ponto (a α ) comum à reta e ao plano. c. Cortar um plano α por outro β significa encontrar a reta (αβ) comum a ambos os planos. d. Cortar um objeto por um plano significa encontrar a seção plana produzida por este plano no sólido considerado. Observação: o ponto ou a reta ou a curva quando determinados por cortes chamam-se traços.

36 Expressão Gráfica I CONCEITO DE PROJEÇÃO CÔNICA OU CENTRAL Considere um plano π e um ponto fixo O não pertencente ao plano considerado. Denomina-se projeção central ou cônica, no plano π, de um ponto A, distinto de O, ao traço A, produzido sobre o plano, pela reta projetante do ponto A. O plano π é denominado plano de projeção e o ponto O é denominado centro, polo ou vértice de projeção. A projeção central ou cônica é também denominada perspectiva cônica, ou perspectiva linear exata do ponto A. Observações: Plano de projeção não é o mesmo que plano projetante. O sistema é chamado de projeção cônica, pois as projetantes descrevem uma superfície cônica CONCEITO DE PROJEÇÃO CILÍNDRICA (oblíqua ou ortogonal) Denomina-se projeção cilíndrica de um ponto A, no plano π a partir de O, ao traço A produzido sobre π, pela reta projetante do ponto A. Observações: Dado o ponto A, A é único, porém dado somente A sabe-se que o ponto A pertence à reta projetante; O sistema é denominado projeção cilíndrica, pois as projetantes descrevem uma superfície cilíndrica; Os pontos do plano de projeção coincidem com suas projeções; Se a direção das projetantes for oblíqua ao plano de projeções tem-se o sistema de projeção Cilíndrica Oblíqua; Se a direção das projetantes for perpendicular ao plano de projeções tem-se o Sistema de Projeção Cilíndrica Ortogonal.

37 Expressão Gráfica I PROPRIEDADES DAS PROJEÇÕES CILÍNDRICAS (oblíquas ou ortogonais) Propriedade 1: A projeção cilíndrica de uma reta não paralela à direção das projetantes é uma reta. A projeção cilíndrica de uma reta paralela à direção das projetantes é um ponto. Observações: a) Se a projeção cilíndrica de uma reta é uma reta, então a reta objetiva não é paralela a direção das projetantes; b) Se a projeção cilíndrica de uma reta é um ponto, então a reta é paralela à direção das projetantes; c) Se uma reta é perpendicular ao plano de projeção, sua projeção cilíndrica-ortogonal sobre o mesmo será o seu traço no plano de projeção considerado. Reciprocamente, se a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano reduzir-se a um ponto, então a reta será perpendicular ao plano de projeção, ou o que é equivalente, a reta será paralela à direção das projetantes. d) Uma reta r, não paralela à direção das projetantes, e sua projeção cilíndrica r são coplanares; logo, pode ocorrer entre a reta e sua projeção uma das seguintes condições: r e r são concorrentes, neste caso a reta corta o plano de projeção (Figura 9); São paralelas, neste caso a reta será paralela ao plano de projeção; São coincidentes, neste caso a reta estará contida no plano de projeção. paulohscwb.github.io/a-frame_ar/cotadas.html

38 Expressão Gráfica I Propriedade 2: Se duas retas r e s são paralelas então as suas projeções cilíndricas ou são paralelas, ou são coincidentes ou são pontuais. a) r e s pertencem a planos projetantes distintos b) r e s pertencem ao mesmo plano projetante c) r e s são paralelas à direção das projetantes d Observação: A recíproca da propriedade 2 não é verdadeira. =t

39 Expressão Gráfica I Propriedade 3: Se dois segmentos são paralelos ou são colineares, então a razão entre eles no espaço conserva-se na projeção cilíndrica, desde que a direção dos segmentos não seja paralela à direção das projetantes. AB // CD AB A B Se ou e não paralelos a d = CD C D colineares a) AB//CD b) AB e CD colineares Consequência: Se M é ponto médio do segmento AB então M é ponto médio da projeção do segmento AB (A B ). Observação: A recíproca não é verdadeira. Ou seja, se AB/CD=A B /C D não implica que AB//CD ou colineares.

40 Expressão Gráfica I Propriedade 4: Se uma figura está contida num plano paralelo ao plano de projeção, então essa figura será congruente à sua projeção cilíndrica, isto é, a projeção cilíndrica desta figura está em verdadeira grandeza (V.G.). Observação: A recíproca não é verdadeira em projeção oblíqua, porém é verdadeira em projeção ortogonal. =C =D Propriedade 5: Qualquer figura contida num plano paralelo a direção das projetantes tem para projeção um segmento que está contido no traço do plano dessa figura sobre o plano de projeção. Observação: A recíproca da Propriedade 5 é verdadeira.

41 Expressão Gráfica I Exercícios: Considere um sistema de projeção cilíndrica com somente um plano de projeção π. Escreva ao lado de cada exercício as propriedades geométricas e as propriedades das projeções cilíndricas utilizadas. 1. Representar o ponto médio M do segmento dado AB. a) b) 2. Representar o paralelogramo ABCD sendo dados três de seus vértices. a) b) c) d)

42 Expressão Gráfica I Representar o paralelogramo ABCD sendo dados os pontos A e B e o ponto M de interseção das diagonais. a) b) c) 4. Representar o triângulo ABC sendo dados os vértices A e B e o baricentro G. a) b) c)

43 Expressão Gráfica I Representar o hexágono regular ABCDEF sendo dados dois vértices e o centro O da circunferência circunscrita. a) b) c) 6. Representar o hexágono regular ABCDEF sendo dados A, B e C. a) b) c)

44 Expressão Gráfica I PROPRIEDADES DAS PROJEÇÕES CILÍNDRICAS ORTOGONAIS Propriedade 6: Se um segmento é oblíquo ao plano de projeção π então sua projeção ortogonal é menor que a sua verdadeira grandeza. Observação: A recíproca da Propriedade 6 é verdadeira. Propriedade 7: Se duas retas são perpendiculares ou ortogonais entre si, sendo uma delas paralela ou pertencente ao plano de projeção e a outra não perpendicular a esse plano, então as projeções ortogonais dessas retas são perpendiculares entre si. Resumindo: r s ou r s (1) Se r // π ou r π (2) r s (4) s π (3) Observação: As recíprocas da propriedade 7 são verdadeiras. São elas: Recíproca 1: (2) + (3) +(4) (1) Recíproca 2: (1) + (4) (2) + (3)

45 Expressão Gráfica I Exercícios Considere um sistema de projeção cilíndrica com somente um plano de projeção π. Escrever ao lado de cada exercício as propriedades geométricas e as propriedades das projeções cilíndricas utilizadas. 1. Representar a projeção cilíndrica ortogonal de um losango ABCD, sabendo-se que a diagonal AC está paralela a π, dada a projeção da reta r que é o lugar geométrico do ponto B 2. Representar a projeção cilíndrica ortogonal de um retângulo ABCD, dadas as projeções dos vértices A e C, sabendo-se que o lado AB é paralelo a π e mede 3cm.

46 Expressão Gráfica I Representar a projeção cilíndrica do paralelepípedo ABCDEFGH sendo dadas as projeções de A, B, C e E. 4. Representar a projeção cilíndrica do prisma ABCDEF-GHIJKL de base hexagonal regular, dadas as projeções dos vértices A, B, D e H.

47 Expressão Gráfica I Usando as propriedades de projeções cilíndricas, concluir as projeções da casa no plano π dado abaixo, usando a direção de projeções d. Considerar que a base ABCD é paralela a π. Os segmentos AB, AE, HJ e JG ficam projetados em verdadeira grandeza em π? Por quê?

48 Expressão Gráfica I PARTE VII O MÉTODO DAS PROJEÇÕES COTADAS O Método das Projeções Cotadas foi idealizado por Fellipe Büache em 1737 para o levantamento da carta hidrográfica do Canal da Mancha. Em 1830 o método foi sistematizado pelos militares franceses. É bastante utilizado na solução de coberturas e como base para o Desenho Topográfico. O método das projeções cotadas é um sistema gráfico-analítico que utiliza somente uma projeção cilíndrica ortogonal do objeto estudado. Cada projeção é acompanhada de um número que representa a distância do ponto ao plano de projeção O PLANO DE REPRESENTAÇÃO O plano π situado na posição horizontal denomina-se Plano (ou Quadro) de Representação ou Plano de Projeção ou Plano de Comparação. Este plano divide o espaço em dois subespaços: superior e inferior. O centro de projeções, O, é impróprio, pois a projeção é ortogonal REPRESENTAÇÃO DO PONTO Seja o ponto A, considere sua projeção cilíndrica ortogonal A sobre o plano π. O ponto A não fica individualizado somente por sua projeção A, é necessário mais um elemento, utiliza-se a cota do ponto. Assim, o ponto A fica representado por A (a). O método de projeção cotada é um sistema gráfico-algébrico, pois envolve uma projeção gráfica e um número. A cota de um ponto é o número que expressa a distância do ponto P ao plano de projeção. Cota positiva = altura ou altitude Cota negativa = profundidade ou depressão π é o lugar geométrico dos pontos de cota nula Os pontos de mesma cota constituem um plano paralelo ao π. Os pontos pertencentes a um mesmo plano horizontal possuem a mesma cota.

49 Expressão Gráfica I ÉPURA DO PONTO A épura do ponto é a representação plana da figura espacial, conforme apresentado na figura 25. O ponto fica determinado no sistema cartesiano, pelas suas coordenadas cartesianas, A(x, y, z), onde: x representa o valor no eixo das abscissas; y representa o valor no eixo das ordenadas; z representa o valor de cota do ponto, ou seja, sua distância até o plano π. y A'(a) FIGURA 25 REPRESENTAÇÃO DO PONTO EM ÉPURA x Exercício Representar a épura dos pontos dados, utilizando como unidade o mm e a escala natural: A(40,30,20), B(20,60,-30), C(90,70,40), D(90,70,10), E(80,40,0) y paulohscwb.github.io/a-frame_ar/cotadas.html x

50 Expressão Gráfica I DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Para obter a distância d entre os dois pontos A e B, ou seja, a verdadeira grandeza (VG) do segmento AB, pode-se utilizar o processo gráfico ou o algébrico. Distância vertical: dv = b-a Distância horizontal: dh = A B Distância d 2 = dv 2 + dh 2 No processo algébrico, caso as cotas sejam diferentes, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo; se os pontos possuem a mesma cota, então a distância entre eles é d=dh e se possuem a mesma reta projetante, então a distância entre eles é d=dv. No processo gráfico, se os pontos possuem cotas distintas e projetantes distintas aplica-se o rebatimento; se os pontos possuem a mesma cota então a VG do segmento AB é A B ; e se pertencem a uma mesma reta projetante, então basta encontrar a diferença entre cotas dos pontos. Rebatimento do plano projetante α sobre π Basta rebater o plano projetante α do segmento AB em torno do eixo α π, obtendo-se a verdadeira grandeza (VG) da distância d entre A e B, bem como a distância horizontal dh e a vertical dv. No espaço:

51 Expressão Gráfica I Exercício Encontrar as VGs dos segmentos dados. a) b) c)

52 Expressão Gráfica I Rebatimento do plano projetante α sobre β horizontal Basta rebater o plano projetante α do segmento AB em torno do eixo αβ obtendo o segmento A 1 B 1, cuja VG é o segmento A 1 B 1. No espaço: Exercício Encontrar a VG do segmento dado rebatendo sobre um plano β paralelo ao π AB. a) b) c)

53 Expressão Gráfica I Exercícios propostos 1. Representar a distância entre os pontos dados. unidade: mm a) A(50,40,100) e B(100,80,60) b) C(40,70,20) e D(60,30,-30)

54 Expressão Gráfica I c) E(30,60,100) e F(30,60,80) d) Dados em posição G e H 2. Na planta de um terreno foram assinalados dois pontos, um de cota 26m e outro de cota 17m. Sabendo-se que o desenho está na escala 1:100 e que em planta a distância entre os pontos é de 8cm, determinar a distância entre os pontos.

55 Expressão Gráfica I REPRESENTAÇÃO DA RETA Propriedade já vista: Se r é uma reta então r ou é uma reta (se r não for paralela à direção das projetantes d) ou um ponto (se r for paralela a direção das projetantes d) Reta vertical Característica espacial: Épura: Exercício: Representar a reta vertical que passa pelo ponto A. Reta horizontal ou de nível Característica espacial: Épura: Exercício: Representar a reta horizontal que passa pelos pontos A e B.

56 Expressão Gráfica I Reta qualquer Característica espacial: Épura: Exercício: Representar a reta qualquer que passa pelos pontos A e B. Exercício Proposto: Identificar o tipo da reta r em cada épura dada a seguir. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

57 Expressão Gráfica I Elementos de uma reta qualquer 1º Inclinação de uma reta é o menor ângulo θ que essa reta forma com o plano de representação. A inclinação pode ser obtida: Ou algebricamente, da seguinte forma: dv como tg θ =, onde dv = b a (diferença de cotas dos pontos) e dh=a B (projeção de AB) dh dv então θ =arctg. dh Ou graficamente pelo rebatimento do plano projetante α da reta r. 2º Coeficiente de redução é dado por ρ = cos θ = dh. d dv 3º Declive de uma reta é a tangente da sua inclinação, ou seja, de = tg θ =. dh É comum exprimir o declive em porcentagem em vez de uma fração ou de um número decimal. Assim, em vez de se dizer, por exemplo, declive igual a 3/5 ou 0,6, usa-se dizer declive igual a 60%. Para inclinação zero não há declive. Para inclinação 90 o o declive é infinito. E para inclinação 45 o o declive é 100%. O declive também é chamado de declividade ou rampa.

58 Expressão Gráfica I Exercício Obter a inclinação da reta r(a,b) e a VG do segmento AB. Obter seu coeficiente de redução e seu declive.

59 Expressão Gráfica I º Intervalo O intervalo é uma distância horizontal de dois pontos de uma reta tais que a diferença de suas cotas seja igual a unidade. Sejam A e B tais que b a = 1 unidade, sendo a e b as cotas dos pontos, respectivamente, então o intervalo I = dh = A B. =1 O declive é o inverso do intervalo unitário, pois: dv b a 1 1 tg θ = = = tg θ = dh AB AB AB 1 A B = tg θ A equidistância é um múltiplo do intervalo. Exercício Represente o intervalo da reta dada r(a,b)

60 Expressão Gráfica I º Escala de declive Graduar uma reta A escala de declive de uma reta r é a figura que se obtém representando sobre sua projeção r os pontos de cotas inteiras. Graduar uma reta é obter a escala de declive. Marcando os pontos de cotas inteiras e consecutivas teremos o intervalo da reta. Representamos por g r a graduação da reta r (pontos de cotas inteiras). Exercício Graduar a reta r definida pelos pontos A e B. A unidade é o cm. a) b)

61 Expressão Gráfica I Exercícios Propostos: 1. Complete: Inclinação θ Coeficiente de redução ρ Declive de dh dv Intervalo I Reta qualquer vertical horizontal 2. Encontre o traço de r sobre π. u = cm a) r(a,b) b) r(c,d)

62 Expressão Gráfica I Dada a reta r definida por A(2; 4; 3) e B(4; 2; 7,5) obter sua inclinação, seu intervalo, seu coeficiente de redução e sua declividade. A unidade é o centímetro. 4. Representar a reta r que passe pelos pontos dados A(4,3,2) e B(6,5,?) e forme ângulo dado θ=60 o com π. Obter a cota do ponto B. A unidade é o centímetro.

63 Expressão Gráfica I Pertinência de ponto à reta A condição para que um ponto pertença a uma reta é que sua projeção pertença à projeção da reta e que sua cota seja a cota de um ponto da reta. Exercícios 1. Obtenha a cota de um ponto P pertencente a uma reta dada r, sendo dada a sua projeção P. Obtenha pontos de cotas inteiras da reta. u = cm a) r(a,b)

64 Expressão Gráfica I b) r(c, D) c) r(e, F) 2. Represente um ponto P da reta dada r sendo dada a sua cota p. u=cm a) r(a,b) p=0,7cm

65 Expressão Gráfica I b) r(c,d) p=2,5cm c) r(e,f) p=5cm d) r(g,h) G(4,5,4), H(8,2,2) e p=1,5cm

66 Expressão Gráfica I Posições relativas entre duas retas r e s podem ser paralelas coplanares concorrentes coincidentes não coplanares ou reversas Relembrando a propriedade 2: Se r//s então r //s ou r s ou são pontuais. Condições de paralelismo 1º Retas verticais r e s verticais sempre serão paralelas ou coincidentes. 2º Retas horizontais r // s, ambas horizontais r //s 3º Retas quaisquer r // s ou r s e r // s, ambas quaisquer Ir = I s e g r e g s crescem no mesmo sentido

67 Expressão Gráfica I Exercício Representar a reta s pertencente a um ponto dado P e paralela a uma reta dada r. a) b) c) d) e)

68 Expressão Gráfica I Condições de incidência Sejam r(a,b) e s(c,d) r pode ser horizontal vertical qualquer horizontal e s pode ser vertical qualquer 1. r horizontal e s horizontal r X s Cotas iguais e projeções concorrentes. 2. r horizontal e s vertical r X s s r 3. r horizontal e s qualquer r X s r X s (rs) tem mesma cota quando considerado de r e de s

69 Expressão Gráfica I r vertical e s vertical Serão paralelas ou coincidentes. 5. r vertical e s qualquer r X s r s 6. r qualquer e s qualquer a) Planos projetantes distintos e não paralelos podem ser concorrentes ou reversas b) Mesmo plano projetante podem ser concorrentes ou paralelas

70 Expressão Gráfica I Retas perpendiculares ou ortogonais Relembrando a Propriedade 7 de projeções ortogonais: (1) r s ( ou r s ) Se (2) r // π ( ou r π ) (4) r s (3) s π As recíprocas são válidas: (2) r // π ( ou r π ) Se (3) s π (1) r s ( ou r s ) (4) r s Se (1) r s ( ou r s ) (3) s π (4) r s (2) r // π ( ou r π ) Na projeção cilíndrica ortogonal tem-se que um ângulo não reto somente se projeta em VG quando dois lados forem paralelos ao plano de projeção. Porém, se o ângulo for reto, basta um só lado ser paralelo (ou estar contido) e o outro ser não perpendicular ao plano de projeção para que ele tenha projeção ortogonal em VG. Sejam as retas r e s. Então podemos ter: 1. r horizontal e s horizontal Perpendiculares ângulo reto e cotas iguais Ortogonais ângulo reto e cotas diferentes

71 Expressão Gráfica I r horizontal e s qualquer Pertencentes a planos projetantes distintos e não paralelos 3. r qualquer e s qualquer E pertencentes ao mesmo plano projetante ou a planos projetantes paralelos Solução 1: rebater o plano projetante Solução 2: trabalhar com o intervalo (ou a equidistância) delas r A C r //s ou r s 1 I r = I s g g r s

72 Expressão Gráfica I Exercícios 1. Representar a reta s pertencente ao ponto dado P e perpendicular a uma reta dada r(a,b). a) b)

73 Expressão Gráfica I Representar a reta s pertencente ao ponto dado P e ortogonal a uma reta dada r(a,b), sabendo-se que seus planos projetantes são paralelos. a) b) c)

74 Expressão Gráfica I REPRESENTAÇÃO DO PLANO Um plano fica determinado por: Três pontos não colineares; Um ponto e uma reta que não se pertencem; Duas retas concorrentes ou paralelas. Posições relativas de um plano em relação ao Plano de Projeção α e π podem ser Plano horizontal (ou de nível) paralelos perpendiculares (projetantes) oblíquos Espaço: Épura: Propriedades: a) Cota constante b) Quantidade de pontos que determinam o plano: c) Retas contidas no plano: d) VG: e) Reta perpendicular: f) Pertinência de ponto ao plano: g) Traço:

75 Expressão Gráfica I Exercícios 1. Represente a projeção cotada de uma pirâmide V-ABCD regular, com a base contida no plano horizontal α(a,b) e altura de 4,3cm. 2. Represente a projeção cotada de uma pirâmide V-ABCDEF, com a base contida no plano horizontal α(a,b), dados os pontos A, B e V. paulohscwb.github.io/a-frame_ar/cotadas.html

76 Expressão Gráfica I Represente a projeção cotada do sólido abaixo (pirâmide e prisma retos de bases hexagonais), com a base contida no plano horizontal α(a,b), dados os pontos A e B.

77 Expressão Gráfica I Plano vertical (ou projetante) Espaço: Épura: Propriedades: a) Plano projetante: qualquer figura contida neste plano tem sua projeção reduzida a um segmento ou a uma reta. Assim, r pertence a α r pertence a α π. b) Quantidade de pontos que determinam o plano: c) Retas contidas no plano: d) VG: e) Reta perpendicular: f) Pertinência de ponto ao plano: g) Traço:

78 Expressão Gráfica I Exercícios 1. Represente as projeções da pirâmide regular V-ABCD, com a base contida no plano vertical α(a,b) e altura h = 4cm. 2. Represente as projeções do prisma reto de base hexagonal regular ABCDEF - GHIJKL, com uma base contida no plano vertical α(a,b) e altura h = 4cm.

79 Expressão Gráfica I Plano qualquer Espaço: Épura: Propriedades: a) Quantidade de pontos que determinam o plano: b) Retas contidas no plano: c) VG: d) Reta perpendicular: e) Pertinência de ponto ao plano: f) Traço:

80 Expressão Gráfica I Pertinência de reta a um plano qualquer r α r X a,r X b, r X a,r // b, onde a,b α onde a,b α Pertinência de ponto a um plano qualquer P α P r e r α Exercícios 1. Representar uma reta r pertencente ao plano dado α(a,b) a) considerar rxa e rxb b. considerar rxa e r//b

81 Expressão Gráfica I Verificar se o ponto P pertence ao plano α(a,b) a) b)

82 Expressão Gráfica I Verificar se a reta dada r(p,q) pertence ao plano dado α(a,b) a) b)

83 Expressão Gráfica I Horizontais de um plano As horizontais de um plano qualquer são as retas de cota constante, ou seja, são as retas horizontais que estão contidas no plano. Propriedade: As horizontais de um plano qualquer são sempre paralelas entre si. Espaço: Épura: Exercícios 1. Dado o plano α(a,b,c) encontrar a projeção cotada da horizontal do plano conduzida pelo ponto B. 2. Determinar o traço do plano α(a,b,c) sobre o plano π (α π ).

84 Expressão Gráfica I Representar a horizontal de α(a,b,c) de cota c=2. 4. Obter a cota do ponto P pertencente a um plano α(a,b,c) qualquer, sendo dada a sua projeção P.

85 Expressão Gráfica I Reta de declive de um plano A reta de declive de um plano é a reta que é perpendicular às horizontais desse plano. Espaço: Épura: Propriedades: 1. O ângulo entre α e π é o ângulo formado por d e π. 2. Todas as retas de declive de α são paralelas entre si. 3. A reta de declive de um plano é a escala de declive desse plano. 4. Uma reta de declive de um plano qualquer é suficiente para representá-lo. 5. A inclinação de um plano é a inclinação de uma de suas retas de declive. Exercícios 1. Represente uma reta de declive do plano α(a,b,c). 2. Dado o plano qualquer α por uma reta d α de declive, represente outras retas deste plano.

86 Expressão Gráfica I Inclinação de um plano A inclinação de um plano qualquer é o ângulo que o mesmo forma com π. O ângulo que um plano qualquer forma com π é dado pela inclinação de suas retas de declive. Exercícios 1. Encontrar o ângulo θ que o plano α(d α ) forma com π. 2. Encontrar o ângulo θ que o plano α (A, B, C) forma com o plano π.

87 Expressão Gráfica I Representar o plano α (d) que forma 30 o com o plano π. 4. Representar um plano α que contém a reta dada h e forma ângulo de 60 o com π.

88 Expressão Gráfica I Rebatimento do plano qualquer Para determinar a verdadeira grandeza de uma figura contida num plano qualquer, deve-se efetuar o rebatimento do mesmo sobre o plano horizontal π, ou sobre um outro plano paralelo à π. O plano α é rotacionado em torno do eixo απ, que é o eixo de rotação do plano α até coincidir com o plano π. O movimento do plano α em torno do eixo, descreve um arco de circunferência que está contido num plano γ perpendicular ao plano π e, portanto a projeção deste arco será um segmento de reta contido no traço do plano γ sobre o plano π. Para determinar a verdadeira grandeza deste arco, o plano vertical, γ que contém o arco é rebatido em torno de seu eixo γπ. O P PP é o triângulo fundamental do rebatimento, sua verdadeira grandeza é representada em épura pelo triângulo O P P P 0. Espaço: Épura:

89 Expressão Gráfica I Exercícios: 1. Encontrar a Verdadeira Grandeza (VG) do triângulo ABC. Dados: A (30, 70, 0) B(80, 40, 0) C(80, 80, 40) 2. Encontrar a Verdadeira Grandeza (VG) do triângulo ABC. Dados: A (10,50,70) B(40,30,30) C(60,70,10)

90 Expressão Gráfica I Representar um triângulo equilátero ABC contido num plano qualquer α(a,b,p). Dados: A(40,60,60) B(50,90,80) P(100,80,30) 4. Representar um quadrado ABCD contido num plano qualquer α(a,b,p). Dados: A(60,20,50) B(70,0,70) P(100,10,20)

91 Expressão Gráfica I Exercícios Propostos: 1. Dado o plano α (A, B, C), encontrar a Verdadeira Grandeza (VG) do triângulo ABC. Encontre também a projeção cotada do ortocentro deste triângulo. 2. Construir a projeção cotada do quadrado ABCD contido no plano α (A, B, P).

92 Expressão Gráfica I Encontrar projeção cotada de um triângulo equilátero inscrito na circunferência definida pelos pontos A, B e C, sendo A um de seus vértices. 4. Represente um quadrado ABCD de lado l=4cm, contido no plano α (A, P, Q), sabendo-se que o lado AB é horizontal.

93 Expressão Gráfica I Representar a projeção cotada de uma pirâmide regular de base quadrada V-ABCD contida em um plano horizontal, dados os vértices da base A e B, e a altura h=4,5. Encontre a VG de uma face lateral usando o rebatimento.

94 Expressão Gráfica I Representar a projeção cotada do sólido abaixo (prisma de base retangular com uma pirâmide reta com bases em planos horizontais), dado o vértice A e a reta suporte de AB. Encontrar as VGs das faces laterais da pirâmide usando rebatimento.

95 Expressão Gráfica I Posições relativas entre dois planos Dados dois planos quaisquer α e β no espaço, eles podem ser: coincidentes α eβpodem ser paralelos secantes ( ou ) Condições de paralelismo de dois planos Sejam α e β dois planos distintos, então: 1. α // β, α e β horizontais Serão paralelos ou coincidentes, dependendo dos valores de suas cotas. 2. α // β, α e β verticais Serão paralelos quando α π // β π. 3. α // β, α e β quaisquer Serão paralelos se: - as escalas de declive são paralelas: d α // d β - ou a//r e b//s onde axb α e rxs β Exercícios 1. Conduza pelo ponto P, um plano β paralelo ao plano α (A, B, C). 2. Conduza pelo ponto P, um plano β paralelo ao plano α (d α ).

96 Expressão Gráfica I Planos Não paralelos: Interseção de planos Dois planos não paralelos α e β são concorrentes quando possuem uma reta comum (αβ). O traço de um plano horizontal α sobre um plano vertical β é uma reta horizontal (αβ) que possui a mesma cota do plano horizontal α. Para determinar o traço entre dois planos quaisquer, utilizam-se planos auxiliares, geralmente horizontais, que facilitam a resolução do problema. Podem ser considerados os seguintes casos: 1. α // π e β // π : neste caso o traço (αβ) ou não existe. 2. α // π e β π : neste caso (αβ) β π onde (αβ) (α). 3. α // π e β π : neste caso αβ // π.

97 Expressão Gráfica I α π e β π : neste caso αβ π, ou seja, αβ é uma reta vertical. 5. α π e β π : 6. α π e β π : Sejam α(d α ) e β(d β )

98 Expressão Gráfica I a) α e β são dados por suas retas de declive. b) Os intervalos de α e β são iguais Observação: Quando dois planos estão igualmente inclinados então eles se cortam segundo uma reta que é a bissetriz do ângulo formado pelas suas horizontais. c) As projeções de d α e d β são paralelas.