UM MODELO DE MANUTENÇÃO BASEADO EM PROCESSOS PONTUAIS NÃO-ESTACIONÁRIOS PARA SISTEMAS COM VÁRIOS COMPONENTES

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1 UM MOELO E MNUTENÇÃO SEO EM PROCESSOS PONTUIS NÃO-ESTCIONÁRIOS PR SISTEMS COM VÁRIOS COMPONENTES Héctor C. Noriega COPPE/UFRJ - Prog. Eng. Produção hector@openlink.com.br orges de Medeiros 239/42, , Rio de Janeiro, RJ, RSIL P. F. Frutuoso e Melo COPPE/UFRJ - Nuclear frutuoso@lmn.con.ufrj.br, Caixa Postal 6859, , Rio de Janeiro, RJ, RSIL STRCT Surveys of Preventive Maintenance (PM) models for stochastically deteriorating/improving nonrepairable systems have been extensively studied; these same kinds of surveys for non-stationary repairable systems have not yet been performed. This paper discusses a maintenance model for a multi-unit non-stationary repairable system with component failure pattern modeled as a nonstationary stochastic point process, under economic and availability dependency criteria. The methodology is presented and applied to a four component system. Four decision alternatives are evaluated and the optimal one is discussed. Palavras-chave: Maintenance scheduling, Transient analysis, Point process, Markov chain. 1. INTROUÇÃO Nas últimas quatro décadas, a efetiva implementação de políticas de manutenção tem sido extensivamente estudada [1-6]. Uma das razões para este esforço é que modelos de manutenção podem ser aplicados a uma grande variedade de áreas, como a militar, industrial, de saúde e meio ambiente. e acordo com a classificação de Cho e Parlar [2], modelos de manutenção para sistemas com vários componentes objetivam o estabelecimento de políticas ótimas de manutenção. Em tais casos, o tomador de decisões deve otimizar o sistema inteiro, em vez de um componente em particular. O problema do estabelecimento de políticas ótimas de manutenção com dependência econômica para sistemas de vários componentes tem sido extensivamente estudado mas, os resultados disponíveis são baseados na taxa de substituição esperada a longo prazo e na condição estacionária com um horizonte de tempo operacional infinito. Embora os resultados estacionários são aproximações úteis para um sistema cujo tempo operacional é muito maior do que a vida dos seus componentes, o comportamento transiente da taxa de ocorrência de falhas do sistema não pode ser desconsiderado. Um fator importante na análise de sistemas reparáveis é o seu envelhecimento. efinições claras de envelhecimento de componentes (desgaste) e de envelhecimento de sistemas (deterioração) são necessárias. e acordo com as definições de scher e Feingold [1], o envelhecimento de componentes é modelado por distribuições de probabilidade com força de

2 mortalidade crescente (IFOM). deterioração de um sistema reparável pode ser descrita por um processo estocástico pontual com taxa de ocorrência de falhas crescente. Sob a condição de que o padrão de falha de um componente (parte) de um sistema seja definido por um processo de renovação, arlow e Proschan [3] mostraram que quando a distribuição de falha é uma gama, com parâmetro de forma k e de escala θ, e o mesmo é observado sincronicamente, ele apresenta uma taxa de ocorrência de falha dada pela expressão abaixo: ( t) v( t) θ j= k j 1 ( k j ) 1 1 e! θ t θ (1) 1 Para k < 1, a taxa de renovação v( t) tende a E[ X ] = θ, conforme mostrado na Figura 1. k Nesta mesma figura, mostra-se que, para k > 1, existem variações na ROCOF maiores que uma ordem de magnitude, pelo menos para as três primeiras renovações. iv iii ii i Fig.1 - Taxa de Renovação para a istribuição Gamma para k = 2, 8, 16, 32. (denotadas, respectivamente, por i, ii, iii, and iv) Esta situação é estudada e modelada neste trabalho através do emprego de um processo pontual de renovação não estacionário com uma taxa de renovação cíclica e amortecida (ROCOF) durante o seu período transiente. Em geral, Cox e Lewis [7] mencionam que esta padrão de falha (renovação) caracteriza processos pontuais de renovação definidos por distribuições de probabilidade altamente concentradas em torno da média, onde é relativamente improvável que ocorra um evento em um pequeno intervalo de tempo proximo à origem. O comportamento do sistema, do ponto de vista de falhas, depende da sua idade, em função do tempo operacional. 2. METOOLOGI EMPREG O objetivo deste trabalho é apresentar um modelo de manutenção para sistemas com vários componentes, onde os padrões de falha dos componentes são modelados como processos pontuais não estacionários, considerando critérios de dependência econômicos e de disponibilidade. análise foi desenvolvida conforme descrito nos passos a seguir. 1. Construir um diagrama de blocos do sistema e o respectivo diagrama de transição de estados

3 considerando as transições que ocorrem de acordo com as taxas de ocorrência de falhas dos componentes. Ou seja, para cada componente, v( t) t representa a probabilidade de que uma falha, não necessariamente a primeira, ocorra no intervalo ( t, t + t]. 2. e acordo com a política de manutenção estabelecida, calcular a taxa de ocorrência de falhas (ROCOF) dependente do tempo (ou função de renovação) para cada componente, em função da distribuição de falha correspondente. Se alguma das taxas não estiver disponível em forma analítica (fechada), poderá ser obtida por simulação de Monte Carlo. 3. Calcular o comportamento dinâmico da disponibilidade do sistema empregando uma cadeia T T não-homogênea de Markov, conforme discutido na Ref. [2]. (Isto é, π ( n) = α P ( n) ). 4. Calcular os custos totais das alternativas de manutenção e das paradas do sistema (downtimes). 5. Repetir o procedimento dos quatro passos anteriores para cada política de manutenção/disponibilidade em consideração e escolher aquela que satisfaça o critério de decisão. 3. EXEMPLO NUMÉRICO Considere-se o sistema apresentado na Figura 2, composto por quatro componentes (,, C e ) dispostos em uma configuração série-paralelo. C Figura. 2 - iagrama de locos para o Sistema em nálise s distribuições de falha dos componentes foram modeladas pela distribuição gama, conforme representado na Figura 3, empregando-se altos fatores de forma. Esta opção define distribuições gama com padrões de falha que se aproximam da distribuição normal..3 f(x).2 C Figura. 3 - istribuições Gama ajustadas aos ados de Falha

4 Componente E(X), h k C C Tabela 1 - Parâmetros da istribuição uas políticas de manutenção foram comparadas: i) Todos os componentes são substituídos quando falham (manutenção corretiva). ii) Se a falha de algum componente ou grupo de componentes não ocorre antes de um intervalo de idade fixado ( τ ), é efetuada a substituição e seu contador de idade é reiniciado. Quando uma falha ocorre antes do tempo operacional estabelecido, a substituição é realizada e o contador de tempo operacional também é reiniciado. Figura 4 apresenta as taxas de ocorrência de falhas simuladas dos quatro componentes operando sob a política de manutenção i)..3 v ( m t ).2 C Figura. 4 - ROCOFs Simuladas sob a Política de Manutenção i) t Custo Reparo Programada Não Prog. [$] C Tabela 2 - Custos para o Modelo Os custos considerados são apresentados na Tabela 2. Foi incluída na análise uma perda econômica ( L ) de 13 unidades monetarias por unidade de tempo. Figura 5 apresenta o diagrama de transição de estados para o sistema analisado, para o qual: - Estado : Todos os componentes operam; - Estado 1: O componente falha quando o componente ou C estão falhos ou, C, e estão funcionando;

5 - Estado 2: O componente está falho; - Estado 3: O componente C está falho; - Estado 4: O componente falha quando ou C estão falhos, ou, e C estão funcionando; - Estado 5: Os componentes e C estão falhos Figura. 5 - iagrama de Transição de Estados para o Sistema nalisado P = 1 ( v ( t) + v ( t)) t v ( t) t v ( t) t v ( t) t v ( t) t C µ t 1 µ t µ t v ( t) t 1 ( v ( t) + v ( t) + µ + v ( t)) t v ( t) t v ( t) t C C µ t v ( t) t 1 ( v ( t) + v ( t) + µ C C µ t 1 µ t + v ( t)) t v ( t) t v ( t) t µ t µ t 1 ( µ + µ ) t c C Para ilustrar o método, as três políticas de manutenção alternativas descritas a seguir foram consideradas: a) os quatro componentes operam sob a política i); b) os componentes e C operam sob a política i) e os componentes e sob a política ii) com τ = 18 h; c) os componentes e C operam sob a política i) e os componentes e sob a política ii) com τ = 14 h; disponibilidade do sistema é apresentada na Figura 6 para cada alternativa de manutenção (a, b and c), considerando taxas de reparo constantes iguais a µ = µ = 1. /h e µ = µ =. 3/h. Figura 7 apresenta a evolução temporal do custo total ( C ) para cada alternativa, de acordo com a expressão abaixo: C = C N ( t) + CP NP ( t) + L ( t) (3) m m m m para a qual: N m : número de substituições não programadas; NP m :número de substituições programadas; ( t): indisponibilidade do sistema; L: perda quando o sistema está indisponível; C, CP : custo não programado e programado de substituição, respectivamente (Tabela 2). m m

6 1 (t).95.9 a b c t Figura. 6 - isponibilidade do Sistema 1 5 a b c 2 4 Figura. 7 - Custo Total do Sistema Para os valores numéricos considerados, as Figuras 6 e 7 apresentam as alternativas ótimas de manutenção. REFERÊNCIS [1] scher, H. e Feingold, H., Repairable Systems Reliability: Modeling, Inference, Misconceptions and their Causes, Marcel ekker, New York, [2] Cho,. e Parlar, M., " Survey of Maintenance Models for Multi-Unit Systems", European Journal of Operations Research, 51(1991)1-23. [3] arlow, R. e Proschan, F., Mathematical Thery of Reliability", John Wiley & Sons, New York, [4] Okogbaa, G. e Peng, X., " Methodology for Preventive Maintenance nalysis Under Transient Response", Proceedings of the nnual Reliability and Maintainability Symposium, Institute of Electrical and Electronics Engineers, Piscataway, New Jersey, 1996, pp [5] Valdez-Flores, C e Feldman, R. " Survey of Preventive Maintenance Models for Stochastically eterioration Single-Unit Systems", Naval Research Logistics Quarterly, 36(1989) [6] Sherif, Y. e Smith, M., "Optimal Maintenance Models for Systems subject to Failure - a Review", Naval Research Logistics Quarterly, 28(1981) [7] Cox,, e Lewis, P., The Statistical nalysis of Series of Events, Methuen, London, [8] Noriega, H. e Frutuoso e Melo, P. F., "vailability nalysis of Repairable Systems under eteriorating Effects", trabalho submetido à revista IEEE Transactions on Reliability.