Apêndice A Conceitos básicos de tratamento e representação de dados

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1 Apêndice A Conceitos básicos de tratamento e representação de dados 1 Tratamentos de Dados 1.1 Introdução Vamos rever resumidamente os principais conceitos de representação e tratamento de dados experimentais e sua aplicação a algumas situações simples. O ponto de partida é o entendimento de que, ao realizarmos uma medição, sempre estaremos cometendo erros, cujas origens podem ser dificuldades diversas na realização da medida, uma limitação do instrumento utilizado e a própria modelagem do sistema estudado. Um exemplo é a medição da largura de um objeto cuja superfície é irregular e, portanto, suas bordas não são bem definidas, dificultando a determinação da largura. Outro exemplo é a medida de um certo intervalo de tempo utilizando um cronômetro. Devido ao nosso tempo de reação, pode ocorrer um atraso ou um adiantamento no acionamento (ou no desligamento) do cronômetro. Nesses dois exemplos, se repetirmos a medida algumas vezes veremos que os valores obtidos apresentam uma variação aleatória. Para expressar isso, convenciona-se representar uma medida na forma y = (y ± σ y ) u, (A.1) onde y valor médio ou valor esperado da medida. Muitas vezes usamos apenas o termo valor da medida. σ y incerteza da medida. u unidade da medida Esta representação pode ser interpretada como a definição de um intervalo de valores associados a uma determinada medida, como indicado na figura A.1. Veremos a seguir Figura A.1: Representação gráfica de y = (y ± σ y ) u. A medida realizada corresponde ao intervalo indicado. como escrever corretamente o valor esperado e a incerteza de uma medida. 1

2 1.2 Algarismos nificativos Algarismos nificativos Os chamados algarismos nificativos são aqueles que de fato trazem alguma informação sobre a grandeza medida. Por exemplo, imagine que você está caminhando pela rua e pergunta a hora para alguém com um relógio de pulso analógico. Essa pessoa dá uma olhada rápida no relógio, enquanto caminha, e responde: são 11 horas, 42 minutos e 34 segundos. Você acha que é possível que essa leitura tenha sido realmente feita? Claro que não! Certamente, os 42 minutos já são uma estimativa, pois o ponteiro dos minutos provavelmente estava entre o 8 e o 9, ou seja, é algo entre 40 e 45 minutos. Portanto, os algarismos 3 e 4 não tem qualquer nificado. Dizemos que o algarismo que foi estimado, o 2, é um algarismo duvidoso. Os outros algarismo são algarismos certos, já que com certeza a pessoa não leu 11 em vez de 12 ou 10, ou qualquer outro valor de hora. Os algarismos certos e os duvidosos são os algarismos nificativos da medida. Quanto maior for o número de algarismos nificativos em uma medida, mais informação ela traz. Em uma medida direta, realizada a partir de um instrumento analógico, o número de algarismos nificativos reflete a menor divisão da unidade representada no instrumento de medida ou a menor variação que pode ser percebida pelo instrumento. No caso de um instrumento digital, escrevemos a medida até o último digito indicado. Em uma medida indireta, veremos mais à frente que o número de algarimos nificativos da medida depende de como ela foi calculada e das incertezas das outras medidas envolvidas no cálculo. Um ponto que pode gerar dúvidas é se os zeros de uma medida são nificativos ou não. Para responder essa pergunta, imagine que façamos uma mudança na unidade da medida. Se for possível eliminar os zeros ao fazer uma mudança de unidade, eles não são nificativos, já que indicam apenas em que unidades estamos escrevendo a medida. Vamos ver como isso funciona a seguir, examinando alguns exemplos. Exemplo 1.1: y 1 = 2, 47 cm tem três algarismos nificativos, sendo o 7 duvidoso. Se escrevermos y 1 em metros, a quantidade de informação em y 1 não é alterada. Logo, os zeros de preenchimento do valor da medida em metros não são nificativos e as duas formas abaixo possuem apenas três algarismos nificativos: y 1 = 2, 47 cm = 0, 0 }{{}}{{} 247 m. Considere y 2 = 0, 52 kg. Note que o zero à esquerda não é nificativo, uma vez que podemos eliminá-lo escolhendo uma outra unidade de medida: y 2 = 0, }{{} 52 kg = 0, }{{} g = 5, g. }{{} Já os zeros à direita que sejam nificativos devem ser sempre escritos. Por exemplo, em y 3 = 3, 10s está implícito que temos certeza dos três segundos e do um décimo de segundo. O zero na casa dos centésimos de segundo é duvidoso, sendo o último nificativo. Observe mais um exemplo:

3 1.3 Medidas diretas e suas fontes de incerteza 3 }{{} 100 m = 0, }{{} 100 km = 1, µm. }{{} 1.3 Medidas diretas e suas fontes de incerteza A incerteza de uma medida direta tem origem nas limitações do processo de medida e de erros aleatórios, que podem ser minimizados mas nunca removidos. As principais fontes de incerteza são: 1. Precisão do instrumento: todo instrumento de medida tem limitações, ou seja, medidas realizadas com um determinado instrumento só podem ser conhecidas até uma determinada fração da unidade de medida. Por exemplo, quando usamos uma boa régua metálica para medir a largura de uma barra, se as arestas da barra forem bem definidas e a barra for de fácil manipulação, será possível fazer uma medida cuja incerteza é de 0, 5 mm, isto é, metade da menor divisão da escala da régua. Um outro exemplo é o de instrumentos digitais. Nesse caso, a incerteza associada à precisão do instrumento será dada pela última casa decimal informada pelo instrumento. Por exemplo, se num cronômetro digital o menor valor de tempo indicado no visor for 0, 01 s, um determinado intervalo de tempo medido com ele só poderá ser escrito até o centésimo de segundo. Se for observada alguma flutuação do valor indicado no instrumento, ela deve ser estimada e passará a ser a precisão do instrumento. 2. Erro aleatório ou acidental: esta fonte de incerteza é proveniente do processo de medida em si. Podemos imaginar que a grandeza que queremos medir possui um valor verdadeiro, o que é uma idealização, já que apenas podemos conhecer a grandeza de forma aproximada através da medida. Ao realizarmos uma medida, sempre haverá variações aleatórias, imperceptíveis nas condições de medida, tais que, se a repetirmos algumas vezes, encontraremos valores diferentes para a grandeza. Um exemplo típico é a medida de um intervalo de tempo pelo acionamento de um cromômetro. Um ser humano sempre cometerá erros aleatórios devido a um atraso ou adiantamento no acionamento do cronômetro. Na prática, observamos uma combinação de várias fontes de incerteza. Assim, ao fazermos uma medida direta, devemos sempre verificar a limitação do instrumento e sua adequação ao experimento, e também definir um protocolo de medição que minimize as flutuações aleatórias. Por exemplo, se usarmos uma régua metálica graduada em milímetros para medir o diâmetro de uma esfera, será impossível obter um algarismo certo na escala de milímetros, devido à dificuldade em se justapor a régua à esfera. Assim, apesar da incerteza devido à precisão de um instrumento ser fixa, um mesmo instrumento pode gerar leituras com incertezas diferentes dependendo do que está sendo medido, pois para cada sistema existem diferentes fontes de incerteza Erro sistemático Um outro tipo de erro ocorre quando usamos aparelhos de medida mal calibrados, como uma balança que indique um valor de massa diferente de zero quando não há nenhum objeto sobre seu prato, ou por um procedimento experimental realizado incorretamente, como a medição do comprimento de um objeto usando uma régua cuja primeira marcação

4 1.3 Medidas diretas e suas fontes de incerteza 4 seja 1, 0 cm. É importante notar que esses erros, chamados erros sistemáticos, afetam o valor da medida, mas não sua incerteza, devendo ser corrigidos. Em algumas situações, alguns erros sistemáticos podem ser evitados dando a devida atenção à calibração dos instrumentos de medida e aos procedimentos experimentais utilizados. Porém, em situações mais complicadas, pode ser muito difícil tanto saber se existe um erro sistemático na medida quanto corrigir ou pelo menos estimar esse erro. Exemplo 1.2: Em uma experiência sobre o pêndulo físico, são estudadas as oscilações de uma barra perfurada em torno de um eixo que passa por um dos furos, como indicado na figura A.2 (a). No decorrer da experiência, precisamos medir a distância h entre o centro de massa da barra e o eixo de oscilação. A figura A.2 (b) mostra uma forma correta de se medir h como definido no modelo. Um possível erro sistemático seria medir a distância do centro de massa da barra até a parte inferior do orifício, medida h medido na figura. Qualquer valor medido de h medido será menor do que h, o que acarretará diversos outros erros no decorrer de uma análise dos dados. Figura A.2: (a) Oscilação de uma barra perfurada em torno de um eixo de seção triangular. (b) h é a medida que corretamente corresponde à distância entre eixo de oscilação e o centro de massa da barra. A medida realizada, h medido, é sistematicamente menor do que h Incertezas e algarismos nificativos Veremos agora a conexão entre a incerteza e os algarismos nificativos de uma medida. Normalmente, escrevemos a incerteza de uma medida utilizando um ou dois algarismos nificativos, dependendo do grau de estimativa envolvido em sua determinação. Como no curso de física experimental realizamos muitas estimativas na determinação das incertezas, utilizaremos a convenção de um algarismo nificativo para a incerteza. Uma vez que a incerteza de uma medida seja conhecida, o algarismo duvidoso do valor medido

5 1.3 Medidas diretas e suas fontes de incerteza 5 necessariamente é aquele presente na mesma casa decimal da incerteza em uma dada unidade, como podemos ver nos exemplos abaixo, L = (2, 25 ± 0, 05) cm, M = (351 ± 2) 10 2 kg. Como vimos, todos os algarismos posteriores ao algarismo duvidoso não são nificativos e, portanto, não devem ser escritos. Todavia, em geral o valor medido possui também os algarismos não nificativos. Para escrever o valor da medida somente com algarismos nificativos, faz-se necessário uma aproximação do valor medido para a casa decimal da incerteza Algarismos nificativos e arredondamentos Para escrever uma determinada medida com n algarismos nificativos, podemos usar os seguintes critérios de arredondamento: 1. Se o algarismo à direita for maior do que 5, despreze-o e some 1 ao n-ésimo algarismo (arredondamento para cima). 2. Se o algarismo à direita for menor do que 5, despreze-o e mantenha o n-ésimo algarismo inalterado (arredondamento para baixo). 3. Se o algarismo à direita for igual a 5, temos duas opções: (a) Verifique se o n-ésimo algarismo é par. Se for, faça o arrendondamento para cima, caso contrário, faça o arredondamento para baixo. É como se estivéssemos tirando par-ou-ímpar para decidir que arredondamento fazer. Com este procedimento você garante que ambos os arredondamentos ocorram com igual probabilidade em um conjunto de medidas similares. (b) Uma opção mais simples é sempre arredondar para cima o n-ésimo algarismo. Exemplo 1.3: Observe os arredondamentos abaixo, para medidas de 3 algarismos nificativos: x = 4, 678 m x = 4, 68 m (critério 1) y = 4, 674 m y = 4, 67 m (critério 2) z = 4, 675 m z = 4, 67 m (critério 3(a)) ou z = 4, 68m (critério 3(b)) w = 4, 665 m w = 4, 67 m (critério 3(a) ou critério 3(b)) De forma simplista, basta aproximar o valor da medida para o número de n algarismos mais próximo do valor, isto é, cuja diferença seja menor.

6 1.4 Precisão e exatidão Precisão e exatidão Vimos que a quantidade de algarismos nificativos em uma medida indica a quantidade de informação que possuímos sobre o valor medido e que, por convenção, o último algarismo escrito é duvidoso 1. Veremos agora como quantificar a dúvida nesse algarismo nificativo. Para isso, definiremos duas grandezas importantes, que podem ser utilizadas para caracterizar uma determinada medida x = (x ± σ x )u: Precisão está relacionada à incerteza σ x em relação ao valor esperado x. Exatidão está relacionada ao valor esperado x em relação a algum valor de referência x ref. Em textos mais antigos, é comum o uso do termo acurácia no lugar de exatidão. Estes indicadores podem ser utilizados para medidas diretas e indiretas Incerteza relativa e precisão É muito importante notar que o valor absoluto da incerteza de uma medida, isoladamente, não é suficiente para qualificarmos a precisão de uma medida. Por exemplo, reportar a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo com uma incerteza de 1 m certamente é muito bom. Por outro lado, é intuitivo entender que dar o comprimento de um carro com uma incerteza de 1 m é muito ruim. Qual a diferença? No primeiro caso, estamos falando de uma dúvida de 1 m em cerca de 500 km de distância e, no segundo caso, a incerteza é de 1 m em cerca de 4 m. A dúvida sobre o tamanho do carro parece ser muito maior, apesar dos valores absolutos das incertezas serem iguais. De fato, a noção de precisão de uma medição é capturada quando comparamos a incerteza com o valor da grandeza medida. Por essa razão, é conveniente definir incerteza relativa de uma medida como σ y R y. Seu valor revela o quanto uma determinada medida é precisa: quanto menor o valor da incerteza relativa, maior é a precisão da medida. Note que R é uma grandeza adimensional e, por isso, permite também a comparação da precisão de medidas com diferentes unidades. Frequentemente, R é escrita na forma de porcentagem. Não existe uma regra fixa para o número de algarismos nificativos na representação de R. Em geral, usamos de um a dois algarismos nificativos para essa grandeza. Exemplo 1.4: Vamos comparar a precisão das medidas abaixo. As incertezas foram escritas com um algarismo nificativo, utilizando os critérios definidos na seção m 1 = (0, 00064± 0,00003) kg R 1 = 0,00003 = 0,046 = 0,05 = 5 % 0,00064 m 2 = (3245± 1) m/s R 2 = 1 = 0,00031 = 0,0003 = 0,03 % 3245 m 3 = (0, ± 0,000007) km R 3 = 0, = 0,011 = 0,01 = 1 % 0, m 4 = (25, 3± 0,1) cm R 4 = 0,1 = 0,0039 = 0,004 = 0,4 % 25,3 1 Esta convenção na verdade é equivalente a escrever a incerteza com apenas um algarismo nificativo, o que corresponde à maioria das situações experimentais. Entretanto, há casos em que o elevado número de medições, realizadas sob condições extremamente controladas, e o tratamento estatístico dos dados experimentais permitem que se escreva a incerteza com dois algarismos nificativos. Neste caso, os dois últimos algarismos da medida serão duvidosos.

7 1.4 Precisão e exatidão 7 Sendo assim, observamos que R 1 > R 3 > R 4 > R 2. Definindo P i como sendo a precisão da i-ésima medida, obtemos P 2 > P 4 > P 3 > P Discrepância relativa e exatidão Em muitas ocasiões, desejamos comparar uma medida realizada com alguma outra medida tomada como referência 2. Para obter uma noção de proximidade da medida com o valor de referência, necessitamos saber a diferença entre ambas as quantidades. No entanto, assim como a precisão de uma medida, o valor absoluto da diferença não é suficiente para qualificar a exatidão da medida, possuindo nificado somente quando comparada ao valor de referência. Por conta disso, definimos discrepância relativa como y y ref D = y ref. Assim sendo, quanto menor a discrepância relativa, mais exata é a medida. É importante entender que essa noção de exatidão depende da referência utilizada. A noção de um valor verdadeiro, exato para uma grandeza, é uma idealização jamais alcançada experimentalmente. O conhecimento que possuímos das diversas grandezas físicas são sempre oriundos de uma medida e nem sempre existe, a priori, um padrão de comparação. O valor de referência costuma ser uma outra medida que, por diversas razões, acreditamos ser representativa e suficientemente confiável. Também não há uma regra quanto ao número de algarismos nificativos para expressar D. Como é mais comum escrever D na forma de porcentagem, em geral usamos de 1 a 2 algarismos nificativos para essa grandeza. Exemplo 1.5: Em um estudo da propagação de ondas sonoras em diferentes gases, foi necessário medir a velocidade de propagação dessas ondas em um gás escolhido como referência. Após a montagem do aparato experimental, realizou-se experimentos de calibração, cujo objetivo era a comparação entre a velocidade da onda sonora no gás de referência medida por esse aparato e uma medida de referência, v ref = (343, 2 ± 0, 1) m/s. A primeira medida foi v 1 = (35 ± 1) 10 m/s, o que nifica que v 1 está entre m/s e m/s. Com isso, percebemos que o valor tabelado está contido nesse intervalo, porém, a medida de referência é muito mais precisa (R 1 = 2, 86% e R ref = 0, 029%). Depois de revisar e corrigir problemas técnicos na montagem e no procedimento, a experiência foi repetida e obteve-se v 2 = (348, 6 ± 0, 2) m/s. A precisão melhorou muito, no entanto, vemos que não há concordância com o valor de referência. O intervalo do valor medido não tem qualquer superposição com o intevalo tabelado 3. Uma vez que a incerteza tenha sido estimada corretamente, isso nifica que existem erros sistemáticos na medida, que devem ser corrigidos. Após essa segunda correção, 2 Na verdade, o próprio ato de medir já é uma comparação com algum valor de referência. Quando utilizamos uma régua para medir o comprimento de um objeto estamos comparando o tamanho do objeto com o tamanho da escala presente na régua. 3 Note, nesse caso, que uma análise ingênua da discrepância relativa poderia nos levar a pensar que há concordância entre o valor medido e o tabelado, já que D 2 = 1, 6%. Isso muda ao levarmos em conta a incerteza da medida, como argumentado no texto.

8 1.5 Medidas indiretas e propagação de incerteza 8 obteve-se v 3 = (343, 4 ± 0, 2) m/s. Dessa vez, a medida é compatível com o valor tabelado, como também podemos ver por meio do cálculo da discrepância relativa: 343, 4 343, 2 D 3 = 343, 2 = 5, = 0, 058%. Precisão e exatidão são duas qualidades desejadas em uma medida, mas são propriedades completamente diferentes. Podemos visualizar isso através da imagem de um alvo que foi atingido por diversos dardos, jogados por atiradores com habilidades bem diferentes, como podemos ver na figura A.3. Figura A.3: (a) Excelente atirador, concentrou seus dardos no centro do alvo. (b) Este atirador tem algum problema sistemático de mira. Os dardos estão concentrados, indicando boa precisão, mas sistematicamente desviados para a direita e para baixo. (c) Este atirador tenta mandar o dardo no centro mas erros aleatórios o fazem atirar de forma dispersa, com pouca precisão. Os dardos estão simétricos com relação ao centro, o que indica que a mira não tinha qualquer desvio sistemático apreciável. (d) Este último atirador está mal! Manda os dardos em direções muito diferentes e com erro sistemático para baixo e para a esquerda. 1.5 Medidas indiretas e propagação de incerteza Em muitas situações, não medimos uma grandeza diretamente, mas sim indiretamente, isto é, calculamos seu valor médio e sua incerteza a partir dos valores de diversas medidas diretas realizadas sobre outras grandezas. Um exemplo simples é a medida da velocidade de um objeto. Para isso, podemos realizar medidas diretas da distância percorrida e do intervalo de tempo e, a partir disso, calcular a velocidade. Por se tratar de uma medida, precisamos calcular não somente seu valor esperado, como também a incerteza da medida indireta. Isso é feito a partir das grandezas medidas diretamente e também da relação

9 1.5 Medidas indiretas e propagação de incerteza 9 matemática entre elas. Dizemos que há uma propagação das incertezas sobre as medidas diretas para uma incerteza sobre a medida indireta correspondente. Exemplo 1.6: com o objetivo de mostrar como a incerteza sobre uma medida direta se propaga para a medida indireta correspondente, consideraremos a medida da energia mecânica E de um sistema massa-mola liberado a partir do repouso a uma distância A da posição de equilíbrio. Como a energia cinética inicial é nula, a energia mecânica desse sistema ao longo do movimento é dada por E = 1 2 ka2, onde k é a constante elástica da mola. Na figura A.4, podemos perceber que quanto maior for a inclinação do gráfico avaliada no valor médio da medida, maior é a incerteza propagada dada uma mesma incerteza da medida direta. Em outras palavras, a incerteza de uma medida direta está 8 k Jcm 2 E J 6 4 Σ 1 2 Σ 2 Σ D A cm Figura A.4: Energia mecânica do sistema massa-mola como função do deslocamento inicial em relação à posição de equilíbrio para duas constantes elásticas diferentes. Uma medida sobre A, representada pelo intervalo no eixo horizontal da figura, fornece uma medida indireta sobre E, representada pelos intervalos no eixo vertical. Note que a incerteza propagada depende da constante elástica k, sendo maior para o maior valor de k. ligada à derivada da função que relaciona a grandeza medida diretamente com a grandeza medida indiretamente. De fato, para uma grandeza w que possa ser obtida em termos de outra única grandeza x por meio da relação w = f(x), o valor médio da medida é dado por w = f(x) e a incerteza propagada por σ w = df(x) σ dx x. É como se estivéssemos aproximando a curva f(x) por uma reta na vizinhança de x para obter a incerteza propagada. No entanto, em uma situação mais geral, a grandeza a ser medida indiretamente depende de mais de uma grandeza, ou seja, w = f(x, y, z,...). Da mesma forma que antes, é natural que o valor médio da medida indireta seja dado por w = f(x, y, z,...) e a incerteza propagada seja obtida aproximando a função f por uma função de mesmo comportamento nas redondezas de x, y, z,... Nesse caso, pode-se mostrar que a incerteza propagada é dada por ) 2 ( ) 2 ( ) 2 σ w = ( f f f x σ x + y σ y + z σ z (A.2) w w w

10 1.5 Medidas indiretas e propagação de incerteza 10 O símbolo na equação anterior nifica derivada parcial. Assim como aprendemos a definição de derivada para uma função de uma variável real, para uma função de mais de uma variável é possível definir também a chamada derivada parcial, que pode ser entendida como uma derivada usual sobre uma das variáveis da função, desde que tomemos as demais variáveis como constantes no processo de derivação. O índice w indica que as derivadas devem ser calculadas em x = x, y = y, z = z,... Exemplo 1.7: Seja f(a, b) = a 2 b 3, f a = 2ab3 e f b = 3a2 b 2. Você verá mais sobre derivadas parciais em Cálculo II. Na tabela a seguir, podemos encontrar expressões para as incertezas propagadas associadas a algumas funções comuns no curso de Física Experimental II. Função f w = f(x, y) Incerteza x ± y x ± y σw 2 = σx 2 + σy 2 ax + by ax + by σw 2 = (aσ x ) 2 + (bσ y ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) xy ou x/y xy ou x/y σww = σx x + σy 2 y ( ) 2 ( ) 2 ( x n y m x n y m σww = n σ x x + m σ y y ) 2 Exemplo 1.8: vamos obter o peso p da massa m = (234, 00 ± 0, 02)g sabendo que g = (9, 7879 ± 0, 0001) m/s 2. No SI, m = (234, 44 ± 0, 02) 10 3 kg. Com isso, p = mg = 2, N Como o peso é dado por um produto simples da massa pela gravidade, utilizando a tabela anterior obtemos. Logo, ( ) 2 ( σp σm = p m ) ( ) 2 2 ( ) 2 σg 0, 02 + = + g 234, 00 ( ) 2 0, , , 7879 σ p 2, N 2, , N. Baseado no que aprendemos na subseção 1.3.3, devemos agora efetuar os devidos arredondamentos. A incerteza deve ser escrita com um algarismo nificativo. Obtemos σ p = N. Finalmente, usando os critérios de arredondamento escrevemos p até a quinta casa decimal e chegamos ao seguinte resultado: p = (2, ± 0, 00006) N. Vale lembrar que, mesmo sem a tabela, poderíamos utilizar a equação (A.2) para calcular a incerteza absoluta.

11 1.5 Medidas indiretas e propagação de incerteza Regra de bolso para algarismos nificativos Muitas vezes o cálculo da incerteza propagada pode ser bem longo e laborioso, de forma que podemos chegar em um resultado e não ter segurança se está certo ou não. Uma forma simples de saber se o resultado é coerente e se pelo menos a ordem de grandeza da incerteza propagada está correta é usar a seguinte regra: Em uma operação matemática envolvendo medidas com diferentes números de algarismos nificativos, o resultado terá aproximadamente o mesmo número de algarismos nificativos que a medida com menor número. Essa regra é bastante intuitiva e também pode ser percebida pela equação (A.2). Exemplo 1.9: vamos calcular o volume V de um tubo de seção reta quadrada de lado a = (1, 0 ± 0, 1) cm e comprimento L = (120, 0 ± 0, 1) cm. A medida a tem 2 algarismos nificativos e L, 4, sendo a mais precisa. Sendo assim, esperamos que V tenha aproximadamente 2 algarismos nificativos. Calculemos separadamente V e σ V : V = a 2 L V = a 2 L = 120, 0cm 3, ( ) σv V σ V = V Com isso, obtemos por fim (2σa ) 2 ( ) σl 2 = + = 0, , a L ) = (120, 0cm 3 )(0, ) = 1cm 3. V ( σv V = (12 ± 1) 10 cm 3. A medida de volume possui apenas dois algarismos nificativos, da mesma forma que a medida menos precisa usada no cálculo. Se for necessário melhorar a precisão da medida de V, vale a pena medir a com mais precisão.