Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade

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1 Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade Mário S. Alvim Fundamentos de Teoria da Computação (FTC) DCC-UFMG (2018/02) Mário S. Alvim Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 1 / 64

2 Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade Aqui vamos revisar alguns conceitos fundamentais de matemática discreta que serão úteis na disciplina: 1 conjuntos, 2 sequências e tuplas, 3 funções e relações, 4 grafos, 5 lógica Booleana. Além disso, vamos rever a noção de definição, teoremas e provas, além de algumas técnicas de prova importantes. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 2 / 64

3 Noções e Terminologia Matemáticas Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 3 / 64

4 Conjuntos Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados de elementos ou membros do conjunto. Conjuntos podem conter qualquer tipo de objeto, como números, símbolos, e até outros conjuntos. Conjuntos podem ser descritos formalmente de várias maneiras, como: 1 Listando seus elementos entre chaves: {a, b, c}. 2 Expecificando uma propriedade que define o conjunto, como em S = {x P(x)}: {x N x é primo e x > 431}. 3 Provendo uma definição recursiva: { 1 A, se x A e x + 2 < 10, então x + 2 A. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 4 / 64

5 Conjuntos Os símbolos e / denotam pertinência e não-pertinência a conjuntos, respectivamente: a {a, b, c}, mas d / {a, b, c}. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, denotado por A B, se todo elemento de A está em B. Um conjunto A é subconjunto próprio de um conjunto B, denotado por A B, se A B mas A B. A ordem e repetição de elementos em um conjunto é irrelevante: {a, b, c} = {c, b, a} = {a, b, b, c, c, c}. Em um multiconjunto a repetição de elementos é relevante (mas não a ordem): {{a, b, c}} = {{c, b, a}} = {{a, b, b, c, c, c}}. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 5 / 64

6 Conjuntos Alguns conjuntos importantes: 1 = {} é o conjunto vazio, ou seja, que tem zero elementos. 2 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números naturais. 3 Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} é o conjunto dos números inteiros. 4 Z + = {1, 2, 3, 4, 5...} é o conjunto dos números inteiros positivos. 5 Q = { p /q p Z, q Z, e q 0} é o conjunto dos números racionais. 6 R é o conjunto dos números reais. 7 R + é o conjunto dos números reais positivos. 8 C é o conjunto dos números complexos. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 6 / 64

7 Conjuntos Sendo A, B subconjuntos do conjunto universal U, definimos as operac o es: Unia o: A B Alternativamente: Notac a o: x A B x A x B Sn = A1 A2... An i=1 Ai Intersec a o: A B Alternativamente: Notac a o: x A B x A x B Tn = A1 A2... An i=1 Ai Diferenc a: A B Alternativamente: x A B Complemento: A Alternativamente: x A Ma rio S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) = = = = {x U x A x B} {x U x A x B} {x U x A x 6 B} x A x 6 B {x U x 6 A} x 6 A Terminologia, Te cnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 7 / 64

8 Conjuntos Dado um conjunto A, o conjunto potência de A (ou conjunto das partes de A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A. Denotamos por P(A) o conjunto potência de A. 1 Dado o conjunto S = {x, y, z}, seu conjunto potência é 2 P( ) = { }. P(S) = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}. Teorema: Se um conjunto finito A tem n elementos, então P(A) tem 2 n elementos. Prova. Para formar um subconjunto S qualquer de A, podemos percorrer cada elemento a i A (1 i n), decidindo se a i S ou se a i S. Como para cada elemento há duas opções (pertence ou não pertence), e há um total de n elementos em A, há 2 n maneiras de se formar um subconjunto S de A. Logo, P(A) = 2 n. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 8 / 64

9 Sequência e tuplas Uma sequência de objetos é uma lista ordenada destes objetos. Normalmente representamos sequências como uma lista entre parênteses: (a, b, c). Ao contrário de em conjuntos, numa sequência a ordem dos elementos é relevante: (a, b, c) (c, a, b) (b, c, a), mesmo que os conjuntos abaixo sejam equivalentes: {a, b, c} = {c, a, b} = {b, c, a}. Assim como os conjuntos, as sequências podem ser finitas ou infinitas. Uma sequência finita é chamada de tupla (ou upla). Uma sequência finita com k elementos é chamada de k-tupla: (a, b, c) é uma 3-tupla. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 9 / 64

10 Sequências e tuplas O produto cartesiano (ou produto cruzado) de dois conjuntos A e B, denotado A B, é o conjunto de todos os pares ordenados (i.e., 2-tuplas) (a, b), onde a A e b B. Formalmente: A B = {(a, b) a A e b B}. Exemplo 1 Sejam A = {1, 2} e B = {a, b, c}. A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} A A = A 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} Note que, em geral, A B B A. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 10 / 64

11 Sequências e tuplas O produto cartesiano (ou produto cruzado) de vários conjuntos A 1, A 2,..., A n, denotado por A 1 A 2... A n, é o conjunto de todas as n-tuplas ordenadas (a 1, a 2,..., a n ), onde a i A i para i = 1... n. Formalmente: A 1 A 2... A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A i para i = 1... n} Exemplo 2 Sejam A = {0, 1}, B = {a, b}, C = {γ, δ}. A B C = {(0, a, γ), (0, a, δ), (0, b, γ), (0, b, δ), (1, a, γ), (1, a, δ), (1, b, γ), (1, b, δ)}, e A A A = A 3 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 11 / 64

12 Funções e relações Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma função (ou mapeamento) f de A para B é uma associação de exatamente um elemento de B a cada elemento de A. Escrevemos f (a) = b se b for o único elemento de B associado através de f ao elemento a de A. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 12 / 64

13 Funções e relações Se f é uma função de A para B, escrevemos para denotar o tipo da função. f : A B O conjunto A é chamado de domínio de f. O conjunto B é chamado de co-domínio ou contra-domínio de f. A imagem de f é o conjunto de valores que f pode assumir: imagem de f = {b B b = f (a) para algum a A} A imagem inversa de um elemento b B é o conjunto de valores a A que são mapeados a b via f : imagem inversa de b = {a A f (a) = b} Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 13 / 64

14 Funções e relações Exemplo 3 Sejam os conjuntos A = {x, y, z} e B = {1, 2, 3, 4}. Seja a função f : A B definida pelo diagrama abaixo. f (x) = 2 f (y) = 4 f (z) = 2 Imagem inversa de 1: Imagem inversa de 2: {x, z} Imagem inversa de 3: Imagem inversa de 4: {y} Domínio de f : {x, y, z} Co-domínio de f : {1, 2, 3, 4} Imagem de f : {2, 4} A função f pode ser representada como o conjunto de pares ordenados: f = {(x, 2), (y, 4), (z, 2)} Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 14 / 64

15 Funções e relações Um predicado ou propriedade é uma função cujo contradomínio é {verdadeiro, falso}. 1 Por exemplo, Impar : Z {verdadeiro, falso} é o predicado que é verdadeiro se seu argumento for ímpar, e falso em caso contrário. Logo Impar(3) = verdadeiro, mas Impar(6) = falso. Uma propriedade cujo domínio é um conjunto de k-tuplas A... A é chamada de uma relação, relação k-ária, ou relação k-ária sobre A. Se R é uma relação k-ária, significa que R(a 1,..., a k ) R(a 1,..., a k ) = verdadeiro. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 15 / 64

16 Funções e relações Uma relação binária tem como domínio pares ordenados. Normalmente usamos notação infixada para representar relação binária: 1 3 < 5 é o mesmo que < (3, 5) = verdadeiro = 4 é o mesmo que = (2 + 2, 4) = verdadeiro. Uma relação binária R é dita ser uma relação de equivalência se ela satisfaz três condições: 1. R é reflexiva: para todo x, xrx; 2. R é simétrica: para todo x, y, se xry então yrx; e 3. R é transitiva: para todo x, y, z, se xry e yrz então xrz. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 16 / 64

17 Funções e relações Exemplo 4 Seja a relação R no conjunto dos reais tal que a R b se, e somente se, a b é um inteiro. R é uma relação de equivalência? Solução: Temos que verificar se R é reflexiva, simétrica e transitiva. Reflexiva: Sim, já que a a = 0 é um inteiro para todo real a. Logo a R : a R a. Simétrica: Sim, já que se a b é inteiro, então b a também é um inteiro (apenas com o sinal oposto). Logo a, b R : a R b b R a. Transitiva: Sim, se a b e b c são ambos inteiros, então a c = (a b) + (b c) é a soma de dois inteiros e, portanto, a c também é inteiro. Logo a, b, c R : (a R b) (b R c) (a R c). Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 17 / 64

18 Grafos Um grafo não-direcionado (ou simplesmente grafo) é um conjunto de vértices com arestas conectando alguns destes vértices. Um grafo G pode ser descrito como G = (V, E) em que V = {v 1, v 2,..., v n } é o conjunto de vértices de G, e E é o conjunto de arestas. Uma aresta (não-direcionada) entre o vértice v i e o vértice v j é representada por {v i, v j }. 1 O grafo ao lado pode ser representado por G = (V, E), onde V = {1, 2, 3, 4, 5} é o conjunto de vértices E = { {1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5} } é o conjunto de arestas não-direcionadas. O número de arestas em um vértice específico é o grau do vértice. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 18 / 64

19 Grafos Um grafo rotulado é um grafo em que vértices e/ou arestas recebem rótulos. Um grafo G = (V, E) é um subgrafo de um grafo H = (V, E ) se: 1. V V, e 2. E E. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 19 / 64

20 Grafos Um caminho em um grafo é uma sequência de vértices conectados por arestas. Um caminho simples é um caminho que não repete nenhum vértice. Um grafo é conexo se entre cada dois vértices do grafo existe um caminho. Um ciclo é um caminho que começa e termina no mesmo vértice. Um ciclo simples é aquele que contém pelo menos três vértices e repete somente o primeiro e o último vértice. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 20 / 64

21 Grafos Uma árvore é um grafo conexo e sem ciclos. Uma árvore pode conter um vértice designado raiz, e os vértices de grau 1 são chamados folhas. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 21 / 64

22 Grafos Em um grafo direcionado cada aresta tem um vértice de saída e um vértice de entrada. Um aresta saindo do vértice v i e chegando ao vértice v j é representada por uma tupla (v i, v j ). 1 O grafo ao lado pode ser representado por G = (V, E), onde V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é o conjunto de vértices, E = { (1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3) } é o conjunto de arestas direcionadas. Um caminho direcionado é aquele em que toda aresta aponta na mesma direção. Um grafo é fortemente conexo se um caminho direcionado conecta cada dois vértices. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 22 / 64

23 Lógica Booleana A lógica Booleana é definida sobre valores Booleanos T (verdadeiro) e F (falso), e operadores lógicos como os abaixo: Negação p p T F F T Ou exclusivo p q p q T T F T F T F T T F F F Conjunção p q p q T T T T F F F T F F F F Implicação p q p q T T T T F F F T T F F T Disjunção p q p q T T T T F T F T T F F F Implicação dupla p q p q T T T T F F F T F F F T Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 23 / 64

24 Definições, Teoremas e Provas Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 24 / 64

25 Definições e Provas: Terminologia Uma definição é uma descrição de objetos ou noções que usamos. Um enunciado matemático, no geral, é uma afirmação de que um objeto tem uma certa propriedade. Uma prova é uma demonstração matemática da certeza a respeito de um enunciado matemático. O nível de detalhamento de uma prova pode depender do tipo de leitor ao qual ela se destina, levando em conta fatores como: 1. o conhecimento do leitor; 2. a maturidade do leitor; 3. o nível de rigor almejado. Adotamos o rigor matemático esperado de profissionais da área de exatas. Provas são importantes em várias áreas da Ciência da Computação: 1 correção de programas; 2 análise de complexidade de algoritmos; 3 propriedades de segurança de sistemas; 4... Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 25 / 64

26 Provas e Teoremas: Terminologia Um axioma (ou postulado) é afirmação assumida como verdadeira sem a necessidade de uma prova; axiomas são considerados verdades auto-evidentes. Um teorema é uma afirmação que se pode demonstrar ser verdadeira. Um teorema é um resultado considerado interessante em si mesmo. Uma proposição é também uma afirmação que se pode demonstrar verdadeira, mas considerada um teorema de menor interesse. Um lema é uma afirmação auxiliar a ser provada, geralmente para quebrar a prova de um teorema grande em pedaços menores. Uma prova (ou demonstração) é um argumento que mostra que uma afirmação (teorema, proposição ou lema) segue de um conjunto de premissas. Um corolário é afirmacão derivável facilmente a partir de um teorema já provado. Colorários são consequências imediatas de outros resultados. Uma conjectura é suposição bem fundada, porém (ainda) sem prova. Uma vez provada, uma conjectura se torna um teorema ou uma proposição. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 26 / 64

27 Como escrever uma prova Escreva claramente qual a afirmação que se deseja provar. (É comum preceder a afirmação com a palavra Teorema ou Lema.) Delimite claramente o escopo da prova. Indique o início da prova com a palavra Prova. Indique o fim da prova com um marcador. Podem-se usar: um quadradinho, ou a abreviação Q.E.D. (do latim quod erat demonstrandum ), ou sua tradução em português, C.Q.D. ( conforme queríamos demonstrar ). Escreva a prova de tal forma que ela seja autocontida. Use linguagem natural (português) de forma clara, empregando sentenças completas e bem estruturadas. Podem-se utilizar fórmulas matemáticas, equações, etc., quando necessário. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 27 / 64

28 Como escrever uma prova Identifique cada variável usada na prova juntamente com seu tipo. Exs.: 1 Seja x um número real maior que 2. 2 Suponha que m e n sejam inteiros sem divisores comuns. Importante: O objetivo principal de uma prova é convencer o leitor de que o resultado (teorema, proposição, lema) é verdadeiro. Não basta que você mesmo esteja convencido! Certifique-se de que está sendo conciso, mas claro. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 28 / 64

29 Como escrever uma prova: Exemplo Exemplo 5 Mostre que se m e n são quadrados perfeitos, então mn é um quadrado perfeito. (Obs: Um inteiro a é um quadrado perfeito se existe um inteiro b tal que a = b 2.) Prova. Para provar esta proposição, vamos assumir que m e n sejam quadrados perfeitos. Pela definição de quadrado perfeito, devem existir inteiros s e t tais que m = s 2 e n = t 2. O objetivo da prova é mostrar que mn será um quadrado perfeito quando m e n o forem. Para ver isto, podemos calcular mn = s 2 t 2 = (st) 2. Mas é claro que st também é um inteiro, logo mn satisfaz a definição de quadrado perfeito (já que mn = (st) 2 ), e a conclusão da implicação também é verdadeira. Logo concluímos a prova de que a afirmação é verdadeira. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 29 / 64

30 Técnicas de Prova Mário S. Alvim Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 30 / 64

31 Técnicas de prova Construir uma prova é uma arte. Cada caso é um caso: não existe uma receita fechada para construir provas para todas as afirmações. Existem, entretanto, técnicas que são úteis para provar uma grande quantidade de afirmações. Aqui vamos rever as seguintes técnicas de prova: 1. prova por construção; 2. prova por contradição (ou prova por redução ao absurdo); 3. prova por indução. Outras técnicas de prova (e.g., prova por contra-exemplo, por divisão em casos, etc.) serão revistas à medida em que forem necessárias. Mário S. Alvim Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 31 / 64

32 Prova por construção Muitos teoremas enunciam que um tipo particular de objeto existe. Uma maneira de provar um teorema destes é demonstrar como construir o objeto. Esta técnica de prova é chamada de prova por construção. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 32 / 64

33 Prova por construção: Exemplo Exemplo 6 Mostre que para cada número par n maior que 2, existe um grafo 3-regular com n vértices. Prova. Seja n um número par maior que 2. Construa o grafo G = (V, E) com n vértices da seguinte forma. O conjunto de vértices é V = {0, 1,..., n 1}, e o conjunto de arestas é E = { {i, i + 1} para 0 i n 2 } { {n 1, 0} } { {i, i + n /2} para 0 i n /2 1 }. Desenhe os vértices desse grafo escritos consecutivamente ao redor da circunferência de um círculo: As arestas do tipo { {i, i + 1} para 0 i n 2 } ligam pares adjacentes ao longo do círculo. As arestas do tipo { {i, i + n /2} para 0 i n /2 1} ligam vértices em lados opostos do círculo. Isto claramente mostra que todo vértice em G tem grau 3. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 33 / 64

34 Prova por contradição Uma forma comum de provar um teorema é seguir os seguintes passos: 1. assumir que o teorema é falso; 2. em seguida, demonstrar que esta suposição leva a uma consequência obviamente falsa, chamada de contradição, 3. concluir que o teorema, então, deve ser necessariamente verdadeiro. Esta técnica de prova é chamada de prova por contradição ou prova por redução ao absurdo. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 34 / 64

35 Prova por contradição: Exemplo Exemplo 7 Mostre que 2 é irracional. Prova. Suponha o contrário do que queremos provar, ou seja, que 2 é racional. Neste caso, existem p, q Z, com mdc(p, q) = 1, tais que 2 = p/q. Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos 2 = p 2 /q 2, ou seja, p 2 = 2q 2. Note que 2q 2 é par, portanto pela igualdade acima p 2 também tem que ser par. Isto implica que p deve ser par. Agora, já que p é par, existe algum s Z tal que p = 2s. Isso implica que 2q 2 = p 2 = (2s) 2 = 4s 2, o que resulta em q 2 = 2s 2. Note que então q 2 é par, portanto q deve ser par. Mas se ambos p e q são pares, isto contradiz a suposição de que o mdc(p, q) = 1: encontramos uma contradição. Logo podemos concluir que não existem p, q Z, com q 0 e mdc(p, q) = 1, tais que 2 = p/q. Portanto 2 é irracional. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 35 / 64

36 Prova por indução Imagine que você esteja diante de uma escada de infinitos degraus, e você se pergunta: Será que eu consigo alcançar qualquer degrau dessa escada? Você sabe que 1. você consegue alcançar o primeiro degrau, e 2. se você alcançar um degrau qualquer, você consegue alcançar o próximo degrau. Usando as regras acima, você pode deduzir que: 1 você consegue alcançar o primeiro degrau: pela regra 1; 2 você consegue alcançar o segundo degrau: pela regra 1, depois regra 2; 3 você consegue alcançar o terceiro degrau: regra 1, depois regra 2 por duas vezes; você consegue alcançar o n-ésimo degrau: regra 1, depois regra 2 por n 1 vezes. Logo, você pode concluir que pode alcançar todos os degraus da escada! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 36 / 64

37 Prova por indução Para mostrar que uma propriedade P(n) vale para todos os inteiros positivos n, uma prova que utilize o princípio da indução matemática (fraca) possui duas partes: Prova por indução fraca: Passo base: Prova-se P(1). Passo indutivo: Prova-se que, para qualquer inteiro positivo k, se P(k) é verdadeiro, então P(k + 1) é verdadeiro. A premissa do passo indutivo (P(k) é verdadeiro) é chamada de hipótese de indução ou I.H. O princípio da indução matemática pode ser expresso como uma regra de inferência sobre os números inteiros: [ P(1) }{{} Passo base k 1 : (P(k) P(k + 1)) ] }{{} n 1 : P(n) }{{} Passo indutivo Conclusão Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 37 / 64

38 Prova por indução: Exemplo Exemplo 8 Mostre que para todo inteiro não-negativo n, n i=0 2i = 2 n+1 1. Prova. Seja P(n) a proposição n i=0 2i = 2 n+1 1. Passo base: P(0) é verdadeiro porque: 0 2 i = , i=0 já que o lado esquerdo da igualdade acima pode ser escrito como 0 2 i = 2 0 = 1, i=0 e o lado direito pode ser escrito como = = 1. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 38 / 64

39 Prova por indução: Exemplo Exemplo 8 (Continuação) Passo indutivo: Assuma que P(k) seja verdadeiro para um inteiro não-negativo arbitrário k, ou seja, assuma como verdadeira a hipótese de indução k 2 i = 2 k+1 1. i=0 Queremos mostrar que, se a hipótese acima for verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeiro, ou seja, que k+1 2 i = 2 (k+1)+1 1 = 2 k+2 1. i=0 Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 39 / 64

40 Prova por indução: Exemplo Exemplo 8 (Continuação) Para isto, podemos derivar ( k+1 k ) 2 i = 2 i + 2 k+1 i=0 i=0 = ( 2 k+1 1 ) + 2 k+1 (pela I.H.) = 2 2 k+1 1 = 2 k+2 1, de onde concluímos o passo indutivo. Logo, por indução mostramos que n N : P(n), ou seja, que n i=0 2i = 2 n+1 1 para todo inteiro n 0. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 40 / 64

41 Erros comuns em provas Argumentar a partir de exemplos. Exemplo 9 Teorema: Se m + n é par então m n é par. Prova incorreta: Se m = 14 e n = 6 então m + n = 20 que é par e m n = 8 que também é par. Pular para uma conclusão; ou alegar a verdade de alguma coisa sem dar uma razão adequada. Exemplo 10 Teorema: Se m + n é par então m n é par. Prova incorreta: Suponha que m e n sejam inteiros e que m + n é par. Pela definição de par, m + n = 2k para algum inteiro k. Então m = 2k n e assim m n é par. Exercício: Corrija as provas dadas acima, provando corretamente a afirmação: Se m + n é par então m n é par. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 41 / 64

42 Enumerabilidade Mário S. Alvim Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 42 / 64

43 Cardinalidade de conjuntos O tamanho de um conjunto finito é dado pelo número de seus elementos. Podemos comparar o tamanho de conjuntos finitos verificando qual conjunto tem mais elementos. Entretanto, quando lidamos com conjuntos infinitos, os conceitos de tamanho e de comparação são mais complexos. Aqui estudaremos a cardinalidade (i.e., tamanho ) de conjuntos infinitos, e maneiras de comparar se conjuntos infinitos são maiores, menores, ou de igual tamanho a outros conjuntos infinitos. Em particular, definiremos o conceito de conjunto infinito enumerável, que é a base da Matemática Discreta. Estes conjuntos estão em contraste com os conjuntos não-enumeráveis, que são objetos de estudo da matemática contínua. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 43 / 64

44 Cardinalidade de conjuntos infinitos A cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos deste conjunto. Por exemplo: 1 O conjunto finito A = {a, b, c} tem cardinalidade A = 3. Podemos dividir os conjuntos finitos em classes de acordo com sua cardinalidade: a classe de conjuntos com 0 elementos, a classe de conjuntos com 1 elementos, a classe de conjuntos com 2 elementos,... a classe de conjuntos com k elementos,... Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 44 / 64

45 Cardinalidade de conjuntos infinitos Mas e quanto a conjuntos infinitos como N, Z e R? Poderíamos dizer que estes conjuntos pertencem à Mais precisamente: Será que esta classe existe? classe de conjuntos com elementos? Será que esta classe é única? Temos que ter cuidado com as perguntas acima: o conceito de infinito pode ser bastante contraintuitivo! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 45 / 64

46 Infinito bizarro: O Hotel de Hilbert Exemplo 11 Imagine um hotel com infinitos quartos acomodando infinitos hóspedes, de modo que cada quarto esteja ocupado por um único hóspede. Suponha que um novo hóspede chegue ao hotel procurando por um quarto. É possível acomodar este novo hóspede em algum quarto, sem expulsar nenhum hóspede que já estava no hotel? Solução. Se o hotel tivesse um número finito de quartos, a resposta seria negativa... Mas o Hotel de Hilbert tem infinitos quartos... E o infinito é bizarro! Podemos acomodar o novo hóspede se fizermos cada hóspede em um quarto n mudar-se para o quarto n + 1: o hóspede do quarto 1 muda-se para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 muda-se para o quarto 3, o hóspede do quarto 3 muda-se para o quarto 4, etc... Assim podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 46 / 64

47 Infinito bizarro: O Hotel de Hilbert Exemplo 12 Imagine ainda o mesmo hotel com infinitos quartos acomodando infinitos hóspedes, estando um hóspede em cada quarto. Suponha que é alta-estação, e um ônibus trazendo um número infinito de hóspedes chega ao hotel, todos procurando por um quarto. É possível acomodar todos os infinitos hóspedes em algum quarto, sem expulsar nenhum hóspede que já estava no hotel? Solução. Sim! Podemos acomodar os infinitos hóspedes assim se fizermos cada hóspede em um quarto n mudar-se para o quarto 2n: o hóspede do quarto 1 muda-se para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 muda-se para o quarto 4, o hóspede do quarto 3 muda-se para o quarto 6, etc... Assim todos os quartos ímpares ficam vagos, e podemos acomodar os infinitos novos hóspedes nos quartos ímpares! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 47 / 64

48 Infinito bizarro: O Hotel de Hilbert Exemplo 13 Imagine ainda o mesmo hotel com infinitos quartos acomodando infinitos hóspedes, estando um hóspede em cada quarto. Agora imagine que cheguem ao hotel um número infinito de ônibus, cada ônibus com um número infinito de hóspedes procurando por um quarto. É possível acomodar todos os novos hóspedes no hotel, sem expulsar nenhum hóspede que já estava no hotel? Solução. Desafio para o aluno! (Dica: é possível. E, dependendo de como você fizer, ainda sobram quartos!) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 48 / 64

49 Cardinalidade de conjuntos O conceito de cardinalidade estende o conceito de tamanho para conjuntos infinitos. A cardinalidade é uma medida de tamanho relativo de um conjunto em comparação com outro conjunto. Formalmente, sejam A e B dois conjuntos quaisquer. A tem a mesma cardinalidade de B sse existe uma correspondência um-para-um (ou seja, uma função bijetiva) de A para B. Note que a definição acima captura a noção de número de elementos para conjuntos finitos. Além disso, a definição acima também é válida para conjuntos infinitos. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 49 / 64

50 Conjuntos enumeráveis Um conjunto é chamado enumerável ou contável se ele é finito ou se ele possui a mesma cardinalidade que o conjunto dos inteiros positivos Z +. Caso contrário o conjunto é chamado não-enumerável ou não-contável. Exemplo 14 O conjunto P dos números pares positivos é enumerável? Solução. Considere a bijeção entre os dois conjuntos: P : Z + : Esta bijeção é uma maneira de enumerar ou contar os elementos de P: 2, 4, 6, 8, 10,... Podemos mostrar a bijeção de Z + para P, ou inversamente a bijeção de P para Z +. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 50 / 64

51 Conjuntos enumeráveis Exemplo 15 O conjunto Z de todos os números inteiros é enumerável? Solução. Considere a bijeção entre os dois conjuntos: Z : Z + : Logo Z é enumerável, e podemos enumerar seus elementos assim: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,... Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 51 / 64

52 Conjuntos enumeráveis Exemplo 16 O conjunto Q + dos racionais positivos é enumerável? Solução. Vamos representar o conjunto Q + como uma tabela em que cada linha representa um possível numerador (um inteiro positivo) e cada coluna representa um possível denominador (também um inteiro positivo). A tabela abaixo mostra uma bijeção entre Q + (frações) e Z + (números circulados). (As frações não-simplificadas são redundantes e não entram na bijeção.) Num./Den /1 1 1/2 2 1/3 4 1/4 6 1/ /1 3 2/2 2/3 7 2/4 2/ /1 5 3/2 8 3/3 3/4... 3/ /1 9 4/2 4/3... 4/4... 4/ /1 12 5/2... 5/3... 5/4... 5/ Logo Q + é enumerável. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 52 / 64

53 Conjuntos enumeráveis Exemplo 17 O conjunto Q de todos os racionais é enumerável? Solução. Método 1: Adaptando a técnica do exemplo anterior, fazemos linhas e colunas corresponderem todos os inteiros positivos e negativos. A tabela abaixo mostra uma bijeção entre Q (frações) e Z + (números circulados). (As frações não-simplificadas são redundantes e não entram na bijeção.) Num./Den /1 1 0/2 0/3 0/4 0/ /1 2 1/2 3 1/3 5 1/4 8 1/ /1 4 1/2 6 1/3 9 1/4... 1/ /1 7 2/2 2/3... 2/4... 2/ /1 10 2/2... 2/3... 2/4... 2/ Logo Q é enumerável. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 53 / 64

54 Conjuntos enumeráveis Exemplo 17 (Continuação) Método 2: Considere a seguinte enumeração dos racionais no intervalo [0, 1] (em que as frações aparecem em ordem crescente de denominador, depois de numerador, tomando o cuidado de eliminar frações redundantes (em cinza)): 0, 1 1, 1 2, 2 2, 1 3, 2 3, 3 3, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4,... Para incluir os racionais maiores que 1, podemos estender a lista acima, listando cada fração inversa após a fração original: 0, 1 1, 1 2, 2 1, 1 3, 3 1, 2 3, 3 2, 1 4, 4 1, 3 4, 4 3,... Por fim, para obter uma enumeração completa dos racionais Q, podemos estender a lista acima ao enumerar após cada fração, sua oposta: 0, 1 1, 1 1, 1 2, 1 2, 2 1, 2 1, 1 3, 1 3, 3 1, 3 1, 2 3, 2 3, 3 2, 3 2, 1 4, , 4 1,... Como obtivemos uma enumeração de Q, este conjunto é enumerável. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 54 / 64

55 Propriedades dos conjuntos enumeráveis Teorema: A união de dois conjuntos enumeráveis é enumerável. Prova. Sejam A e B conjuntos enumeráveis. Portanto existe uma enumeração a 1, a 2, a 3,... para A e uma enumeração b 1, b 2, b 3,... para B. Podemos construir uma enumeração para A B tomando a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3... (com o cuidado de não listar elementos repetidos, i.e., elementos que estejam em A B.) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 55 / 64

56 Propriedades dos conjuntos enumeráveis Teorema: Qualquer subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável. Prova. Seja B um conjunto enumerável, e tome A B. Por hipótese, existe uma enumeração b 1, b 2, b 3,... para B. Eliminando os termos b i / A desta enumeração, obtém-se uma enumeração para A. Corolário: Se um conjunto B tem um subconjunto A B tal que A é não-enumerável, então B é não-enumerável. Prova. Este resultado é apenas o contrapositivo do teorema que diz que qualquer subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 56 / 64

57 Um conjunto não enumerável: R Para verificar que o conjunto R de todos os números reais não é enumerável, vamos usar o resultado auxiliar abaixo. Teorema: O conjunto de todos os números reais no intervalo [0, 1) é não-enumerável. Prova. Por contradição. Suponha que [0, 1) seja enumerável. Então, por definição de enumerabilidade, existe uma lista r 1, r 2, r 3,..., r i,... em que constam todos os elementos de [0, 1). Esta lista pode ser representada por uma matriz, em que cada linha representa um número real em [0, 1), ordenada de acordo com a enumeração acima, e cada coluna representa os dígitos decimais deste número. Mais precisamente, já que cada r i nesta lista pertence ao intervalo [0, 1), podemos escrever r i = 0. r i1 r i2 r i3... r in..., onde r in é o n-ésimo dígito decimal do número r i. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 57 / 64

58 Um conjunto não enumerável: R Prova (Continuação). Esta tabela tem o formato abaixo: Enumeração 1 o dec. 2 o dec. 3 o dec.... n-ésimo dec.... r 1 r 11 r 12 r r 1n... r 2 r 21 r 22 r r 2n... r 3 r 31 r 32 r r 3n r i r i1 r i2 r i3... r in Se encontrarmos um número r α no intervalo [0, 1) que não esteja listado na tabela acima, chegamos a uma contradição (pois assumimos por hipótese que a lista está completa). Vamos construir r α definindo cada uma de suas casas decimais da seguinte forma: r αk = (r kk + 5) mod 10. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 58 / 64

59 Um conjunto não enumerável: R Prova (Continuação). Assim o número α é tal que: Enumeração 1 o dec. 2 o dec. 3 o dec.... k-ésimo dec.... r 1 r 11 r 12 r r 1k... r 2 r 21 r 22 r r 2k... r 3 r 31 r 32 r r 3k r k r k1 r k2 r k3... r kk (r r ) (r ) (r ) (r α... kk + 5) mod 10 mod 10 mod 10 mod Mas note que o número r α não pode estar na lista, pois ele é diferente de todos os demais números da lista (para qualquer r i na lista, o i-ésimo dígito de r α é diferente do i-ésimo dígito de r i, logo temos que r α r i ). Logo, a lista não pode estar completa, pois r α não se encontra nela, e chegamos a uma contradição. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 59 / 64

60 Um conjunto não enumerável: R Corolário: O conjunto R não é enumerável. Prova. Nesta aula provamos se A B e A não é enumerável, então B não é enumerável. Portanto, observando que [0, 1) R, e sabendo que [0, 1) não é enumerável, segue-se que R não é enumerável. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 60 / 64

61 Apêndice - O Teorema de Cantor Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 61 / 64

62 O Teorema de Cantor Cantor produziu várias contribuições importantes para a matemática. Em particular, seu método de diagonalização é utilizado em vários resultados fundamentais em ciência da computação (vamos revisitá-lo neste curso!). Uma das contribuições mais relevantes de Cantor foi mostrar que existem infinitos de tamanhos diferentes. Em particular, os reais têm cardinalidade maior que os naturais. Mas Cantor foi além: ele generalizou o método da diagonalização para mostrar que existem conjuntos de cardinalidade ainda maior que a dos reais. No Teorema de Cantor, ele demonstrou que: existe um número infinito de infinitos diferentes, cada um maior que o outro! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 62 / 64

63 O Teorema de Cantor Teorema (Teorema de Cantor) Dado qualquer conjunto A, seu conjunto potência P(A) tem cardinalidade maior: card(a) < card(p(a)). Prova. Primeiro vamos mostrar que a cardinalidade de A não pode ser maior que a de seu conjunto potência P(A). Para isto, basta notar que existe uma função injetiva f : A P(A) definida como f (a) = {a} para todo a A. Logo, P(A) tem pelo menos tantos elementos quando A. O segundo passo da prova é mostrar que a cardinalidade de A não pode igual à de seu conjunto potência P(A). Para isto, vamos mostrar que nenhuma função f de um conjunto A para seu conjunto potência P(A) pode ser bijetiva. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 63 / 64

64 O Teorema de Cantor Prova. (Continuação) Por contradição, assuma que exista uma bijeção f entre A e P(A). Considere o conjunto B = {a A a / f (a)}. Como B P(A), então deve existir um x A tal que f (x) = B, uma vez que f é bijetiva. Há duas possibilidades a se considerarem: 1. Se x B, então x / f (x), ou seja, x / B, o que é uma contradição. 2. Se x / B, então x f (x), ou seja, x B, o que é uma contradição. Logo, f não é uma função sobrejetiva, e chegamos a uma contradição. Para concluir, note que como mostramos que card(a) card(p(a)) e que card(a) card(p(a)), podemos concluir que card(a) < card(p(a)). Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Terminologia, Técnicas de Prova, Enumerabilidade DCC-UFMG (2018/02) 64 / 64