Se a afirmação de João é verdadeira, temos o seguinte conjunto em seu bolso.

Transcrição

1 Capítulo 5 Testes de Hipóteses Capítulo 5 Exemplo 5.1 Imagine que seu amigo José lhe diga o seguinte: Possuo em meu bolso do paletó 16 bolas de gude, sendo que 10 bolas são brancas, 4 são verdes e 2 são amarelas. Se a afirmação de João é verdadeira, temos o seguinte conjunto em seu bolso. > bolas < c(rep("branca", 10), rep("verde", 4), rep("amarela", + 2)) > bolas [1] "branca" "branca" "branca" "branca" "branca" "branca" "branca" [8] "branca" "branca" "branca" "verde" "verde" "verde" "verde" [15] "amarela" "amarela" Sorteando uma amostra de tamanho n = 2 do bolso de João. > sample(bolas,2) [1] "verde" "branca" Com base na amostra, testar hipóteses. H0 : João está falando a verdade H1 : João está mentindo Caso H0 seja verdadeira, estas serão todas as amostras possíveis de tamanho 2 > amostras < combn(bolas, 2) Verifique as chances das amostras. > table(paste(amostras[1, ], amostras[2, ], sep = " ")) amarela amarela branca amarela branca branca branca verde verde amarela verde verde 6 As probabilidades das combinações são: > prop.table(table(paste(amostras[1, ], amostras[2, ], sep = " "))) amarela amarela branca amarela branca branca branca verde verde amarela verde verde

2 Exemplo 5.2 Sabemos que a variável(x) altura dos alunos da Universidade A, local A, segue uma distribuição normal com altura média de 171cm e desvio padrão de 9cm. Se recebermos de uma origem desconhecida, local B, numa amostra de 27 alunos, poderíamos decidir se essa amostra foi retirada da universidade A, ou se o local B possui a mesma média do local A? Nesta amostra, a média observada foi Tabela 1: Amostra de alturas de 27 alunos Hipóteses a serem testadas H0 : μ = 171 H1 : μ < 171 Distribuição Amostral do Estimador O estimador para a média populacional é a média amostral ˉX. A distribuição da média amostral é dada por : > curve(dnorm(x, 171, 9/sqrt(27)), 164, 178, xlab = "xbarra") PIC A estimativa do parâmetro (ˉx). > xbarra < mean(ex5.2$x) > xbarra [1] 167 Fixar um valor para o nível de significância e obter a estatística de teste do Parâmetro por meio da Estatística do Teste Fixando um nível de significância de 1%.

3 > nivsig < 0.01 > nivsig [1] 0.01 A estatística de teste observada. > zobs < ( )/(9/sqrt(27)) > zobs [1] Construir a Região Crítica(RC) com base na Hipótese Alternativa e no valor de α e estabelecer a Regra de Decisão(RD) O valor crítico para a estatística de teste. > zcrit < qnorm(0.01) > zcrit [1] A região crítica é constituída pelo intervalo RC=(, ). Concluir o Teste: Se a Estimativa do Parâmetro pertencer à Região Crítica, rejeitamos a Hipótese Nula. Caso contrário, não RC Então a decisão é não rejeitar a hipótese Nula H0 : μ = 171 em favor da alternativa H0 : μ < 171. O Nível Descritivo (P valor) Qual seria a probabilidade da região crítica determinada por zobs em vez de zcrit. > pnorm(zobs) [1] Exercício: * Refaça o exemplo com os níveis de significância α = 0,1 e α = 0,5. * Refaça o exemplo com a hipótese alternativa H1 : μ =171 Exemplo 5.4 Uma máquina que enche pacotes de café de uma marca X deve completá los, em média, com no mínimo 500g. Se coletássemos de uma amostra aleatória de tamanho 16, a fim de verificarmos se a máquina se encontra regulada, e obtivéssemos uma média igual a 495g e desvio padrão de 5g, sera plausível concluirmos que a média é menor do que 500g, ou seja, a máquina se encontra regulada?

4 Estabelecer as Hipóteses Nula e Alternativa H0 : μ = 500 H : μ < Identificar a Distribuição Amostral associada ao Estimador e obter a Estimativa do Parâmetro; Distribuição amostral A estimativa do parâmetro. > xbarra < mean(ex5.4$x) > xbarra [1] A estimativa para a variância que, neste exemplo é desconhecida. > s < sd(ex5.4$x) > s [1] O tamanho da amostra > n < length(ex5.4$x) > n [1] 16 Fixar um valor para o Nível de Significância( α ) e obter a estatística de teste do parâmetro por meio da Estatística do Teste > nivsig < 0.01 A estatística do teste neste caso é : > tcalc < (xbarra 500)/(s/sqrt(n)) > tcalc [1] Construir a Região Crítica(RC) com base na hipótese alternativa e no valor de α > tcrit < qt(nivsig, n 1) > tcrit [1] A região crítica é constituída pelo intervalo RC=(, ).

5 Concluir o Teste: Se a Estimativa do Parâmetro pertencer à Região Crítica, rejeitamos a Hipótese Nula. Caso contrário, não RC Então a decisão é rejeitar a hipótese Nula H0 : μ = 500 em favor da alternativa H0 : μ < 500. Exemplo 5.3 Renda e número de filhos por família em uma cidade. > zero < c(15, 8, 25) > um < c(27, 13, 30) > dois < c(50, 9, 12) > mais < c(43, 10, 8) > tab5.13 < data.frame(zero, um, dois, mais) > tab5.13 zero um dois mais > chisq.test(tab5.13) Pearson's Chi squared test data: tab5.13 X squared = , df = 6, p value = 2.087e 06 P( χ62 36,62) = > round(1 pchisq( , 6)) [1] 0 P = 0,000 < α = 0,05. Exemplo 5.5 Neste exemplo vamos comparar o ganho de peso de dois grupos independentes de animais. O primeiro recebeu a ração A, enquanto o segundo recebeu a ração B. A Ração A foi administrada em 8 animais (na) e observou se uma média de 3,12 Kg e uma variância amostral de 0,15 Kg2. Já na Ração B, obtivemos ˉxB = 3,05 e variância amostral igual a 0,11Kg2 para nb = 10. Caso 1: na = 8, xa = 3.12, sa2 = Caso 2: nb = 10,xB = 3.05, sb2 = As amostras coletadas retornaram os valores: > xa < c(3.15, 3.15, 3.72, 3.46, 2.41, 3.13, 3.1, 2.85) > xa

6 [1] > xb < c(2.86, 3.07, 2.8, 2.97, 3.68, 3.16, 3.27, 2.71, 2.6, 3.38) > xb [1] Neste exemplo, as variâncias dos ganhos de peso são desconhecidas na população. Por isto, vamos testar a hipótese de igualdade entre as variâncias contra a alternativa de que estas são diferentes, ou seja : H0 : σ2a = σ2b H1 : σ2a = σ2b > var.test(xa, xb, conf.level = 0.95, alternative = "two.sided") F test to compare two variances data: xa and xb F = , num df = 7, denom df = 9, p value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to ratio of variances Considerando a igualdade das variâncias( σa2 = σb2), vamos testar a igualdade entre as médias. H0 : μa = μb H1 : μa = μb Para este teste, o nível de significância será fixado em α = 0,05. > t.test(xa, xb, conf = 0.95, var.equal = T, alternative = "two.sided") Two Sample t test data: xa and xb t = , df = 16, p value = 0.68 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to mean of x mean of y Exemplo 5.6 Um experimento com o objetivo de verificar a resistência(kgf) de dois tipos de concreto foi

7 realizado. Os dados são os seguintes: > conc1 < c(101.2, 102, 100.8, 102.3, 101.6) > conc1 [1] > conc2 < c(100, 102.8, 101.5, 99, 102) > conc2 [1] Neste teste, o objetivo é comparar a diferença entre as resistências dos concretos. Para entender melhor a direção desta diferença, se porventura existir, vamos calcular algumas estatísticas descritivas. Resistências médias dos diferentes concretos. > mean(conc1) [1] > mean(conc2) [1] Variância das resistências na amostra. > var(conc1) [1] > var(conc2) [1] Teste para a igualdade entre as variâncias. 2 2 H0 : σconc1 = σconc2 2 2 H1 : σconc1 = σconc2 > var.test(conc2, conc1) F test to compare two variances data: conc2 and conc1 F = , num df = 4, denom df = 4, p value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to

8 ratio of variances Teste para igualdade entre médias, considerando as variâncias diferentes. H0 : μconc1 = μconc2 H1 : μconc1 = μconc2 > t.test(conc1, conc2, alternative = "greater") Welch Two Sample t test data: conc1 and conc2 t = , df = 5.195, p value = alternative hypothesis: true difference in means is greater than Inf mean of x mean of y Exemplo 5.7 Um novo medicamento está sendo pesquisado com o intuito de diminuir a pressão sistólica em indivíduos hipertensos. Dez pacientes voluntários submeteram se ao tratamento que consistia em medir a pressão antes e após 6 meses da administração do medicamento. > antes < c(179, 200, 161, 170, 181, 190, 202, 220, 195, 165) > depois < c(160, 180, 161, 180, 165, 170, 196, 216, 170, 160) > t.test(antes depois) One Sample t test data: antes depois t = , df = 9, p value = alternative hypothesis: true mean is not equal to mean of x 10.5 alternativamente, > t.test(antes, depois, paired = T) Paired t test

9 data: antes and depois t = , df = 9, p value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to mean of the differences 10.5 Comentários Adicionais As informações exibidas no resultado do teste t de Student podem ser armazenadas para uso posterior. No mesmo teste aplicado neste exemplo, vamos armazenar as informações em um objeto que chamaremos infot. > infot < t.test(antes, depois, paired = T) Para verificar quais informações estão armazenadas neste objeto, > names(infot) [1] "statistic" "parameter" "p.value" "conf.int" "estimate" [6] "null.value" "alternative" "method" "data.name" Para recuperar uma informação digitamos o nome do objeto de armazenamento seguido de $ e o nome da informação. Por exemplo, se queremos exclusivamente o P valor, > infot$p.value [1] Exemplo 5.8 Um candidato A a reitor da UFPR afirma que 57% dos professores irão votar nele na próxima eleição. O candidato B, desconfiado deste percentual, resolveu encomendar uma pesquisa de intenção de votos para verificar a autenticidade dessa afirmação. Após a coleta de uma amostra aleatória de n = 200 professores, constatou se que k = 95 tinham intenção de votar no candidato A. Vamos resumir os dados das intenções de votos dos professores da UFPR. > summary(ex5.8) reitor A: 95 B:105 Hipóteses H0 : p = 0,57 H1 : p < 0,57

10 Distribuição amostral e estatística de teste Distribuição amostral sob uma perspectiva otimista > pchap < 95/200 > var.ot < pchap * (1 pchap)/200 > var.con < 0.5 * (0.5)/200 > curve(dnorm(x, 0.57, sqrt(var.ot)), 0.3, 0.8, xlab = "pchapeu") PIC Nível de significância e estatística de teste na amostra Nível de significância. > nivsig < 0.05 Estatística de teste calculada na amostra. > zcalc = (pchap 0.57)/(sqrt(var.ot)) > zcalc [1] Região crítica Limite superior da região crítica. > qnorm(nivsig) [1] A região crítica neste caso é fornecida pelo intervalo RC=(, ). Conclusão do Teste zcalc RC, logo há evidência para rejeitar a afirmação do reitor A.