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1 Teste de hipótese para a média de populações normais Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar

2 Teste de hipóteses para média de populações normais Objetivo: avaliar afirmações sobre média(s) populacional(is). Existem, basicamente, 3 tipos de afirmações que se podem fazer quando se estudam médias populacionais: a) A afirmação diz respeito a uma média populacional. b) A afirmação diz que as médias de duas populações são todas iguais. c) A afirmação diz que as médias de três ou mais populações são todas iguais.

3 ) Teste para a comparação de médias de populações normais 3

4 Objetivo: Comparar as médias amostrais de duas populações normais. º passo: Verificar se as variáveis estão ou não relacionadas. º passo: Considerar a variabilidade associada aos valores populacionais e amostrais. a) dependentes populações Var conhecida independentes Var desconhecida b) variâncias iguais c) variâncias diferentes 4

5 Teste para comparação de duas médias populações normais a) Amostras dependentes observações pareadas (teste t-pareado pareado) São comparadas duas médias populacionais sendo que, para cada unidade amostral, realizou-se duas medições da característica de interesse. Correspondem a medidas tomadas antes e após uma dada intervenção. 5

6 Duas amostras de elementos são ditas serem dependentes quando existe algo que as relacione. Exemplo: Se os valores de duas amostras foram obtidos de um mesmo conjunto de elementos amostrais, podemos dizer que as duas amostras de valores são dependentes uma vez que foram tomados de um conjunto de elementos amostrais comum. O objetivo neste caso é verificar se houve alteração na média de uma população quando a mesma é avaliada sob duas condições diferentes (antes e depois). Cada condição representa uma população distinta, embora se suponha que os elementos populacionais sejam os mesmos nas duas condições. As medidas tomadas antes e após a intervenção realizada serão representadas pelas v.a.s X i e Y i, respectivamente. O efeito produzido pelo i-ésimo indivíduo, pode ser representado pela variável: D i = Y i X i Supondo uma amostra de tamanho n, temos que i =,..., n, ASSUMIMOS, por hipótese, que: D ~ N( i m D, ) D O parâmetro m D é estimado pela média amostral de D e sua variância, D, é estimada pela variância amostral de D,. s D 6

7 Definindo as hipóteses Queremos testar as hipóteses: H 0 : m D = 0 H a : m D 0 ou H 0 : m X = m Y ou H 0 : m D = m X m Y = 0 A hipótese alternativa também pode ser unilateral!!!! A estatística do teste de hipótese será: Se n 30 t mˆ D m s D n 0 ~ t ( n) Ou seja, sob H 0, segue uma distribuição t-student com n graus de liberdade. 7

8 Exemplo : Uma distribuidora de combustíveis deseja verificar se um novo tipo de gasolina é eficaz na revitalização de motores velhos. Selecionou-se automóveis de um mesmo modelo com mais de 8 anos de uso e, após regulagem dos motores, verifica-se o consumo de combustível. Em seguida, o carro é abastecido com o novo tipo de combustível durante 5 semanas e uma nova aferição é feita (km/litro). Como o desempenho dos automóveis foi medido antes e depois das 5 semanas, é razoável assumir que exista alguma dependência entre as variáveis. Essa é a típica situação que o teste t-pareado deve ser utilizado. As medidas tomadas antes e após a intervenção realizada serão representadas pelas v.a.s X i e Y i, respectivamente. O efeito produzido pelo i-ésimo indivíduo, pode ser representado pela variável D, onde D i = Y i X i, i =,...,. Assim, temos: 8

9 Valores observados para os automóveis: A média e a variância amostrais de D são: ˆ,94667 m e s,4 806 D.º Passo: Definir as hipóteses nula e alternativa: H 0 : m D = 0 (O novo combustível não aumenta o rendimento) H a : m D > 0 (O novo combustível aumenta o rendimento) s D.º Passo:.º Passo: Fixar e determinar a região crítica. =5% 9

10 0

11 .º Passo: Fixar e determinar a região crítica. =5% t tab =,796 0 t tab 3.º Passo: Obter o t calc t calc, ,4806 6, º Passo: Conclusão Como t calc > t tab rejeitamos H 0 ao nível de 5% de significância e concluímos que o novo combustível é eficaz na melhora do rendimento.

12 Tarefa : Obtenha o intervalo de confiança de 95% de confiança para a verdadeira diferença entre as médias de consumo do novo combustível. DICA: procure a fórmula no livros de experimentação para a notação: IC(m D, 95%) = IC(m Y m X, 95%)?

13 populações dependentes Exemplo : Desempenho dos automóveis medido antes (X) e após (Y) a aplicação do novo tipo de combustível. α = 5%. ### pop - pareado X <- c(8., 7.9, 6.8, 7.8, 7.6, 7.9, 5.7, 8.4, 8.0, 9.5, 8.0, 6.8) # antes Y <- c(.6, 8.8, 9.9, 9.5,.6, 9., 0.6, 0.8, 3.4, 0.6, 0.5,.4) # apos D <- Y-X # Diferença t.test(d, paired = F, conf.level = 0.95, alternative='greater') # One Sample t-test # # data: D # t = , df =, p-value =.097e-05 # alternative hypothesis: true mean is greater than 0 # 95 percent confidence interval: # Inf # sample estimates: # mean of x #

14 Teste para comparação de duas médias populações normais b) Amostras independentes b.) Variâncias desconhecidas, mas iguais 4

15 Formalizando o problema: Sejam duas variáveis aleatórias independentes (X,..., X n ) e (Y,..., Y n ), ambas com distribuição normal, tendo a mesma variância. Obtemos uma amostra de cada variável de tamanho n e n, respectivamente, ou seja: X Y j i ~ ~ N ( m N ( m,, ), i ), j,,..., n,,..., n OBS: Para ambas as populações temos a mesma variância (desconhecida!!!) Como é desconhecida, precisará ser estimada. s X s Y Como e são estimadores não viciados dessa variância, usaremos como estimativa para uma combinação deles dada por: s C n s X n n n s Y s C é uma média ponderada entre s X e s Y e é um estimador não viciado!!! 5

16 Definindo as hipóteses Queremos testar se existe diferença entre as médias populacionais (ou entre as duas populações), ou seja: H 0 : m = m H 0 : m m = 0 OU H a : m m H a : m m 0 A estatística do teste de hipótese será: Se n 30 t ( mˆ mˆ s c ) ( m0 m n n 0 ) ~ t ( n n ) Se n > 30 z ( mˆ ˆ m ) ( m0 m0 ) ~ N (0,) sc n n 6

17 Exemplo 3: Digitadores são treinados em uma empresa em duas turmas distintas. Na primeira (Turma J) utiliza-se um método japonês, na segunda (Turma A) utiliza-se um método alemão. Deseja-se comparar os dois métodos ao nível = %. Foram escolhidas duas amostras aleatoriamente (uma de cada turma) e mediu-se o tempo gasto na realização de uma tarefa para cada aluno. Apesar de não conhecidas, as variâncias populacionais para as duas turmas são consideradas iguais com base em estudos anteriores. Os dados obtidos foram: 7

18 Definindo as hipóteses Como queremos testar se existe diferença entre o tempo médio de digitação dos dois métodos (ou entre as duas turmas), ou seja: H 0 : m J = m A H 0 : m J m A = 0 H a : m J m OU A H á : m J m A 0 As amostras forneceram os seguintes valores: Turma J: n J = 4, mˆ J,5743 Turma A: n A = 3, mˆ A 5,3846 Então: e e s s J A 4,637 4,564 s C (4 )*4,637 (3 )*4,564 (4 ) (3 ) 4,6096 8

19 ) ( 0 0 ~ ) ( ) ˆ ˆ ( A n J n A J c A J A J t n n s m m m m t Logo para = 0,0, temos da tabela t-student com 5 graus de liberdade, obtemos: Como temos amostras independentes, o total das amostras será n = n J + n A = 7 < 30. Logo, a estatística para o teste será: 9

20 0

21 Como temos amostras independentes, o total das amostras será n = n J + n A = 7 < 30. Logo, a estatística para o teste será: t ( mˆ J mˆ s c ) ( m nj A 0 J 0 A ~ n A m ) t ( n J n A ) Logo para = 0,0, temos da tabela t-student com 5 graus de liberdade, obtemos: t tab =,787, ou seja:,787,787 t calc (,57 5,38) 4, (0) 3 4,7965 Então : RC={t t <,787 ou t >,787 } Como 4,7965 pertence a região crítica (RC), concluímos que os métodos de fato diferem a um nível de significância de %.

22 Tarefa : Obtenha o intervalo de confiança de 99% de confiança para a verdadeira diferença entre as médias dos métodos de digitação. DICA: procure a fórmula no livros de experimentação para a notação: IC(m J m A, 99%) =?

23 populações independentes com variâncias iguais Exemplo 3: Deseja-se comparar os dois métodos de digitação ao nível = %: método japonês com o método alemão. ### pop indep, com var = tempo<- c(0, 3, 9, 0, 4, 3, 0, 5,, 0, 9, 0, 3, 4, 5,, 8, 6, 5, 7, 7, 5, 6, 7,, 7, 4) turma<- factor(c(rep("j",4), rep("a",3))); turma tapply(tempo, turma, mean) tapply(tempo, turma, var) t.test(tempo ~ turma, paired = F, var.equal = T, alternative="two.sided", conf.level =0.99) Two Sample t-test # # data: tempo by turma # t = , df = 5, p-value = 6.33e-05 # alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 # 99 percent confidence interval: # # sample estimates: # mean in group A mean in group J #

24 Teste para comparação de duas médias populações normais b) Amostras independentes b.) Variâncias desconhecidas, mas diferentes 4

25 O teste para o caso com as variâncias desconhecidas e desiguais é semelhante ao anterior, mas a quantidade a ser usada para aceitar ou rejeitar H 0. Se n 30 t ( mˆ mˆ ) 0 0 ~ s X sy n ( m n m ) t ( ) E os graus de liberdade são corrigidos pela expressão: Se n > 30 z ( mˆ ˆ m ) ( m0 m0 ) ~ N s X sy n n (0,) A seqüência do teste é igual aos casos anteriores. 5

26 populações independentes com variâncias diferentes Exemplo 4: Sendo Y a variável resposta observada populações (pop), usando α = 5% ### pop indep, com var diferentes Y <- c( ) pop <- factor(c(rep( pop",n), rep( pop",n))) t.test(y ~ pop, paired = F, var.equal = FALSE, conf.level =0.95) 6

27 Teste de hipóteses para média de populações normais Objetivo: avaliar afirmações sobre média(s) populacional(is). Existem, basicamente, 3 tipos de afirmações que se podem fazer quando se estudam médias populacionais: a) A afirmação diz respeito a uma média populacional. b) A afirmação diz que as médias de duas populações são todas iguais. c) A afirmação diz que as médias de três ou mais populações são todas iguais. 7

28 3) Teste para a comparação de 3 ou mais médias de populações normais???? O que fazer???? 8

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