Decomposição do problema logístico de localização de instalações em um modelo híbrido de clusterização-localização

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1 Decomposição do problema logístico de localização de instalações em um modelo híbrido de clusterização-localização Arnaldo Rabello de Aguiar Vallim Filho Faculdade de Computação e Informática, Universidade Presbiteriana Mackenzie , São Paulo, SP aavallim@mackenzie.com.br 1. Introdução O problema da localização de instalações logísticas é, em geral, tratado com o uso de técnicas de Pesquisa Operacional, sendo a mais utilizada a modelagem através de programação linear inteira mista. Nos problemas reais com um número grande de pontos de demanda surgem dificuldades práticas para a solução do problema através desses modelos de otimização, pois os problemas se tornam em geral, do tipo NP- Difícil. Este termo está relacionado à complexidade do algoritmo, que é caracterizada por sua classe. Esta classe NP- Difícil engloba os problemas com os mais complexos algoritmos. Problemas de localização de instalações logísticas estão na classe NP-Difícil, o que em termos práticos acaba significando que problemas de pequeno porte podem ser resolvidos por modelos de otimização, porém há um limite, pois o tempo de solução cresce exponencialmente com a dimensão do problema. O que os autores costumam fazer é subdividir o problema ou proceder a relaxações em restrições de forma a poder aplicar um modelo de otimização (Crainic and Laporte, 1997; Daskin, 1995; Geoffrion and Graves, 1974; Geoffrion and Powers, 1995). Uma outra abordagem é através de metaheurísticas, que são princípios organizados em torno de uma estratégia geral de busca que levam a uma solução para o problema (Pirlot, 1996). Algumas destas metaheurísticas são inspiradas em processos encontrados na natureza, como: algoritmos genéticos (genetic algorithms), colônia de formigas (ant colony), redes neurais (neural nets) e têmpera simulada (simulated annealing). Outras porém, como a Busca Tabu (Tabu Search) têm uma lógica própria. As metaheurísticas podem ser consideradas como técnicas que estão na fronteira entre Pesquisa Operacional e Inteligência Artificial (Colorni et al., 1996). A pesquisa aqui desenvolvida faz uso destes dois tipos de abordagem: decomposição do problema em conjunto com uma metaheurística, resultando em um modelo híbrido, que mescla a metaheurística com um modelo de otimização. O processo é constituído de duas etapas: uma primeira em que se desenvolve uma clusterização dos pontos de demanda de carga da operação logística e em seguida aplica-se um modelo de otimização em cada cluster para se identificar a localização ótima para uma instalação logística.. A clusterização tem por base a metaheurística Tabu Search (TS). Esta é uma metaheurística já bastante conhecida, que tem sido utilizada em uma variedade de aplicações. Este artigo procura desenvolver e estruturar a técnica para este tipo particular de problema. O modelo de otimização empregado é um modelo clássico, conhecido como p-medianas (Daskin, 1995). A metodologia foi aplicada a um problema em que se conhecia sua efetiva solução ótima, de forma se ter um referencial para avaliar a metodologia proposta. Como será visto no decorrer do trabalho, todo o processo teve um comportamento bastante adequado. Na próxima seção é apresentada uma revisão da literatura disponível sobre o assunto de forma a alicerçar o desenvolvimento metodológico que foi conduzido. Na seção seguinte é apresentada a metaheurística Tabu Search e o modelo de otimização empregado no estudo. A seção 4 é dedicada à aplicação da metodologia e, finalmente, na seção 5 são apresentadas as conclusões e recomendações do estudo. 2. Revisão Bibliográfica Nesta seção será estudada inicialmente a questão da clusterização que será empregada na metodologia do estudo e, emseguida, modelos de otimização para localização de instalações. Do ponto de vista formal, poder-se-ia dizer que clusterização é o processo de

2 organizar elementos em grupos cujos membros são similares de alguma forma (Matteucci, 2006). A Estatística é a área que primeiro estudou tal tipo de problema. Em Estatística, a análise de clusters (Cluster Analysis) se enquadra dentro das chamadas técnicas de Análise Multivariada. Nesse sentido, a análise de clusters identifica tipos de elementos ou populações (no sentido estatístico) que se abrigariam sob uma massa de dados que se constituiriam em amostras dessas populações. Mais recentemente com o crescimento das aplicações de computação o assunto ganhou um novo impulso, em particular com o crescimento das áreas de Mineração de Dados e Geometria Computacional. Em Mineração de Dados o conceito básico é que os elementos de um cluster devem possuir um grau de similaridade maior com os outros elementos de seu próprio cluster do que com indivíduos de outros clusters. Neste caso, pode-se ter o problema de K-Clusterização que ocorre quando K é pré-definido. Já quando K não é previamente conhecido, tem-se o Problema de Clusterização Automática. Do ponto de vista de complexidade, os algoritmos de otimização para montagem de clusters se encontram na mais alta classe de complexidade (classe NP-Difícil). Assim, uma pesquisa em todo o espaço de soluções é inviável, dado o número de possibilidades. Desta forma, as soluções são alcançadas através de métodos heurísticos ou por meio de metaheurísticas. Os principais métodos são do tipo hierárquico ou de particionamento. O tipo hierárquico pode ser de aglomeração ou de divisão. Na estratégia hierárquica de aglomeração (bottom-up) pode-se iniciar com cada elemento se constituindo em um cluster, assim, cada cluster que tiver um tamanho maior que um terá sido composto por um conjunto de clusters. A união de clusters sempre ocorre com base em alguma medida de similaridade. Na estratégia hierárquica de divisão (top-down), se inicia com um só cluster e procede-se a uma seqüência de divisões, com base em algum critério. Quando o método é de particionamento, parte-se de um conjunto p de clusters e procede-se a um intercâmbio de elementos entre os clusters já formados. A cada rearranjo dos clusters tem-se uma nova configuração. Para se avaliar se a configuração deve ser aceita ou não é preciso uma função objetivo. Esta função é de grande importância, pois é fator decisivo do processo, devendo ser criteriosamente definida, de forma a ser efetivamente representativa do objetivo que se busca alcançar. No que tange especificamente à área Logística as estratégias hierárquica e de particionamento têm sido usadas com freqüência (Ballou, 1991b; Novaes et al., 2000; D Amico et al., 2002; Vallim F o., 2004). Em Logística o problema de clusterização, costuma ser identificado pelo termo districting. Estando a questão presente principalmente, em problemas de distribuição e também em localização de instalações. Neste caso, não é incomum ter que se trabalhar com centenas de locais candidatos a instalações e milhares de clientes o que leva naturalmente a um processo de agregação desses pontos. Do ponto de vista de modelagem matemática, tais pontos são representados por um conjunto de nós em uma rede logística. Francis et al. (1999) apresentam algumas razões para a clusterização. O primeiro aspecto a se considerar é o esforço computacional para resolver um modelo em um problema de localização. Conforme já dito a maior parte dos problemas é do tipo NP-Difícil (Daskin,1995), o que leva pesquisadores a procurar formas para reduzir as dimensões do problema. Um outro aspecto diz respeito à representação espacial da demanda. Na verdade, em problemas de médio e longo prazo, uma representação espacial do padrão de demanda, mais do que a demanda detalhada em si, é que determina os resultados do problema real no futuro. Assim, em termos de resultados a se obter, é melhor tratar com uma demanda clusterizada, do que com cada nó individual. Sobre o uso de métodos heurísticos ou de metaheurísticas aplicados à Logística há vários artigos na literatura. Ballou (1991b) sugere uma heurística para a montagem de clusters que é baseada na proximidade geográfica dos pontos de demanda. A heurística parte da idéia de que em princípio cada ponto se constitui em um cluster. Em seguida procura-se para cada ponto o cluster mais próximo e destes dois gera-se um novo. Este processo se repete até que um número desejado de clusters seja atingido. As coordenadas de um cluster corresponderão às coordenadas do centro de gravidade entre seus pontos. Novaes (1989) também estudou a questão de distribuição urbana e através de uma heurística desenvolve a subdivisão de

3 uma área de estudo criando um conjunto de anéis a partir de quadrículas elementares. Posteriormente, Novaes e Graciolli (1999) propuseram um novo procedimento para criação de clusters destinados a uma operação de distribuição de carga a ser efetuada em uma região de estudo. No modelo proposto a região é particionada em setores a partir de um depósito central. Os autores utilizam aqui o mesmo conceito utilizado por Novaes (1989) de quadrículas elementares. Novaes et al. (2000) desenvolvem outro trabalho nessa linha, gerando distritos homogêneos em termos de esforço de distribuição. É desenvolvida uma heurística para geração dos distritos e a solução é melhorada por meio de um algoritmo genético associado a um método de otimização direta, o chamado método do gradiente. Outro trabalho nesta linha é o de D Amico et al. (2002) que apresenta um redesenho de jurisdições policiais em Buffalo, New York. O artigo mostra o uso da metaheurística simulated annealing, que partindo de uma solução inicial pesquisa novas soluções que minimizem a heterogeneidade entre as cargas de trabalho dos policiais. Vallim F o e Gualda (2002) apresentaram uma heurística de clusterização de pontos de demanda de forma a identificar nesses clusters locais que se constituíssem em melhores candidatos a centros de distribuição. Estes candidatos são utilizados como entrada de modelos de otimização para a definição final dos locais. Em um outro artigo Vallim F o e Gualda (2004) trataram a localização de instalações a partir de clusters com o uso de um modelo de otimização combinado à metaheurística simulated annealing. Vallim F o (2004) combinou e aprimorou estas idéias fazendo uso de simulated annealing, para geração dos clusters e identificando a melhor posição teórica (MPT) em cada cluster para a localização de um centro de distribuição. Uma pesquisa era feita em torno desta MPT para identificar na rede, nós operacionalmente viáveis para a implantação da instalação. Outra metaheurística utilizada em clusterização é a Tabu Search (TS), que foi proposta por Glover (1986) e inicialmente foi aplicada a problemas de programação matemática, expandindo-se posteriormente para diversas áreas de aplicação, inclusive clusterização. Dentre as principais aplicações pode-se citar o problema clássico de partição de grafos que tem sido resolvido por esta técnica (Pirlot, 1996; Glover, 1990). Células de manufatura, que podem ser definidas por clusterização têm sido resolvidas por TS. O problema de roteirização, em que cada rota representa um cluster, é outro problema logístico que também tem sido resolvido por Tabu Search (Crainic e Laporte, 1997). Mais recentemente Furuta et. al (2005) fazem uso de uma técnica muito usada em geometria computacional, o diagrama de Voronoi, para resolver um problema de districting para alocação de ambulâncias. Galvão et. Al (2006) apresentaram um artigo em que resolvem um problema de districting fazendo uso do mesmo diagrama de Voronoi. Fazem isto, partindo de uma clusterização na forma de anéis subdivididos em setores e vão relaxando as fronteiras iniciais dos clusters. O processo é iterativo e vai transcorrendo até que uma convergência seja atingida. Considerando-se agora os principais modelos de otimização para a localização de instalações, tem-se o mais utilizado dos modelos que é conhecido como p-medianas. Este é um modelo de programação binária Daskin (1995) e tem aplicação para a definição de uma ou mais instalações (p instalações) que irão atender a um número n de pontos de demanda e/ou produção. Outro problema importante citado na literatura (Crainic e Laporte, 1997) é o problema da cobertura. Este problema tem dois tipos principais: um primeiro em que se deve atender a uma cobertura requerida e um outro em que se otimiza o nível de cobertura. O modelo utilizado para a solução do primeiro tipo de problema de cobertura ( set covering problem ) tem o objetivo de minimizar o custo de localização de forma a atender um dado nível de cobertura. Este modelo permite que se verifique o número necessário de instalações para se atingir o nível desejado de cobertura. Entretanto, em muitas aplicações práticas verifica-se que o orçamento não será suficiente para a implementação de todas as instalações definidas pelo modelo. Surge então o segundo tipo de problema, que agora procura otimizar a cobertura. A otimização é feita no sentido de se utilizar os recursos disponíveis, localizando-se um número fixo de instalações e buscando-se maximizar a demanda atendida dentro da distância máxima de atendimento. Este problema é conhecido como o problema da maximização da cobertura ( maximal covering problem ). O terceiro tipo

4 clássico de modelo de programação linear inteira mista aplicado a problemas de localização é o problema do centro ( center problem ). Neste caso, a função objetivo simplesmente busca minimizar a distância máxima entre qualquer nó de demanda e sua instalação mais próxima. A literatura é extensa nesta área, tendose buscado aqui um foco nos modelos mais conhecidos e que poderão ser utilizados neste estudo. 3. Desenvolvimento da Modelagem Esta seção apresenta inicialmente a metaheurística escolhida para ser utilizada neste trabalho e em seguida é descrito todo o processo de modelagem empregado. 3.1 Metaheurística Tabu Search A metaheurística Tabu Search (TS) desenvolve todo o seu procedimento em torno de três princípios básicos (Viana, 1998): a chamada Lista Tabu, que guarda as últimas soluções; o mecanismo de aceitação ou não de uma solução com base na lista tabu e a alternância entre estratégias de diversificação e intensificação de soluções O TS parte de uma configuração inicial para o sistema, que pode ter sido definida por algum outro método ou pode ter sido simplesmente adotada para dar início ao processo. Deve-se também definir uma função objetivo que se deseja otimizar. Uma configuração equivale a um dos arranjos possíveis dos componentes do sistema em estudo. A cada configuração corresponde um valor da função objetivo. Vizinhança é o conjunto de configurações que podem ser geradas a partir de uma dada configuração. A partir da configuração inicial procede-se a perturbações nesta configuração de forma a se desenvolver uma pesquisa de outras soluções em toda a sua vizinhança ou em uma subvizinhança, se esta for muito ampla. De forma a se evitar situações cíclicas, TS introduz o conceito de Lista Tabu. Mantêm-se na Lista Tabu as últimas soluções encontradas. A melhor solução de uma vizinhança só é aceita se não pertencer à lista. A função principal da Lista Tabu é incentivar a diversificação da pesquisa de soluções (Pirlot, 1996). Um outro ponto sobre a lista tabu diz respeito à sua dimensão (número de soluções a guardar) que pode ser de tamanho fixo ou variável. Neste tipo de estratégia o tamanho da lista é sorteado a cada iteração. E este tamanho é mantido por um número de iterações, que costuma ser utilizado na prática em duas vezes o tamanho da lista tabu (Viana, 1998). Pode-se dizer assim, que se está trabalhando com blocos de iterações. Cada bloco passa a ter um número pré-definido de iterações. Atingido aquele número de iterações um novo tamanho de lista é sorteado. Glover (1990 e 1993) ressalta a importância de um outro lado da questão. Se a lista tabu trabalha com atributos da solução, pode ocorrer de serem excluídas não somente as soluções que efetivamente já ocorreram, mas também outras soluções que poderiam eventualmente levar a regiões ainda não visitadas. Para solucionar esta questão, o TS oferece um outro mecanismo que desconsidera a lista tabu para aqueles casos em que se atinge uma solução suficientemente boa. Esta solução suficientemente boa é definida com base na chamada função de Aspiração ou Nível de Aspiração. Esta é uma função que define quando uma solução deve ser aceita, independentemente do fato de estar ou não na lista tabu. Um exemplo de tal função seria aceitar uma solução que não tivesse sido ainda atingida. Um outro exemplo seria aceitar uma solução desde que apresentasse um dado nível de evolução. O processo proposto para este estudo parte de uma solução inicial que pode ter sido simplesmente adotada ou então gerada por alguma heurística específica para montagem de clusters. Vallim Fo (2004) propõe uma heurística com tal finalidade. Foi adotada a estratégia de particionamento para a montagem dos clusters, em que a partir da configuração inicial se inicia um processo de migração de pontos entre os clusters de forma a se buscar melhores soluções. Uma solução vizinha de uma dada solução foi definida como sendo aquela mesma configuração de clusters, exceto por um único ponto que foi realocado para um cluster adjacente. Esta definição de vizinho tem como resultado que a cada iteração todas as soluções da vizinhança serão testadas, fazendo-se com que todos os pontos na fronteira entre dois cluster adjacentes mudem de um cluster para outro. Sobre a função objetivo seria importante definir algo que gerasse clusters aproximadamente equivalentes aos pontos que seriam atendidos por instalações que fossem geradas por um modelo de otimização. O

5 modelo de otimização busca minimizar o custo do Momento de Transporte, que corresponde ao peso multiplicado pela distância (ton.km) gerada na operação. Assim, buscou-se uma função objetivo que usasse este mesmo indicador. Adotou-se desta forma, uma função proposta por Vallim Fo (2004), que é definida pelo grau de homogeneidade (GH) dos clusters, conforme a equação 3.1: s TKM 1.100, se s TKM TKM m GH TKMm 0, em caso contrário Sujeita a: Y 1 ( j 1,2,... n) i ij i j Mín D. d. Y j i j i j (3.1) onde: s TKM = desvio padrão dos momentos de transporte dos clusters TKM m = média do momento de transporte dos clusters Foi adotada esta função objetivo, para se buscar no processo de clusterização a uniformização do nível esperado de produção de transporte em cada cluster. Com isto o os custos das operações devem se reduzir, o que deve gerar uma tendência de que a configuração final de clusters seja próxima daquela que seria gerada por um modelo de otimização. 3.2 Modelo de Otimização Uma vez aplicado o TS e definidos os clusters, um modelo de otimização foi empregado para estabelecer a localização de uma instalação por cluster. Foi estabelecido como objetivo do processo que se buscasse a minimização do esforço de produção de transporte na operação logística de atendimento aos pontos de demanda. Este esforço de produção, conforme seção anterior, é medido pelo Momento de Transporte. Buscou-se assim, um modelo que atendesse a este requisito. O modelo de p-medianas tem uma função objetivo definida exatamente desta forma, sendo, portanto, bastante adequado para o estudo e, tendo sido assim, o modelo escolhido. O modelo de p-medianas é um modelo clássico de programação binária Daskin (1995), sendo sua estrutura apresentada abaixo: (3.2) (3.3) onde: Y i j X i X i p i Y X 0 ( i 1,2,... N ; j 1,2,...) n ij i Y i j, { 0,1}, i j X i {0,1}, i { 1 { 1 se a instalação no nó 0 em caso contrário (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) D j = demanda na região representada pelo nó j d ij = distância ao nó j da instalação localizada em i; i atende a região j uma instalação foi ativada no nó i 0 em caso contrário A função objetivo (3.2) representa a soma dos momentos de transporte associados a todos os pontos de demanda, que devem ser minimizados. As restrições (3.3) buscam garantir que cada região seja atendida por uma única instalação. Em (3.4) estabelece-se que o número de instalações deve ser igual a p. As condições (3.5) determinam que as regiões só podem ser atendidas por uma instalação ativa. Em (3.6) faz-se a ligação entre as instalações e as regiões sendo atendidas. Finalmente, em (3.7), através da variável X i, define-se se uma instalação é ativa ou não. Este modelo tem aplicação para a definição de uma ou mais instalações (p instalações) que irão atender a um número n de pontos. O modelo define um dado número de instalações que se deseja implantar em uma rede logística, a partir de um conjunto de locais candidatos. 4. Aplicação da Metodologia Para a aplicação da metodologia proposta foi preparado um experimento que permitisse que se aplicasse um modelo de otimização de forma a se estabelecer sua efetiva solução ótima. Uma vez aplicada a metodologia, a solução obtida pode ser comparada com a solução ótima de forma avaliar seu desempenho. O experimento desenvolvido foi baseado em um conjunto de pontos gerados aleatoriamente no plano. Novaes (1989) mostrou que a distância entre pontos próximos pode ser representada pela distribuição de Rayleigh. Isto é feito imaginando-se um círculo de raio r

6 (r>0) com o ponto P em seu centro. O autor procura estabelecer a função de probabilidade acumulada da distância d de um ponto P ao seu ponto mais próximo, F(d)=P(dr), demonstrando que se a probabilidade de que existam n outros pontos (n>0) no círculo de raio r for dada por uma distribuição de Poisson, então F(d) será uma distribuição de Rayleigh. O experimento foi rodado em um computador com processador Intel, Pentium 4, com clock de 2,8 GHz e memória RAM de 256 MB. Com esta configuração o tempo médio de processamento foi de 4 segundos, com lista tabu de tamanho fixo, e 11 segundos, com lista tabu de tamanho variável. Os clusters gerados na solução ótima são apresentados na figura 4.1, tendo sido obtido um GH bastante elevado igual a 96,1%. Figura 4.1 Clusterização Solução Ótima Na fase seguinte o modelo p-medianas foi rodado inicialmente para todo o conjunto de pontos, de forma a se obter a solução ótima para cinco instalações. Em seguida, o modelo foi aplicado cinco vezes, uma vez para cada cluster, tendo sido obtidas as localizações ótimas de cinco instalações. A solução obtida nas duas aplicações foi exatamente a mesma, conforme apresentado na figura 4.2. Figura 4.2 Clusters e Localização das Instalações - Solução Ótima 5. Conclusões e Recomendações Esta pesquisa procurou dar uma contribuição ao problema da localização de instalações desenvolvendo uma decomposição do problema em um conjunto de clusters. Como conclusão final do estudo, podese dizer que o modelo híbrido, que mescla uma metaheurística com um modelo de otimização, se mostrou satisfatório tendo atingido no experimento desenvolvido a solução ótima do problema. Fato que pode ser confirmado, uma vez que tal solução já era conhecida. Do ponto de vista prático, a possibilidade de decomposição do problema da localização em problemas menores abre um enorme campo de aplicações dos modelos de otimização, que hoje vêm sua ação limitada a problemas de menor porte, devido à sua complexidade. Os resultados aqui obtidos, entretanto, podem ser considerados como um primeiro passo de uma linha de pesquisa que se abre. É necessário que estes resultados sejam confirmados por novas experiências. Vislumbra-se assim, para trabalhos futuros um desenvolvimento desta linha. Novos experimentos devem ser planejados de forma a contemplar variações nos diferentes fatores que estão envolvidos no problema. Estes estudos deveriam ser desenvolvidos dentro de padrões estatísticos de planejamento de experimentos, dando assim, uma confiabilidade científica aos seus resultados. Desta forma, seria possível confirmar se as conclusões aqui obtidas se confirmam, podendo ser generalizadas, ou se são válidas apenas dentro de certas condições. Referências [1] Ballou, R. H. (2006). Gerenciamento da cadeia de suprimentos/logística empresarial. Bookman Cia. Editora. Porto Alegre, RS. 616 p. [2] (1991b). Measuring transport costing error in customer aggregation for facility location ; Transportation Journal, Spring, p [3] Colorni,A., Dorigo, M., Maffioli, F., Maniezzo, V., Righini, G., Trubian, M. (1997). Heuristics from nature for hard combinatorial optimization problems ; International Transactions in Operational Research, No.3.1,p

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