CONSEQUÊNCIAS DA ANÁLISE INADEQUADA DE UM EXPERIMENTO FATORIAL 2 k EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS E

Transcrição

1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística Alex Wagner Pereira CONSEQUÊNCIAS DA ANÁLISE INADEQUADA DE UM EXPERIMENTO FATORIAL 2 k EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS E SEM REPLICAÇÃO Natal, março de 2014

2 Alex Wagner Pereira CONSEQUÊNCIAS DA ANÁLISE INADEQUADA DE UM EXPERIMENTO FATORIAL 2 k EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS E SEM REPLICAÇÃO Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento às exigências legais para obtenção do título de Mestre. Área de Concentração: Estatística Probabilidade e Orientadora: Prof a. Dr a. Carla Almeida Vivacqua Natal, março de 2014

3 . i

4 Alex Wagner Pereira CONSEQUÊNCIAS DA ANÁLISE INADEQUADA DE UM EXPERIMENTO FATORIAL 2 k EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS E SEM REPLICAÇÃO Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento às exigências legais para obtenção do título de Mestre. Área de Concentração: Estatística Probabilidade e Aprovado em: / / Banca Examinadora: Prof a. Dr a. Carla Almeida Vivacqua Departamento de Estatística - UFRN Orientadora Prof. Dr. André Luis Santos de Pinho Departamento de Estatística - UFRN Examinador Interno Dr a. Aline de Holanda Nunes Maia Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária - EMPRAPA Examinador Externo

5 Dedicatória Dedico esse trabalho à minha avó Mercedes i

6 Agradecimentos Agradeço, em primeiro lugar a Deus, por iluminar meu caminho ao longo dessa jornada. Agradeço também ao meu pai, que foi o exemplo maior de toda minha vida, à minha mãe pelo papel fundamental na minha formação e à minha irmã, melhor amiga e maior incentivadora do meu crescimento, bem como a todos da minha família que me deram coragem para continuar; à minha esposa que de forma carinhosa me ajudou a traduzir todos os textos pertinentes ao meu mestrado; aos meus filhos Tiago e Pedro que me levam a querer progredir mais e mais; à professora Carla pela paciência na orientação e brilhantismo inspirador que me ajudaram na conclusão deste trabalho; aos professores, de um modo geral, pelo incentivo, pela compreensão e amizade; ao amigo Flávio pela contribuição inestimável no desenvolvimento do programa que permitiu realizar todas as simulações da pesquisa; e a colegas de curso pelo convívio e apoio constantes. Muito Obrigado.

7 Resumo Em experimentos com vários fatores em que alguns são mais difíceis de mudar que outros, pode ser inconveniente executar as provas do experimento em uma forma completamente aleatória, levando o pesquisador a criar naturalmente uma restrição na ordem de execução para poupar tempo ou reduzir os custos. Este tipo de restrição pode resultar em uma generalização do planejamento fatorial, conhecida como experimentos em parcelas subdivididas. Na prática, é comum executar um experimento em parcelas subdivididas e analisá-lo como se fosse completamente aleatorizado. O objetivo principal do trabalho é avaliar o impacto de analisar um experimento com restrição na aleatorização como completamente aleatorizado. Com esse intuito, utiliza-se uma simulação de dados, executada segundo um experimento em parcelas subdivididas. A simulação pode ser vista como um experimento fatorial em parcelas subdivididas do tipo considerando que a razão entre as variâncias do efeito na parcela/subparcela (1; 4,75; 16 e 49) e a quantidade de repetições (10, 100, 1000 e 10000) são fatores associados às parcelas e o modo como o experimento foi analisado, utilizando o método de Lenth, (completamente aleatorizado e parcelas subdivididas) o fator associado às subparcelas. Assim, observa-se que o modo como o experimento foi analisado e a razão entre a variância do efeito da parcela e da subparcela afetam a habilidade de identificar efeitos ativos. Palavras-chave:Aleatorização; Experimentação; Método de Lenth; Parcelas Sub- Divididas; Split-Plot. iii

8 Abstract In experiments with several factors, in which some are harder to change than others, it may be inconvenient to execute the tests of the experiment in a completely random way, taking the researcher to naturally create a restriction in execution order to save time or reduce costs. This type of restriction may result in a generalization of the factorial planning, known as experiments in split-plot designs. In practice, it is commom to execute an experiment as a split-plot design and analyze this experiment it as if it were a completely randomized design. The main objective of the work is to evaluate the impact of analyzing an experiment with restriction in the randomization as completely randomized. With this intention, we use a simulation, executed according to a split-plot experiment. The simulation can be seen as an factorial experiment of type a split-plot factorial design considering that the ratio beteween the plot and subplot variances (1; 4.75; 16 and 49) and the amount of repetitions (10, 100, 1000 and 10000) are factors associated with plots and the way the experiment was analyzed (completelly randomized and split plot) the factor associated with subplots. Thus, we observe that the way the experiment was analyzed and the ratio between the effect variance of the plot and the subplot affect the ability to identify active effects. Keywords: Randomization; Experimentation; Lenth s Method, Split-Plot. iv

9 Sumário 1 Introdução Motivação Objetivos Objetivo Geral Objetivos Específicos Conceitos Básicos em Experimentação Fases da Experimentação Princípios Básicos Para o Planejamento Experimental Replicação Blocagem Aleatorização Tipos de Aleatorização Experimentos Completamente Aleatorizados Experimentos Aleatorizados em Parcelas Subdivididas Métodos de Análise de Experimentos Fatoriais Não Replicados Gráficos de Probabilidade Normal O Método de Lenth Estudo do Impacto do Plano Experimental na Análise do Experimento Cenários da Simulação do Experimento Resultados Critérios de Avaliação Conclusão 61 5 Referências Bibliográficas 64 v

10 A Comandos no R 66 A.1 Programa 1 - Gerando os dados A.2 Programa 2 - Gráficos A.2.1 Gráfico de Probabilidade Normal e do Método de Lenth A.2.2 Histogramas A.2.3 Estatística B Histogramas das distribuições dos efeitos 74 B.1 10 Repetições B.1.1 σ1 2 = 1 e σ0 2 = B.1.2 σ1 2 = 4 e σ0 2 = B.1.3 σ1 2 = 16 e σ0 2 = B.1.4 σ1 2 = 49 e σ0 2 = B Repetições B.2.1 σ1 2 = 1 e σ0 2 = B.2.2 σ1 2 = 4 e σ0 2 = B.2.3 σ1 2 = 16 e σ0 2 = B.2.4 σ1 2 = 49 e σ0 2 = B Repetições B.3.1 σ1 2 = 1 e σ0 2 = B.3.2 σ1 2 = 4 e σ0 2 = B.3.3 σ1 2 = 16 e σ0 2 = B.3.4 σ1 2 = 49 e σ0 2 = B Repetições B.4.1 σ1 2 = 1 e σ0 2 = B.4.2 σ1 2 = 4 e σ0 2 = B.4.3 σ1 2 = 16 e σ0 2 = B.4.4 σ1 2 = 49 e σ0 2 = C Tabelas 107 C.1 Valores Críticos C Repetições C.2.1 σ1 2 = 1 e σ0 2 = C.2.2 σ1 2 = 4, 75 e σ0 2 = C.2.3 σ1 2 = 16 e σ0 2 = C.2.4 σ1 2 = 49 e σ0 2 = C Repetições vi

11 C.3.1 σ1 2 = 1 e σ0 2 = C.3.2 σ1 2 = 4, 75 e σ0 2 = C.3.3 σ1 2 = 16 e σ0 2 = C.3.4 σ1 2 = 49 e σ0 2 = D A simulação como um experimento fatorial D.1 O FATOR C - Considerado, na simulação, como Inativo D.1.1 Os dados D.1.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela D.1.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela. 118 D.2 O FATOR D - Considerado, na simulação, como Ativo D.2.1 Os dados D.2.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela D.2.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela. 120 D.3 A INTERAÇÃO AD - Considerado, na simulação, como Ativo D.3.1 Os dados D.3.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela D.3.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela. 121 D.4 A INTERAÇÃO AE - Considerado, na simulação, como Ativo D.4.1 Os dados D.4.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela D.4.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela. 123 D.5 A INTERAÇÃO AB - Considerado, na simulação, como Inativo D.5.1 Os dados D.5.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela D.5.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela. 125 D.6 A INTERAÇÃO AC - Considerado, na simulação, como Inativo D.6.1 Os dados D.6.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela D.6.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela. 126 D.7 A INTERAÇÃO BC - Considerado, na simulação, como Inativo D.7.1 Os dados D.7.2 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da parcela D.7.3 Gráfico de Probabilidade Normal com os efeitos da subparcela. 128 vii

12 Capítulo 1 Introdução O mercado atual está a cada dia que passa mais competitivo e exigente, por isso, é indispensável que as empresas lancem no mercado produtos com preços acessíveis que atendam e excedam as expectativas dos consumidores. Para satisfazer aos seus clientes, sem abrir mão do lucro, as organizações investem, cada vez mais, em projetos de melhoria, buscando sistemas de produção de alta qualidade e de baixos custos. Neste contexto, experimentos são úteis. Experimentos são empregados para resolver problemas de fabricação, decidir entre diferentes processos de manufatura, diferentes conceitos de produto, etc... Muito do que se sabe hoje se deve ao aprendizado com experimentos. Quando um experimento é executado, procura-se adquirir conhecimento sobre os produtos e/ou processos envolvidos, em que o maior desafio é planejar e executar esses experimentos de forma eficiente, considerando as restrições físicas e econômicas de cada processo de produção. É aí, exercendo um papel fundamental na procura desses novos produtos e na melhoria de processos e de produtos existentes, que entram os experimentos planejados. Desta forma, podemos entender o planejamento de experimentos como uma parte da Estatística que busca permitir ao experimentador a obtenção de dados que lhe sejam úteis, no sentido de fornecer informações de acordo com o objetivo, de uma forma tão econômica quanto possível. É importante destacar que o planejamento é um dos grandes desafios na realização dos experimentos. Por exemplo, nos experimentos industriais a existência de muitos fatores a serem avaliados pode gerar um gasto grande de tempo e um alto custo na execução das provas. Na indústria, devido à sua simplicidade e eficiência, os experimentos fatoriais são os mais utilizados (Ye, Hamada & Wu, 2001) e, em particular, os experimentos fatoriais 2 k (caso em que todos os k fatores possuem dois níveis) destacam-se entre os planos 1

13 2 fatoriais (Montgomery, 2001). Situações em que muitos fatores são de interesse e deseja-se saber quais deles podem ser desconsiderados são cenários indicados para a utilização de experimentos fatoriais 2 k. A principal vantagem desse plano, é que com um número reduzido de provas, o experimentador tem condições de testar muitos fatores simultaneamente. Quando um experimento tem um alto custo ou a sua execução exige muito tempo, é interessante para o pesquisador a diminuição do número de provas e, por isso, é frequente a realização de experimentos sem a presença de réplicas. Em um experimento sem réplicas, a análise precisa ser cuidadosa pois fica-se sem graus de liberdade suficientes para estimar diretamente a variância do erro experimental, por isso, dificultando a utilização de testes para determinar a significância dos efeitos. Nesse caso, uma boa alternativa para a análise dos efeitos é a construção de gráficos de probabilidade normal (Daniel, 1959). A grande desvantagem desse método é a subjetividade para obter as conclusões. Em 1989, Lenth desenvolveu um método objetivo de análise. O método de Lenth, mesmo na ausência de réplicas, utiliza uma fórmula simples para obter uma estimativa do erro padrão dos contrastes estimados. Este método foi depois reformulado por Ye, Hamada, & Wu (2001). Em experimentos com vários fatores em que alguns são mais difíceis de mudar que outros, pode ser impossível aleatorizar a ordem de todas as observações, obrigando o pesquisador a criar uma restrição na aleatorização para poupar tempo ou reduzir os custos. Este tipo de restrição pode resultar em uma generalização do planejamento fatorial, conhecida como experimentos aleatorizados em parcelas subdivididas. Os experimentos fatoriais em parcelas subdivididas sem réplicas são candidatos a planos experimentais que atendem às características práticas de experimentos industriais, sendo, portanto, úteis e representam o foco do nosso trabalho. Na prática, é muito comum executar um experimento em parcelas subdivididas (com restrição na aleatorização) e analisar esse experimento sem considerar essa restrição. O QUE ACONTECE QUANDO QUANDO SE IGNORA A RESTRI- ÇÃO NA ALEATORIZAÇÃO? Para responder a essa questão, apresentando-se e analisando-se resultados de simulações que permitam comparar experimentos com restrição na aleatorização que são examinados como se fossem completamente aleatorizados.

14 1.1 Motivação Motivação A motivação para este trabalho foi um experimento executado segundo um delineamento em parcelas subdivididas descrito em Bisgaard, Fuller e Barrios (1995). O objetivo do experimento era utilizar plasma para alterar as características da superfície do papel, para assim torná-lo mais suscetível à tinta. Neste experimento foram utilizados cinco fatores com dois níveis cada. Segundo Bisgaard, Fuller e Barrios (1995), um plasma é uma mistura de prótons e elétrons. Os plasmas são geralmente criados em uma câmara de baixo vácuo e, cada vez que o reator é aberto para inserir uma nova amostra, demora cerca de 40 minutos para atingir novamente o vácuo. Os cinco fatores utilizados e seus respectivos níveis são apresentados no Quadro 1.1. Quadro Fatores utilizados e seus respectivos níveis Fator Nível (+) Nível ( ) A: Pressão alta baixa B: Energia alta baixa C: Fluxo de Gás alto baixo D: Tipo de Gás Oxigênio Si Cl 4 E: Tipo de papel I II Para economizar trabalho e tempo, duas amostras, uma de cada tipo de papel, foram inseridas no reator ao mesmo tempo (com isso a duração da experiência foi reduzida à metade). A matriz de projeto está apresentada na Tabela 1.1. Observe que a primeira linha, por exemplo, indica que os dois tipos de papel (fator E) foram colocados numa configuração do reator em que pressão (fator A), energia (fator B), proporção do fluxo de gás (fator C) e tipo de gás (fator D) estão nos seus níveis ( ) e foram encontradas as respostas 57,0 para o tipo I e 48,6 para o tipo II. Para analisar este caso experimental, foram divididos, nas Tabelas 1.2 e 1.3, os 31 efeitos em dois grupos, aqueles com variância de erro associados à parcela (whole plot) relacionados com o reator (fatores difíceis de mudar: A, B, C e D) e aqueles com variância de erro associados à subparcela (sub plot) relacionados com as amostras de papel (fator fácil de mudar: E) Em experimentos fatoriais 2 k com restrições na aleatorização é preferível usar gráficos normais dos efeitos nos quais tudo que é necessário é uma regra para separar os contrastes naqueles que tem variância de erro da subparcela (sub plot) e naqueles que tem variância de erro da parcela (whole plot)com mesma variância, e então traçar tais contrastes em gráficos separados (Bisgaard 2000).

15 1.1 Motivação 4 Tabela 1.1: Matriz de projeto e resposta para experimento em parcelas subdivididas na produção de plasma A B C D E E + 48, 6 57, , 2 38, , 8 62, , 5 51, , 6 43, , 2 44, , 2 54, , 7 44, 4 + 5, 0 18, , 8 56, , 6 33, , 8 37, , 3 23, , 5 43, , 3 23, , 5 48, 2 Tabela 1.2: Efeitos estimados agrupados por tipo de variância de erro Contraste Efeito A 11,8 B 4,3 C - 3,4 D - 15,1 AB - 4,2 AC 3,0 AD 16,6 BC - 0,8 BD - 3,3 CD 1,7 ABC 2,8 ABD - 3,3 ACD - 2,3 BCD 1,3 ABCD 6,8

16 1.1 Motivação 5 Tabela 1.3: Efeitos estimados agrupados por tipo de variância de erro Contraste Efeito IE 3,1 AE -5,9 BE -0,3 CE -0,1 DE 1,0 ABE 0,1 ACE -0,1 ADE -0,8 BCE 0,9 BDE -0,2 CDE 0,3 ABCE -0,4 ABDE 0,3 ACDE -0,2 BCDE 0,9 ABCDE 0,2 Na prática, é comum ignorar os dois tipos de variância que os contrastes em experimentos com restrição na aleatorização possuem variâncias diferentes quando se constrói o gráfico de probabilidade normal. No gráfico obtido do conjunto de todos os efeitos (Figura 1), tem-se indícios de que apenas os efeitos principais dos fatores A e D, e a interação AD são significativos, ou seja, têm influência na resposta. Após a separação dos efeitos (Tabelas 1.2 e 1.3) com a mesma variância e da construção dos gráficos de probabilidade normal para os efeitos dos fatores alocados nas parcelas (Figura 2) e nas subparcelas (Figura 3), é possível observar que os efeitos do fator principal E e da interação AE também são influentes sobre a resposta. Isso mostra a importância de considerar na análise o tipo de delineamento.

17 1.1 Motivação 6

18 1.2 Objetivos 7 No caso em que os dados dos gráficos de probabilidade normal aparecem como uma linha reta (figuras 2 e 3), o coeficiente angular dessa reta é o valor aproximado do desvio padrão dos efeitos associados. É importante observar que o valor do desvio padrão dos efeitos associados à subparcela (sub plot) é consideravelmente menor ( 1) que o desvio ( 7) dos efeitos associados à parcela (whole plot) ilustrando que a variância entre diferentes utilizações do reator é maior que a variância entre as amostras colocadas em cada reator. 1.2 Objetivos Objetivo Geral Avaliar o impacto de analisar um experimento em parcelas subdivididas como completamente aleatorizado Objetivos Específicos Avaliar o efeito da razão entre as variâncias associadas às parcelas e às subparcelas nos resultados ao se analisar um experimento em parcelas subdivididas

19 1.2 Objetivos 8 como se fosse completamente aleatorizado. Ilustrar a importância de considerar a forma de execução para a análise do experimento.

20 Capítulo 2 Conceitos Básicos em Experimentação Neste trabalho, são abordados conceitos fundamentais para o planejamento, execução e análise de experimentos. Um desses conceitos é a aleatorização que torna possível a geração de uma distribuição de referência, base para análise estatística, sem a necessidade de suposições sobre a distribuição dos dados. Quando o ensaio científico deixa de ser adequadamente aleatorizado, ele pode fornecer estimativas tendenciosas dos efeitos dos fatores bem como da variância do erro experimental, o que pode levar a conclusões equivocadas. Muitas vezes, a presença de fatores que são mais caros, que consomem mais tempo ou que são mais difíceis de mudar que outros, pode tornar inviável a realização do experimento em uma ordem completamente aleatorizada, obrigando o pesquisador a criar uma restrição na aleatorização para reduzir custos e poupar tempo. Uma opção prática de planejamento, nesses casos, são os delineamentos em parcelas subdivididas. Na prática porém, é muito comum executar o experimento como parcela subdividida e analisar como completamente aleatorizado. Por isso, vamos dar ênfase à importância de realizar o que foi planejado e de examinar o que foi executado. Para exemplificar essa situação é abordado um experimento fatorial 2 k em que alguns fatores são difíceis de mudar e, por isso, o experimento é executado com restrição na aleatorização. Para haver uma melhor compreensão do conteúdo abordado, apresenta-se a termologia básica e os principais conceitos de Planejamento de Experimentos. Resposta - é a característica de interesse que será medida no estudo. Fator - é a característica que será controlada no experimento. Níveis de um Fator - são os valores que um determinado fator pode assumir. 9

21 2.1 Fases da Experimentação 10 Efeito - é a mudança na resposta produzida por uma modificação no nível do fator. Tratamento - é uma combinação dos níveis dos fatores. Unidade Observacional - é a unidade onde as medições são feitas, é ela que fornece a resposta. Unidade Experimental - é a unidade a qual um tratamento é aplicado. 2.1 Fases da Experimentação O planejamento experimental é um conjunto de técnicas estatísticas que auxiliam na coleta de dados e na obtenção de conclusões consistentes sobre uma pesquisa. Uma experiência bem planejada permite a obtenção de dados úteis, a um mínimo de custos, tempo e riscos; como também garante a validade das conclusões (Vivacqua; Pinho, 2008). Vamos dividir as estratégias de experimentação em três etapas: elaboração (planejamento), execução e avaliação (análise). Planejamento Reconhecer e definir o problema. Separar fatores, níveis e definir faixas de variação para os fatores. Selecionar a variável resposta. Escolher o tipo de delineamento experimental. Execução Realizar o experimento. Análise Analisar estatisticamente os dados. Concluir e estabelecer recomendações.

22 2.2 Princípios Básicos Para o Planejamento Experimental Princípios Básicos Para o Planejamento Experimental Segundo Montgomery (2001) são três os princípios básicos de um planejamento de experimentos: replicação, aleatorização e blocagem Replicação Replicação é o ato de aplicar o mesmo tratamento a diferentes unidades experimentais. Existem duas propriedades importantes desse princípio. Primeiro, permite ao pesquisador obter estimativas do erro experimental e esse cálculo é importante para determinar a existência de diferenças estatisticamente significativas entre os tratamentos. Segundo, dá liberdade ao executante para adquirir um cômputo mais preciso dos efeitos (Montgomery, 2001). É importante diferenciar replicação de repetição. Na replicação, um mesmo tratamento é aplicado a unidades experimentais diferentes e na repetição, diferentes observações são feitas de uma mesma unidade experimental. Por exemplo, duas medidas de uma mesma unidade experimental são repetições e as medições de duas unidades experimentais diferentes que receberam o mesmo tratamento são replicações Blocagem Blocagem é uma técnica extremamente importante, utilizada com o objetivo de aumentar a precisão de um experimento. Em certos processos, podemos controlar e avaliar, sistematicamente, a variabilidade resultante da presença de fatores conhecidos que perturbam o sistema, mas que não temos interesse em estudá-los. A blocagem é usada, por exemplo, quando uma determinada medida experimental é feita por duas pessoas diferentes, levando a uma possível não homogeneidade nos dados. Essa técnica permite criar uma experiência mais homogênea e aumentar a precisão das respostas que são analisadas (Galdámez, 2002) Aleatorização Para Montgomery (2001), a aleatorização é um ponto fundamental no uso dos métodos estatísticos em qualquer projeto experimental. A aleatorização gera uma distribuição de referência que valida a aplicação dos métodos estatísticos para análise dos dados. Desta forma, quando o ensaio científico é aleatorizado é possível fazer testes estatísticos

23 2.3 Tipos de Aleatorização 12 sem a necessidade das suposições de normalidade e independência do erro experimental e, consequentemente, das observações. Porém, situações práticas enfrentadas por pesquisadores limitam, em muitos casos, a aleatorização do experimento. 2.3 Tipos de Aleatorização Experimentos Completamente Aleatorizados Inicialmente, mostramos um exemplo fictício de um experimento fatorial 2 k sem replicas para entendermos melhor um arranjo em Parcelas Subdividias. No experimento fatorial 2 k todos os fatores (quantitativos ou qualitativos) possuem dois níveis. A notação 2 k significa que o expoente (k) indica o número de fatores, a base da potência (2) indica o número de níveis (alto (+) e baixo ( )) e o resultado da potência (2 k ) indica o total de tratamentos. O nosso exemplo é de um experimento que possui dois fatores A e B e dois níveis alto (+) e baixo ( ). Esta é uma estrutura fatorial 2 2 cujos quatro tratamentos seriam definidos pelas combinações dos níveis dos fatores A e B como mostra a tabela a seguir. Tratamento Fator A Fator B Interação AB Resposta (1) + y 1 a + y 2 b + y 3 ab y 4 A presença das letras a e b indica que os fatores A e B estão no nível alto para aquele determinado tratamento e o símbolo (1) representa o tratamento no qual todos os fatores estão no seu nível baixo. A coluna correspondente à interação é obtida através da multiplicação das colunas associadas aos fatores envolvidos, e as respostas em cada linha correspondem às observações para o tratamento presente na respectiva linha. O objetivo principal de um experimento fatorial é avaliar a possível influência dos fatores e suas interações nas variáveis respostas, que é medida através dos efeitos. O efeito de um fator (ou da interação) é calculado pela diferença entre a média das respostas dos tratamentos que foram executados com o nível alto e a média das respostas obtidas naqueles tratamentos em que este mesmo fator (ou da interação) foi aplicado no nível baixo. Assim, por exemplo, para estimarmos o efeito do fator A, devemos fazer: Efeito A = y 2+y 4 y 1+y 3 2 2

24 2.3 Tipos de Aleatorização 13 Seguindo esta ideia é possível estimar quaisquer efeitos (ou interações) em um fatorial 2 k através das respostas observadas. Do ponto de vista teórico, é recomendada a realização de réplicas para que se possa ter uma ideia não apenas de um valor médio que a resposta pode assumir, mas também da variação que existe entre uma aplicação e outra do mesmo tratamento e com isso, obter uma estimativa da variância do erro experimental. Porém, na prática, quando o número de fatores ou o custo da execução é alto, a replicação pode tornar-se impraticável e, com a ausência de réplicas, não é possível ter ideia da variabilidade, e é preciso algum outro critério para julgar se as estimativas dos efeitos devem realmente ser consideradas razoáveis. Diante disso, Daniel (1959) propôs a utilização de gráficos de probabilidade normal para identificar, de forma subjetiva, a presença de efeitos ativos em um estudo envolvendo estrutura fatorial de tratamentos. Nestes gráficos, os efeitos ativos são identificados pelos pontos mais claramente afastados de uma reta imaginária formada pelos pontos restantes. A grande desvantagem deste método é a subjetividade presente na análise, o que levou Lenth a sugerir um método objetivo de análise que é discutido mais adiante Experimentos Aleatorizados em Parcelas Subdivididas Como foi visto anteriormente, algumas vezes é inviável executar um experimento fatorial seguindo um delineamento completamente aleatorizado e isso, normalmente resulta em uma generalização do experimento fatorial chamado de arranjo em parcelas subdivididas (split - plot). Segundo Montgomery (2001) os arranjos em parcelas subdivididas devem ser analisados como experimentos fatoriais 2 k combinados (ou superpostos). Ou seja, um experimento contendo os fatores denominados parcela (fatores cujos níveis são difíceis de mudar) e outro experimento composto pelos fatores denominados subparcela (fatores cujos níveis são fáceis de mudar). Uma característica importante desse tipo de experiência é a presença de dois termos de erro associados aos efeitos desses respectivos fatores na variável resposta.

25 2.4 Métodos de Análise de Experimentos Fatoriais Não Replicados Métodos de Análise de Experimentos Fatoriais Não Replicados Alguns importantes métodos são propostos para análise de um experimento fatorial não replicado. Por exemplo, os gráficos de probabilidade normal e seminormal, o Método de Daniel (1959) - guard rails, o Método de Box e Meyer (1986), o Método de Lenth (1989), o Método de Dong (1993), o Método de Lawson, Grimshaw e Burt (1998) e o Método de Lenth Descendente (2001). Escolhemos analisar os dados usando o gráfico de probabilidade normal, o Método de Lenth e uma adaptação ao Método de Lenth proposta em Hamada e Wu (2009) Gráficos de Probabilidade Normal A utilização dos gráficos de probabilidade normal para identificar efeitos possivelmente ativos em experimentos fatoriais não replicados foi proposta por Daniel (1959). A ideia de Daniel é bastante utilizada até os dias de hoje por se tratar de um método simples e por conseguir apontar a direção correta dos efeitos em grande parte dos experimentos. A construção desses gráficos também é bastante simples. Inicialmente, os valores y n dos efeitos observados são colocados em ordem crescente: y (1) y (2)... y (n) e depois, o gráfico de probabilidade normal é obtido a partir dos pontos cujas coordenadas são (y (i), φ 1 [(i 0, 5)/n]) onde, φ 1 é a função acumulada da normal padrão e y (i) é o i-ésimo dos n efeitos ordenados. Se o conjunto desses pontos segue um padrão linear, há fortes indícios que a distribuição normal serve como modelo para a população que produziu a amostra e, nesse caso, a inclinação da reta vai indicar o desvio padrão da população da qual a amostra foi obtida. Mais adiante, será mostrado um exemplo em que o gráfico de probabilidade normal foi usado para analisar o experimento. Apesar do gráfico de probabilidade normal ser muito utilizado e importante para análise de um experimento fatorial, sua interpretação é subjetiva, pois cabe a quem está analisando identificar que efeitos são significativos e que valores são discrepantes nos dados. Existem casos em que estes gráficos podem levar pesquisadores distintos a conclusões diferentes e por isso são considerados como métodos subjetivos de análise. Observe um exemplo em que um gráfico de probabilidade normal (Figura 4) sugere como ativos os efeitos A e D e a interação AD.

26 2.4 Métodos de Análise de Experimentos Fatoriais Não Replicados O Método de Lenth Procurando métodos menos subjetivos e mais formais para a análise de experimentos fatoriais não replicados, Lenth (1989) apresentou uma metodologia relativamente simples de ensaio que permite expressar os resultados graficamente. A base desse método é o princípio da esparsidade dos efeitos, que sugere que geralmente apenas um pequeno número dos contrastes deve ser diferente de zero no processo observado. Num experimento fatorial, com efeitos principais e interações de ordem cada vez maior, temse observado empiricamente que os efeitos principais e interações de baixa ordem são significativos com uma maior frequência, porém estes representam apenas uma parte do grupo composto por todos os efeitos, ou seja, interações de alta ordem envolvendo três ou mais fatores são mais raras e, sendo assim, a quantidade de efeitos estatisticamente significativos em um experimento fatorial não deve ser grande. Para verificar a ocorrência desta condição, o método utiliza-se de uma fórmula simples para o erro padrão das estimativas dos contrastes. Lenth definiu um pseudo erro padrão (PSE) dos contrastes como sendo P SE = 1, 5.mediana ( cj <2,5S o) c j em que c j são as estimativas dos efeitos e S o = 1, 5.mediana c j.

27 2.4 Métodos de Análise de Experimentos Fatoriais Não Replicados 16 Definiu também uma margem de erro (ME) com aproximadamente 95% de confiança como sendo ME = t (0,975;d).P SE e uma margem de erro simultânea (SME) como SME = t (γ;d).p SE em que d = n/3, γ = (1+0, 95 1/n )/2 e n é o número de observações. Depois de calculados as margens de erro para as estimativas dos contrastes, os efeitos são colocados em um gráfico com a estrutura semelhante à de um gráfico de barras e os limites ±ME e ±SME são adicionados a esse gráfico. A análise será feita do seguinte modo: um efeito será considerado ativo se o seu valor ultrapassar SME, não será considerado ativo se não ultrapassar ME e o efeito será classificado como marginalmente ativo, isto é, ele pode ou não ser significativo se o seu valor estiver entre ME e SME. Observe agora o exemplo (Figura 5) onde o limite SME está representado pela linha horizontal tracejada e o limite ME pela linha horizontal cheia. Nesse exemplo, os fatores A e D e as interações AD, AE e ABCD (1 o, 4 o, 8 o, 9 o e 26 o contrastes, respectivamente) são classificados como ativos, os 2 o, 3 o, 5 o, 6 o, 7 o, 11 o e 17 o contrastes (correspondem, em uma ordem pré-estabelecida, a B, C, E, AB, AC, BD e ABD) são classificados como marginalmente ativos e todos os outros contrastes são inativos.

28 Capítulo 3 Estudo do Impacto do Plano Experimental na Análise do Experimento Em grande parte dos casos, os objetivos propostos pelos trabalhos científicos permite classificá-los quanto à abordagem utilizada para resolução dos problemas levantados (Saldanha ). A partir desse ponto de vista, há três grupos de estudo que podem classificar uma pesquisa: estudo exploratório, descritivo e explicativo. Faz-se uso dos estudos explicativos para identificar os fatores que contribuem ou influenciam a ocorrência de um fenômeno, ou também para determinar através da razão o fundamento das coisas. Já um estudo descritivo tem como objetivo a descrição das características de um determinado fenômeno, assim como o estabelecimento de relações entre as variáveis e os fatos. Segundo Vergara (1997) uma pesquisa exploratória é aquela realizada em área na qual há pouco conhecimento acumulado ou sistematizado e, muitas vezes, é a primeira etapa de uma investigação que será mais aprofundada. Sendo assim, vamos classificar o nosso trabalho como descritivo e explicativo. Inicialmente foi feito um estudo do artigo de Bisgaard Fuller e Barrios (1996). O objetivo era entender melhor erros associados aos fatores que ocorrem quando analisamos um experimento com restrição na aleatorização como se fosse completamente aleatorizado. Nesse artigo, a análise do experimento é feita utilizando gráficos de probabilidade normal para detectar os efeitos ativos dos fatores escolhidos. Para ilustrar melhor, observamos um exemplo mais simples: Consideremos um experimento com três fatores (A, B e C) com dois níveis (+ e ), sendo que os fatores A e B são difíceis de mudar e o fator C não. Esse é um experimento em parcelas 17

29 18 subdivididas (split - plot) 2 2 x 2 1, representado pelo modelo: y i(j) = f(x ij ) + ɛ 1j + ɛ 0i(j), i = 1, 2; j = 1,..., 4 Esse é um modelo de efeitos fixos e x ij são as linhas da matriz do delineamento, f é uma função linear, ɛ 1j são erros associados à parcela principal com variância σ1, 2 e ɛ 0i(j) são erros associados às subparcelas com variância σ0. 2 Primeiro, construímos uma tabela, onde os fatores A e B são fatores alocados as parcelas principais e C é fator alocadoa à subparcela para podermos identificar quais são os efeitos que tem erro relacionado às parcelas principais e quais tem erro relacionado à subparcela. Tabela 3.1: Representação esquemática dos fatores em delineamento aleatorizado em parcelas subdivididas: (A e B são fatores principais e C fator secundário) A B C C+ y 1(1) y 2(1) + y 1(2) y 2(2) + y 1(3) y 2(3) + + y 1(4) y 2(4) É importante observar que estamos usando um modelo de índices escritos na forma i(j) para indicar que a subparcela i está aninhada dentro da parcela j. Sendo assim, quando verificamos a resposta y 1(3), estamos observando sub-parcela 1 (C( )) que está dentro da parcela 3 (A( )eb(+)). Na tabela 3.2, apresentamos os termos do modelo ignorando a função linear f(x ij ) para identificar os efeitos que tem erro padrão relacionado à sub-parcela ou relacionados à parcela. Tabela 3.2: Representação esquemática dos fatores em delineamento aleatorizado em parcelas subdivididas: com os sete efeitos e a indicação dos termos de erro A B C AB AC BC ABC Resposta Termos do erro y 1(1) ɛ 11 +ɛ 01(1) y 1(2) ɛ 12 +ɛ 01(2) y 1(3) ɛ 13 +ɛ 01(3) y 1(4) ɛ 14 +ɛ 01(4) y 2(1) ɛ 11 +ɛ 02(1) y 2(2) ɛ 12 +ɛ 02(2) y 2(3) ɛ 13 +ɛ 02(3) y 2(4) ɛ 14 +ɛ 02(4) Determinamos a estimativa do efeito A (um efeito da parcela):

30 19 Â = 1 4 (y 1(2) + ɛ 12 + ɛ 01(2) + y 1(4) + ɛ 14 + ɛ 01(4) + y 2(2) + ɛ 12 + ɛ 02(2) + y 2(4) + ɛ 14 + ɛ 02(4) y 1(1) ɛ 11 ɛ 01(1) y 1(3) ɛ 13 ɛ 01(3) y 2(1) ɛ 11 ɛ 02(1) y 2(3) ɛ 13 ɛ 02(3) ) Como o modelo é de efeitos fixos, apenas focamos nos termos dos erros para determinar o erro padrão. Sendo assim, podemos escrever: Â = (2ɛ ɛ 14 2ɛ 11 2ɛ 13 + ɛ 0j(2) + ɛ 0j(4) + ɛ 0j(1) + ɛ 0j(3) ) j=1 j=1 j=1 j=1 Observando que os erros não são correlacionados, determinamos a variância, e temos a estimativa do erro do efeito principal A, associado às parcelas principais. V ar{â} = 1 16 (4σ σ σ σ σ σ σ σ 2 0) = σ σ2 0 2 Determinamos agora, a estimativa do efeito C associado às subparcelas considerando apenas os termos dos erros para determinar o erro padrão. escrever: Então, podemos Ĉ = ( ɛ 0j(1) + ɛ 0j(2) + ɛ 0j(3) + ɛ 0j(4) ) j=1 j=1 j=1 j=1 Assim, a estimativa da variância de Ĉ é: V ar{ĉ} = 1 16 (2σ σ σ σ 2 0) = σ2 0 2 Esses cálculos, segundo Bisgaard (2000), podem ser estendidos para o caso geral de um projeto de parcelas subdivididas N = 2 k p x 2 q r. Será representado por P o efeito associado à parcela inteira e por SP o efeito associado à subparcela. Então, temos: V ar{p } = V ar{ 2 N 2k p (2q r j=1 ±ɛ 1j + N ɛ 0j )} = j=1 = 4 N (2k r x 2 2(q r) σ Nσ 2 0) = = 4 N (2q r σ σ 2 0)

31 3.1 Cenários da Simulação do Experimento 20 V ar{sp } = V ar{ 2 N N j=1 ɛ 0j } = 4 N 2 Nσ2 0 = = 4 N σ2 0 Segundo Bisgaard (2000), em geral, para um projeto de parcelas subdivididas 2 k p x 2 q r existem um total de 2 k p x 2 q r 1 efeitos possíveis. Se o experimento for executado com restrição na aleatorização, todos os 2 q r 1 efeitos principais (e suas interações) gerados da parcela principal terão a variância da parcela e todos os 2 k p x 2 q r 1 efeitos terão a variância do erro da subparcela. No caso do artigo de Bisgaard (1996), temos um projeto de parcelas subdivididas 2 4 x 2 1 com 31 (2 4 x 2 1 1) efeitos possíveis, sendo 15 (2 4 1) efeitos da parcela e 16 (2 4 x(2 1 1)) efeitos da subparcela. Em um primeiro momento, foi feita a separação dos 31 efeitos obtidos do experimento: em um grupo com os fatores difíceis de mudar (parcela principal) e em outro, com fatores fáceis de mudar (subparcela). Na análise desse experimento foram feitos gráficos separados de probabilidade normal. O motivo para esta separação é que na análise de variância de experimentos em parcelas subdivididas recai em duas partes separadas onde há dois erros não correlacionados, o erro ɛ 1j associado ao reator (parcela principal), com variância σ1, 2 e o erro ɛ 0i(j) entre as amostras de papel (subparcela), dentro do reator, e com uma variância menor σ0. 2 O modelo matemático de ANOVA do experimento em parcelas subdivididas é y i(j) = f(x ij ) + ɛ 1j + ɛ 0i(j), i = 1, 2; j = 1, 2,..., 16 onde x ij são as linhas da matriz do projeto, f é uma função linear, ɛ 1j são erros associados à parcela principal com variância σ1, 2 e ɛ 0i(j) são erros associados à subparcela com variância σ0. 2 Em um segundo momento foi feito apenas um gráfico de probabilidade normal com todos os 31 efeitos. Após a separação dos efeitos e da plotagem dos gráficos de probabilidade normal para os efeitos associados às parcelas principais e à subparcela, foi possível observar quais efeitos considerados influentes seriam ignorados, o que mostra como seria errada a análise se fosse utilizado um gráfico de probabilidade normal para todos os efeitos. 3.1 Cenários da Simulação do Experimento Na fase inicial, os resultados obtidos na análise dos gráficos de probabilidade normal, que é muito subjetiva, forneceram indicações para a metodologia a ser adotada no

32 3.1 Cenários da Simulação do Experimento 21 próximo passo do trabalho: a simulação de cenários experimentais para avaliar o modelo experimental adotado na análise, sobre um experimento com restrição na aleatorização como completamente aleatorizado. Foram realizadas simulações para os seguintes cenários: Quantidade de repetições: 10, 100, 1000 e Observamos que as simulações com 10 e 100 repetições não acrescentaram muitas informações aos nossos estudos por não estarem estáveis. Variância do efeito na parcela: 1; 4,75; 16 e 49 Vimos que a variância tinha grande influência nos resultados encontrados, pois quanto maior a variância dos efeitos, maior era o erro do tipo I (classificar ativo um efeito nulo). Por isso, nas simulações, optamos em alterar apenas a variância dos efeitos da parcela, mantendo constante a variância do efeito da subparcela. Variância do efeito na subparcela: 1 Utilizando as relações apresentadas anteriormente para N = 2 k p x2 q r V ar{p } = 4 N (2q r σ σ 2 0) V ar{sp } = 4 N σ2 0 Para N = 32 (2 4 x2 1 ), construímos a seguinte tabela: Var efeito Parcela Var efeito Subparcela Var erro Parcela Var erro Subparcela Var{P} Var{SP} σ1 2 σ , Quantidade total de efeitos ativos: 5 Três efeitos (A, D e AD) na parcela e dois (E e AE) na subparcela.

33 3.1 Cenários da Simulação do Experimento 22 A magnitude dos efeitos do modelo é: A = 11,825; D = - 15,1; E = 3,1375; AD = 16,5625; AE = - 5,9 a média = 40,98125 e todos os outros efeitos são iguais a zero. A distribuição do erro no modelo foi a Normal. Para que a análise do experimento não seja baseado em apenas critérios subjetivos como na fase inicial do estudo, foi usado como critério para exame dos efeitos, o método de Lenth. Com isso, encontramos resultados analíticos com um procedimento formal. Nessa segunda fase, consideramos as seguintes hipóteses: H 0 : Efeito = 0 H 1 : Efeito 0 Como já foi mostrado, o método de Lenth define uma margem de erro (ME) como ME = t (0,975;d).1, 5.mediana cj <2,5.1,5mediana cj e uma margem de erro simultânea (SME) como SME = t (γ,d).1, 5.mediana cj <2,5.1,5mediana cj sendo que c 1, c 2,..., c j,..., c m são as estimativas dos efeitos, d = m e γ = (1 + 0, 95 1 m )/2, onde esses valores servirão 3 como referência na classificação da existência de um efeito ativo. Após calcularmos esses valores, o método de Lenth e ilustrado em um gráfico de barras dos efeitos, tendo como referência, linhas relativas ao ±ME e ±SME. Um efeito será considerado ativo quando a sua barra ultrapassar a linha referente a SME e será considerado inativo quando a barra não ultrapassar uma das linhas referentes a ME. Quando a barra de um efeito ficar entre ME e SME, nós vamos classificar esse efeito como marginalmente ativo. Para ilustrar, utilizamos os gráficos de barras com os dados (tabelas 3.2 e 3.3) do artigo de Bisgaard (1995). A figura 6 foi construída considerando o experimento realizado como se fosse completamente aleatorizado. Nesse caso, encontramos para ME 2, (representado no gráfico pela linha contínua) e para SME 5, (representado no gráfico pela linha tracejada). Lembrando que, no artigo citado, os efeitos classificados como ativos eram A, D, E, AD e AE e que o experimento foi feito com restrição na aleatorização e não como completamente aleatorizado. O gráfico a seguir, mostra claramente o efeito nulo ABCD classificado como ativo (erro do tipo I).

34 3.1 Cenários da Simulação do Experimento 23 A seguir, são construídos separadamente, os gráficos das estimativas dos contrastes para os efeitos cujos erros estão relacionados às parcelas principais ou relacionados à subparcela. Na figura 7 encontramos para ME 12,72438 (representado no gráfico pela linha contínua) e para SME 25,83232 (representado no gráfico pela linha tracejada), nesse caso os valores encontrados para a margem de erro são muito grandes devido à variância dos efeitos ser grande ( 49) e nenhum efeito ter sido considerado ativo.

35 3.1 Cenários da Simulação do Experimento 24 Na figura 8 da subparcela, a variância dos efeito é pequena ( 1) e encontramos para ME 1, (representado no gráfico pela linha contínua) e para SME 2, (representado no gráfico pela linha tracejada) que são bem menores, comparados aos valores encontrados para a parcela. Os efeito E e AE são classificados como claramente ativos.

36 3.2 Resultados 25 Após a análise dos dados verificamos a necessidade de controlar melhor o erro do tipo I (classificar como ativo um efeito nulo) por isso, seguimos a sugestão de Hamada e Yo (2000) de usar a tabela de valores críticos elaborada a partir de estudo feito baseado em simulações. Assim, deixamos de usar os valores calculados pelo método de Lenth para a margem de erro (ME) e para margem de erro simultânea (SME) e passamos a considerar, ainda com confiança de aproximadamente 95%, ME = 2, 06.P SE e SME = 3, 92.P SE quando o experimento é analisado como completamente aleatorizado e ME = 2, 06.P SE e SME = 3, 92.P SE para a análise da parcela e ME = 2, 133.P SE e SME = 4, 226.P SE para a análise da subparcela quando o experimento é analisado como Parcelas Subdivididas (Split Plot). 3.2 Resultados Para analisar os efeitos dos fatores, foram feitas 10, 100, 1000 e simulações usando o método de Hamada e o método de Lenth e, em todas as simulações, o desvio padrão dos efeitos da subparcela (subplot) foi considerado igual a 1 como sugere o

37 3.2 Resultados 26 artigo de Bisgaard et al (1995) e, quanto aos efeitos da parcela (whole plot), além do desvio padrão igual a 7 (como sugerido no artigo) foram usados os desvios 1, 2 e 4. Verificamos que com uma quantidade pequena de repetições (10 e até mesmo 100) não foi possível tirar conclusões importantes sobre o estudo, já que os dados, como mostram alguns histogramas da distribuição dos efeitos a seguir, não estavam estáveis. Todos os histogramas analisados encontram-se disponíveis no apêndice B. Vale lembrar que a magnitude do efeito A é 11,825; de D é 15,1; e de AD é 16,5625 (parcela), que os efeitos da subparcela tem magnitudes E = 3,1375 e AE = 5, 9 e os efeitos inativos têm magnitude zero.

38 3.2 Resultados Repetições - Efeitos Ativos. Variância do efeito da parcela = 1 e da subparcela = 1 Figura 9: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos: A = 11,825; D = 15,1; AD = 16,5625; E = 3,1375 e AE = 5,9

39 3.2 Resultados Repetições - Efeitos Inativos. Variância do efeito da parcela = 1 e da subparcela = 1 Figura 10: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos inativos = 0

40 3.2 Resultados 29 Figura 11: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos inativos = 0

41 3.2 Resultados 30 Figura 12: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos inativos = 0 Mesmo com o desvio padrão dos efeitos da parcela igual a 1 (variância do efeito igual 1 e variância do erro da parcela igual a zero) e desvio padrão dos efeitos da subparcela igual a 1 (Variância do efeito igual 1 e variância do erro da subparcela igual a 8), como o número de repetições era pequeno, os dados não estão estáveis.

42 3.2 Resultados Repetições - Efeitos Ativos Variância do efeito da parcela = 16 e da subparcela = 1 Figura 13: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos: A = 11,825; D = 15,1; AD = 16,5625; E = 3,1375 e AE = 5,9

43 3.2 Resultados Repetições - Efeitos Inativos Variância do efeito da parcela = 16 e da subparcela = 1 Figura 14: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos inativos = 0

44 3.2 Resultados 33 Figura 15: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos inativos = 0

45 3.2 Resultados 34 Figura 16: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos inativos = 0 O desvio padrão dos efeitos da parcela é igual a 4 (variância do efeito igual 16 e variância do erro da parcela igual a 60) e desvio padrão dos efeitos da subparcela igual a 1 (Variância do efeito igual 1 e variância do erro da subparcela igual a 8), mesmo com cem repetições, os dados ainda não estão estáveis. Agora, vamos observar histogramas de simulações com 1000 e repetições.

46 3.2 Resultados Repetições - Efeitos Ativos. Variância do efeito da parcela = 4 e da subparcela = 1 Figura 17: Histogramas de frequência dos efeitos do experimento Magnitude dos efeitos: A = 11,825; D = 15,1; AD = 16,5625; E = 3,1375 e AE = 5,9