Fatos inesperados na execução de um experimento: o que fazer?

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1 Fatos inesperados na execução de um experimento: o que fazer? Jordânia Furtado de Oliveira 1 Jocelânio Wesley de Oliveira 2 Carla Almeida Vivacqua 3 1 Introdução Em alguns experimentos, a execução acontece de forma diferente do planejamento. Nestas circunstâncias, a análise do experimento deve ser feita levando-se em conta a execução efetivamente realizada. A motivação para este trabalho surge de um experimento executado em um dos laboratórios da Universidade Federal do Rio Grande do Norte com o objetivo de identificar fatores que afetam o desempenho de um processo de remoção de sólidos suspensos em efluentes. Inicialmente, é feito um planejamento experimental, controlando-se quatro fatores (aqui, denotados por A, B, C, D, por questões de confidencialidade). Estes fatores são variados em três níveis (0, 1 e 2). Experimentos fatoriais são úteis para avaliar vários fatores simultaneamente. No entanto, dependendo da quantidade de fatores e níveis, a execução de todos os tratamentos pode se tornar impraticável. Desta forma, uma alternativa é usar apenas parte dos tratamentos. Surgem, assim, os delineamentos fatoriais fracionados. Na aplicação considerada, há um total de 81 tratamentos possíveis. Diante da inviabilidade de execução de todos, decide-se, então, realizar 27 ensaios, planejados como um fatorial fracionado 3 4 1, conforme o plano (a) da Tabela 1. Contudo, por razões desconhecidas, os 27 ensaios executados são os que estão apresentados no plano (b) da Tabela 1. Outro ponto a ser destacado é a forma de execução desses 27 ensaios. Para facilitar a realização dos ensaios, é fixado o nível do fator A, que é difícil de mudar na prática, e depois são modificados os níveis dos outros três fatores. Experimentos com esta estrutura são semelhantes a experimentos em parcelas subdivididas (split-plot). Diante do exposto, os objetivos principais deste trabalho são: Avaliar as diferenças entre os dois delineamentos experimentais (planejado e executado); Avaliar o impacto da execução de tratamentos diferentes dos planejados na análise do experimento; Avaliar o impacto da forma de execução dos ensaios na análise do experimento. 1 PPGMAE/UFRN. jordania.furtado@yahoo.com.br 2 PPGMAE/UFRN. 3 DEST PPGMAE/UFRN. 1

2 Tabela 1: Exemplos de experimentos com 4 fatores com 3 níveis cada em 27 ensaios Ensaio Plano (a) Plano (b) A B C D A B C D Material e Métodos Para atingir os objetivos do trabalho, faz-se uma revisão bibliográfica sobre planejamento e análise de experimentos fatoriais fracionados, com estrutura de parcelas subdivididas, bem como experimentos regulares, não-regulares e com confundimento complexo, utilizando as seguintes referências: Experimentos fatoriais fracionados e em parcelas subdivididas: Box et al (2005); Werkema e Aguiar (1995); Abordagem bayesiana para seleção de variáveis: Chipman (1996); Chipman et al. (1997); Análise e construção de delineamentos fatoriais fracionados não-regulares; delineamentos fatoriais fracionados regulares com restrições na aleatorização: experimentos regu- 2

3 lares, não-regulares com confundimentos complexo e métodos de análise: Phoa (2009); Ranjan et al. (2010); Wong (2012); Wu et al. (2009). Posteriormente, é feita uma comparação explicativa das diferenças dos dois planos da Tabela 1, bem como uma discussão de formas de análise apropriadas para cada plano. 3 Resultados e Discussões 3.1 Características e formas de análise para o plano (a) O plano mais comum para um experimento fatorial é o plano (a) apresentado na Tabela 1. Este plano é ortogonal e regular. Experimentos regulares são aqueles que têm estrutura de confundimento simples, na medida em que quaisquer dois efeitos ou são estimados de forma independente ou estão completamente confundidos. Estes tipos de planos podem ser construídos a partir de uma relação definidora. Com essa relação é possível obter todas as outras relações de confundimento entre os efeitos e, com isso, determinar as características do plano. No plano (a) da Tabela 1, nota-se que o fator D está totalmente confundido com ABC, isto é, a coluna do fator D é igual a coluna A + coluna B + coluna C (mod 3). Esta relação pode ser representada pela notação: D = ABC. Se x 1,...,x 4 são usados para representar os quatros fatores, então x 4 = x 1 + x 2 + x 3 (mod3), ou equivalentemente, x 1 + x 2 + x x 4 = 0(mod3) (1) que pode ser representado por I = ABCD 2. (2) A relação (2) é a relação definidora para o delineamento usado para este exemplo. A partir dessa relação é possível identificar todas as relações de confundimento dos demais efeitos: A = BCD 2 = AB 2 C 2 D, B = ACD 2 = AB 2 CD 2, 3

4 C = ABD 2 = ABC 2 D 2, D = ABC = ABCD, AB = CD 2 = ABC 2 D, AB 2 = AC 2 D = BC 2 D, AC = BD 2 = AB 2 CD, (3) AC 2 = AB 2 D = BC 2 D 2, AD = AB 2 C 2 = BCD, AD 2 = BC = AB 2 C 2 D 2, BC 2 = AB 2 D 2 = AC 2 D 2, BD = AB 2 C = ACD, CD = ABC 2 = ABD. Se o experimento é replicado, um método simples de análise para experimentos fatoriais fracionados regulares é a análise de variância. Se o experimento é realizado sem réplicas, pode-se estimar contrastes ortogonais e utilizar, por exemplo, gráficos de probabilidade normal dos contrastes para identificar os efeitos importantes. A análise de variância ou análise gráfica para experimentos sem réplica é facilmente adaptada para experimentos que são executados em blocos ou em parcelas subdivididas. 3.2 Características e formas de análise para o plano (b) Os vinte e sete tratamentos efetivamente executados são os que estão apresentados no plano (b) da Tabela 1. Além disso, como são executados primeiro todos os nove ensaios com um nível fixo do fator A, depois mais nove ensaios com um outro nível do fator A e, por último os nove ensaios restantes, uma estrutura de parcelas subdivididas é introduzida no experimento. As características desse plano são diferentes do plano (a). No plano (b), uma relação clara de confundimento entre os efeitos é inexistente, gerando, assim, um confundimento complexo. Em experimentos regulares, quaisquer dois efeitos fatoriais tanto podem ser estimados de forma independente um do outro ou são completamente confundidos. Por outro lado experimentos que não possuem esta propriedade, como o plano (b), são chamados experimentos não-regulares. A questão que surge é: como analisar experimentos deste tipo? Para experimentos baseados em delineamentos com confundimento complexo, não dá para saber o que está sendo estimado. Por esta razão, tais delineamentos são tradicionalmente usados somente para seleção de fatores, estimando-se apenas efeitos principais, sem considerar suas interações. A validade das estimativas dos efeitos principais depende do pressuposto que as interações são negligenciáveis. Em muitas situações práticas este pressuposto é questionável, sugerindo a necessidade de outras estratégias que permitam interações. Uma alternativa para a análise desses planos é a seleção de variáveis usando métodos bayesianos e incorporando a estrutura de parcelas subdivididas. 4

5 4 Conclusões Este trabalho apresenta as consequências de executar um experimento de forma diferente da planejada. O planejamento inicial corresponde a um experimento fatorial fracionado regular, que pode ser analisado de forma simples. No entanto, os tratamentos executados geram um experimento com confundimento complexo. Além disso, o plano é realizado em parcelas subdivididas. Dessa forma, uma estratégia de análise diferente é necessária. O ideal é que a execução de qualquer experimento seja acompanhada para garantir que o plano experimental seja cumprido. Porém, quando o experimento não é executado como planejado, pode ser inviável qualquer tipo de análise para tal experimento. No entanto, se é possível analisá-lo estratégias de análise para tais experimentos devem ser procuradas. Desta forma, pode-se concluir que é muito importante o experimento ser executado como é planejado. Na eventualidade de ocorrêcia de fatos inesperados, é imprescindível que os detalhes da execução sejam considerados para se avaliar o plano experimental efetivamente utilizado e empregar um método de análise adequado. Referências [1] BOX, G. E. P.; HUNTER, J. S. HUNTER, WILLIAM. G. Statistics for experimenters: design, innovation, and discovery 2nd ed. Wiley series in probability and statistics [2] CHIPMAN, H. Bayesian Variable Selection With Related Predictors. Canadian Journal of Statistcs, 24, [3] CHIPMAN, H., M. HAMADA e C. F. J. WU. A Bayesian Variable-Selection Approach for Analyzing Designed Experiments with Complex Aliasing. Technometrics, Vol. 39, No. 4, pp [4] PHOA, F. K. H. Analysis and Construction of Nonregular Fractional Factorial Designs. Tese de Doutorado, University of California [5] RANJAN, P. ; BINGHAM, D. e MUKERJEE, R. Stars and Regular Fractional Factorial Designs with Randomization Restrictions. Statistica Sinica,20, [6] WERKEMA, M. C. C. ; AGUIAR, S.Planejamento e análise de experimentos: como identificar e avaliar as principais variáveis influentes em um processo. Fundação Christiano Ottoni, Belo Horizonte, [7] WONG, S. Y. Comparison of Analysis Methods for Non-Regular Fractional Factorial Designs. Dissertação de Mestrado, University of California [8] WU, C. J. ; HAMADA, M. S. Experiments: planning, analysis, and optimization. 2nd ed. Hoboken, N.J: Wiley,