ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE UMA CASA LOTÉRICA ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO E TEORIA DAS FILAS

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1 João Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016 ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE UMA CASA LOTÉRICA ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO E TEORIA DAS FILAS Matheus Barbosa Silva (UEPA ) matheusbarbosaeng@gmailcom REIDSON DUARTE SANTOS (UEPA ) reidsonduarte@gmailcom Victor Rodrigues Matos (UEPA ) vict0r-r0drigues@hotmailcom Alex Fagundes Brito (UEPA ) alexfagundesb@gmailcom Este artigo consiste em fazer uma análise do sistema de filas de uma casa lotérica, através de duas ferramentas da Pesquisa Operacional: simulação e teoria das filas, também com o intuito de fazer um comparativo entre ambas A estratégia dee pesquisa adotada foi a de visita in loco para coleta de dados e em seguida o tratamento dos mesmos, com o auxílio de softwares O estudo mostrou qual ferramenta é a mais eficaz para análise de um sistema de filas Concluiu-se que a simulação é a melhor escolha para se obter uma análise mais minuciosa, e conseguir melhorias no atendimento Palavras-chave: Pesquisa Operacional, simulação, teoria das filas

2 1 Introdução Há milhares de anos, os índios tinham como estratégia de guerra a formação de filas em suas caminhadas pela floresta, onde cada um pisava na pegada daquele que estava a sua frente para que o último apagasse seus próprios passos e os de todo grupo, dessa forma não deixavam vestígios para o inimigo Tal hábito deu origem à expressão fila indiana Atualmente as filas são muito utilizadas para prestação de serviços, formando assim um sistema que busca melhorar o atendimento De acordo com Prado (1999), o estudo das filas se iniciou em 1908 com uma abordagem matemática A partir do advento do computador na década de 50, a modelagem de fila pôde ser analisada através da simulação, que consiste em processo que permite a obtenção de conclusões sobre o desempenho de um sistema, com a tentativa de imitar o funcionamento do sistema real por meio de um modelo Segundo Andrade (2000), outro método utilizado para tratar de problemas de congestionamento de sistemas, onde clientes solicitam serviços, é o da teoria das filas A teoria das filas tem como objetivo encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e que ao mesmo tempo seja viável economicamente para o provedor do serviço O presente artigo tem como finalidade analisar o sistema de filas de uma agência lotérica, utilizando as ferramentas citadas anteriormente, e comparar seus resultados A agência escolhida para análise se localiza no Pará, no município de Marabá, Bairro Nova Marabá, está no mercado há 4 anos, possui 3 guichês de atendimento e 4 funcionários 2 Referencial teórico 21 Teoria das filas Segundo Taha (2008) o estudo de filas trata-se do processo de quantificação do tempo de espera em uma fila de um determinado sistema, sendo o seu principal objetivo reduzir os tempos de espera e custos inerentes ao mesmo Prado (1999) diz que, além disso, a teoria das filas permite com que seja feito o estudo para que se encontre o melhor arranjo do layout do sistema de atendimento Taha (2008) afirma: Os principais protagonistas de uma situação de fila são o cliente e o servidor Tal afirmação deve-se em função de que o cliente é gerado por uma fonte 2

3 (população) e ao sair dela é direcionado a alguma instalação de serviço (servidor), que poderá ser atendido no momento de sua chegada se não houver uma fila na instalação, ou caso contrário não Ao utilizar a teoria de filas, podem-se tomar decisões sobre a fila de espera, levando a uma melhor produtividade (MARSUDI; SHAFEEK, 2014) Prado (1999) diz que o intervalo médio de chegada de clientes ao sistema é:,onde IC é intervalo de chegada dos clientes à fila, o λ é o ritmo com que os mesmos chegam O tempo médio de atendimento (TA) é descrito por em que µ é o ritmo de atendimento do serviço prestado 211 Características de uma fila Algumas características são essenciais e determinantes para o bom funcionamento de uma fila Os componentes são: a) Processo de chegada: é um processo estocástico que se desenvolve no tempo e no espaço, de acordo com a lei da probabilidade Assim, é preciso conhecer qual a distribuição de probabilidade que descreve o tempo entre as chegadas As mais utilizadas são a de Poisson, Erlang, hiperexponencial, e arbitrária; b) Distribuição do tempo de serviço: assim como no processo de chegada, também necessita de uma distribuição de probabilidade do tempo de serviço De acordo com Andrade (2000) o tempo de atendimento pode ser: regular, onde a duração de todos os atendimentos é a mesma, ou aleatória, na qual cada cliente necessita de um tempo próprio de atendimento, sendo esta situação mais comum c) Disciplina da fila: descreve a maneira que os clientes deixam a fila para serem atendidos A disciplina mais como é o FIFO (First In, First Out), onde o primeiro a entrar é o primeiro a sair Também é utilizado o LCFS (Last Come, First Served), em que o último a chegar é o primeiro a ser atendido, além de disciplinas que contam com prioridade no atendimento d) Número de servidores: aponta a quantidade de pontos de atendimento do sistema que podem servir os clientes paralelamente Se o sistema possuir mais de um servidor, são duas as situações possíveis: um sistema de fila única para todos os servidores 3

4 (exemplo: serviços bancários) ou um de múltiplas filas, no qual cada fila é destinada a um servidor (exemplo: caixas de supermercado) e) População: número de clientes que podem chegar ao sistema de filas Teixeira (2004) diz que o tamanho da população pode ser finita ou infinita f) Capacidade do sistema: indica o número máximo de clientes que o sistema pode atender, sendo finita ou infinta Caso seja finita, quando o sistema estiver lotado nenhum cliente pode entrar até que algum outro saia 212 Notação de Kendall Segundo Ferreira Filho (2007), em 1953, D G Kendall criou uma notação para sistemas de filas que é hoje amplamente utilizada Essa notação consiste na forma A/S/m/B/K/SD, onde: A (Arrival Process): descreve a distribuição do tempo entre chegadas S(Service Time Distribution): a distribuição do tempo de serviço; m: o número de servidores; B (Buffer): a capacidade total de usuários no sistema; SD (Service Discipline): a disciplina de atendimento 213 Modelos de filas Utilizando a notação de Kendall é possível determinar diversos modelos de fila, sendo que para cada uma das características existem vários valores Segue a representações mais comuns para as distribuições: M: distribuição Markoviana, Exponencial ou Poisson; E k : distribuição de Erlang com parâmetro K; H k : distribuição Hiperexponencial com parâmetro K; D: distribuição Determinística; G: distribuição Genérica Como exemplos de modelo, pode-se citar o M/M/1, onde se caracteriza sistema constituído por fila única sendo atendida por um servidor e M/M/c, o qual tem mais de um servidor também atendido por fila única 4

5 22 Simulação de Monte Carlo De acordo com Chwif (2015) a palavra simulação possui diversos significados em que a maioria exprime que simulação é o ato de representar algo, que pode ser classificada em computacional (necessita de um computador ou software para ser realizada) ou não computacional (a representação não é realizada por um computador) Em pesquisa operacional utiliza-se, geralmente, a simulação computacional onde são realizados vários testes em busca da otimização de determinado sistema A simulação computacional classifica-se em diversos tipos, sendo uma delas é a Simulação de Monte Carlo (SMC) Segundo Gujarati (2002) a técnica baseia-se eno uso de números aleatórios e probabilidades para a solução de problemas O nome Monte Carlo surgiu de um Cassino localizado em Mónaco, o método foi criado por Von Neumann para solucionar problemas de física nuclear em 1944, e foi utilizado no projeto Manhattan na criação da bomba atômica Para Lustosa et al (2004), a simulação de Monte Carlo trata-se de um método que utiliza a geração de números aleatórios para atribuir valores às variáveis do sistema que se deseja investigar Os números são obtidos por meio de artifícios aleatórios (ex: tabelas, roletas, sorteios) ou diretamente de softwares, através de funções específicas A cada iteração, o resultado é armazenado e, ao final de todas as iterações, a sequência de resultados gerados é transformada em uma distribuição de frequência que possibilita calcular estatísticas descritivas, como média, valor mínimo, valor máximo e desvio-padrão, cabendo ainda ao executor das simulações a prerrogativa de projetar cenários futuros de operação do sistema em análise A Simulação de Monte Carlo tem aplicações em problemas de tomada de decisão que envolve risco e incerteza, ou seja, situações nas quais o comportamento das variáveis envolvidas com o problema não é de natureza determinística Para executar a SMC e necessário seguir os seguintes passos: Definir as variáveis envolvidas no sistema em análise com base em dados passados ou em estimativas subjetivas dos administradores; Construir as distribuições de frequência (absoluta, relativa e acumulada) para cada uma das variáveis definidas; 5

6 Definir, para cada variável considerada, os intervalos de classe (de incidência dos números aleatórios) com base nas distribuições de frequência acumulada projetadas; Gerar números aleatórios; Incidir números aleatórios gerados nos intervalos de classe de cada variável; Simular os experimentos Para se obter uma correta execução da SMS, Lustosa et al (2004) apontam que a simulação deve ser repetida mais de cem vezes para que se tenha uma amostra significativa Porém, não há determinação quanto ao número máximo de simulações que devem ser feitas 221 Teste Qui-quadrado Conti (2009) afirma que Qui-quadrado é um teste de hipóteses que busca encontrar um valor de dispersão para duas variáveis nominais, associado a variáveis qualitativas, que não depende de parâmetros populacionais, como variância e média O principio deste método é comparar proporções, ou seja, possíveis discrepâncias entre as frequências observadas e aguardadas em um determinado evento O teste tem como finalidade testar a adequabilidade de um modelo probabilístico a um conjunto de dados observados Esse recurso busca avaliar erros aleatórios, partindo de uma hipótese de nulidade (H 0 ), que é o que ocorre na população, por uma de não nulidade (H 1 ) que é formulada por um estudo, definido a partir do nível de significância (α) e da quantidade de graus livres Supondo que se observou um conjunto de eventos possíveis (E 1, E 2,, E n ) que ocorreram em determinadas frequências (fo 1, fo 2,, fo n ), chamadas de frequências observadas, e que podem ser comparadas às frequências esperadas ou teóricas (fe 1, fe 2, fe n) procedentes de modelos de probabilidade Assim para resolver tal questão é utilizado o teste qui-quadrado, que indicará o quanto a frequência observada se aproxima da esperada De acordo com Spiegel (1981), a medida de discrepância entre as frequências observadas e as esperadas pode ser atribuída pela estatística (qui-quadrado), que é obtida pela seguinte equação: 6

7 Se Se = 0, as frequências observadas e esperadas são iguais > 0, quanto maior o valor, maior será a discrepância 3 Metodologia A pesquisa está classificada em quantitativa e qualitativa, segundo Prodanov e Freitas (2013) uma pesquisa quantitativa é aquela que tudo pode ser quantizado buscando a relação causaefeito do fenômeno analisado, quanto que a pesquisa qualitativa não necessita de uso de dados quantizados, mas apenas da análise da relação do mundo real com o sujeito, sendo os dados analisados de forma indutiva pelo pesquisador Para o desenvolvimento deste estudo utilizou-se conhecimentos de pesquisa operacional sobre teoria das filas As informações contidas neste trabalho foram coletadas por meio de um levantamento de campo realizado numa agência lotérica Realizou-se a análise do tempo de atendimento dos caixas e o intervalo de chegada de cliente novos na fila, com o intuito de conhecer o potencial de um operador de caixa e do fluxo de pessoas naquele local para que somente assim seja possível auxiliar no processo de gerenciamento do controle e propor melhorias no atendimento O processo se concentrou na cronometragem do tempo de atendimento em que um cliente passava em atendimento no caixa da lotérica, essa análise do tempo para se obter um cálculo cada vez mais preciso só e possível mediante a coleta de no mínimo 50 amostras de tempos, sendo assim, neste trabalho foram coletadas 65 amostragens para estudo Simultaneamente foram coletadas 65 amostragens de tempo em que chegavam novos clientes na fila da agência Essa análise consistiu em saber o intervalo de tempo da última pessoa na fila até a chegada de um novo cliente na fila, para que fosse possível efetuar o tratamento dos dados para o trabalho Todas essas analises de tempo, somente foram possíveis e seguras mediante ao uso de um cronometro de mão, o que possibilita o mínimo possível de erros na coleta de cada amostragem de tempo 7

8 Em seguida, foi feito o tratamento de dados para execução do teste qui-quadrado e simulação O tratamento foi realizado com o auxílio dos programas R, RStudio, e Excel 4 Resultados 41 Gráficos de Dispersão Depois de efetuada a coletada dos dados, foi utilizado o software Excel para tratar os mesmos com a finalidade de verificar como estavam dispersos os tempos de atendimento da fila (TA) quanto do intervalo de chegada de clientes (IC) ao sistema, para tal adotou-se como critério de exclusão o percentil de 95% Abaixo segue gráficos antes da exclusão dos pontos que estão acima da linha limite de dispersão representada na cor laranja sendo que tal linha é o percentil de 95 %, ela mostra que todos os elementos que estão abaixo da linha (reta) estão dentro da média de dispersão e o que está acima deve ser excluído Gráfico 1 Intervalo de chegada de clientes (IC) Gráfico 2 Tempo de atendimento (TA) 8

9 No gráfico 1 foram excluídos os 3 pontos acima da linha que possuem os seguintes valores: 3,82 minutos; 5,25 minutos; e 4,87 minutos No gráfico 2 os três pontos acima da linha com valores de 5,57 minutos; 5,78 minutos; e 6,18 minutos 42 Tabelas de frequência e histograma A partir da exclusão de tais pontos montou-se uma tabela de frequência relativa para o intervalo de chegada (IC) e uma para o tempo de atendimento (TA), em que foi considerada cinco classes de intervalo para ambas as tabelas Tabela 1 Intervalo de chegada Tabela 2 Tempo de atendimento 9

10 Na tabela 1(intervalo de chegada) o tamanho do intervalo entre classes foi de 0,50 minutos, onde o valor mínimo de todos os elementos analisados referentes ao intervalo de chegada foi de 0,02 minutos e máximo de 2,50 minutos, sendo o intervalo que mais possui frequência é o número 1 (0,02 0,52) com taxa de frequência de 44 % Na tabela 2 (tempo de atendimento) o tamanho do intervalo de classes foi de 0,75 minutos em que o menor valor de todos os elementos analisados foi correspondente a 0,17 minutos e e o maior de 3,93 minutos A classe que mais se repetiu foi a de número 2, com taxa de frequência de 35% Abaixo se encontra os respectivos histogramas de IC e TA Gráfico 3 Intervalo de chegada (IC) Gráfico 4 Tempo de atendimento (TA) 10

11 Através dos histogramas tanto para o intervalo de chegada de clientes como para o tempo de atendimento é possível definir a possível distribuição que cada um possui No caso do histograma de IC (intervalo de chegada) percebe-se que a possível distribuição que deve ser utilizada é exponencial e no histograma de TA (tempo de atendimento) a distribuição de Poisson, no entanto faz-se necessário realizar o teste aderência 43 Teste de aderência Para se montar o teste de aderência, que tem como objetivo definir como os dados estão distribuídos estatisticamente optou-se por usar a classificação do teste Qui Quadrado, pois o mesmo não depende de parâmetros populacionais como variância e média, onde se utilizou o nível de significância de 5%, com base nisso foi calculado no Crystal Ball o teste de aderência, em que se adotou duas hipóteses para o P- valor: H 0 (Hipótese de nulidade) a frequência verificada não possui diferenças significativas em relação as esperadas H A (Hipótese de não nulidade) as frequências verificadas possuem diferenças em relação às esperadas Após ter sido executado o teste foi gerado pelo Crystal Ball os gráficos abaixo para IC e TA com seus respectivos valores para P-valor nas figuras 1 e 2 Gráfico 5 Intervalo de chegada 11

12 Figura 1 Intervalo de chegada P valor Conforme pode ser verificado no gráfico 5 e na figura 1 referente aos dados de P- valor, sendo o mesmo 0144, o intervalo de chegada assume a hipótese de H 0, pois a frequência verificada não possui diferença em relação as frequências esperadas, logo é válido adotar a distribuição exponencial para IC, pois o valor da taxa da exponencial também é igual a 1,47 minutos em relação ao ritmo de chegada 12

13 Gráfico 6 - Tempo de atendimento Figura 2 Tempo de atendimento P valor Quanto ao gráfico 6 e a figura 2 do P valor que igual a 0,003 referente ao tempo de atendimento, assume a hipótese de H A na qual diz que os valores observados (verificados) são diferentes dos esperados, em função disso a distribuição exponencial não é adequada para o tempo de atendimento, pois o ritmo de atendimento esperado não é o mesmo, no entanto para fins didáticos será adotado que a distribuição exponencial atende ao TA 13

14 44 Simulação Após definir o modelo de distribuição como também os ritmos: atendimento 1,96 clientes por minuto e chegada de clientes como 1,47 clientes por minuto, foi gerado através do cristal ball 1000 números aleatórios, que foram inseridos no R para que fosse realizado a simulação de Monte Carlo, que resultou nos dados abaixo em que se compara a teoria das filas com a simulação de Monte Carlo Tabela 3 Comparação entre teoria das filas e simulação A partir da tabela acima, nota-se que nenhum dos dados entre a teoria das filas e os dados por simulação são iguais, isso é devido à teoria das filas ser baseada em médias, que dessa forma não oferece uma margem de desvio seguro, pois tende a superotimizar o problema Quanto a simulação ela baseia-se na geração de números aleatórios que no qual possuem uma margem de segurança maior que o da teoria das filas que permite assim analisar o problema de forma mais próxima do modelo real 5 Conclusões Com base nos dados deste trabalho, pode-se concluir que quando se busca apenas analisar uma fila de um sistema qualquer, há necessidade de não apenas entender, mas também de melhorar o próprio sistema, o uso da simulação é a melhor escolha para isso, pois através dela é possível alterar o ritmo do sistema e projetar diversos cenários futuros para o mesmo 14

15 Um problema que ocorre com a teoria das filas é que a mesma baseia-se em um calculo sobre médias e isso faz com que a margem de erro possa ser alta, fazendo com que o sistema seja superotimizado, refletindo assim um problema quando se tenta melhorar o mesmo, devido a uma grande possibilidade de erro Sugere-se como tema para trabalhos futuros, a proporção em que um mal arranjo de layout interfere no sistema de fila e como o tempo de atendimento de uma fila pode influenciar no faturamento de uma empresa Referências ANDRADE, E L Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão 2 Ed Rio de Janeiro: LTC, 2000 CHWIF, L; MEDINA, A Modelagem e Simulação de Eventos Discretos: Teoria & Aplicações São Paulo: Editora dos Autores, 2006 CONTI, FÁTIMA - Muitas Dicas Disponível em < Acesso em: 29 de agosto de 2015 Laboratório de Informática - ICB UFPA FERREIRA FILHO, JOSÉ MARTINS Processos Estocásticos e Teoria das Filas Disponível em: < Acesso em: 28 de agosto de 2015 GUJARATI, DN Econometria básica 3ª edição São Paulo: Makron Books, 2002 LUSTOSA, P R B; PONTE, V M R; DOMINAS, W R Simulação In: CORRAR, L J; THEÒPHILO, C R (Org) Pesquisa Operacional para decisão em contabilidade e administração São Paulo: Atlas, 2004 MARSUDI, M; SHAFEEK, H The Application of Queuing Theory in Multi-Stage Production Line Proceedings of the 2014 International Conference on Industrial Engineering and Operations Management Bali, Indonesia, January, 2014 PRADO, D S Teoria das Filas e da Simulação Belo Horizonte, MG: Editora de Desenvolvimento Gerencial Série Pesquisa Operacional, Vol 2, 1999 PRODANOV, C C; FREITAS EC Metodologia do Trabalho Científico: métodos e técnicas da pesquisa e do trabalho acadêmico [livro eletrônico] 2 Ed Novo Hamburgo, p Disponível em < Acesso em: 28 de Julho de 2015 SPIEGEL, MR Estatística São Paulo: Mc Graw Hill, 1981 TAHA,HAMDY A Pesquisa Operacional: uma visão geral 8 ed São Paulo : Pearson Prentice Hall,

16 TEIXEIRA, MM Introdução à Teoria das Filas Disponível em: < Acesso em: 29 de Agosto de