CAPÍTULO 2 ÓTICA FOTOGRAMÉTRICA

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1 CAPÍTULO 2 ÓTICA FOTOGRAMÉTRICA 2.1 INTRODUÇÃO A maioria dos instrumentos fotogramétricos depende, em algum grau, de componentes óticos para seu funcionamento. O número e o tipo de componentes varia de acordo com a complexidade do equipamento, e com o seu grau de automação. Os modernos "restituidores digitais" (softcopy photogrammetric workstations) empregam apenas óculos ativos com cristal líquido ou com filtros polarizadores para permitir visão estereoscópica. Entretanto, as câmaras fotogramétricas, incluindo as digitais, continuarão, necessariamente, a possuir complexos conjuntos de lentes. Figura 2.1 Convergência de ondas planas. A ótica é a ciência que procura controlar e manipular a luz. Esta ciência é dividida em dois ramos: ótica física e ótica geométrica. Na ótica física a luz é tratada como um grupo de ondas eletromagnéticas e a propagação da luz é considerada como uma progressão destas ondas, cada qual tendo sua própria amplitude, freqüência e fase. Se as ondas se propagam em linhas paralelas, diz-se que a luz é colimada. A figura 2.1 mostra vários planos de onda originados em uma fonte situada no infinito, à esquerda das lentes; esta é uma luz colimada. As lentes mudam a forma das ondas de plana para esférica; as ondas esféricas, à direita das lentes, convergem

2 em direção a um ponto teórico. Na ótica geométrica a luz é considerada como um conjunto de raios se propagando em linha reta, em forma de feixes de raios paralelos que convergem ou divergem em relação a si. Se os raios se propagam paralelamente diz-se que a luz é colimada. Na figura 2.2(a), que é a tradicional representação de uma lente simples positiva, os raios à esquerda das lentes são colimados, enquanto que os raios à direita convergem para um ponto teórico. Na figura 2.2(b) os raios à esquerda também são colimados mais divergem ao passar pelas lentes negativas. 2.2 REFRAÇÃO E REFLEXÃO (a) (b) Figura 2.2 (a) Lentes positivas (b) Lentes negativas Quando o raio de luz atinge a superfície de algum material, parte da luz pode ser transmitida, parte pode ser refletida e parte pode ser absorvida pelo material. Em ótica, o vidro e o ar são usados como materiais transmitentes devido à sua transparência; o vidro e superfícies metálicas e difusas são usados para reflexão; e vidro colorido para absorção. A passagem da luz de um material transparente para outro provoca uma mudança em sua velocidade. A velocidade em cada meio permite definir o que é chamado de índice de refração do meio, dado por:

3 n = c / V (2.1) onde: n é o índice de refração; c é a velocidade da luz no vácuo, e V é a velocidade da luz no meio em consideração. Se um raio de luz, como AA', na figura 2.3, é dirigido de um meio transparente para outro meio transparente, perpendicularmente à superfície que separa os meios, parte da luz é refletida; a outra parte continua, sem desvios, no segundo meio na direção A'A". Se um raio BB' incide na superfície de separação com um ângulo i em relação à normal a superfície (ângulo de incidência), parte da luz será refletida pela superfície na direção B'B" formando um ângulo r com a normal (ângulo de reflexão). A outra parte da luz é refratada na superfície e sua direção muda no segundo meio, de acordo com a direção B'B,,,. A nova direção forma um ângulo R com a normal (ângulo de refração). Todos os raios estão no mesmo plano. Figura 2.3 Reflexão e Refração. O caminho BB'B" do raio na figura 2.3 é descrito pela lei da reflexão, que estabelece que: a) o raio incidente, a normal, e o raio refletido estão contidos no mesmo plano; b) o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão (i=r). O caminho BB'B,,, é descrito pela lei da refração (lei de Snell), que estabelece que:

4 a) o raio incidente, a normal e o raio refratado estão num mesmo plano; b) n i sen i = n R sen R (2.2) onde: n i é o índice de refração do meio no qual o ângulo de incidência i é formado e; n R é o índice de refração no qual o ângulo de refração R é formado. Analisando a equação 2.2 pode-se perceber que o raio refratado é desviado em direção à normal do meio de maior índice de refração. Se o raio incidente estiver no ar, então n i = 1, para finalidades práticas, e a equação 2.2 pode ser reescrita como: sen R = sen i / n R (2.3) Figura 2.4 Ângulo crítico. Meio de maior índice de refração Se um raio de luz é dirigido de um meio de maior índice de refração para um de menor índice, o raio se desviará na direção oposta à normal no segundo meio. À medida que o ângulo de incidência aumenta, o ângulo de refração também aumenta, mas a uma taxa maior, até que atinja 90 o. Além deste ponto o raio é totalmente refletido. Na figura 2.4, o raio AA' é refratado na direção A'A"; o raio BB' forma um ângulo incidente i c com a normal, fazendo com que o raio emergente B'B" forme um ângulo de refração de 90 o com a normal; o raio CC' é refletido na direção C'C", de volta ao mesmo meio, obedecendo a lei de reflexão (i=r). O ângulo incidente i c, que causa um ângulo de refração de 90 o é chamado de ângulo crítico para os dois meios. Este ângulo pode ser determinado a partir da lei de Snell. Fazendo sen R = 1, temos da equação 2.2:

5 Exemplo 2.1 sen i c = n r / n i (2.4) Se o índice de refração do vidro na parte superior da figura 2.4 é 1.6, na parte inferior é 1.85, qual é o ângulo crítico? Solução: Exemplo 2.2 Se na parte superior da figura 2.4 o meio for ar e na parte inferior o meio tiver um índice de refração de 1.60, qual é o ângulo crítico? Solução: 2.3 REFLETORES Os refletores são usados em Fotogrametria para dirigir a luz e para manipular os raios de luz usados para formar imagens. Esses refletores são de três tipos: esféricos, parabólicos e elipsoidais. Suas superfícies são compostas de metais polidos, como, por exemplo, aço inoxidável. Figura 2.5 Refletores (a) Refletor esférico côncavo; (b) Refletor parabólico; (c) Refletor elipsoidal

6 Os refletores esféricos são usados para intensificar a quantidade de luz emitida do filamento S de uma lâmpada (figura 2.5.(a) - refletor esférico côncavo). A luz que é refletida seria perdida, caso não houvesse o refletor. De acordo com a lei de reflexão, se a fonte de luz for colocada no centro de curvatura, cada raio é refletido de volta, porque o ângulo de incidência é zero. Na figura 2.5.(b) mostra-se um refletor na forma de um parabolóide. Uma fonte de luz em S produzirá raios de luz que, quando refletidos pela superfície parabólica, formarão um feixe de raios paralelos e, portanto, colimado. Este tipo de refletor é usado para produzir iluminação uniforme sobre uma área de mesmo diâmetro do refletor. O refletor mostrado na figura 2.5.(c) é do tipo elipsoidal. Se a fonte de luz S for colocada num dos focos do elipsóide, os raios serão refletidos até o outro foco L. Alguns instrumentos restituidores analógicos (Balplex, por exemplo) usavam este tipo de refletor. Figura 2.6 Espelhos 2.4 ESPELHOS Os espelhos são uma classe especial de refletores, cujas superfícies refletoras são planas. A reflexão pode ocorrer na superfície frontal (fig. 2.6.(a)); neste caso, são chamados de espelhos de superfície frontal (ou de primeira superfície). A reflexão pode ocorrer na superfície posterior de um vidro contendo uma camada de metal reflexivo (fig. 2.6.(b)). Os espelhos de superfície frontal são usados nos instrumentos fotogramétricos para alterar a direção dos raios de luz da imagem. Estes espelhos devem ser suficientemente planos para preservar a geometria dos raios

7 refletidos. Um tipo de espelho de superfície frontal denominado espelho semi-prateado, é usado para dividir um feixe de luz em duas partes, cada qual podendo ser dirigida para onde se desejar (figura 2.7). A superfície reflexiva pode ser usada para controlar a intensidade relativa dos feixes, ou para separar uma cor particular do feixe e redirecioná-la. Os espelhos convencionais não são adequados para serem usados em instrumentos precisos, pois provocam duplas reflexões que originam imagens fantasmas. Figura 2.7 Espelho semi-prateado 2.5 PRISMAS Os prismas são elementos de vidro (ou cristal) usados nos caminhos óticos quando for necessário refletir, inverter, rotacionar ou deslocar uma imagem. Os prismas de reflexão empregam o princípio da reflexão total em base no ângulo crítico da interface ar-vidro. Na figura 2.8.(a) é mostrado o prisma de 45 o ou de ângulo reto. Um raio de luz incidindo normalmente à uma das faces é refletido internamente em 90 o e emerge normal à segunda face. O índice de refração do vidro usado para produzir o prisma é tal que o ângulo crítico é menor que 45 o. Como o ângulo de incidência na superfície reflexiva é 45 o, obtém-se uma reflexão interna total. Contudo, se o raio de luz não atinge a superfície perpendicularmente, então o raio refletido não formará 90 o como o raio incidente. A figura 2.8.(b) mostra um prisma de Porro, que tem uma configuração idêntica ao prisma reto. Entretanto, a orientação em relação aos raios incidente e emergente é diferente. Ocorrem duas reflexões internas e o raio é desviado em 180 o. A dupla reflexão inverte a imagem, como pode ser verificado na figura, mas a orientação lateral é preservada. São usados dois prismas de Porro para reverter a imagem (figura 2.8.(c)). Este conjunto é usado em binóculos para inverter uma imagem formada invertida pelas lentes. O penta-prisma, mostrado na figura 2.8.(d), é usado para girar um raio

8 em 90 o, não importando se o raio incidente é normal à primeira face do prisma. Os ângulos de incidência das superfícies reflexivas dentro do prisma são menores que o ângulo crítico; portanto, essas superfícies devem ser espelhadas. Figura 2.8 PRISMAS (a) ângulo reto (b) Porro (c) Dois prismas de Porro (d) Penta-prisma (e) Prisma de Amici (f) Dove (g) Rombóide

9 O prisma de Amici, mostrado na figura 2.8.(e) tem a mesma função do prisma reto, isto é, muda a direção de um raio em 90 o. Entretanto, a parte em forma de V do prisma possui duas faces com ângulos retos (90 o ), ao contrário da superfície reflexiva simples do prisma reto. Isto provoca não somente a mudança de direção dos raios em 90 o, mas também inverte a imagem da direita para a esquerda. O prisma de Dove, mostrado na figura 2.8.(f), é usado para rotacionar um feixe de raios colimados em um caminho ótico, em relação ao eixo deste caminho. A face de entrada e a face de saída do prisma formam um ângulo de aproximadamente 45 0 com a base do prisma. Isto faz com que a maior parte da luz que entra no prisma seja refratada em direção à base do prisma. Como o ângulo de incidência deste feixe com a base é maior que o ângulo crítico, ocorre uma reflexão total. Ao deixar a segunda face, o raio é novamente refratado e continua o caminho original, na mesma direção. Na parte inferior da figura 2.8.(f), o prisma foi rotacionado 90 o, no sentido horário, em relação a um eixo paralelo à base. Isto causou uma rotação de 180 o dos raios emergentes à direita, quando comparados com suas posições relativas na parte superior da figura. Portanto, uma rotação do prisma sobre seu eixo causa uma rotação duas vezes maior no feixe de raios colimados emergente. O prisma rombóide, mostrado na figura 2.8.(g) tem a função de deslocar um raio de luz paralelamente a este raio, em uma distância fixa, que depende das dimensões do prisma. Sua função é a mesma de dois prismas retos, mostrados na figura. A orientação dos raios é preservada, quando atravessam o prisma rombóide. 2.6 CUNHAS ÓTICAS As cunhas óticas de vidro são tipos específicos de prismas usados para defletir um caminho ótico com um ângulo relativamente pequeno. Um prisma de refração, mostrado na figura 2.9, causa um espalhamento do feixe de luz branca em várias cores diferentes. Esta dispersão ocorre porque o comprimento de onda de cada uma das cores é diferente e, conseqüentemente, os índices de refração do vidro para cada cor também são diferentes. O comprimento de onda mais curto, o violeta, é mais refratado que o comprimento mais longo, o vermelho. Se colocarmos um prisma de refração, com um pequeno ângulo de ápice A, no caminho do raio de luz, como mostrado na figura 2.10, o raio será defletido em uma quantidade D, dada por: D = A (n - 1) (2.4)

10 onde: D é o ângulo de deflexão; A é o ângulo de ápice, e; n é o índice de refração do vidro, usando um valor médio entre os valores para o violeta e o vermelho (luz amarela do vapor de sódio). Figura 2.10 Cunhas Óticas (a) cunha simples; (b) combinação de cunhas para permitir várias deflexões; (c) cunha com ângulo zero, usada para deslocar um raio paralelamente; O prisma é chamado de cunha ótica quando o ângulo de ápice A é menor que 3 o. A figura 2.10.(b) mostra um par de cunhas montadas de tal maneira que os raios passem sem desvios de direção. Se cada cunha for rotacionada em direções opostas, a deflexão causada pelas duas cunhas pode variar de zero até um valor máximo, que depende dos ângulos das cunhas e do índice de refração dos vidros. Estas cunhas são usadas nas oculares de estereoscópios para causar uma divergência do campo de visão de cada olho. Também são usadas em restituidores para compensar o estrabismo dos operadores. A placa plana paralela mostrada na figura 2.10.(c) é um tipo de cunha em que ângulo de ápice é zero. A função da placa paralela é deslocar um raio de luz paralelamente, em uma quantidade mensurável. De acordo com a rotação da placa, o raio de luz é deslocado em uma quantidade e, dada por:

11 e = t.sen(i - R) / cos R (2.5) onde: i é o ângulo de rotação da placa; R é o ângulo de refração dado pela equação 2.3 e depende do índice de refração do vidro, e; t é a espessura da placa. 2.7 LENTES Figura 2.11 Desenvolvimento de uma lente esférica. A lente é um componente ótico bastante conhecido, devido ao seu emprego em instrumentos como câmaras fotográficas, lupas etc. A função da lente em fotogrametria é capturar os raios luminosos e focalizá-los em algum ponto. A lente é usada na formação de uma imagem no plano focal de uma câmara, sobre o filme fotográfico, ou nos sistemas óticos dos restituidores. A figura 2.11.(a) representa a seção de um feixe de luz colimada, supostamente monocromática, incidindo na face de um prisma com ângulo de ápice A. Assume-se uma luz monocromática para desprezar o efeito da dispersão. Os vários raios do feixe são redirecionados, mas mantém o paralelismo original. Mudando a forma do prisma de uma para várias faces, os raios podem ser focalizados em um mesmo ponto F'. A figura 2.11.(b) mostra esta idéia. Aumentando o número de faces indefinidamente, de tal maneira que todos os raios do feixe convirjam para F', será obtida uma superfície curva, cuja seção transversal é mostrada na figura 2.11.(c). Se esta seção for rotacionada ao redor do eixo XX, serão geradas duas superfícies curvilíneas, que formam as superfícies de uma lente. Normalmente, estas superfícies são aproximadas por superfícies esféricas, por razões práticas. A linha XX é o eixo ótico da lente, e

12 passa pelos centros de curvatura de ambas as superfícies. Os vários tipos de elementos de lentes usados na montagem de sistemas de lentes são mostrados na figura Aqueles elementos em que o centro é mais espesso que as extremidades são elementos convergentes, conhecidos como lentes positivas. Aqueles elementos que são mais finos no centro são elementos divergentes, conhecidos como lentes negativas. Lentes Positivas (a) (b) (c) Lentes Negativas (d) (e) (f) Figura 2.12 Lentes: (a) duplo-convexa (b) plano-convexa (c) côncavo-convexa ou menisco positivo (d) duplo-côncava (e) plano-côncava (f) convexo-côncava ou menisco negativo 2.8 LENTES DELGADAS Para estudar as propriedades de formação de imagens das lentes, considera-se uma única lente sem espessura (lente delgada). Na figura 2.13.(a), um feixe de luz colimada, paralelo ao eixo da lente, incide na superfície curva de uma lente delgada e é focalizado no ponto F', chamado foco principal, que está a

13 uma distância f à direita das lentes. A distância f é chamada de distância focal das lentes e é determinada por: =(n -1) + f r1 r2 (2.6) onde: n é o índice de refração do vidro; r 1 e r 2 são os raios de curvatura das superfícies esquerda e direita, respectivamente. Figura 2.13 Foco principal, distância focal e plano focal. Se o centro de curvatura da superfície esquerda estiver à direita da lente, r 1 é considerado positivo; se estiver à esquerda, r 1 é negativo. Se o centro de curvatura da superfície direita estiver à esquerda, r 2 é positivo; se estiver à direita, r 2 é negativo. Portanto, se a distância focal for positiva, a lente é positiva; se a distância focal for negativa, a lente é negativa (figura 2.12)

14 Figura 2.14 Formação da imagem: (a) objeto fora do foco principal, formando uma imagem real; (b) objeto dentro do foco principal, formando uma imagem virtual. Qualquer feixe de raios colimados incidentes na superfície da lente, com qualquer ângulo possível, teoricamente convergirá para um ponto no plano perpendicular ao eixo ótico e passante pelo foco principal (figura 2.13(b)). Este plano é chamado de plano focal da lente. Para simplificar costuma-se representar o feixe de raios apenas por um raio principal, como mostrado na figura 2.13.b. A luz colimada pode ser produzida por uma fonte que esteja suficientemente longe da lente, de tal maneira que os raios de luz que atinjam a lente possam ser considerados paralelos. Se a fonte for colocada mais próxima à lente, então os raios provenientes desta fonte divergirão em direção à lente, desfazendo o paralelismo. Portanto, o objeto está a uma distância finita da lente. A posição da imagem de um objeto formado pela lente sob esta premissa pode ser determinada usando as construções mostradas nas figuras 2.14(a) e 2.14(b). Na figura 2.14(a), três raios são traçados a partir de cada um dos dois pontos objetos A e B que estão antes do foco principal F. Considere o raio AA' paralelo ao eixo ótico. Depois de refratado pela lente, torna-se A'a, passando pelo foco principal F'. O raio AA" é dirigido ao centro da lente e passa sem ser desviado, porque as partes das superfícies da lente onde o raio passa são

15 aproximadamente paralelas. Portanto, o raio AA" torna-se o A"a até a interseção com A'a no ponto a. O raio AA"' passa pelo foco principal conjugado F, é refratado pela lente em A"', formando a reta A"'a, paralela ao eixo ótico. A mesma construção é feita para o ponto objeto B, com o objetivo de determinar a posição do ponto imagem b. A imagem ab é denominada de imagem real. A distância objeto p, medida desde o objeto até o centro da lente, e a distância imagem q, medida desde o centro da lente até a imagem, são relacionadas através da seguinte expressão: = p q 1 f (2.7) As distâncias p e q são ambas medidas paralelamente ao eixo ótico. É importante mencionar que se p é infinito, então a distância imagem q será igual à distância focal, com mostra a figura Se p estiver à esquerda da lente é considerada positiva; se q estiver à direita é também considerada positiva. Na figura 2.14(b), os pontos objetos A e B estão dentro do intervalo do foco principal F. Através de uma construção similar àquela mostrada na figura 2.14(a), e eliminando AA"' para melhor clareza, pode-se ver que a imagem ab é formada no mesmo lado do objeto, e que a distância imagem q é negativa. Esta é uma imagem virtual. Este é o princípio básico de uma lente de aumento. A relação entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto é chamada de aumento lateral (linear). Esta relação pode ser deduzida a partir de triângulos semelhantes na figura 2.14(a), e é dada por: tamanho da imagem q = = tamanho do objeto p M (2.8) Exemplo 2.3 A distância focal de uma lente delgada é 240mm. Um objeto é colocado a uma distância de 16m da lente. Onde será formada a imagem e qual o aumento? Solução: Exemplo 2.4 Onde deveria ser colocado um objeto para produzir uma imagem com metade de seu tamanho real, considerando uma lente de distância focal

16 240mm? Onde a imagem será formada? Solução: 2.9 LENTES ESPESSAS Figura 2.15 Lente espessa. No item anterior assumiu-se que as lentes delgadas não possuíam nenhuma espessura e que a refração ocorria em um plano passante pelo centro da lente e perpendicular ao eixo da lente. Considerando-se uma lente com espessura finita, o método para calcular a distância focal e a maneira de traçar o raio de luz no sistema devem ser modificados. A figura 2.15 é uma seção de uma lente com espessura t, cuja distância focal é calculada por: 1 f 1 1 (n -1)t =(n -1) + - r1 r2 n r1 r2 (2.9) Exemplo 2.5 Os raios de curvatura das duas superfícies de uma lente espessa são r1 = +70mm e r2 = +120mm. O índice de refração do vidro é de 1.70; a lente tem espessura de 8.5mm. Qual é a distância focal da lente? Solução:

17 Exemplo 2.6 Calcule a distância focal da lente do exemplo 2.5 assumindo que esta lente é delgada. Solução: Exemplo 2.7 Considerando-se os mesmos dados do exemplo 2.5, exceto que o raio da superfície de maior curvatura é agora negativo, qual é a distância focal desta lente menisco? Solução: As duas linhas H e H' da figura 2.15 são traços do plano principal da lente. Estes planos têm a seguinte propriedade: se um raio de luz é dirigido para um ponto no plano H, como o ponto m, este é refratado pela lente de tal maneira que emerge no segundo plano H' em um ponto à mesma distância do eixo ótico (m'). Os planos principais interceptam o eixo ótico em dois pontos N e N', chamados de ponto nodal anterior e ponto nodal posterior, respectivamente. Os pontos nodais têm a seguinte propriedade: se um raio de luz no espaço objeto é dirigido para o ponto nodal anterior, como AN na figura 2.15, este é refratado pela lente de tal maneira que emerge no ponto nodal posterior N'a, sem mudança em sua direção. A distância NN' é conhecida como separação nodal. A distância focal de uma lente espessa e as distâncias imagem e objeto são medidas a partir dos planos principais (fig. 2.15). A principal diferença entre os diagramas 2.14 e 2.15 é a inclusão do espaço entre os planos principais no último. A relação entre a distância objeto p, a distância imagem q, e a distância focal de uma lente espessa é a mesma que a de uma lente delgada, como foi dado pela equação 2.7. O aumento é dado pela equação 2.8. Na figura 2.15, fazendo x igual à distância do objeto ao primeiro foco principal F e x' igual à distância do segundo foco principal F' à imagem, a equação da lente, relacionando distância objeto, distância imagem e a distância

18 focal, pode ser desenvolvida na forma Newtoniana, como se segue: Como p = f + x e q = f + x', e usando a equação 2.7: f x f 1 = + x 1 f Multiplicando por f : f f + + x f f = 1 + x Isto se reduz a: f 2 = x. x (2.10) Lentes espessas de várias curvaturas, espessuras e índices de refração são combinadas para formar sistemas óticos mais complexos, que, por simplicidade, são chamados simplesmente de lentes ou sistema de lentes ABERTURA A abertura em um sistema de lentes é uma obstrução física que limita a quantidade de luz que pode passar pelas lentes para formar uma imagem. As lentes fotográficas usadas em uma câmara contém um diafragma cujo diâmetro pode ser alterado para controlar a quantidade de luz que passa pelo sistema de lentes. O sistema de lentes é usado para formar uma imagem no plano focal de uma câmara. A capacidade de transmitir luz, ou a "velocidade" da lente é dada pelo número f, ou f/number, ou f/stop. Quanto menor o f/stop (por exemplo, f/2) mais "rápida" é a lente, porque permite a passagem de maior quantidade de luz. O f/stop é o número pelo qual a distância focal f é dividida para determinar o diâmetro da abertura. Portanto, se a distância focal de uma lente é 152mm e a abertura é ajustada para f/8, o diâmetro de abertura será 152/8 = 19mm. A quantidade de luz que passa pelo sistema de lentes aumenta ou diminui e acordo com a área da abertura e, conseqüentemente, proporcionalmente ao quadrado do diâmetro da abertura. Os f/stop padrão são arranjados de tal maneira a aumentar com um incremento de 2. Portanto,

19 cada incremento do f/stop permite a entrada de metade da luz admitida no f/stop anterior (fig. 2.17). A tabela 2.1 mostra a relação entre o f/stop nominal, gravado na objetiva da câmara, o diâmetro de abertura de uma lente com distância focal de 75mm, e quantidade relativa de luz admitida. Figura 2.16 Marcação dos f stop em uma objetiva de uma câmara fotográfica. Para uma câmara com distância focal diferente de 75mm, o diâmetro e a área de abertura podem ser diferentes daqueles mostrados na tabela 2.1, embora a quantidade relativa de luz para os f/stop dados permaneça a mesma. Figura 2.17 Aberturas do diafragma e respectivos f stop

20 Tabela 2.1 f/stop nominal versus quantidade de luz (f=75mm) F/stop nominal Diâmetro de abertura Área de abertura πd 2 (mm 2 ) 4 Quantidade relativa de luz ½ ¼ / / / / / / / / / ABERRAÇÕES DAS LENTES Uma aberração da lente evita que um ponto seja formado também como um ponto em sua posição teórica correta no plano focal. Ao contrário, a imagem de um ponto é um pequeno borrão. Figura 2.18 Aberração esférica. Quando a curvatura das superfícies da lente, o índice de refração do vidro e a espessura das lentes são conhecidos, pode-se calcular todas as aberrações. Estas aberrações são: aberração esférica, coma, astigmatismo, curvatura de campo, distorção e aberração cromática. Com exceção da última,

21 todas as demais são calculadas considerando-se luz monocromática. O efeito da aberração esférica é mostrado na figura A imagem do ponto é sempre um pequeno círculo, não importando onde seja colocado o plano imagem. Esta aberração se aplica apenas a pontos no eixo ótico. Se um ponto for imageado fora do eixo ótico, a imagem resultante será uma mancha em forma de cometa. Isto é chamado coma, e é representado na figura O coma é similar à aberração esférica, exceto que afeta os pontos fora do eixo ótico Imagem Figura 2.19 Coma Figura 2.20 Astigmatismo O astigmatismo e a curvatura de campo estão bastante relacionados. O astigmatismo faz com que um ponto fora do eixo ótico seja imageado como duas pequenas linhas, mutuamente perpendiculares, mas em diferentes planos. O

22 efeito desta aberração é mostrado na figura 2.20 (com exagero). A linha S é perpendicular ao eixo ótico e a linha T é perpendicular ao raio principal. As seções tomadas entre estas linhas são elípticas. A elipse C é um círculo e representa a menor mancha; isto é feito para representar a imagem de um ponto. Superfície focal esférica Figura 2.21 Curvatura de campo Na figura 2.21, a curva denominada T representa o lugar geométrico das posições obtidas pela linha T, mostrada na figura 2.20, à medida que o ângulo de separação com o eixo ótico aumenta. A curva S é o lugar geométrico das posições obtidas pela linha S, da figura 2.20; e a curva C é o lugar geométrico das posições obtidas pelo círculo C da figura Se a curva C for rotacionada sobre o eixo ótico, gerará uma superfície curva, representando a superfície de melhor definição, que é representação da curvatura de campo. A distorção é uma aberração que provoca um desvio na trajetória do raio de luz emergente no ponto nodal posterior, em relação ao raio incidente no ponto nodal anterior. Este tipo de aberração é chamado de distorção radial e é representada na figura Enquanto que as aberrações descritas anteriormente provocam o borramento na imagem e a conseqüente perda de definição, a distorção deforma geometricamente as imagens. O raio proveniente de O, coincidente com o eixo ótico, não sofre desvio de trajetória. O raio proveniente de A e incidente no ponto nodal anterior N deveria emergir no ponto nodal posterior sem desvio, na linha tracejada N'a'. A distorção, entretanto, provoca um desvio na direção N'a. Isto faz com que o ponto imagem a seja desviado radialmente em relação ao ponto central o. Quando o desvio é em direção oposta ao que deveria ser o ponto ideal, então esta distorção é considerada positiva (a'a); caso contrário, é considerada negativa (bb')

23 Figura 2.22 Distorção radial. Na figura 2.23 (a) mostra-se um quadrado perfeito e em (b) e (c) o efeito da distorção. A distorção em (b) é positiva e chamada de distorção em almofada e em (c) é negativa e chamada de distorção em barrilete. (a) (b) (c) Figura 2.23 Efeitos da distorção radial simétrica. Plano Focal f f d O Linha sem distorção descentrada e e Figura 2.24 Distorção descentrada. A distorção radial simétrica, possui o mesmo valor para pontos a uma

24 mesma distância do ponto principal da foto e pode ser modelada matematicamente pelo polinômio a seguir. Os parâmetros do polinômio são obtidos no processo de calibração da câmara. Outra forma de distorção que não é uma aberração, mas é conseqüência de uma montagem imperfeita dos elementos das lentes é a chamada distorção tangencial, ou distorção descentrada. A distorção descentrada é o deslocamento de um ponto imagem, normal à linha radial passante pelo ponto. Como é mostrado na figura 2.24, a imagem d está em sua posição correta tangencialmente; a imagem e foi deslocada no sentido horário de sua posição correta em e', enquanto que o ponto f foi deslocado no sentido anti-horário de sua posição correta f'. Se a imagem de uma linha reta e'f' passa pelo ponto central o, a distorção descentrada fará com que esta reta seja uma linha curva, exceto quando coincidir com a linha de distorção nula. Na figura 2.25 mostra-se uma comparação dos efeitos das distorções radial simétrica e descentrada. Distorção radial Distorção descentrada Figura 2.25 Efeitos das distorções radial simétrica e descentrada. As aberrações anteriormente citadas são monocromáticas. As lentes podem apresentar a aberração cromática, que é causada pela dispersão da luz em diferentes componentes de cor, criando uma mancha ao invés de um ponto (figura 2.26). Esta aberração é controlada combinando-se lentes positivas e negativas com diferentes índices de refração

25 Raio de luz branca Ponto focal vermelho Ponto focal azul Luz azul Luz Vermelha Aberração cromática longitudinal Figura 2.26 Aberração cromática. Todas as lentes sofrem aberrações, algumas mais do que outras. O método geral de reduzir as aberrações é introduzir elementos adicionais com aberrações opostas; isto é chamado de correção das lentes. Algumas aberrações podem ser minimizadas reduzindo-se a abertura das lentes. Conseqüentemente, onde forem necessárias lentes de alta velocidade deve-se corrigir as aberrações, uma vez que a abertura deverá ser relativamente grande PODER RESOLUTIVO DAS LENTES A resolução ou poder resolutivo das lentes é a capacidade de um conjunto de lentes de mostrar separadamente um conjunto de pequenos detalhes. Supondo que um sistema de lentes esteja isento das aberrações mencionadas anteriormente, um feixe de luz colimada incidente sobre este sistema deveria convergir para um único ponto. Entretanto, devido ao fenômeno da difração da luz nas bordas do diafragma das lentes, o que deveria ser um ponto, torna-se um disco de luz com anéis concêntricos claros e escuros

26 r Diâmetro (a) (b) Figura 2.27 Efeito da difração: (a) imagem de um ponto isolado (b) fusão de dois pontos. A figura 2.27 mostra estes anéis; o gráfico 2.27(a) mostra a variação da intensidade de luz em função do diâmetro do disco central e dos anéis. Dois discos de luz serão percebidos como um único ponto quando a distância entre eles for inferior ao raio r de um dos discos (figura 2.27(b)). Este raio é dado por: f r = 1.22 λ d (2.11) O poder resolutivo das lentes é dado como o inverso do raio r, ou: Poder resolutivo = 1 f 1.22 λ d linhas / mm (2.12) onde: λ é o comprimento de onda da luz; f é a distância focal da lente; d é o diâmetro de abertura; (f/d) é o f/stop; Se o comprimento de onda for expresso em mm, então o poder resolutivo será expresso como o número de linhas individuais, separadas por

27 espaços iguais, que podem ser identificadas em uma distância de 1mm. Considerando o valor médio do comprimento de onda da luz branca ( mm) e lembrando que todas as aberrações foram consideradas nulas, a equação para o poder resolutivo pode ser expressa como: poder resolutivo = 1460 f / stop linhas / mm (2.13) Como exemplo, considere os valores mostrados na tabela 2.2, que estabelecem o poder resolutivo em função do f/stop. Tabela 2.2 Poder resolutivo das lentes em função do f/stop f/stop d (mm) Área (mm 2 ) P. Resolutivo (l/mm) Estes valores referem-se apenas ao efeito de difração, sem considerar as aberrações. Como as lentes fazem parte de um sistema fotográfico a imagem formada ainda será afetada, adicionalmente, pelo poder resolutivo da emulsão fotográfica. Embora a diminuição da abertura (e aumento do f stop ) reduza as aberrações a contrapartida é o aumento do efeito da difração e a redução da resolução das lentes. Como conseqüência recomenda-se reduzir a abertura apenas o necessário para obter uma profundidade de campo aceitável. Exemplo: Calcule o poder resolutivo de uma lente para luz branca, considerando o f/stop = 8; Solução:

28 Outra maneira de medir o poder resolutivo das lentes é a Função Transferência de Modulação (MTF - Modulation Transfer Function). Figura 2.28 Padrões de resolução usados na determinação da resolução das lentes. A resolução das lentes em ambos os métodos é obtida fotografando-se alvos especiais com emulsões de altíssima resolução. Estes alvos são dotados de conjuntos de pares de linhas com várias espessuras e separações entre as linhas (Figura 2.28). Para a determinação da resolução em linhas/mm a imagem do padrão é ampliada até se verificar o conjunto de linhas mais finas ainda distinguíveis na foto. Este método apresenta o inconveniente de ser subjetivo, pois o critério de determinar quando um conjunto de linhas não é suficientemente visível varia de pessoa para pessoa. A Transferência de Modulação é determinada fazendo-se varreduras com um microdensitômetro nas fotos dos padrões de linhas semelhantes aos mostrados na figura A distribuição de brilho (variações de densidade) para linhas grossas com um maior espaçamento seria parecida com aquela mostrada na figura 2.29 (a). Entretanto, a distribuição de brilho medida na imagem daquele

29 padrão seria do tipo mostrado na figura 2.29(b). As bordas se tornam um pouco arredondadas na figura 2.29(b), mas as amplitudes (ou modulação) das diferenças de brilho são semelhantes tanto na imagem quanto no objeto original. Portanto, considera-se que, a esta freqüência espacial do padrão, a transferência de modulação é de 100%. As varreduras com o scanner feitas sobre padrões cada vez mais finos, produzirão modulações mais reduzidas, conforme mostra a figura 2.29(c). Neste caso (fig. 2.29(c)), a amplitude é metade daquela do objeto original e, portanto, a transferência de modulação é de 50%. Brilho do objeto modulação Brilho da imagem Modulação 10% Brilho da imagem Modulação da imagem Modulação do objeto Figura 2.29 Transferência de Modulação: (a) Modulação do objeto teste; (b) Transferência de modulação da imagem do mesmo objeto teste; (c) Transferência de modulação da imagem com uma frequência espacial mais próximo; (Observar em (b) que, mesmo ocorrendo uma modulação de 100%, há uma redução no contraste das bordas. Em (c) há, ainda, mais redução no contraste das bordas, além de uma redução na transferência de modulação para 50%). Pode-se obter uma curva plotando-se várias transferências de modulação (ordenadas) em relação às freqüências espaciais (abcissas), obtidas a partir das medidas em vários padrões com diferentes freqüências espaciais (figura 2.30). Esta curva é chamada de Função Transferência de Modulação (MTF - Modulation Transfer Function). A MTF é um excelente indicador para os efeitos de borda, além de permitir a predição da resolução que pode ser

30 esperada a um determinado nível de detalhe. Transferencia de modulação % Freqüência espacial (l/mm) Figura 2.30 Curva da Função Transferência de Modulação (MTF - Modulation Transfer Function) 2.13 PROFUNDIDADE DE CAMPO E DISTÂNCIA HIPERFOCAL Figura 2.31 Profundidade de campo em função do diâmetro de abertura. De acordo com a equação das lentes (eq. 2.27) um objeto colocado a

31 uma distância p das lentes será focalizado a uma distância q no espaço imagem (figura 2.31). Se o objeto for deslocado até o ponto AP sua imagem se apresentará desfocada, porque o plano focal não foi movimentado para atender à equação das lentes. Analogamente, se o objeto for deslocado até o ponto AL sua imagem também ficará borrada. Uma imagem borrada de um ponto pode ser considerada aceitável desde que o diâmetro desta imagem seja suficientemente pequeno para que seja visto como um ponto. Se a imagem for observada a olho nu o diâmetro pode ser de 0.25mm. Se a imagem for ampliada então o diâmetro deve ser de 0.025mm. Este círculo, que representa um borramento aceitável, é chamado de círculo de confusão mínima (c é o diâmetro deste círculo). A profundidade de campo é a distância AL-AP, para a qual podemos movimentar um objeto, sem alterar o plano focal, e ainda considerá-lo focalizado. A profundidade de campo depende da distância focal das lentes, do diâmetro de abertura, e da distância objeto para o qual as lentes foram focalizadas. Na figura 2.31.(b) mostra-se que, à medida que o diâmetro de abertura diminui, a profundidade de campo aumenta. A profundidade de campo é maior para uma distância focal pequena do que para as distâncias focais grandes. Conforme a distância objeto diminui a profundidade de campo também diminui. A figura 2.32 mostra a focalização em diferentes posições dos pontos no espaço objeto. Lentes Plano do negativo Foco Círculo de confusão Círculo de confusão Figura 2.32 Círculo de confusão para objetos a diferentes distâncias. Na figura 2.33 mostra-se quais objetos ficarão focalizados e quais estarão dentro do intervalo de focalização

32 Profundidade de campo Figura 2.33 Ponto de focalização Intervalo de profundidade de campo. Este conceito não é fundamental em Aerofotogrametria, pois a distância câmara-objeto é muito grande em relação às variações do relevo. Em Fotogrametria à curta distância, entretanto, a profundidade de campo é parâmetro importante para a obtenção de fotos de qualidade aceitável. O cálculo da profundidade de campo pode ser feito por meio das equações 2.14 e 2.15: p = p p = l p 1 + (p - f)c D p 1 - (p - f)c D f 2 f 2 (2.14) (2.15) onde: p é a distância objeto; p p é o limite mais próximo da profundidade de campo; p l é o limite mais distante; D é o f/stop; c é o círculo de confusão mínima e; a distância p l - p p é a profundidade de campo. Exemplo 1: Calcular a profundidade de campo de uma lente de distância focal 75mm, com f/stop 5.6, para uma distância objeto de 5m. Solução:

33 Exemplo 2: Qual a profundidade de campo para uma distância de 2m, considerando os dados do problema anterior? Solução: A distância hiperfocal é a distância objeto além da qual a profundidade de campo atrás do objeto se estende até o infinito. Esta distância H pode ser determinada considerando-se que se p l tende ao infinito; então, na equação 2.15, o denominador tente a zero: 2 f H = + cd f (2.16) Se uma lente é focalizada para sua distância hiperfocal, então a profundidade de campo vai desde o infinito até a metade da distância hiperfocal. Exemplo 3: Calcule a distância hiperfocal e o limite próximo da profundidade de campo para o exemplo 1. Solução: A profundidade de foco é a distância anterior ou posterior ao plano de foco mais nítido, para uma dada distância objeto, para a qual a imagem ainda terá uma focalização aceitável. Este intervalo é função do círculo de confusão mínima, da focal, da distância objeto, do f/stop e pode ser calculado pela equação 2.17: d = cpd p-f (2.17) onde d é a profundidade de foco em ambas as direções (figura 2.34). Exemplo 4:

34 Solução: Calcule a profundidade de foco para a lente considerada no exemplo 1. Figura 2.34 Profundidade de foco em função do diâmetro de abertura FILTROS Filtros são elementos óticos plano-paralelos, produzidos com vidros de alta qualidade e que possuem várias funções. Nas câmaras fotogramétricas as funções básicas dos filtros são: absorção espectral; distribuição da entrada de luz e; proteção das lentes. A luz branca pode ser dividida em um grande número de linhas espectrais monocromáticas (cores espectrais). Ao agrupar estas cores em bandas com largura de 10nm, temos as três cores primárias: azul, verde e vermelho. A adição de pares de cores primárias produz as cores primárias subtrativas: ciano, amarelo e magenta. Estas cores são chamadas de subtrativas porque são geradas pela subtração de uma cor primária da luz branca. Deste

35 modo: ciano = azul + verde = branco - vermelho amarelo = verde + vermelho = branco - azul magenta = vermelho + azul = branco - verde Tais subtrações são obtidas por filtros, que absorvem parte da luz incidente, transmitindo a parte restante. Se a luz branca atinge o filtro, a parte transmitida dará a cor do filtro. De acordo com as funçoes, podem ser identificados três tipos de filtros: filtros coloridos, filtros de calor e filtros de densidade neutra. Os filtros coloridos são compostos de vidros coloridos ou contém um nível de gelatina colorida entre os vidros que absorvem certos comprimentos de onda, deixando passar outros. As características de transmissão e absorção de um filtro colorido são dadas pela sua curva de transmitância. Na figura 2.35 é mostrada a curva de transmitância para um filtro verde. Percentual de transmitância Ultravioleta Infravermelho Vermelho Comprimento de onda em (μm) Figura 2.35 Curva de transmitância de um filtro verde. Nesta figura nota-se que a transmissão máxima ocorre nos comprimentos de onda próximos a 0.55 μm, que constitui a luz verde. A luz na região violeta e ultra-violeta é completamente absorvida pelo filtro, bem como uma grande parte do vermelho e infravermelho. Os filtros não são 100% eficientes, como mostrou a figura O filtro verde transmite somente 80% da luz verde, 20% da luz azul e 35% da luz vermelha. A figura 2.36 mostra a curva de transmitância de alguns filtros utilizados em Fotogrametria

36 Filtro Zeiss Filtro `Leica Figura 2.36 Curva de transmitância de filtros para câmaras fotogramétricas. (fonte Krauss, 1993) Os filtros amarelo ou o vermelho são usados nas câmaras aéreas com filme pancromático para absorver a luz azulada criada pela névoa na atmosfera. Quando se utiliza filme infravermelho deve-se, então, usar um filtro vermelho forte. Os filtros vermelhos, usados com o filme infravermelho, absorvem todos os comprimentos de onda exceto os mais longos. Isto causa a focalização dos raios de luz ligeiramente fora do plano focal, o que ocasiona a desfocalização da imagem, a menos que as lentes ou o plano focal sejam deslocados Além de sua aplicação nos processos fotográficos, os filtros coloridos também podem ser usados em alguns instrumentos para permitir a visão estereoscópica, através de um processo chamado anaglifo, que será visto no capítulo sobre visão estereoscópica. Para ilustrar o efeito causado por um filtro colorido em uma foto preto e branco, pode-se supor uma cena em que maças vermelhas são fotografadas contra um fundo com folhas verdes. Neste caso, tanto as maças quanto as folhas possuirão tonalidades semelhantes na foto preto e branco. Entretanto, quanto se utiliza um filtro verde, as maças aparecerão mais escuras, isto é, menos expostas do que as folhas, porque o filtro absorveu a maior parte da luz vermelha que as maças refletem e deixou passar a luz verde das folhas. Os filtros de calor são placas plano-paralelas que tanto refletem quanto absorvem comprimentos de onda longos na região do infravermelho, de tal maneira que os raios de luz não tenham nenhum efeito danoso ao filme. O filtro de densidade neutra é uma placa plano paralela delgada

37 contendo um sombreamento cinza que diminui do centro para as bordas. A sua função é reduzir a quantidade de luz que passa pelo sistema ótico, sem mudar a composição de cores da luz. Compensa, ainda, a diminuição do brilho nas bordas da imagem. Outro efeito é a compensação do efeito de vinhetamento, que é causado pela limitação física do feixe de luz que entra oblíquo no sistema ótico (figura 2.37). (a) (b) (c) Figura 2.37 Vinhetamento ou Vinhete; (a) Exemplo do efeito do vinhete em um sistema com duas lentes. A parte sombreada nunca atinge a segunda lente, ou seja, a parte periférica da imagem não recebe esta parcela de luz. (b) Efeito do vinhete na imagem; o centro recebe mais luz do que a periferia, devido à obstrução física dos raios de luz periféricos; (c) Exemplo de imagem aérea com efeito de Vinhete (Fonte: Nobrega, 2001) 2.15 Distribuição de luz sobre o plano focal

38 Na figura 2.38 observa-se que uma fonte de luz S produz uma iluminância I em uma superfície esférica de raio d. Se for considerada agora a distância 2d esta iluminância é espalhada em uma área quatro vezes maior que a área original, reduzindo-se a I/4. A iluminância decresce, portanto, com o inverso do quadrado da distância à fonte de luz, o que é conhecido como lei de iluminância. Figura 2.38 Iluminância em função da distância à fonte de luz. Fonte: Moffit e Mikhail, Figura 2.39 Iluminância em função do ângulo de campo. Fonte: Moffit e Mikhail, Na figura 2.39 mostra-se uma lente positiva com uma abertura a. A iluminação que atinge o ponto o é normal ao plano focal neste ponto e forma um ângulo Φ no ponto p com o eixo ótico. A iluminância em p será menor do que em o, devido a (Moffit e Mikhail, 1980): A abertura circular aparece como uma elipse em p e a área desta elipse sofre uma redução pelo fator cos Φ em relação à abertura circular em o; A obliquidade de incidência reduz a iluminância por um fator cos Φ (Lei de Lambert); A distância das lentes ao ponto p é maior do que a distância até o ponto axial a, por um fator sec Φ. Portanto, de acordo com a lei de iluminância

39 (inverso do quadrado da distância), a iluminância é reduzida por uma fator cos 2 Φ. Chamando a iluminância axial de E 0, e E Φ a iluminância no ponto que forma o ângulo Φ com o eixo ótico, pode-se escrever a expressão: E E 0 cos 4 φ = φ (2.18) Esta equação é conhecida como lei cos 4 Φ da iluminância. Os efeitos desta equação são às vezes confundidos com o vinhete, ou costuma-se agrupálos com o mesmo nome