CAPÍTULO Exrcícios.. b) Sj séri. A fução f( x) é cotíu, dcrsct l x l x positiv o itrvlo [, [. D l x pr x, tmos dx dx. x l x x dx x covrgt Þ l x covrgt. l d) Sj séri 0 m [ 0, [. Tmos: x 4. A fução f( x) x 4 é cotíu, positiv dcrsct xdx 0 4 xdx lim x Æ 0 x4. 4 lim È rc tg x ù Æ ÎÍ ûú 0 0 xdx x 4 covrgt Þ 0 4 covrgt. ) Sj séri. l l(l ) Sj f ( x ) xl xl(l x). Etão, xl xl(l x) dx lim l(l l x), pois Æ [ ] l(l l x ) xl xl(l x). [ ]
Portto, séri é divrgt. l l(l ) f) Sj séri, l [l(l )] Tmos dx lim [ l(l ) l(l ) ] Æ xl x[l(l x)] l(l ). Portto, dx xl x[l(l x)] é covrgt pr. Dí, l [l(l )] é, tmbém, covrgt pr.. Supoh qu f: [0, [ sj cotíu, dcrsct positiv qu séri f( ) 0 sj covrgt com som s. Etão, f ( x ) dx é covrgt tmos, pr todo, 0 0 s f( ) f( ) f( x) dx. 0 Logo, f( ) é um vlor proximdo pr s, com rro ifrior f( x) dx. 0 4. 7
0 0 ( E ) E f( E ) ( E ) E f( E ) f( x) dx E E E f E ( ) ( ) E f( E) f( x) dx E 0 Por comprção, sgum ) b). Um outro modo d rsolvr o problm é fzdo mudç d vriávl x E u, dx E u l E du, itgrl: f ( x) dx l E Eu f ( Eu ) du,, m sguid, plicr o critério d itgrl o Exrcício 0 dst sção. 5. ) f( ) covrgt f( x) dxé covrgt (critério d itgrl Exrcício ). Fçmos x E y. Tmos dx l E E y dy. Etão, f( x) dx covrgt E y f( Ey ) dy covrgt 0 E f( E) 0 covrgt. b) f( ) divrgt f( x) dxdivrgt E y f ( E y) divrgt 0 E f( E ) divrgt. 0 8
6. ) 0 rzão. f ( )...... qu é um séri gométric d Logo, f ( ) é covrgt pr s ; é divrgt pr. 0 b) Utilizdo o critério d Cuchy-Frmt (): f ( ) é covrgt pr Þ f( ) ( E ) é covrgt 0 pr. f ( ) é divrgt pr Þ 0 7. ) Sj f( ). (l ) Etão, é divrgt pr. f( ) (l ) qu é séri hrmôic d ordm : covrgt pr divrgt pr. Etão, f( ) b) Sj f( ) l [l(l )] f( ) (Exrcício 7). é covrgt pr divrgt pr. (l ) l [l(l )] covrgt pr divrgt pr (l ) 9
Portto, l [l(l )] é covrgt pr divrgt pr. c) Sj f( ). l l(l ) [l l(l )] f( ) (Exrcício 7b). Portto, l l(l )[l l(l )] é covrgt pr divrgt pr l [l l ] é covrgt pr divrgt pr. d) Sj f( ). (l ) f ( ) (l ) é divrgt. Logo, (l ) é divrgt. ) Sj f( ). Aplicdo o critério d Cuchy-Frmt dus vzs, chg- l [l l ] s Exrcícios. qu é divrgt (Exrcício 7d).. b) Sjm ( ) c. A séri, usd como comprção, é 0 covrgt (séri gométric d rzão ). Como lim lim 0, ( ) mbs s séris Æ c Æ são covrgts (plo critério do limit). 0 0 40
d) Sjm ( ) c /. A séri gométric d rzão / ). Tmos / é covrgt (séri 0 lim lim. Æ c / Æ 0 Plo critério do limit, séri ( ) é covrgt. 0 f) cos. A séri 0 é divrgt. Plo critério d comprção, s é divrgt, tão cos é divrgt. 0 0 h) Sjm c. lim lim 0. l Æ c Æ l Plo critério do limit, como séri d comprção é hrmôic covrgt cocluímos qu séri é covrgt. l, j) Sjm c. lim lim 0. c Æ Plo critério do limit, mbs divrgts. são l) Tmos cos s Ê s Ë cos x x ˆ. 4
Como lim Ê cos lim Æ Ë ˆ s Æ s / lim s 0, séri tm chc d sr Æ / covrgt. Tomdo como séri d comprção hrmôic covrgt Ê cos ˆ c. Ë lim Æ c lim Æ Ê s Ë ˆ s s lim. Æ Plo critério do limit, cocluímos covrgêci d séri dd. m) Sjm l Ê ˆ c. Ë lim lim l l lim l c Ê Æ Æ Ë ˆ Ê ˆ Æ Ë 0. Plo critério do limit, como séri d comprção foi hrmôic covrgt, cocluímos qu séri l Ê ˆ é covrgt. Ë, sgu. A séri / é covrgt pois é um séri gométric d rzão /. 0 Fçmos c / ( 0). Tmos lim lim 0 (por L Hospitl). Plo critério do limit, séri dd é Æ c / Æ covrgt. 5. ) Sj lim,. Æ (l ) 0 Fçmos l u. Logo, u. S Æ, uæ u lim lim (utilizdo L Hospitl). Æ (l ) uæ u 4
b) Sjm c ( 0). Tmos (l ) lim lim. Æ c Æ (l ) Plo critério do limit, visto qu séri d comprção é hrmôic divrgt, cocluímos qu séri 5 6. ) Sjm (l ) (l ) é divrgt. c. (l ) A séri é divrgt (Exrcício 5b) (l ) lim lim 5 lim Ê 5 ˆ. Æ c Æ Æ Ë Plo critério do limit, cocluímos qu séri 4 5 é divrgt. (l ) c) Pr 4,!. Por comprção, 4 é covrgt, pois! é 4 0 4 um séri gométric covrgt. d) A séri é covrgt (Exmplo d Sção.: critério d itgrl). (l ) 0 Obsrv qu s tomássmos como séri d comprção hrmôic covrgt, trímos lim lim. Æ c Æ (l ) 0 Portto, o critério do limit ão os dri iformção lgum sobr covrgêci ou divrgêci d séri dd. ) Plo critério d Cuchy-Frmt, o comportmto d séri (l é o msmo ) ( ) qu o d. Etão, pr 0 ou séri srá 0 covrgt; pr 0 ou 0 0 séri srá divrgt.
5 f) Sjm c. (l ) (l ) A séri é covrgt (Exrcício 6) (l ) 5 lim lim 0. Æ c Æ Plo critério do limit, séri (l ) 5 é covrgt. (l ) g) Sjm c. (l ) A séri é covrgt (Exrcício 6) (l ) lim lim (l ) (l ) lim (l ) c Æ Æ 5 Æ 0 (Exrcício 5). Portto, plo critério do limit, séri 7. b) Tmos s x x, pr 0 x. Dí, s,. (l ) é covrgt. Plo critério d comprção, tdo m vist qu qu Ê ˆ s Ë Á é covrgt. é covrgt, sgu 9. Sj s l (l( ) l ) l l l l 4 l... l ( ) l l ( ) 44
Tmos: l lim l lim l ( ). Æ Æ. ) Tmos l l. Utilizdo o Exrcício 0, l. b) Tmos l l l l... l l Portto, l... ( )( )... ( )! lim Æ ( )( )... ( ) ( )( )... ( ) l...! l. Por ), lim l ( )( )... ( ) Æ 0.! Ou sj, lim ( ) ( )... ( ) 0. Æ! c) Tmos qu ( )( )... ( ) ( )( )... ( ) ( )! 444444! 444444 pr todo. 45
A séri ( ) é ltrd. Tmos,, logo, é dcrsct. Como sqüêci é dcrsct lim 0 ( b), sgu qu séri Æ ( )( )... ( ) é covrgt. Exrcícios.4!. b) lim lim ( )! Æ Æ ( )! lim ( ) Æ ( ) Ê ˆ Ë lim Æ Ê ˆ Ë Plo critério d rzão séri! é covrgt. c) lim lim ( ) lim Ê ˆ. Æ Æ Æ Ë Plo critério d rzão, s 0 séri é covrgt. S séri é divrgt. Pr, tmos séri, qu é divrgt. d) D divrgt. [ ], rsult [ ], logo, séri é. S 0, tão 0. Aplicdo o critério d rzão:!! lim lim lim. Æ Æ ( )! Æ ( 0 ) 46
Portto, séri é covrgt. Logo, lim 0.! Æ! 0 x x. b) lim lim lim x. Plo critério d rzão, pr Æ Æ ( ) x Æ Ê ˆ Ë 0 x séri é covrgt, pr x, divrgt. S x, tmos séri hrmôic covrgt. Portto, 0 x. x x d) lim lim. Æ Æ x Plo critério d rzão, séri é covrgt pr 0 x divrgt pr x. Pr x trmos,, logo, pr st vlor d x séri srá, tmbém, divrgt. Logo, séri srá covrgt pr 0 x. x 5... ( ) f) lim lim Æ Æ... ( )( ) x 5 x lim 0. Logo, séri é covrgt pr todo x 0. Æ 4. Tmos l l x l pr x. Dí l l xdx l ; l l x l pr x. Dí, l l xdxl. E ssim por dit: l ( ) l x l pr x Dí, l ( ) l x dxl. Etão, l l... l ( ) l x dx l... l l l... l. x dx x dx l... ( ) l x dxl... l ( )! l x dxl! 47
Tmos l xdx[ xl xx] l l. D, rsult l ( )! l l! Sgu qu: ( )!!. 6. lim lim ( )! x ( ) lim x Æ Æ ( ) x! Æ ( ) Ê ˆ Ë x Etão, lim (x 0) Æ Plo critério d rzão, séri é covrgt s x, ou sj, 0 x, divrgt s x. Pr x, séri é divrgt (Exrcício 5). Logo, séri srá covrgt pr 0 x. Sdo 0,, 0t t, pr todo, rsult t, pr todo. Assim, t, t t, 4 t t d modo grl t, pr todo. Como 0 t, séri gométric t é 0 covrgt, dí, plo critério d comprção, srá tmbém covrgt. 8. ) Tmos Ï, s é pr Ì b, s é ímpr Ó Logo, ão xist lim. Æ b) A séri é tl qu 0 pr todo, pois 0 b. Por, ou b. Plo Exrcício 7, séri dd é covrgt. 48
c) Ï 4 44... b 4b b 44... bs Ô ftors ftors Ì Ô 4 44... b 4b b 44... bs Ó ftors ftors Sgu qu Ï Ô Ì Ô Ó b, s b ( 4) s b Olhdo pr xprssão d rsult, pr, b. Dí, pr, 0 b. A covrgêci d séri sgu por comprção com séri gométric covrgt b. 0 d) À msm coclusão chg-s olhdo pr xprssão d Æ : lim b. Como b, plo critério d riz, séri é covrgt. ) Est xmplo os mostr qu lim pod xistir sm qu xist o limit Æ lim. Æ Exrcícios.5. ( ) ( )! lim lim Ê ˆ. Æ Æ Ë! Ê ˆ. Ë Logo, o critério d rzão d rvl. Utilizdo o critério d Rb, Ê ˆ Ê lim Á lim Ê ˆ ˆ ( ) Æ Ë Á Æ Ë Ë 0 lim Æ Ê Ê ˆ ˆ Á Ë Ë Ê 0 ˆ Ë 0 49
Usdo rgr d L Hospitl (dus vzs) tmos qu o limit cim é / (vj Exrcício (s) d Sção. o Cpítulo ). Plo critério d Rb, séri é divrgt.. 5... ( )( ) 4 6.... 4 6... ( ) 5... ( ) O critério d rzão d rvl. È lim Í lim lim. Æ Î ù È ù ú Í û Æ Î ú û Æ Plo critério d Rb, séri é divrgt.. ( )( )...( )( )! ( ) ( ) ( )( )... ( ) ( )! ( ) Plo critério d Rb, È ( ) lim Í ù lim ( ). Æ Î ú Ê û Æ Ë Á ˆ Como 0, tmos ( ) séri dd é covrgt. 4. Plo Exrcício, é covrgt. Portto, lim 0 (codição cssári Æ pr covrgêci). ( )( )... ( ) Dí, lim 0. Æ! 5. Voltdo o Exrcício c (Exrcícios.), obsrvmos qu ( )( )... ( ) ( )( )...( ) ( ).! 44444! 44444 A séri ( ) é ltrd. Como sqüêci é dcrsct (Exrcício b (Exrcícios.)) lim 0, Æ sgu qu séri ( )( )... ( ) é um séri ltrd! covrgt. 50
( )( )... ( )( )! 6. ( )! ( )( )... ( ) Como lim, o critério d rzão ão dcid. Æ Utilizmos tão o critério d Rb. Ê lim Á lim ( ) lim ( ). Æ Ë ˆ Ê ˆ Á Æ Ë Æ S, ou sj, 0 séri é covrgt. S, ou sj, 0 séri é divrgt. 7. Sj um sqüêci d trmos stritmt positivos tl qu Ê ˆ lim Á L, L0. Æ Ë Ê ˆ Á L L Ë D sgu lim. Æ Vmos plicr o critério d Rb à séri 0 ( x m ) ( x)( x x... x ), rsult m. Lmbrdo qu È m m Ê ˆ ù È ùè Ê ˆ Ê ˆ ù lim Í Á ú lim... Æ Ë Í Æ úí Á Á ú Î Í û ú Î û Ë Ë 444 Î Í û ú L 4444444444444444 m È Ê ˆ ù Portto, xist um turl m ( L 0) tl qu lim Í Á ú. L Æ Ë Î Í û ú Plo critério d Rb, séri m é covrgt. Cosqütmt, lim 0 (codição cssári pr covrgêci). Sgu qu lim 0. Æ m m 0 Æ 5
8. Sj, 0, um sqüêci d trmos stritmt positivos tl qu Ê ˆ lim Á L, L0. Æ Ë Sgu d hipóts qu xist 0 tl qu pr todo 0,. Etão, pr 0,. Logo, lim ão pod sr zro. Æ Ê 9. ) lim Á lim ( ) Æ Ë ˆ Ê ˆ Á Æ Ë Utilizdo o Exrcício 7, Exrcícios.5. S ( ) 0, ou sj,, tão lim 0. Æ Utilizdo o Exrcício 8, Exrcícios.5, s 0, portto,, tão lim π 0. Æ 0. Qurmos studr séri ltrd ( ), od 5... ( ), 0 4... ddo. Vmos prcisr clculr o limit d bm como studr tl sqüêci com rlção crscimto ou dcrscimto. Pr isso, vmos pdir jud o critério d Rb. Tmos x ( ). ( )( ) Sgu qu È ù ( x) Í Î ú û x Aplicdo L Hospitl, obtmos x È ù ( x) lim Í lim Æ Î ú û xæ0 x lim xæ0 6 ( x) ( x)( )( x). 4 ( x), od x. È ù Pr, lim 0, log lim 0 Í Æ ú o π (Exrcício 8 d Sção.5), Î û Æ portto, séri é divrgt. 5
È ù Pr, lim 0 Í Æ Î ú, portto, lim 0 (Exrcício 7, Sção.5). û Æ Plo fto d st limit sr stritmt positivo, xistirá um 0, tl qu, pr 0,. Etão, pr 0, sqüêci srá dcrsct. Logo, pr, séri ltrd dd srá covrgt. Pr, lim (Exrcício d Sção.), logo, séri é divrgt. Æ. Olhdo pr solução do Exrcício 0 tmos: pr, séri srá covrgt; pr, srá divrgt; pr, prcismos do critério d D Morg, qu srá trtdo próxim sção..6 È f Ê ˆ ù m È Ê ˆ ù Ê ˆ Í Ë m ú. l Í Á ú l Á ml mí, Ë m ú od Î û Ë Í ú ÎÍ ûú m f ( ). Fzdo gm ( ) f Ê ˆ, Ë m rsult È Ê ˆ ù gm ( ) m lim l Í Á ú lim ml m lim 0 Æ Î Ë û mæ mæ m 44 0 44 444 0 444 0 L pois lim ml m 0. Plo critério d D Morg, séri srá divrgt. mæ0. (Critério d Guss) Ê c b c b ˆ ( ) ( )... ( c b ) Á. Ë c c... c Como È Ê ˆ ù lim ÍÁ ú cb, dsd qu c ÆÎ Ë b 0, û 5
lim l Æ sgu È Ê ˆ ù c b lim l Ï s Í Á ú 0 Ì Æ Ë c b. Î û Ó s 0 Por outro ldo, s c b 0, plo fto d lim l 0, trmos, tmbém, Æ È Ê ˆ ù lim l Í Á ú 0. ( Vrifiqu. ) Æ Î Ë û Plo critério d D Morg, séri srá covrgt s c b divrgt s c b. 54