999 Comtatonal Methods n Engneerng'99 Eds.: P. M. Pmenta; R. M. L. R. F. Brasl; E. S. Almeda N. SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL SOBRE UMA GEOMETRIA AUTOMOBILÍSTICA Rafael A. da Slera*, Alaro L. De Bortol** *Unersdade Federal de Santa Catarna Crso de Pós-Gradação em Engenhara Mecânca Caa Postal: 476 - SC - CEP: 88.4-9 - Floranóols E-mal: slera@snmec.fsc.br **Unersdade Federal do Ro Grande do Sl Deartamento de Matemátca Pra e Alcada A. Bento Gonçales, 95, 95-9 Porto Alegre RS. E-mal: dbortol@mat.frgs.br Palaras chae: Dnâmca dos fldos comtaconal, Aerodnâmca, Dferenças fntas Resmo. O resente trabalho consste na solção das eqações de Eler ara o escoamento ncomressíel bdmensonal sobre m atomóel. Estas consstem de das eqações ara a qantdade de momento, de onde obtemos as comonentes da elocdade e se adcona ma eqação do to Posson ara a ressão qe resera a contndade. O método emregado ara obter o sstema de eqações aromadas é o de dferenças fntas, or ser smles, mas efcaz ara roblemas desta natreza. Como as eqações são transformadas do sstema Cartesano ara m sstema de coordenadas generalzadas, a mlementação do método torna-se mas trabalhosa, á qe estas eqações, no noo sstema, são mas etensas. Os resltados obtdos ara o escoamento ncomressíel são encoraadores, á qe os camos de ressão e elocdades estão de acordo com o fenômeno físco e com os dados encontrados na lteratra. Qanto à taa de conergênca, esta fo adeqada, rncalmente orqe a eqação ara a ressão tlzada oss característcas qe fazem com qe o erro dmna radamente.
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol INTRODUÇÃO A smlação nmérca de roblemas de escoamento é ma técnca mto mortante no desenolmento atal das geometras atomoblístcas. Os testes realzados em túnes de ento são geralmente caros em comaração com testes comtaconas. A cração de comtadores mas otentes e a elaboração e estdo de métodos nmércos cada ez mas efcazes, estão ermtndo qe seam obtdos resltados cada ez mas confáes dmnndo a necessdade de eerêncas em laboratóro, reserando-as ara a análse de noos e comleos fenômenos. O método de dferenças fntas é mto tlzado or ser m método relatamente smles, mas de grande efcáca ara resoler roblemas desta natreza. Este consste na transformação das eqações dferencas em eqações aromadas, a eansões em séres de Talor qe odem ser resoldas nmercamente nm comtador, fornecendo m connto de dados qe ermtem ma análse geral do roblema. O resente trabalho consste na solção das eqações de Eler, sando a smlação do escoamento do ar sobre m atomóel. Se consderarmos qe a elocdade é tal qe a massa esecfca não ara sgnfcatamente, temos o escoamento qase ncomressíel e as eqações smlfcam m oco mas. A artr destas, ncamos este trabalho, rocrando semre ma nterretação físca e aançando gradatamente ara stações mas comleas. O rmero asso fo escolher a geometra a ser estdada. Uma malha com o erfl aromado de m atomóel Pma fo confecconada em das dmensões artndo de ontos conhecdos no contorno e constrndo m semcírclo afastada sfcentemente deste erfl formando o domíno da solção. Procro-se tornar a malha mas refnada nas regões onde ocorrem as maores arações de ressão, elocdade, etc., qe são aqelas rómas ao coro. Os ontos do domíno são calclados atraés da solção nmérca de m sstema de eqações dferencas arcas elítcas Posson em coordenadas generalzadas concdentes com a frontera e aromando estas em dferenças fntas. Resltados nmércos são aresentados ara elocdades de m/s. EQUAÇÕES GOVERANANTES As eqações goernantes da dnâmca dos fldos são as eqações de Naer-Stokes, qe odem ser escrtas na forma conserata como: ρ ρ ρ t ρ ρ ρ t µ µ 54.
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol onde µ reresenta a scosdade do fldo, ρ a massa esecífca, '' e '' as comonentes do etor elocdade nas dreções e, resectamente, e a ressão no fldo. Adcona-se a estas eqações a da conseração da massa qe ode ser escrta na forma: ρ ρ ρ t Desrezando os efetos da scosdade e a aração da massa esecífca, obtém-se eqações de Eler ara escoamento ncomressíel t ρ t ρ qe qando agradas conenentemente com a eqação de contndade 3 4 5 resltam na eqação ara a ressão 3,4 6 onde: [ ] Dt 7 D 8 3 PROCEDIMENTOS DE SOLUÇÃO Como não este solção analítca ara as eqações de Eler e ara as geometras de nteresse, as eqações goernantes do escoamento são resoldas sobre o domíno tlzando o mesmo sstema de coordenadas e a mesma dscretzação tlzados ara confecconar a malha. Todos os dados são armazenados em matrzes e odem ser salzados com ada de softwares esecífcos 5. Para sso, ma malha é confecconada, tlzando m sstema de coordenadas generalzadas concdentes com a frontera. Dedo a este fato, as eqações escrtas no sstema Cartesano deem ser transformadas ara este noo sstema, resltando em eressões normalmente mas comleas. Qando se faz ma transformação de sstema de coordenadas 6, tem-se qe relaconar as meddas de comrmento e área. Esta relação é feta atraés do cálclo das métrcas er fgra 3.. No caso em estdo, transforma-se m sstema não ortogonal, ara m sstema lano comtaconal ortogonal,. 54.3
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol Fg. 3.: Métrcas da transformação de coordenadas As métrcas são calcladas conforme / J - / J - / J / J 9 onde J é o nerso do Jacobano da transformação de coordenadas qe é dado or J. Assm, J. As coordenadas dos ontos da malha são armazenadas em matrzes, e, com arando de até n e desde até n, resltando nm total de n- n- ontos ara a malha. Na fgra 3. odemos notar o qe ocorre qando se refna a malha. As lnhas mas rómas ao coro são atraídas ara nto deste atraés da solção de m sstema de eqações elítcas do to Posson. Esta atração dee ser feta de modo a tornar a malha mas refnada nesta regão, dedo às grandes arações das roredades do fldo. Fg. 3.: Malha ara o atomóel, 599 ontos. 54.4
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol O refno da malha também torna o erfl do atomóel mas arorado e rómo da realdade, o qe ode ser erfcado na fgra 3.3. Fg. 3.3: Amlfcação do erfl do atomóel. Utlzando as matrzes das coordenadas dos ontos, conforme fgra 3.4, ode-se dscretzar as eqações sando m esqema adeqado. O método escolhdo ara este trabalho fo o de Dferenças Fntas Centras, qe consste em eandr as deradas em séres de Talor e consderar somente os termos de rmera e segnda ordem. Fg. 3.4: Plano comtaconal As eqações de Eler, transformadas ara o noo sstema de coordenadas, tornam-se: Qantdade de momento ara e : Pressão: t ρ t ρ 54.5
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol 54.6 [ ρ γ β α onde α ; β ; γ ; A aromação em dferenças fntas fornecem ara aas: Velocdades: [ t δ ρ,,,,,,,,,,,,,, 3 α ρ,,,, t,,,,,,,,, 4 Pressão Eq. 5: ] [,,,,,,,,, γ α β γ α [,,,,,,, αγ ρ 4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ],,, ] [,,,,,,,, t 4 αγ ρ onde δ, qe aarece mltlcando o asso temoral, corresonde aos coefcentes do método de Rnge-Ktta.
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol 4 CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAIS As condções ncas tlzadas em todos os ontos do domíno, eceto nas fronteras, foram as segntes:,,,95., n n n. e as condções de contorno foram assm defndas ara a: 6 Pressão:,,75.3,,5.4, n,,75.n,,5.n,,,75.,3,5.,4 7, n n Velocdade:, V,.,, ;, 8 [,] [,], V,., [,] [,] onde: V,,.,,., 9 G é a comonente contraarante do etor elocdade V normal à serfíce do atomóel. Esta faz com qe os etores tangencem o atomóel; o sea, qeremos qe o fldo contorne o coro, mdando aenas a sa magntde e nnca tendo otra dreção qe não sea a tangente à lnha da serfíce bem rómo desta. As otras condções 4 são dadas da segnte forma:, n, n n n,,75.3,,5.4, n,,75.n,,5.n, n, n, n 54.7
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol 5 RESULTADOS NUMÉRICOS No qe sege, aresentam-se os resltados obtdos atraés da solção das eqações de Eler, mostrando o camo de ressão e o de elocdades, nclse com a catação de órtces de grande magntde. A solção fo obtda com aromadamente. terações e o erro de aromação fo da ordem de -6 ara a ressão com m asso de temo de -5. O esqema de Rnge-Ktta tlzado ara o aanço no temo fo o de 3 estágos, com coefcentes.5,.5, e, resectamente. Este escoamento fo calclado ara elocdade da corrente lre de m/s Mach.3 sob a ação da ressão atmosférca 5 N / m atm. Os resltados obtdos atraés da solção das eqações de Eler são satsfatóros, o sea, coerentes com as hóteses fetas acerca do fenômeno real. A fgra 5. aresenta m maa de cores do camo de ressões sobre o atomóel. Pode-se notar qe, como o escoamento é ncomressíel; a aração na ressão é eqena em todo o domíno. Fg.5.: Camo de ressão nto à serfíce do atomóel, m/s Na fgra 5. ode-se erceber qe as zonas de maor aração de ressão ocorrem nto à serfíce; sto ocorre dedo à grande aração na elocdade do escoamento nessas regões. Como as eqações são acoladas e conforme o teorema de Bernoll, arações na elocdade mlcam em arações na ressão de modo nerso, o sea, altas baas elocdades mlcam em ma zona de ressão baa alta 7. A fgra 5. mostra as solnhas de ressão rómas ao coro. Nestas, os alores da ressão são os mesmos ara todos os ontos. Pode-se notar qe as lnhas se dstrbem em 3 regões: ma na frente do atomóel, ma acma deste e otra atrás do coro, mostrando qe essa dferença de ressão se roaga como ma onda a artr de tas locas na serfíce. As osclações qe srgem deem-se ao emrego das eqações de Eler e a malha tlzada ser anda grossa. A ntrodção dos termos de scosdade natral o artfcal 8 tornara as socras de ressão mas sae. 54.8
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol Fg. 5.: Lnhas de ressão, m/s Na fgra 4.3 temos o camo de elocdades nto ao eíclo. Nela odemos obserar qe as regões de elocdade mas alta baa concdem com as regões de ressão mas baa alta, donde conclímos qe esta smlação está de acordo com o fenômeno real. Fg. 5.3: Camo de elocdades sobre o atomóel, V m/s. A fgra 4.3 mostra anda a formação de zonas de crclação qe ocorrem na arte trasera do atomóel. Isto dee-se ao fato de qe as artíclas tendem a ocar o esaço azo áco qe se forma nesta regão. Portanto, algmas retornam, sobem e encontram a corrente lre do escoamento, reetndo este rocesso qe dá orgem aos órtces. Uma estera de maor tamanho sera obserada qando da ntrodção dos termos scosos eqações de Naer-Stokes ao nés de Eler. 54.9
Rafael A. da Slera e Alaro L. De Bortol 6 CONCLUSÕES Vsando contrbr ara m melhor entendmento e aanço das técncas em dnâmca dos fldos comtaconal é qe este trabalho está sendo desenoldo, anda qe nm estágo ntermedáro, mas com grandes ersectas ara o ftro. Os resltados á obtdos são qaltatamente coerentes, rncalmente consderando qe as malhas anda são oco refnadas. Com o camo de ressões obtdo atraés da solção das eqações de Eler, ode-se determnar a força qe o fldo eerce sobre o coro, assm como a nteração entre a ressão e a elocdade obserada atraés do camo de elocdades obtdo. Como rómos assos ara o trabalho tem-se qe resoler as eqações de Eler ara m escoamento comressíel elocdades mas altas mlcam em aração na massa esecfca do fldo, resoler as eqações de Naer-Stokes ara o escoamento, a fm de obter ma smlação bdmensonal mas comleta, e anda estender esta ara três dmensões, assm como aerfeçoar a malha a fm de termos a smlação mas realístca. A onão dos atores é de qe os resltados obtdos são encoraadores. No entanto, mto trabalho anda dee ser feto no sentdo de obter solções mas comleas do escoamento sobre geometras atomoblístcas. BIBLIOGRAFIA [] ANDERSON, D. A., TANNEHIL, J. C., PLETCHER, R. H., Comtaconal Fld Mechancs and Heat Transfer, McGraw-Hll, New York, 984. [] MALISKA, C. R., Transferênca de Calor e Mecânca dos Fldos Comtaconal, Edtora Lro Técnco e Centífco LTC, 995. [3] GRESHO, P. M., SANI, R. L., On Pressre Bondar Condtons for Incomressble Naer-Stokes Eqatons, Jornal of Nmercal Methods n Flds, Vol. 7, - 45, 987. [4] HIRSCH, C., Nmercal Comtatonal of Internal and Eternal Flows, John Wle & Sons, England, Vol., 99. [5] JUSTO, D.AR., Vsal. for Wndows 95, UFRGS, 998. [6] MARCHI, C. H., MALISKA, C. R., Dedção de Eqações ara Dscretzação de Domínos Trdmensonas Arbtráros em Coordenadas Generalzadas, Relatóro Interno, EMC / CTC / UFSC, Floranóols, 988. [7] DEGREZ, G., ANDERSON, J. D., GRUNDMANN, R., DICK, E., Introdcton to Comtatonal Fld Dnamcs, VKI Lectres, 99. [8] HUGUES, W.F., Dnâmca de Fldos, McGraw-Hll do Brasl, 974. 54.