Séries de Potências + Séries de potências são muito semelhantes aos polinômios e podem ser tratadas como funções polinomiais. + Estas, por sua vez, são de grande importância para a representação de funções mais complexas, por sua simplicidade algébrica, analítica e gráfica.
Séries de Potências Definição: A série da forma C n (x a) n = C o + C 1 (x a) 1 +C 2 (x a) 2 + C 3 (x a) 3 + n=0 é uma série de potências centrada em a (ou ainda ao redor de a). Em que x é uma variável e c n s são constantes chamadas coeficientes da série.
Séries de Potências Definição: E a série da forma: C n x n = C o + C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3 + + c n x n + n=0 é uma série de potências centrada em a = 0.
Séries de Potências + Série Geométrica Tomemos c n = 1 n=0 x n = 1 + x + x 2 + x 3 + + Converge quando x < 1. Neste caso, 1 1 x = 1 + x + x2 + x 3 + a = 1 e r = x < 1 + Diverge r = x 1.
Séries de Potências + Exemplo Para quais valores de x a série abaixo converge? n=1 x 3 n n
Convergência e Divergência de Séries de Potências Para uma série de potências possibilidades de convergência. C n (x a) n, existem apenas três i) A série converge apenas quando x = a. I = a e R = 0 ii) A série converge para x. I = (, ) e R = iii) Existe um número positivo R tal que a série converge para x a < R e diverge se x a > R. Existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência: (a- R, a+ R) (a- R, a+ R] [a- R, a+ R) [a- R, a+ R]
Convergência e Divergência de Séries de Potências R: Raio de Convergência e I: Intervalo de Convergência
Convergência e Divergência de Séries de Potências + Exemplo: n=0 n xn ( 1) n 3 n = 0 1 3 x + 2 3 2 x2 3 3 3 x3 + Para x = a = 0 a série converge 0. Para x 0 a série converge no intervalo I = ( 3,3).
Convergência e Divergência de Séries de Potências 1. n=0 (x 5) 2n = 1 + (x 5)2 + (x 5)4 + (x 5)6 + n! 1! 2! 3! Para x = 5 a série converge para 1. Para x 5 a série converge no intervalo I = (, ). 2. n=0 n! (x + 2) n = 1 + 1! (x + 2) 1 +2! (x + 2) 2 +3! (x + 2) 3 + Para x = 2 a série converge para 1. Para x 2 a série diverge.
Representação de Funções como Séries de Potências Seja I o intervalo de convergência da série de potência n=0 C n (x a) n Esta série define uma função cujo domínio é o intervalo de convergência. f x = C n (x a) n, D f = I n=0
Representação de Funções como Séries de Potências Exemplo: Mostre que a série x n define a função f x = 1 1 x se x < 1.
Representação de Funções como Séries de Potências Exercícios: 1. Expresse 1 1+x 2 como uma série de potência e encontre I. 2. Encontre uma representação em série de potências para o intervalo de convergência. 3. Expresse 2 3 x como uma série de potência e encontre I. 1 x+2 e
Representação de Funções como Séries de Potências Exercícios: 4. Expresse x3 como uma série de potência e encontre I. x+2 5. Encontre uma representação em série de potências para o intervalo de convergência. 6. Encontre uma representação em série de potências para o intervalo de convergência. 3 1 x 4 e x 9+x 2 e
Diferenciação de Séries de Potências Seja n=0 C n (x a) n com raio de convergência R > 0, então a função f definida por: f x = C o + C 1 (x a) 1 +C 2 (x a) 2 + C 3 (x a) 3 + + C n (x a) n é diferenciável e portanto contínua em (a R, a + R) e,
Diferenciação de Séries de Potências f x = 0 + C 1 + 2C 2 (x a) + 3C 3 (x a) 2 + + nc n (x a) n 1 raio de Convergência R. f x = n C n (x a) n 1 n=1
Integração de Séries de Potências f x = C o + C 1 (x a) 1 +C 2 (x a) 2 + C 3 (x a) 3 + + C n (x a) n f x dx = C o (x a) + C 1(x a) 2 raio de Convergência R. 2 f x dx = C + n=0 + C 2(x a) 3 3 C n (x a) n+1 n + 1 + C n(x a) n+1 n + 1 +C
+ Observação: Os raios de convergência das séries de potências diferenciadas ou integradas permanecem o mesmo, mas isto não significa que o Intervalo de convergência permaneça o mesmo
Alguns Exemplos: 1. Expresse 1 1 x 2 como uma série de potência. 2. Encontre uma representação em série de potência para ln(1 x) e seu raio de convergência. 3. Encontre uma representação em série de potência e o raio de convergência para: a) f x = x2 1 2x 2 b) f x = tg 1 x
Séries de Taylor e Maclaurin Seja f uma função que pode ser representada por uma série de potência. f(x) = C o + C 1 x a 1 + C 2 (x a) 2 + C 3 (x a) 3 + + C n x a n f x = C n (x a) n, x a < R n=0
Séries de Taylor e Maclaurin f x f x f x = C 1 + 2C 2 (x a) + 3C 3 (x a) 2 + + nc n x a n 1 + = 2C 2 + 2 3C 3 (x a) 1 + + n(n 1)C n x a n 2 + = 2 3C 3 + + n(n 1)(n 2)C n (x a) n 3 + Fazendo x = a C o = f(a), C 1 = f (a), C 2 = f a, C 2 3= f a, C 3 2 4= f(4) a 4 3 2
Assim, Séries de Taylor e Maclaurin f(x) = C o + C 1 x a 1 + C 2 (x a) 2 + C 3 (x a) 3 + + C n x a n = = f a 0! + f a 1! x a + f a 2! (x a) 2 + f a 3! (x a) 3 + + f n a n! x n = = f n n! a n=0 (x a) n, x a < R (Série de Taylor)
Séries de Taylor e Maclaurin Se a = 0 f x = f 0 0! + f 0 1! x + f 0 2! x 2 + f 0 3! x 3 + + f n 0 n! x n = = f n 0 n=0 (Série de Maclaurin) n! x n
Séries de Taylor e Maclaurin + Exemplo 1: Encontre a série de Maclaurin para a função f x validade do desenvolvimento. = e x e avalie a e x = n=0 x n n! = 1 + x1 1! + x2 2! + x3 3! + + xn n!, x
Séries de Taylor e Maclaurin
Séries de Taylor e Maclaurin Para x = 1 e = n=0 1 n n! = 1 + 11 1! + 12 2! + 13 3! + + 1n n!
Séries de Taylor e Maclaurin + Exemplo 2: Encontre a série de Maclaurin para a função f x = sen x x2n+1 n sen x = ( 1) (2n + 1)! n=0
Séries de Taylor e Maclaurin
Séries de Taylor e Maclaurin Encontre a série de Maclaurin para a função f x exercício anterior. d(sen x) cos x = = d x3 x dx dx 3! + x5 5! x7 7! +.. cos x = 1 3x2 3! + 5x4 5! 7x6 7! cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + cos x = n=0 + x2n ( 1) n (2n)!, x = cos x. Utilize o
Séries de Taylor e Maclaurin Uma razão para a importância das séries de Taylor é que elas nos permitem integrar funções que não poderíamos manejar anteriormente, como por exemplo f x = e x2. + Avalie e x2 dx como uma série infinita.
Séries de Taylor e Maclaurin Outro uso da Série de Taylor podemos verificar no próximo exemplo. e + Avalie lim x 1 x x 0 x 2