Probabilidade A probabilidade estuda o risco e a ocorrência de eventos futuros determinando se existe condição de acontecimento ou não. O olhar da probabilidade iniciou-se em jogos de azar (dados, moedas, cartas, roleta, loteria esportiva, etc), onde o foco principal era determinar as melhores estratégias da jogada, determinar as incertezas. A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento. Na realidade, a probabilidade tenta controlar o acaso. Há pouco mais de 500 anos, os estudos matemáticos foram inseridos para compreender os jogos de azar e os riscos dos seguros, nascendo assim a TEORIA DAS PROBABILIDADES. Os primeiros estudiosos foram Tartaglia e Cardano (matemáticos poucos escrupulosos da Renascência), só que seus estudos eram associados demais a jogos para os matemáticos e matemáticos demais para os jogadores, então forma esquecidos. Cardano chegou a introduzir técnicas de análises combinatórias. Galileo também chegou a fazer alguns ensaios. O início dos estudos de Probabilidade como nós vimos hoje, aconteceu por volta do inicio do sec. XVII, Pascal e Fermat, durante uma viagem se deparam com a seguinte dúvida: como dividir os lucros de um jogo que precisa ser interrompido? A resposta e os questionamentos duraram 2 anos para serem concluídas e foram a partir destas formulações que hoje utilizamos a probabilidade no nosso dia a dia empresarial: primeiro na área de seguros e depois aplicados em quase tudo da nossa vida. A probabilidade permite a explicação, através de modelos matemáticos, de fenômenos coletivos e fornecem estratégias para a tomada de decisões. A probabilidade representa a relação entre o número de eventos favoráveis ao que se estuda em relação ao número possível de eventos. Traduzindo algebricamente: P(A) = n. de eventos favoráveis de ocorrer A = Eventos n. de eventos possíveis de ocorrer Espaço Amostral
Métodos empregados: Clássico quando o resultado é provável, ocorre em situações bastante comum: dados, moeda, baralho (sabe-se os prováveis resultados e os não prováveis) Exemplo: Probabilidade de extrair a face cara de uma moeda é igual ½. Probabilidade de sair uma carta de paus de um baralho é igual ¼. Empírico depende da freqüência de ocorrer o evento, determinada por uma série de observações práticas. Exemplo: Probabilidade de um habitante de um pequeno vilarejo ser mulher quando se escolhe ao acaso, sabendo que o vilarejo é de 1.000 habitantes, onde 480 são mulheres, é igual a 48%, ou seja, 480/1000. A probabilidade está associada a freqüência relativa dos eventos analisados. Subjetivo - pessoal. a probabilidade é estimada através de uma opinião Exemplo: um político pode estimar que a sua chance de vitória da oposição em uma eleição é de 60%. TERMINOLOGIAS E CONCEITOS Experimento Determinísticos: são aqueles que repetidos sob as mesmas condições iniciais conduzem sempre a um único resultado Experimento Aleatório consiste em um fenômeno caracterizado por múltiplos resultados possíveis, para os quais modelos não determinísticos são apropriados. Exemplos: 1) Joga-se um dado e observa-se o número mostrado na face de cima. 2) Joga-se uma moeda 3 vezes e observa-se o número de caras obtido. 3) Em uma linha de produção, fabricam-se peças em série e conta-se o número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas.
Características comuns: a) Repetição indefinida b) Identificação de possíveis resultados do experimento Espaço Amostral (S) conjunto de resultados totais realizados a partir de uma experiência. Exemplos: S1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} S2 = {0, 1, 2, 3} S3 = {0, 1, 2,..., N} N é o número máximo que pode ser produzido em 24 horas. Eventos - São quaisquer subconjuntos de um espaço amostral do experimento. Exemplos: A1 = {2, 4, 6} = ocorrência de número par. A2 = {2} = ocorrência de 02 caras A3 = {0} = ocorrência de peças perfeitas CONCEITOS MATEMÁTICOS A consideração de mais de um evento em operações com probabilidades pode envolver análises de uniões ou intersecções. Como todo evento é um conjunto, então utilizaremos as operações de conjuntos para os eventos. União: significa que um ou outro evento deve ser considerado, representados por ou e pelo símbolo U. Intersecção: apenas elementos em comum são considerados, representados por e e pelo símbolo.
As operações com probabilidade podem envolver considerações eventos excludentes ou exaustivos. sobre Eventos Mutuamente Excludentes ou Exclusivos: são aqueles que não ocorrem simultaneamente, não existe elemento comum entre si. Isto significa, a ocorrência de um evento impede a ocorrência de outro. Exemplo: comer e respirar, conversar com 2 pessoas ao mesmo tempo. Espaço Amostral A B Se A e B são mutuamente exclusivos, sua intersecção resulta em um conjunto vazio e a probabilidade de ocorrência conjunta dos dois eventos é nula P (A e B) = 0 Eventos Coletivamente Exaustivos: são aqueles que esgotam todas as probabilidades dentro do espaço amostra. A soma das probabilidades dos eventos coletivamente exaustivos é sempre igual a 1 ou 100%. A sua união resulta no próprio espaço amostral. Exemplos de eventos e sua classificação, utilizando um baralho: a) extrair uma carta vermelha e extrair uma carta de ouros de um baralho Não são eventos coletivamente exaustivos, pois as cartas pretas não foram incluídas e não são mutuamente excludentes, pois existe a possibilidade de sair vermelha e ser de ouro ao mesmo tempo. b) extrair uma carta vermelha e extrair uma carta de paus Não são coletivamente exaustivos, pois as cartas de outros naipes não foram incluídas e são excludentes, pois o naipe paus é de cor preta. c) Extrair uma carta vermelha e extrair uma carta preta. São eventos excludentes e coletivamente exaustivos. Podemos representar da seguinte forma: A U B = [ x Є S \ x Є A ou x Є B ] A B = [ x Є S \ x Є A e x Є B ] C A = [ x Є S \ x Є A] (complemento de A)
Exemplo: Lançamento de dados e o espaço amostral deste experimento será: S = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ] Se: A = [ 1, 2, 3 ] B = [ 1, 3, 5 ] C = [ 2, 4, 6 ] Teremos: A U B = [ 1, 2, 3, 5 ] A C = [ 2 ] C A = [ 4, 5, 6 ] C B = [ 2, 4, 6 ] C (A U B) = [ 4, 6 ] PRINCÍPIOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE A função de probabilidade é uma função definida no espaço amostral S do experimento, assumindo valores reais, com as seguintes propriedades: 1. 0 P(A) 1 i = 1, 2,...n Isto significa que quando um elemento não tem possibilidade de ocorrer, dizemos que sua probabilidade é zero, e quando existe a possibilidade dizemos que sua probabilidade é 100% ou 1. 2. P(n) = 1 i= 1,2,...n A soma das probabilidades de ocorrências de todos os elementos do espaço amostral corresponde a 100. 3. A probabilidade de um evento A não ocorra é P(A não ocorrer) = 1 P(A)
EXERCÍCIOS 1 1. Construa o espaço amostral do evento lance de um dado honesto. Em relação ao espaço amostral, calcule: a. Probabilidade de ocorrer face cinco b. Probabilidade de não ocorrer face três. 2. Determine o espaço amostral do evento extração de uma carta de um baralho honesto, Calcule a probabilidade de: a. Extrair uma carta de copas b. Extrair um rei c. Extrair um valete de paus. 3. Em uma pesquisa realizada com 200 alunos da Faculdade Bom Saber, foi obtido o resultado apresentado na tabela seguinte: SEXO CURSO ADM CC PD PSIC HOMENS 45 22 38 29 MULHERES 35 16 12 3 Qual a probabilidade de um aluno desse grupo, escolhido ao acaso, ser: a) Homem e cursar ADM? b) Mulher e cursar PSIC? c) Homem e cursar PD? d) Ser do curso de CC?
4. Em um jogo com um baralho honesto, considere: A = { extrair vermelho} B = { extrair rei } C = { extrair paus } D = { extrair ouros } Calcule a probabilidade de: a) P (A B) b) P (A U B) c) P (A U C) d) P (A U D)
Respostas: 1) {1; 2; 3; 4; 5; 6}; a) 1/6; b) 5/6. 2) Espaço amostral = { Ouros A; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K Copas A; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K Espadas A; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K Paus A; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K} (a) 13/52; (b) 4/52; (c) 1/52 3) (a) P(H e ADM) = 45/200 (b) P(M e PSIC) = 3/200 (c) P(H e PSIC) = 38/200 4) (a) 2/52; (b) 28/52; (c) 39/52; (d) 39/52.
Exercícios 2 (Excludente ou Exaustivo) 1) Identifique se os eventos abaixo podem ser como excludentes ou exaustivos a) Extrair cara e extrair coroa do lance de uma moeda b) Extrair face par e extrair cinco do lance de um dado c) Extrair face par e extrair face 2 do lance de um dado
PRINCIPAIS TEOREMAS Nas operações com probabilidade é necessário conhecer e aplicar dois teoremas fundamentais da álgebra das probabilidades: teorema da soma e teorema do produto. a) Teorema da soma: Operações aditivas de probabilidades, geralmente envolvem a expressão ou e são representadas por U. P(E 1 ou E 2 ) = P(E 1 U E 2 ) Exemplo para eventos excludentes: Qual a probabilidade de extrair 2 (E 1 ) ou de extrair 5 (E 2 ) em um lançamento de dado? Como este evento não existe elemento em comum, ou seja, são excludentes, teremos: Algebricamente teremos: P(E 1 U E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) E 1 = { 2 } E 2 = { 5 } P(E 1 ) = 1/6 P(E 2 ) = 1/6 P(E 1 U E 2 ) = 1 + 1 = 2 6 6 6 Exemplo para eventos não excludentes: Aplicados quando existem elementos em comum, ou seja quando há. Algebricamente teremos: P(E 1 U E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 ) Exemplo: Calcular a probabilidade de extrair uma carta vermelha ou rei de um baralho. E 1 = { extrair rei }
E 2 = { extrair carta vermelha } P(E 1 ) = 4/52 P(E 2 ) = 26/52 P(E 1 E 2 ) = 2/52 (existem 2 reis vermelhos em um baralho) P(E 1 U E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 ) P(E 1 U E 2 ) = 4 + 26 2 = 28 52 52 52 52 b) Teorema do Produto: Aplica-se nas operações multiplicativas de probabilidade, geralmente envolvem a expressão e ou. Este teorema é apresentado de 02 formas distintas, que dependem da classificação dos eventos analisados em dependentes ou independentes. Independente: quando a extração for do tipo com reposição, isto significa que o resultado da segunda extração independe do resultado ocorrido na primeira extração, as probabilidades serão as mesmas. Algebricamente teremos: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) X P(E 2 ) Exemplo: Extração de 01 bola amarela e 01 bola vermelha (nesta ordem) de uma urna com 06 bolas vermelhas e 04 bolas amarelas (se fosse somente com uma bola usaríamos o teorema da soma). E 1 = { extrair bola amarela no 1. sorteio} E 2 = { extrair bola vermelha no 2. sorteio} P(E 1 ) = 4/10 P(E 2 ) = 6/10 P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) X P(E 2 ) = 4 X 6 = 24 10 10 10 Um dado é lançado e uma carta do baralho é retirada ao mesmo tempo. Qual a probabilidade de sair um número ímpar no dado e um valete no baralho? E 1 = { extrair ímpar}
E 2 = { extrair valete} P(E 1 ) = 3/6 ou 1/2 P(E 2 ) = 4/52 P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) X P(E 2 ) = 3 X 4 = 12 6 52 312 Dependente: utilizado quando o resultado do segundo evento estiver necessariamente associado ao resultado do primeiro evento. Algebricamente teremos: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) X P(E 2 E 1 ) P(E 2 /E 1 ) lemos probabilidade de E 2, dado que ocorreu E 1. Exemplo: Consideraremos o mesmo exemplo das bolas, porém não irá acontecer a reposição da primeira bola extraída antes da extração da segunda bola. E 1 = { extrair bola amarela no 1. sorteio} E 2 = { extrair bola vermelha no 2. sorteio} P(E 1 ) = 4/10 P(E 2 ) = 6/9 P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) X P(E 2 E 1 ) = 4 X 6 = 24 10 9 90 Probabilidades Condicionais: o teorema acima requer considerações especiais em situações em que a ocorrência de um evento anterior afeta a a probabilidade de eventos posteriores (sorteios sem reposição). Exemplo: análise do segundo sorteio seqüencial de uma bola de uma urna que contém 06 bolas vermelhas e 04 bolas amarelas dependerá de qual cor de bola foi extraída no primeiro sorteio. Caso uma bola amarela seja extraída no primeiro sorteio, a probabilidade de sair nova bola amarela será igual a 3/9. Caso uma bola vermelha tenha sido extraída no primeiro sorteio, a probabilidade de sair bola amarela é de 4/9. Estas situações são estudadas com o uso do conceito de probabilidade condicional. O conceito de probabilidade condicional deve ser utilizado em
situações em que o universo é restringido por uma condição pré-estabelecida: como, se, caso, dado, etc... O símbolo utilizado é P (A\B) = probabilidade de ocorrer A, uma vez que já tenha ocorrido B. No caso das bolas, a probabilidade condicional que pode ser apresentada P (extrair bola amarela no segundo sorteio \ Foi extraída bola amarela no primeiro sorteio). Nesta situação a probabilidade é 3/9. Exemplo: Em uma fila encontra-se 8 adultos ( 2 do sexo feminino e 6 do sexo masculino) e seis crianças (3 de cada sexo). Pede-se calcular a probabilidade de ser sorteada uma pessoa do sexo masculino. S = 14 pessoas A = { sortear uma pessoa do sexo masculino 9 pessoas (6 adultos e 3 crianças)} P(A) = 9/14 A condicional poderia ser, caso fosse solicitada a probabilidade de uma pessoa do sexo masculina ser escolhida ao acaso, dado esta pessoa ser adulta. O universo reduziu-se para pessoas adultas, como existem oito pessoas adultas, sendo que 6 são do sexo masculino, a probabilidade seria P (masculino \ adulto) = 6/8 Algebricamente, a probabilidade condicional pode ser representada pelas equações: P (A\ B) = P (A B), desde que P (B) > 0 P(B) E P (B \ A) = P (A B), desde que P (A) > 0 P(A) Exemplo: Em uma cidade do Centro-Oeste, a probabilidade de amanhecer fazendo sol em um dia de verão é igual a 30%. A probabilidade de chover pela tarde em um dia de verão é igual a 15%. Pede-
se calcular, em um dia de verão, a probabilidade de chover pela tarde, dado que amanheceu com sol. A = {amanhecer com sol} B = {chover pela tarde} P (B\A) = P (A B) = 0,15 = 0,50 = 50% P(A) 0,30