Professor João Soares 20 de Setembro de 2004

Teoria de Optimização (Mestrado em Matemática) Texto de Apoio 2A Universidade de Coimbra 57 páginas Professor João Soares 20 de Setembro de 2004 Optimização Linear Considere o problema (1) abaixo, que é um exemplo de um problema de programação linear: maximizar 2x 1 +3x 2 2x 1 +x 2 10 x 1 +x 2 6 x 1 +x 2 4 x 1, x 2 0 Este problema consiste em optimizar (isto é, maximizar ou minimizar) uma função linear sujeita a restrições lineares. Requere-se ainda que o número de restrições seja finito, e que cada restrição seja uma equação ou uma inequação (não estrita). Fixemos alguma terminologia. A função a ser optimizada é denominada por função objectivo. As equações e inequações que devem ser satisfeitas formam as restrições. Uma solução admissível (ou ponto admissível) é um ponto que satisfaz todas as restrições. A região admissível é o conjunto de todas as soluções admissíveis. Uma solução óptima de um problema de maximização é uma solução admissível x tal que cx cx, para toda a solução admissível x (reverte-se a desigualdade para problemas de minimização). existir solução óptima, o correspondente valor da função objectivo é denominado por valor óptimo. Dado que o problema (1) possui apenas duas variáveis, podemos representá-lo geometricamente; veja-se a Figura 1. A região admissível é representada pelo pentágono e seu interior. Pretende-se encontrar a linha 2x 1 + 3x 2 = α onde α é o maior possível e de forma que essa linha intersecte a região admissível. Como se pode observar, o valor óptimo é 17 e a solução óptima é (x 1, x 2 ) = (1, 5). (1) Se Um problema diz-se inadmissível se não possui qualquer solução admissível. Não é 1

Figura 1: Representação geométrica do problema (1). difícil verificar que o problema maximizar x 1 + x 2 2x 1 3x 2 3 x 1 + x 2 1 x 1 + 3x 2 1 x 1, x 2 0 (2) é inadmissível. Obviamente, um problema inadmissível não possui solução óptima. O exemplo seguinte ilustra uma outra situação em que um problema também não possui solução óptima: maximizar x 1 + 2x 2 x 1 x 2 2 x 1 + x 2 2 x 1 2x 2 2 x 1, x 2 0 O problema (3) não é inadmissível, porque, por exemplo, (x 1, x 2 ) = (1, 1) é uma solução admissível. Contudo, o ponto (2 + 2α, α) é uma solução admissível para todo escalar α 0 e o correspondente valor na função objectivo é 2 + 4α que tende para + com α. Por isso, existem soluções admissíveis com valores na função objectivo arbitrariamente grandes. Um tal problema de programação linear diz-se ilimitado (para problemas de minimização podemos substituir grande por pequeno na definição). Note-se que se um problema de programação linear é ilimitado então a sua região admissível não é um conjunto limitado. O recíproco não é verdade. 2 (3)

Em geral, consideraremos problemas de programação linear descritos na seguinte forma: n maximizar c j x j j=1 n (4) a ij x j b i (i = 1, 2,..., m) j=1 x j 0 (j = 1, 2,..., n) ou, de forma equivalente, maximizar cx Ax b x 0, onde A = [a ij ] é uma matriz m n, b = [b i ] é um vector coluna com m componentes, c = [c j ] é um vector linha com n componentes, e x = (x 1, x 2,..., x n ). Diremos que tais problemas estão na forma padrão. Não é difícil transformar qualquer problema de programação linear num outro que esteja na forma padrão. Eis algumas questões fundamentais acerca do problema de programação linear (4): O problema é inadmissível? (5) O problema é ilimitado? (6) O problema possui solução óptima? (7) Deduziremos condições necessárias e suficientes para responder a cada uma destas questões. Em particular, mostraremos que cada problema de programação linear possui uma e uma só resposta afirmativa a todas essas questões. Note-se que a resposta a (5) não depende da função objectivo. De facto, é uma questão sobre a solvabilidade de um sistema de inequações lineares. Mostraremos que as outras questões também podem ser reduzidas a uma questão sobre a solvabilidade de um certo sistema de inequações lineares. Exercícios: 1. Mostre como pode reescrever qualquer problema de programação linear num que esteja na forma padrão. Pode necessitar aumentar o número de variáveis e restrições. 3

2. Suponha que existe d R n tal que Ad 0, d 0, cd > 0. Mostre que se (4) possuir pelo menos uma solução admissível então o problema é ilimitado. 3. Suponha que o conjunto F = {x R n : Ax = b, x 0} é não vazio. Prove que, se F é ilimitado então existe d R n tal que Ad = 0, d 0 e d 0. 4. Mostre que para o problema não linear min{e x : x 0} nenhuma das respostas a (5), (6) ou (7) é afirmativa. 5. Suponha que um novo problema é construído a partir de (4) por adição de uma restrição px α. Mostre que, se x for solução óptima do problema original e x ainda for solução admissível para o novo problema então x é solução óptima para o novo problema. 6. Converta o seguinte problema linear à forma max{cx: Ax = b, x 0}: maximizar 2x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 2, x 1 x 2 = 1, x 1 x 3 2, x 1, x 3 0. 7. Converta o seguinte problema linear à forma max{cx: Ax b}: maximizar 3x 1 x 2 + 3x 3 x 1 + 2x 3 = 4, x 1 + x 2 1, x 2 0, 1 x 3 2. 8. Seja t um parâmtro real e considere-se o seguinte problema de programação linear: maximizar 2x 1 + x 2 x 1 x 2 1, x 1 + tx 2 0, x 1, x 2 0. (a). Seja T o conjunto de valores para t que conduzem a um problema com pelo menos uma solução admissível. Use geometria para descobrir T. (b). Forneça uma prova algébrica de que o problema é admissível se t T. (c). Forneça uma prova algébrica de que o problema é inadmissível se t T. (d). Seja S o conjunto de valores para t que conduzem a um problema ilimitado. Use geometria para descobrir S. (e). Forneça uma prova algébrica de que o problema é ilimitado se t S. 4

9. Seja A uma matriz m n, B uma matriz m m invertível, c um vector 1 n, d um vector 1 m e b um vector m 1. Considere o problema linear max s.a (a). Pode este problema ser inadmissível? cx + du Ax + Bu = b x 0. (8) (b). Que condições impostas em A, B, b, c, d garantem que (8) possui solução óptima? e ilimitado? 1 Introdução à Dualidade Suponha que dispõe de uma solução admissível x para o problema de programação linear (4) e que o seu chefe lhe pergunta se x é solução óptima. Suponha que sabe a resposta a essa questão, porque é um adivinho ou porque tem trabalhado há semanas na resolução desse problema. Mas, pretende convencer o seu chefe de que a sua resposta está correcta (e o seu chefe não é adivinho, e tem andado demasiado ocupado para trabalhar nesse problema). Se a sua resposta for negativa, existe uma maneira fácil de verificar a resposta - mostre ao seu chefe uma solução melhor. Se a resposta for afirmativa, seria bom que existisse uma maneira fácil de verificar que toda a solução admissível para (4) possui valor da função objectivo não superior a cx. Isto sugere a ideia de descobrir limites superiores para o valor máximo da função objectivo. Existe uma maneira simples de fazer isso, que vamos ilustrar com o problema (1). Adicione.5 vezes a primeira restrição, 2 vezes a segunda restrição, e.5 vezes a terceira restrição. O resultado é a desigualdade 2.5x 1 + 3x 2 19 que deve ser satisfeita por toda a solução admissível. Agora, como x 1 0 então 2x 1 + 3x 2 19 deve ser satisfeita por toda a solução admissível, donde se conclui que 19 é um limite superior ao valor da função objectivo em qualquer solução admissível. Para o problema geral (4), a técnica é multiplicar cada inequação n j=1 a ijx j b i por um escalar não negativo y i e somar tudo, de forma que a inequação resultante n j=1 d jx j d 0 satisfaça d j c j, para todo j = 1, 2,..., n. 5

Então d 0 é um limite superior ao valor de n j=1 c jx j. Em suma, as condições que devem ser satisfeitas pelos números y 1, y 2,..., y m são m a ij y i c j (j = 1, 2,..., n) i=1 y i 0 (i = 1, 2,..., m) para que o valor do limite superior seja m i=1 b iy i. O melhor limite superior é na verdade o menor deles todos. Por isso, o problema de encontrar o melhor limite superior pode ser formulado como sendo minimizar m b i y i i=1 m a ij y i c j (j = 1, 2,..., n) i=1 que também pode ser escrito na forma matricial y i 0 (i = 1, 2,..., m) (9) minimizar yb ya c y 0. Note-se que o problema de descobrir o melhor limite superior para o valor óptimo de (4) é novamente um problema de programação linear, a que vamos chamar o dual de (4). Como (4) também merece um nome vamos identificá-lo por primal. Note-se que os dois problemas são construídos a partir do mesmo conjunto de dados mas de maneiras diferentes. Em particular, cada restrição de um problema (distinta das restrições de não negatividade) corresponde a uma variável no outro. E a função objectivo de um corresponde ao termo independente do outro. O dual de (1) é minimizar 10y 1 + 6y 2 + 4y 3 2y 1 + y 2 y 3 2 y 1 + y 2 + y 3 3 y 1, y 2, y 3 0, e y 1 =.5, y 2 = 2, y 3 =.5 é uma solução admissível de (10). 6 (10)

Uma consequência da maneira como se construiu o dual é que o valor da função objectivo do dual em toda a sua solução admissível define um limite superior para o valor óptimo de (4). Isto é designado por dualidade fraca e abaixo se prova novamente. Teorema 1 (Teorema da Dualidade Fraca da Optimização Linear) Se x for uma solução admissível de (4) e y for uma solução admissível de (9) então cx y b. Prova: cx (y A)x = y (Ax ) y b. Note-se que a prova usa todas as restrições de ambos os problemas. Este resultado, de demonstração simples, possui várias consequências muito úteis. Corolário 1 Se x é solução admissível do problema primal (4), y é solução admissível do problema dual (9) e cx = y b então x é solução óptima do primal e y é solução óptima do dual. Prova: Como cx não pode ser maior que y b em qualquer solução admissível x, e como x alcança aquele limite superior então x é solução óptima. O mesmo argumento pode ser usado para y. Note-se que x = (1, 5) é uma solução admissível para (1) e que y = (0, 2.5,.5) é uma solução admissível para (10). Mais, cx = 17 = y b. Por isso, x é solução óptima para (1) e y é solução óptima para (10). Também podemos usar o Teorema da Dualidade Fraca quando um dos problemas é ilimitado. Corolário 2 Se o problema primal (4) for ilimitado então o problema dual (9) é inadmissível. Prova: Suponhamos que o problema dual possui uma solução admissível y. Então, toda a solução x admissível para o primal satisfaz cx y b, o que contradiz o facto do problema primal ser ilimitado. 7

Corolário 3 Se o problema dual (9) for ilimitado então o problema primal (4) é inadmissível. Prova: Semelhante à prova anterior. O Corolário 1 estabelece uma condição que se verificada numa solução x admissível para o primal permite afirmar que essa solução x é óptima. Isto é, o Corolário 1 fornece uma condição suficiente para que uma solução x admissível para o primal seja óptima. Será essa condição também necessária? A resposta a esta questão é afirmativa, embora menos óbvia. Esse resultado é conhecido como Dualidade Forte da Optimização Linear. Teorema 2 (Teorema da Dualidade Forte da Optimização Linear) Se o problema primal (4) possui uma solução óptima x então o problema dual (9) possui uma solução óptima y. Além disso, cx = y b. Este resultado é importante, e possui várias aplicações em optimização. É também uma espécie de protótipo - existem muitos resultados semelhantes que estabelecem que o máximo de uma coisa é igual ao mínimo de outra. O primeiro passo na demonstração do Teorema da Dualidade Forte da Optimização Linear é observar que se trata na verdade de um resultado acerca da solvabilidade de um certo sistema inequações lineares, nomeadamente, Ax b, x 0 ya c, y 0 cx yb (11) Claramente, se x e y satisfizerem (11) então, pelo Teorema da Dualidade Fraca da Optimização Linear, cx yb. Por isso, a última inequação em (11) é, na verdade, uma igualdade. Existem situações nas quais (11) é insolúvel, por exemplo, quando (4) é inadmissível. Precisamos caracterizar as situações em que (11) é solúvel. Para isso, precisamos estudar a solvabilidade de sistemas de inequações lineares. Exercícios: 10. Escreva o dual do problema (3) e verifique directamente que é inadmissível. 11. Escreva o dual do problema (2) e prove directamente que não possui solução óptima. 8

12. Suponha que x é uma solução óptima do problema primal (4) e y é uma solução óptima de (9). Suponha que a primeira restrição do problema primal é multiplicada por 3. Encontre soluções óptimas para o novo problema e o seu dual, e justifique a sua resposta. 13. Repita o exercício anterior para o problema que se obtém do problema primal (4) acrescentandolhe uma nova restrição, 3 vezes a primeira restrição somada à segunda restrição. 2 Sistemas de inequações lineares Nesta secção estabelecem-se condições necessárias e suficientes para que um sistema de inequações lineares Ax b possua solução. Primeiro, recordamos de forma breve condições análogas para um sistema de equações lineares Ax = b. O conhecido método de eliminação de Gauss termina com a obtenção de uma solução do sistema ou ou com a obtenção após operações elementares por linhas de uma equação 0x = α, com α 0. No segundo caso, Ax = b não possui solução porque qualquer solução do sistema também deve verificar aquela equação, o que é impossível. Como qualquer equação obtida após operações elementares por linhas de Ax = b pode ser escrita com uma combinação linear das linhas de Ax = b, tem-se a seguinte caracterização. Teorema 3 (Teorema da Solvabilidade de Sistemas de Equações Lineares) Um sistema de m equações lineares Ax = b possui solução se e só se não existe u R m tal que ua = 0, ub 0. Proporemos uma abordagem análoga para o sistema de inequações lineares Ax b. Teremos de usar diferentes regras para obter uma inequação à custa de outras, de forma que a nova inequação seja verificada em toda a solução das outras. A adição (e não a subtracção) de duas inequações, a multiplicação de uma inequação por um escalar positivo, são operações que preservam essa propriedade. Qualquer desigualdade obtida de Ax b por uma sequência de tais operações pode ser escrita como uma combinação linear das linhas de Ax b usando coeficientes (ou multiplicadores) não negativos. Como uma inequação 0x α, como α < 0, não possui solução, este procedimento sugere o seguinte resultado análogo ao Teorema 3. 9

Teorema 4 (Teorema da Solvabilidade de Sistemas de Inequações Lineares) Um sistema de m inequações lineares Ax b possui solução se e só se não existe u R m tal que ua = 0, u 0, ub < 0. Prova: Primeiro, observamos que a condição é necessária. Isto é uma consequência do facto de que os dois tipos de operações que descrevemos antes são legais, mas vamos proválo directamente. Suponhamos que u existe e que também existe uma solução x do sistema de inequações Ax b. Então, 0 = (ua) x = u(a x) ub < 0 o que é impossível e, por isso, a condição é necessária. A parte mais difícil é mostrar que se Ax b não possui solução então um tal vector u deve existir. Por outras palavras, precisamos obter uma inequação 0x α, com α < 0, de Ax b através de operações elementares do tipo que descrevemos antes. Mostraremos como isto se faz eliminando uma variável de cada vez começando com a componente x n. Primeiro, particiona-se o conjunto de índices {1, 2,..., m} em três conjuntos: I 1 {i: a in > 0}, I 2 {i: a in < 0}, I 3 {i: a in = 0}. Seja A x b o sistema de inequações nas variáveis x R n 1 que consiste nas inequações n 1 j=1 a ijx j b i, para todo i I 3, e nas inequações definidas do seguinte modo, para todo o par (k, l) I 1 I 2. a ln ( n j=1 a kj x j b k ) + a kn ( n j=1 a lj x j b l ) n 1 ( a ln a kj + a kn a lj ) x j ( a ln b k + a kn b l ) j=1 Duas observações decorrem desta construção: primeiro, em todas estas inequações o coeficiente de x n é zero pelo que podemos escrever o sistema em notação matricial A x b com x R n 1 envolvendo um total de I 1 I 2 + I 3 inequações; segundo, cada uma das linhas da matriz aumentada [A 0 b ] (onde 0 denota uma coluna de zeros) é uma combinação não negativa (ou cónica) das linhas da matriz aumentada [A b]. Como exemplo do 10