CAPÍTULO V CÁLCULO DOS ESFOÇOS ITEOS ESISTETES DADOS a / a E e O
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo 5 Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos a /r a e e o 5 Introução A etermnação os efetos e ª orem em um plar passa necessaramente pela etermnação os eslocamentos transersas o seu exo O exo seno ncalmente reto com a solctação e flexão composta passa a assumr uma forma cura uano se tem flexão normal composta essa cura estará conta no plano e atuação os momentos fletores as no caso e flexão oblíqua composta sso poe não acontecer Se os momentos fletores atuantes em uas reções ortogonas terem les e aração ferentes ao longo o comprmento o plar a cura representata o exo eformao não estará conta em um plano A fgura 5 lustra um plar solctao à flexão composta normal com os momentos solctantes em caa seção atuano no plano y-z a fgura 5a se representa o exo eformao conto no plano y-z Z ay Tx y εoz Seção Incal h ϕ y Y V Y z X U h y h x Seção Deformaa a) Plar solctao a flexão normal composta b) Trecho e comprmento nfntesmal Fgura 5 Flexão normal composta na reção Y Deformação e um trecho e comprmento z a barra Curatura no plano YZ): / r y ε o / a fgura 5b está representao um segmento e comprmento nfntesmal z one se estacam as eformações sofras pelo plar nessa seção A equação o exo eformao é o tpo y fz) 5) V -
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo Do Calculo Dferencal e Integral obtém-se as rotações as ersas seções pela prmera eraa a equação a cura: ϕ y / z 5) As curaturas o exo o plar são aas pela seguna eraa a equação o exo: r y z y ϕ z y 5) Obsera-se que a seção apresenta uma rotação em torno e uma lnha lnha neutra - ) paralela ao exo X Conserano ála a hpótese as seções planas a posção a seção após a eformação o exo a peça é a que se nca na fgura 5b como seção eformaa na realae a seção em s permanece plana a eformação refera é a o exo a peça) Essa posção eformaa a seção poe ser caracterzaa por qualquer os três seguntes pares e aráes: e ε o e /r y ε o e /r y seno: /r y a curatura o exo a peça na seção seno analsaa; ε o a stânca a lnha neutra ao centro e esforços; a eformação longtunal o plar na seção em análse A curatura é aa por Fusco tem 6) ε c máx ε r y h y cmín 5) Portanto na flexão normal composta se tem sempre uas ncógntas para efnr a eformação e um trecho e comprmento nfntesmal e um plar Essa eformação é e funamental mportânca para o cálculo os esforços nternos resstentes quas sejam e y na flexão normal composta no plano y-z ou e x para a flexão normal composta no plano x-z lustraa na fgura 5 V -
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo x εoz Seção Incal Y U z ϕ x h x Seção Deformaa XV h y Fgura 5 Flexão normal composta na reção X Deformação e um trecho e comprmento z a barra Curatura no plano XZ): / r x ε o / a flexão oblíqua composta o número e aráes a serem etermnaas sobe para três Aparece também como ncógnta a nclnação a lnha neutra este caso a seção eformaa fca caracterzaa er fgura 5) por qualquer um os três seguntes ternos e alores: e ε o e /r ε o e /r one: /r x e /r y ε o é o ângulo a partr o exo x que efne a nclnação a lnha neutra ); é a stânca a lnha neutra ao centro e esforços CE); é a eformação longtunal o plar no centro e graae a seção em análse; /r é a curatura o exo na reção ortogonal à lnha neutra; /r x é a curatura o exo na reção x; /r y é a curatura o exo na reção y; V -
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo y Seção Incal x Seção Deformaa ϕ y Y z U // ϕ x h x V X h y ε o z ϕ Fgura 5 Flexão oblíqua composta Deformação e um segmento e comprmento z o plar Para qualquer terno e alores que se escolha trabalhar se terá sempre três ncógntas a serem etermnaas Isso é feto necessaramente por tentatas e moo a se obter as gualaes: S ; x Sx e y Sy one S Sx e Sy são os esforços nternos solctantes e x e y são os esforços nternos resstentes - o Estao Lmte Últmo uano se tem uma stuação e estao lmte últmo ELU) uma as ncógntas fca etermnaa pela efnção os omínos e eformações as outras uas eem ser encontraas por tentatas o ELU fca mposto o alor e ε cmáx ε cu ε smín ε su ou ε x5 ε c que juntamente com ε o etermna a curatura na seção A fgura 5 reprouz a fgura 7 a B-68: que efne os omínos e eformações Vale recorar que para a eformação ε c o níco o patamar horzontal o agrama c -ε c nas fguras e 7 este trabalho a B 68: atrbu o alor %o e para a eformação lmte e compressão ε cu o alor 5%o a V -
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo fgura 5 este capítulo fo batzaa e x 5 a stânca o ponto C ao boro mas comprmo a seção Essa notação é empregaa neste trabalho para fazer referênca ao ponto em torno o qual a seção gra entro o omíno 5 Seno ε cu 5%o se terá x 5 /7h Alongamentos Encurtamentos %o 5%o a B x 5 A 5 C b h %o εy Fgura 5 Defnção os omínos e eformação ormalmente a etermnação a seção eformaa é feta arbtrano-se alores para e para ε o e sabeno se tratar e ELU a curatura fca etermnaa pelo menor os três seguntes alores: r ε clm ε máx o 55) ε ε 56) o slm r s mínn r ε c máx ε o x 5 57) one ε clm ε slm máx é a eformação lmte amta para o concreto 5%o) é a eformação lmte amta para o aço -%o) é a stânca o centro e esforços ao boro mas comprmo smín é a stânca o centro e esforços à barra a armaura menos comprmo ou mas traconao V - 5
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo x 5 é a stânca o ponto e eformação ε c %o ponto C) ao boro mas comprmo omíno 5) Assm quano se trata e estao lmte últmo as ncógntas na flexão oblíqua composta são a nclnação a lnha neutra e a eformação ε o no centro e esforços a seção Essas ncógntas eem ser etermnaas por tentatas num processo terato - Fora o estao Lmte Últmo uano os esforços nternos solctantes S Sx e Sy não leam a seção ao estao lmte últmo a curatura também ee ser obta por tentatas num processo terato já que neste caso não se spõe o conhecmento e mas nenhuma eformação além e ε o a seqüênca este capítulo se mostrará como foram calculaos os esforços nternos resstentes x e y no programa seno esenolo como parte este trabalho seno aos ε o e /r o captulo VI se fará uma análse a relação entre a nclnação a lnha neutra e a nclnação o exo e solctação θ o capítulo VII é mostraa a obtenção a eformação ε o que correspona à S no estao lmte últmo o capítulo VIII é mostrao o agrama x y traconal o estao lmte últmo com as curas seno funções a taxa mecânca e armaura esse mesmo capítulo se mostra esse agrama em função a aráel cur Essa aráel cur efne uma curatura fora o ELU que correspona a um terno e alore S Sx Sy qualquer Defna a aráel cur e o agrama x y como função agora essa aráel e não mas apenas a taxa e armaura mostra-se um camnho para a etermnação e /r e ε o para um terno qualquer e esforços nternos solctantes na flexão oblíqua composta os capítulos seguntes analsa-se a rgez a seção transersal para a etermnação os efetos e seguna orem no cálculo e plares solctaos à flexão oblíqua composta V - 6
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo 5 Caracterzação as eformações longtunas em uma seção transersal Para a flexão oblíqua composta emonstram-se Fusco 98) França 98) as seguntes relações: ε c máx ε c mín 58) r h r ε ε o one /r é a curatura na reção ortogonal à lnha neutra ε cmáx ε cmín h ε o ε 59) é a eformação máxma a seção é a eformação mínma a seção é a altura a seção na reção ortogonal à lnha neutra é a eformação no centro e esforços a seção é a eformação em um ponto qualquer na seção é a orenaa o ponto e eformação ε e moo ortogonal à lnha neutra Portanto na flexão oblíqua composta a eformação em um ponto qualquer a seção é aa por: ε ε o 5) r Poe-se efnr a eformaa e uma seção atraés o terno e alores e o a /r a ) ou o terno e o /r x /r y ) One: e o eformação específca longtunal no centro e graae a seção; a nclnação a lnha neutra em relação ao exo barcentral X; /r a curatura o exo a peça na reção normal à lnha neutra a seção; /r x curatura o exo a peça no plano Z-X; /r y curatura o exo a peça no plano Z-Y a fgura 5 está representao um trecho e comprmento nfntesmal z e uma peça e seção retangular e laos h x e h y solctaa à flexão oblíqua composta one é mostraa a eformação esse trecho o prsma estacano-se a eformação V - 7
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo longtunal ε o z no centro e graae a seção e as rotações na reção normal à lnha neutra ϕ e nas reções X ϕ x e Y ϕ y As curaturas e a nclnação a lnha neutra se relaconam atraés as expressões França 98) Fusco 986 pág ): r x arc tg com -8 < < 8 ) 5) ry r r x 5) sen cos y r sen 5) r x r cos 5) r y r Y V Exo e Solctação ε cmáx θ Ac x X ) ε ε o /r ) h C U// ε o Encurtamentos Alongamentos Lnha eutra -) ε cmn Fgura 55 Seção transersal genérca e agrama e eformações A fgura 55 mostra uma seção genérca one estão estacaos: a) os exos U e V respectamente paralelo e ortogonal à lnha neutra; b) a altura h a seção na V - 8
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo reção normal à lnha neutra reção V); c) a nclnação a lnha neutra; ) a nclnação θ o exo e solctação efno pelo traço o plano e atuação o momento fletor resultante no plano a seção; e) o agrama e eformações longtunas Daos a /r a e e o a questão que se apresenta é a etermnação os esforços resstentes a seção Esses esforços são aos por: c s 55) u uc us 56) c zs 57) Seno: c força normal resstente no concreto; uc momento resstente o concreto atuante no plano UZ); c momento resstente o concreto atuante no plano VZ); s força normal resstente a armaura; us momento resstente a armaura atuante no plano UZ); s momento resstente a armaura atuante no plano VZ); 5 Cálculo os esforços resstentes na armaura e no concreto 5 a armaura Caa barra a armaura e área A s ee ter sua posção entro a seção perfetamente efna pelas suas coorenaas u s s ) Com sso a sua eformação fca etermnaa pela sua orenaa s e poe ser calculaa por ε s ε o /r ) s 58) Da relação consttuta o aço agrama tensão-eformação) se obtém a tensão s em caa barra De moo que exstno n barras na seção os esforços nternos resstentes a armaura resultam: V - 9
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo p n s s p A 59) s p n u s us s p p n s s s p A 5) s A 5) s 5 o concreto Seno o exo coorenao V ortogonal à lnha neutra com orgem no centro e esforços toas as fbras a seção com uma mesma orenaa apresentarão uma mesma eformação ε c aa por: ε c ε o /r ) 5) Da relação consttuta o concreto agrama tensão-eformação) se obtém a tensão c De moo que exstno n p polgonas na seção os esforços nternos resstentes na seção e concreto resultam: np sup c c p nf A 5) np sup u c u c p nf np sup c c p nf c A 5) c A 55) c one: u abscssa o centro e graae a área A c ; orenaa o centro e graae a área A c Os esforços nternos resstentes no concreto são calculaos no programa Flexão Oblíqua Composta esenolo neste trabalho atraés a ntegração numérca e Gauss em lugar as ntegras ncaas acma V -
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo Para sso consere-se para caa lao e caa polgonal que consttu a seção um trapézo a ele assocao conforme a fgura 56 Ac? O? Fgura 56 Integração as tensões no concreto Os esforços nternos resstentes são calculaos por np nlp c ) ) 56) p u np nlp ) c ) p 57) np nlp c p ) ) 58) p one: p ínce referente às polgonas; n p número e polgonas que consttuem a seção; ínce referente aos laos a polgonal p; n lp número e laos a polgonal p; V -
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo V - s) tensão normal na orenaa ; orenaa o értce ncal o lao a polgonal p er fgura 5); orenaa o értce fnal o lao a polgonal p er fgura 5) Para o trapézo assocao ao lao : ) ) 59) u ) ) 5) ) ) 5) A eformação as fbras a uma stânca a lnha neutra é aa por: ε r ) com - 5) A largura genérca e um trapézo ) a uma stânca é: ) ) 5) ) 5) chamano: e 55) tem-se: ) 56) Portanto
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo ) ) 57) u ) ) ) 58) ) ) 59) Fnalmente fazeno: F n n ) 5) obtém-se:? F o F 5)? u 5 F o F 5 F 5)?? F F 5) Para a ntegração e F n será aqu aotao o processo a quaratura e Gauss que consste em aa uma ntegral efna I f x) x calculá-la atraés o alor a função fx) em g pontos A escolha esses pontos é feta e manera a se ter a melhor precsão possíel I g f x) x W f ) 5) r one os alores e W e r são tabelaos uano os lmtes o nteralo e ntegração: I b a g f x) x b a) f x) x b a) W f x ) 55) com V -
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo x b a) r b a) a g) 56) Os alores e r abscssas relatas) e W pesos) são tabelaos para caa alor e g ao a tabela 5 encontram-se esses alores para g a 8 pontos e Gauss Tabela 5 Coefcentes as Abscssas e Pesos para a uaratura e Gauss /- r n g W /- r n g W 7 5775 998 985 75 7975 77597 555556 585 88 888889 7959 8 866 7855 969 9 998 655 796666 8 5 555 77 968 697 85 668 5869 7869 g 568889 I f x) x W f r ) 6 97 7 b g 669 676 I f x) x b a) W f x ) 869 679 a x b a) r b a) O processo e quaratura e Gauss ntegra exatamente polnômos e grau g ) Assm para g a ntegral será exata se a função fx) for um polnômo e até o 7º grau Aplcano-se a quaratura e Gauss para obtenção as funções F n obtém-se: F n g n n ) W ) 57) seno r 58) V -
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo V - 5 one r e W são alores obtos a tabela em função e g E g escolho em função o grau o polnômo a ser ntegrao Se o trapézo ter uma parte na regão comprma e outra na regão traconaa será o em os outros Um totalmente comprmo e outro totalmente traconao A ntegral e F n será a em uas partes: ) ) ) F n n n n 59) ) ) g n g n n W W F 55) com r e r 55) Assm os lmtes e ntegração a serem usaos são: se e terem o mesmo snal posto na regão comprma a seção e negato na regão traconaa) ou seja se então orenaa o értce a polgonal ) orenaa o értce a polgonal ) ) 55) u ) ) ) 55) ) ) 55) se não
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo e 555) ) ) 556) u ) ) ) 557) ) ) 558) ) e 559) ) ) 56) u ) ) ) 56) j ) ) 56)??? 56)? u? u? u 56)??? 565) V - 6
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo as uas stuações eem ser conseraas para melhorar a precsão o resultao a ntegração pelo processo e Gauss Essas uas stuações estão lustraas nas fguras 57a e 57b - O j O - - Fgura 57a A reta j corta tanto o exo os quanto o exo os e esse acma a orgem Fgura 57b A reta j corta tanto o exo os quanto o exo os e esse abaxo a orgem Toas as stuações fcam matematcamente conseraas quano se faz: Se j então?? u e? se não Se e snal ) snal j ) então ; ; j ; j e ) ) u ) ) ) V - 7
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo V - 8 z ) ) Se j e snal ) snal j ) então ; ; j ; j e ) ) u ) ) ) ) ) Se snal ) snal j ) e snal ) snal j ) então ; ; j ; j e ) ) u ) ) ) ) ) Se snal )? snal j ) e snal ) snal j ) então ; ; j ; j
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo V - 9 e ) ) u ) ) ) ) ) e ) ) u ) ) ) ) )???? u? u? u??? Se snal )? snal j ) e snal )? snal j ) então ; ; j ; j a b b a
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo V - menora ;a ) maorb ;b ) maora ;a ) menorb ;b ) e ) ) u ) ) ) ) ) e ) ) ) ) e ) ) u ) ) ) ) )????
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo V -? u? u? u? u???? Se snal ) snal j ) e snal )? snal j ) então ; ; j ; j e ) ) u ) ) ) ) ) e ) ) u ) ) ) ) )???? u? u? u???
Cálculo os Esforços Internos esstentes Daos /r e εo Em relação aos exos X e Y conserano posto o momento que comprme o prmero quarante tem-se: ) Y x ) a) V u ) y ) a) X U Fgura 58 omentos fletores postos x u cos a sen a 557) y - u sen a cos a 558) V -