Sumário PROBABILIDADE Luciana Santos da Silva Martino PROFMAT - Colégio Pedro II 01 de julho de 2017
Sumário 1 Conceitos Básicos 2 Probabildade Condicional 3 Espaço Amostral Infinito
Outline 1 Conceitos Básicos 2 Probabildade Condicional 3 Espaço Amostral Infinito
Conceitos Básicos Experiências que repetidas sob as mesmas condições produzem geralmente resultados diferentes são chamadas de aleatórias Definição 7.1:Chamamos de espaço amostral, S conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Só vamos considerar aqui o caso de S ser finito ou infinito enumerável Os subconjuntos de S serão chamados de eventos Diremos que um evento ocorre quando o resultado da experiência pertence ao evento
Conceitos Básicos Exemplo 1: Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada para cima espaço amostral: S = {cara,coroa} 4 eventos possíveis:, A = {cara}, B = {coroa} e S. é um evento que não ocorre nunca e é chamado de evento impossível. A ocorre se, e somente se, o lançamento resulta em cara. S ocorre sempre e é chamado de evento certo
Conceitos Básicos Exemplo 2: Lança-se um dado e observa-se a fece que cai voltada para cima S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, com 64 eventos Exemplos de eventos:., que não ocorre nunca. S, que ocorre sempre. A = {2, 4, 6}, que ocorre se, e somente se o resultado do lançamento for par. {6}, {5, 6}, {2, 4, 6},... se o resultado do lançamento for 6
Conceitos Básicos Exemplo 3: Se A e B são eventos emum mesmo espaço amostral S. A B é o evento que ocorre se, e somente se ocorre pelo menos um dos eventos A ou B. A B é o evento que ocorre se, e somente se ocorrem ambos os eventos A e B. A \ B é o evento que ocorre se, e somente se ocorre o evento A mas não ocorre o evento B. Ā é o evento oposto a A, que ocorre se, e somente se, o evento A não ocorre
Conceitos Básicos Associaremos a cada evento um número, que chamaremos de probabilidade do evento e que traduzirá nossa confiança na capacidade do evento ocorrer Definição 7.2: Uma probabilidade é uma função que associa a cada evento A um número P(A) de forma que: i) Para todo evento A, 0 P(A) 1; ii) P(S) = 1; iii) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, isto é, eventos que não podem ocorrer simultaneamente (isto é, A B = ) então P(A B) = P(A) + P(B)
Conceitos Básicos Exemplo 4: Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada para cima S = {cara,coroa} 4 eventos:, A = {cara}, B = {coroa} e S Uma probabilidade que pode ser definida: P 1 ( ) = 0, P 1 (A) = 0, 5, P 1 (B) = 0, 5, P 1 (S) = 1 Outra probabilidade que pode ser definida: P 2 ( ) = 0, P 2 (A) = 0, 3, P 2 (B) = 0, 7, P 2 (S) = 1 A probabilidade como medida confiante da capacidade da ocorrência ou não de um evento
Conceitos Básicos Modelo equiprobabilístico: Se temos n elementos no espaço amostral e queremos que todos os eventos unitários tenham a mesma probabilidade, devemos atribuir a cada evento unitário a probabilidade 1 n Se um evento X é formado por j elementos, então P(X) = j n A probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis Cardano (séc XVI), Pascal (séc XVII) e Laplace (séc XVIII/XIX): estudo dos jogos de azar
Conceitos Básicos Teorema 7.3: Se A e B são eventos então: i) P(Ā) = 1 P(A) ii) P( ) = 0 iii) P(A \ B = P(A) P(A B) iv) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) v) Se A B então P(A) P(B)
Conceitos Básicos Exemplo 5: Em um grupo de r pessoas, qual é a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia? Exemplo 6: Em uma loteria de N números há um só prêmio. Salvador compra n (1 < n < N) bilhetes para uma só extração e Sílvio compra n bilhetes, um para cada uma de n extrações. Qual dos dois jogadores tem mais chance de ganhar algum prêmio?
Conceitos Básicos Definição 7.4: O valor esperado de um resultado aleatório numérico é definido como sendo a média ponderada de seus possíveis valores em que os pesos são as respectivas probabilidades. Isto é, se os possíveis valores para o resultado são x 1, x 2,..., x n, com probabilidades p 1, p 2,..., p n, seu valor esperado é p 1 x 1, p 2 x 2,..., p n x n (note que a soma de todos os pesos é igual a 1) Observação: Em um modelo probabilístico adequado a probabilidade de cada resultado deve aproximar a frequência (após um grande número de realizações do experimento aleatório) com que cada resultado é observado. Deste modo, o valor esperado representa a média aritmética, a longo prazo, dos resultados observados
Conceitos Básicos Exemplo 7: Em um jogo muito popular no Brasil, escolhe-se uma dentre 25 possibilidades para apostar. Caso a escolha seja contemplada, o apostador recebe 18 vezes a quantia apostada. Qual é o ganho esperado de quem aposta R$ 10,00?
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Probabildade Condicional Exemplo 8: Consideremos a experiência que consiste em jogar um dado não viciado e observar a face de cima B = {o resultado é par} P(B) = 3 6 = 0, 5 Essa é a probabilidade de B a priori, isto é, antes que a experiência se realize
Probabildade Condicional Suponhamos que, realizada a experiência, alguém nos informe que o resultado não foi o número 1 A = {o resultado é diferente de 1} P(B A) = 3 5 = 0, 6 Essa é uma probabilidade a posteriori, ou probabilidade de B na certeza de A. os casos possíveis não são mais todos os elementos do espaço amostral S e sim os elementos de A. os casos favoráveis à ocorrência de B não são mais todos os elementos de B e sim os elementos de A B pois só os elementos que pertencem a A podem ocorrer
Probabildade Condicional Exemplo 9: A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de uma turma por sexo e por carreira pretendida. masculino (M) feminino (F) total científica (C) 15 5 20 humanística (H) 3 7 10 total 18 12 30 P(H) = 10 30, P(H M) = 3 18, P(H F) = 7 12, P(F H) = 7 10
Probabildade Condicional Definição 7.5: Dados dois eventos A e B, com P(A) 0, a probabilidade condicional de B na certeza de A é o número P(B A) = P(A B) P(A) Poucas vezes a fórmula acima é usada para calcular uma probabilidade condicional. Será mais usada para o cálculo de P(A B) = P(A).P(B A)
Probabildade Condicional Exemplo 10: Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade de ambas serem brancas Cálculo de probabilidades de coisas futuras na certeza de coisas passadas Exemplo 11: Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade da primeira bola ser branca, sabendo que a segunda bola é branca Cálculo de probabilidades de coisas passadas na certeza de coisas futuras
O Método da Máxima Verossimilhança Exemplo 13: Em certa cidade, os táxis são numerados de 1 a N. Para estimar o número N de táxis da cidade, um turista anotou os números de todos os táxis que pegou: 47, 12, 33 e 25. Determine a probabilidade do turista ter tomado os táxis que têm esses números e determine o valor de N para o qual essa probabilidade é máxima. Exemplo 14: Para estimar a proporção p de usuários de drogas em certa comunidade, pede-se ao entrevistado que, longe das vistas do entrevistador, jogue uma moeda: se o resultado for cara, responda a você usa drogas? e, se o resultado for coroa, responda a sua idade é um número par?
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Espaço Amostral Infinito Exemplo 15: Selecionam-se ao acaso dois pontos em um segmento de tamanho 1, dividindo-o em três partes. Determine a probabilidade de que se possa formar um triângulo com essas partes Exemplo 16: A e B lançam sucessivamente um par de dados até que um deles obtenha soma de pontos 7, caso em que a disputa termina e o vencedor é o jogador que obteve soma 7. Se A é o primeiro a jogar, qual é a probabilidade de A ser o vencedor? Princípio de preservação das chances relativas Em um jogo em que pode haver empates, e é repetido até que alguém vença, a razão entre as probabilidades de vitória dos dois jogadores é igual à razão de suas probabilidades de vitória em uma única partida