Sistemas de Controle 2

Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 2 Cap.9 Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de Controle 2 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Cap.9 Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9.1 Introdução 9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata 9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação em Cascata 9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória 9.5 Compensação por Retroação 9.6 Realização Física da Compensação Exercícios Bibliografia principal: Engenharia de Sistemas de Controle Norman S. Nise

Aulas anteriores 9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9.1 Introdução Compensadores Mudança no local geométrico das raízes Adição de polos e zeros no sistema Circuitos eletrônicos ativos e passivos de compensação 9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata Compensação Integral Ideal (PI) - Inserção de um polo exatamente na origem - Inserção de um zero próximo do polo na origem Compensação por Atraso de Fase (passivo) - Inserção de um polo próximo da origem - Inserção de um zero próximo deste polo 9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação em Cascata Controlador PD 9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Controlador PID

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Projeto do Compensador por Atraso e Avanço de Fase - Melhora da resposta transitória e do erro de estado estacionário (assim como o PID ideal). - Sistema passivo (não-ideal). Sequência de projeto: 1) Compensador por avanço de fase para melhorar a resposta transitória 2) Calculo da melhoria no erro de estado estacionário que ainda for necessária 3) Inserção do compensador por atraso de fase

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Projeto do Compensador por Atraso e Avanço de Fase Procedimento de projeto: 1. Calcular o desempenho do sistema não-compensado para determinar quanto de melhoria na resposta transitória é necessária. 2. Projetar o compensador por avanço de fase para obter as especificações da resposta transitória. O projeto inclui a localização do zero, a localização do pólo e o ganho da malha. 3. Simular o sistema para certificar-se de que todas as exigências foram atendidas. 4. Re-projetar se a simulação mostrar que as exigências não foram atendidas. 5. Calcular o desempenho do erro de estado estacionário relativo ao sistema compensado por avanço de fase, para determinar qual a melhoria adicional necessária no erro de estado estacionário. 6. Projetar o compensador por atraso de fase para produzir o erro de estado estacionário requerido. 7. Simular o sistema para se certificar de que todas as exigências foram atendidas. 8. Re-projetar se a simulação mostrar que as exigências não foram atendidas.

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Projeto do compensador: UP%=20% Ts_final = Ts_inicial/2 Erro_final = Erro_inicial/10

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 1 Calcular o desempenho do sistema não-compensado. Determinar: UP%=20% Pólos dominantes: -1,794±j3,501 Ganho: 192,1

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 1 Calcular o desempenho do sistema não-compensado. UP%=20% Ts_final = Ts_inicial/2 Erro_final = Erro_inicial/10

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 2 Projetar o compensador por avanço de fase Redução do tempo de assentamento por 2 Aumentar em 2 vezes a parte real dos pólos dominantes.

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 2 Projetar o compensador por avanço de fase Redução do tempo de assentamento por 2 Aumentar em 2 vezes a parte real dos pólos dominantes. Parte imaginária dos novos pólos:

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 2 Projetar o compensador por avanço de fase Seleção arbitrária do zero do compensador por avanço de fase. Para este exemplo: Escolher o zero coincidentemente sobre o pólo de malha aberta -6. Calcular o ângulo de contribuição.

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 2 Projetar o compensador por avanço de fase -3,5+j7,003 θ 1 = tg 1 7,003 10 3.588 = 47.52 θ 2 = θ 3 = tg 1 7,003 6 3.588 = 70.995 θ 1 θ 2θ3 θ 4 7,003 1 θ 4 = tg 3.588 = 117.13 θ 1 θ 4 = 47.52 117.13 =164.65-10 -6 Contribuição angular requerida: 180 164.65 = 15.35

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 2 Projetar o compensador por avanço de fase p c = 29,1

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 2 Projetar o compensador por avanço de fase Novo sistema compensado por avanço de fase: K s + 6 s(s + 6)(s + 10)(s + 29.1) = K s(s + 10)(s + 29.1) Novo ganho do sistema no ponto selecionado = 1977

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 3 e 4 Verificar o projeto através de simulação. Devido ao tempo de assentamento o novo sistema é satisfatório até esta etapa do projeto.

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 5 Continuar projetando o compensador por atraso de fase para melhorar o erro de estado estacionário Função de transferência em malha aberta do sistema não compensado: Erro de estado estacionário: Sistema tipo 1 Constante Kv Kv = 192,1 6. 10 = 3.201 Função de transferência em malha aberta do sistema compensado por avanço de fase: Sistema tipo 1 Constante Kv Kv = 1977 10. 29,1 = 6.794 A adição da compensação melhorou o erro por um fator igual a 6.794 3.201 = 2.122

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 5 Continuar projetando o compensador por atraso de fase para melhorar o erro de estado estacionário Especificação do sistema: Melhorar erro de estado estacionário em 10 vezes. O erro já foi melhorado 2.122 vezes. Falta melhorar o erro em 10/2.122 = 4.713 vezes

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 6 Escolher arbitrariamente o pólo do compensador por atraso de fase em 0,01 (próximo da origem) Pólo em 0.01 Melhoria exigida = 4.713 vezes Posição resultante do zero para produzir a melhoria necessária = 0.04713 Função de transferência do novo compensador por atraso de fase a ser adicionado:

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Novo sistema compensado por atraso e avanço de fase:

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Lugar das raízes do novo sistema: Para a relação de amortecimento desejada o ganho será de: K=1971

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Resumo do projeto: Aumento na velocidade do sistema Melhoria no erro de 10x

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Passo 7 Prova final do projeto é verificada pela simulação

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória Exemplo 9.6 Neste projeto um zero foi utilizado para cancelar um pólo em -6. Se essa escolha não tivesse sido feita a técnica seria a mesma porém como resultado poderíamos ter um sistema mais complexo que poderia dificultar a aproximação do sistema para um de segunda ordem.

Resumo dos compensadores em Cascata

9.5 Compensação por Retroação Funções de transferência projetadas para serem inseridas no canal de retroação também podem alterar a forma do lugar das raízes Compensações por retroação podem ser mais complexas porém podem produzir respostas mais rápidas.

9.5 Compensação por Retroação Abordagem 1 - Deslocamento de K para a direita da junção de soma. - Deslocamento de G2(s) para a esquerda do ponto de coleta do sinal. - Somar as duas retroações. Ganho de malha com retroação Ganho de malha sem retroação

9.5 Compensação por Retroação

9.5 Compensação por Retroação Projete um compensador PD - Plotar lugar das raízes do sistema não- compensado - Localizar reta de amortecimento para ultrapassagem de 20%. - Descobrir pólos dominantes - Calcular tempo de assentamento - Calcular novo tempo de assentamento desejado - Determinar nova posição dos pólos dominantes (sistema compensado) - Calcular contribuição angular para determinar a posição do polo a ser inserido. - Determinar o ganho do novo sistema.

Lugar das raízes não compensado: Reta de amortecimento para ultrapassagem de 20%: - pólos dominantes - Tempo de assentamento = 4 1.809 =2.21s Tempo desejado: T s = 2.21 4 = 0.55s

- Posição do novo ponto de operação: Nova parte real dos pólos= 4 x -1,809 = -7,236 Nova parte imaginária:

Somando contribuições angulares: θ 1 = tg 1 14,12 15 7.236 = =61.2 θ 1 θ 2 θ 3 θ 2 = 180 tg 1 14,12 7.236 5 = =99 14,12 1 θ 3 = 180 tg 7.236 = =117.13 θ 1 θ 2 θ 3 = 277,33-15 -5 Ângulo de contribuição: 180 277,33 = 97,33

Somando contribuições angulares:

Novo lugar das raízes (sistema compensado) Ganho do ponto do projeto: K 1 K f = 256,7 Zero compensador = 5,42 = 1 K f K f = 0.185 K 1 = 1388

K f = 0.185 K 1 = 1388 Erro de estado estacionário: - Sistema tipo 1 - K v = K1 (0 2 +20.0+(75+K 1 K f ))

Desempenho do sistema

9.5 Compensação por Retroação Projetar uma resposta transitória da malha secundária separadamente da resposta do sistema a malha fechada. O projeto de compensadores geralmente adiciona pólos e zeros para mudar o posicionamento do lugar das raízes. Através do ajuste do ganho da malha de retroação é possível alterar o desenho do lugar das raízes sem adicionar pólos e zeros.

9.6 Realização física da compensação Função de transferência de um amplificador operacional inversor Através da escolha de Z 1 e Z 2 os compensadores e controladores podem ser implementados. Controladores: - PI - PD - PID Compensadores: - Por atraso de fase - Por avanço de fase - Por atraso e avanço de fase

9.6 Realização física da compensação

9.6 Realização física da compensação Exemplo de compensador por atraso e avanço de fase

9.6 Realização física da compensação Compensadores por atraso, por avanço, por atraso e avanço de fase também podem ser implementados com estruturas passivas.

9.6 Realização física da compensação

9.6 Realização física da compensação Função do controlador PID

9.6 Realização física da compensação Selecionando arbitrariamente o valor de um componente é possível encontrar os outros: Então: