SUMÁRIO BACKGROUND B.l Números Complexos 17 B.l-l Nota Histórica 17 B.I-2 Álgebra de Números Complexos 20 B.2 Senóides 30 B.2-1 Adição de Senóides 31 B.2-2 Senóides em Termos de Exponenciais: A Fórmula de Euler 35 B.3 Rascunhando Sinais 35 B.3-1 Exponenciais Monotônicas 35 B.3-2 Senóides Variando Exponencialmente 36 B.4 Regra de Cramer 38 B.5 Expansão em Frações Parciais 39 B.5-1 Método de Eliminação de Frações 40 B.5-2 Método de Heaviside 41 B.5-3 Fatores Repetidos de Q(x) 44 B.5-4 Mistura dos Métodos de Heaviside e Eliminação de Frações 45 B.5-5 F(x) Imprópria com m = n 47 B.5-6 Frações Parciais Modificado 47 B.6 Vetores e Matrizes 48 B.6-1 Algumas Definições e Propriedades 49 B.6-2 Álgebra Matricial 50 B.6-3 Derivadas e Integrais de Matrizes 53 B.6-4 Equação Característica de uma Matriz: Teorema de Cayley-Harnilton 55 B.6-5 Determinação da Exponencial e Potenciação de uma Matriz 56 B.7 Miscelâneas 57 B.7-1 Regra L'Hôpital 57 B.7-2 Séries de Taylor e Maclaurin 58 B.7-3 Séries de Potência 58 B.7-4 Somatórios 58 B.7-5 Números Complexos 58 B.7-6 Identidades Trigonométricas 59 B.7-7 Integrais Indefinidas 59 B.7-8 Fórmulas Comuns de Derivação 60 B.7-9 Algumas Constantes Úteis 61 B.7-1O Solução de Equações Quadráticas e Cúbicas 61 Referências 62 MATLAB Seção B: Operações Elementares 62 Problemas 71
10 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 1.1 Tamanho do Sinal 75 1.1-1 Energia do Sinal 76 1.1-2 Potência do Sinal 76 1.2 Algumas Operações Úteis com Sinais 81 1.2-1 Deslocamento Temporal 81 1.2-2 Escalamento Temporal 83 1.2-3 Reversão Temporal 85 1.2-4 Operações Combinadas 86 1.3 Classificação de Sinais 87 1.3-1 Sinais Contínuos e Discretos no Tempo 87 1.3-2 Sinais Analógicos e Digitais 88 1.3-3 Sinais Periódicos e Não Periódicos 88 1.3-4 Sinais de Energia e Potência 90 1.3-5 Sinais Determinísticos e Aleatórios 90 1.4 Alguns Modelos Úteis de Sinais 90 1.4-1 Função Degrau Unitário u(t) 90 1.4-2 A Função Impulso Unitário 8 (t) 91 1.4-3 Função Exponencial e" 96 1.5 Funções Pares e Ímpares 98 1.5-1 Algumas Propriedades de Funções Pares e Ímpares 98 1.5-2 Componentes Pares e Ímpares de um Sinal 99 1.6 Sistemas 101 1.7 Classificação de Sistemas 102 1.7-1 Sistemas Lineares e Não Lineares 102 1.7-2 Sistemas Invariantes e Variantes no Tempo 106 1.7-3 Sistemas Instantâneos e Dinâmicos 107 1.7-4 Sistemas Causal e Não Causal 108 1.7-5 Sistemas em Tempo Contínuo e em Tempo Discreto 110 1.7-6 Sistemas Analógicos e Digitais 111 1.7-7 Sistemas Inversíveis e Não Inversíveis 111 1.7-8 Sistemas Estáveis e Instáveis 111 1.8 Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída 112 1.8-1 Sistemas Elétricos 112 1.8-2 Sistemas Mecânicos 115 1.8-3 Sistemas Eletromecânicos 118 1.9 Descrição Interna e Externa de um Sistema 119 1.10 Descrição Interna: Descrição em Espaço de Estado 121 1.11 Resumo 125 Referências 127 MATLAB Seção 1: Trabalhando com Funções 127 Problemas 133 CAPÍTULO 2 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 2.1 Introdução 145 2.2 Resposta do Sistema a Condições Internas: Resposta de Entrada Nula 146 2.2-1 Algumas Informações sobre o Comportamento de Entrada Nula de um Sistema 155
SUMÁRJO 11 2.3 A Resposta h(t) ao Impulso Unitário 156 2.4 Resposta do Sistema à Entrada Externa: Resposta de Estado Nulo 160 2.4-1 A Integral de Convolução 162 2.4-2 Entendimento Gráfico da Operação de Convolução 169 2.4-3 Sistemas Interconectados 180 2.4-4 Uma Função muito Especial para Sistemas LCIT: a Exponencial de Duração Infinita e" 182 2.4-5 Resposta Total 184 2.5 Solução Clássica de Equações Diferenciais 185 2.5-1 Resposta Forçada: Método de Coeficientes Indeterrninados 185 2.6 Estabilidade do Sistema 193 2.6-1 Estabilidade Interna (Assintótica) 194 2.6-2 Relação entre Estabilidade EIBO e Assintótica 195 2.7 Visão Intuitiva sobre o Comportamento de Sistemas 198 2.7-1 Dependência do Comportamento do Sistema com os Modos Característicos 198 2.7-2 Tempo de Resposta de um Sistema: a Constante de Tempo do Sistema 200 2.7-3 A Constante de Tempo e Tempo de Subida de um Sistema 201 2.7-4 A Constante de Tempo e Filtragem 201 2.7-5 A Constante de Tempo e Dispersão (Espalhamento) do Pulso 203 2.7-6 A Constante de Tempo e Taxa de Transmissão de Informação 203 2.7-7 O Fenômeno da Ressonância 203 2.8 Apêndice 2.1: Determinação da Resposta ao Impulso 205 2.9 Resumo 206 Referências 208 MATLAB Seção 2: Arquivos.M 208 Problemas 214 CAPÍTULO 3 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 3.1 Introdução 224 3.1-1 Tamanho de um Sinal em tempo discreto 225 3.2 Operações Úteis com Sinais 227 3.3 Alguns Modelos Úteis em Tempo Discreto 230 3.3-1 Função Impulso 8[nJ Discreta no Tempo 231 3.3-2 Função Degrau Unitário Discreta no Tempo u[nj 231 3.3-3 Exponencial Discreta no Tempo y" 232 3.3-4 Senóide Discreta no Tempo cos (Qn + e) 233 3.3-5 Exponencial Complexa Discreta no Tempo e jqn 236 3.4 Exemplos de Sistemas em Tempo Discreto 237 3.4-1 Classificação de Sistemas em tempo discreto 244 3.5 Equações de Sistemas em Tempo Discreto 246 3.5-1 Solução Recursiva (Interativa) da Equação Diferença 246 3.6 Resposta do Sistema a Condições Internas: Resposta de Entrada Nula 251 3.7 Resposta h[nj ao Impulso Unitário 256 3.8 Resposta do Sistema à Entrada Externa: a Resposta de Estado Nulo 259 3.8-1 Procedimento Gráfico para o Somatório de Convolução 266 3.8-2 Sistemas Interconectados 271 3.8-3 Uma Função Muito Especial para Sistemas LDIT: a ExponenciaJ de Duração Infinita z" 273 3.8-4 Resposta Total 274
12 SUMÁRIO 3.9 Solução Clássica de Equações Diferença Lineares 275 3.10 Estabilidade do Sistema: Critério de Estabilidade Externa (BIBO) 281 3.10-1 Estabilidade Interna (Assintótica) 282 3.10-2 Relação entre Estabilidade BIBO e Assintótica 282 3.11 Visão Intuitiva sobre Comportamento de Sistemas 286 3.12 Apêndice 3.1: Resposta ao Impulso para um Caso Especial 286 3.13 Resumo 287 MATLAB Seção 3: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 288 Problemas 293 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DELAPLACE 4.1 Transformada de Laplace 307 4.1-1 Determinando a Transformada Inversa 314 4.2 Algumas Propriedades da Transformada de Laplace 324 4.2-1 Deslocamento no Tempo 324 4.2-2 Deslocamento na Freqüência 327 4.2-3 Propriedade de Diferenciação no Tempo' 328 4.2-4 Propriedade de Integração no Tempo 330 4.2-5 Convolução no Tempo e Convolução na Freqüência 332 4.3 Solução de Equações Diferenciais e Integro-Diferenciais 335 4.3-1 Resposta de Estado Nulo 339 4.3-2 Estabilidade 344 4.3-3 Sistemas Inversos 346 4.4 Análise de Circuitos Elétricos: o Circuito Transformado 346 4.4-1 Análise de Circuitos Ativos 354 4.5 Diagramas de Blocos 357 4.6 Realização de Sistemas 360 4.6-1 Realização na Forma Direta I 360 4.6-2 Realização na Forma Direta II 361 4.6-3 Realizações em Cascata e Paralelo 364 4.6-4 Realização Transposta 367 4.6-5 Utilização de Amplificadores Operacionais para a Realização de Sistemas 369 4.7 Aplicação em Realimentação e Controle 374 4.7-1 Análise de um Sistema de Controle Simples 376 4.8 Resposta em Freqüência de um Sistema LCIT 380 4.8-1 Resposta em Regime Permanente para Entradas Senoidais Causais 386 4.9 Diagramas de Bode 387 4.9-1 Constante Ka,a/b,b 3 388 4.9-2 Pólo (ou Zero) na Origem 388 4.9-3 Pólo (ou Zero) de Primeira Ordem 390 4.9-4 Pólo (ou Zero) de Segunda Ordem 392 4.9-5 Função de Transferência da Resposta em Freqüência 400 4.10 Projeto de Filtros pela Alocação de Pólos e Zeros de H(s) 400 4.10-1 Dependência da Resposta em Freqüência com os Pólos e Zeros de H(s) 400 4.10-2 Filtros Passa-Baixas 403 4.10-3 Filtros Passa-Faixa 404
SUMÁRIO 13 4.10-4 Filtros Notch (Pára-Faixa) 405 4.10-5 Filtros Práticos e Suas Especificações 407 4.11 Transformada de Laplace Bilateral 408 4.11-1 Propriedades da Transformada de Laplace Bilateral 414 4.11-2 Usando a Transformada Bilateral para a Análise de Sistemas Lineares 415 4.12 Resumo 417 Referências 418 MATLAB Seção 4: Filtros em Tempo Contínuo 419 Problemas 428 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 5.1 A Transformada z 442 5.1-1 Determinação da Transformada Inversa 448 5.2 Algumas Propriedades da Transformada z 453 5.3 Solução de Equações Diferença Lineares pela Transformada z 460 5.3-1 Resposta de Estado Nulo de Sistemas LDIT: A Função de Transferência 464 5.3-2 Estabilidade 467 5.3-3 Sistemas Inversos 468 5.4 Realização de Sistemas 469 5.5 Resposta em Freqüência de Sistemas em Tempo Discreto 474 5.5-1 Natureza Periódica da Resposta em Freqüência 480 5.5-2 Aliasing e Taxa de Amostragem 483 5.6 Resposta em Freqüência a Partir da Posição dos Pólos-Zeros 485 5.7 Processamento Digital de Sinais Analógicos 493 5.8 Conexão entre a Transformada de Laplace e a Transformada z 499 5.9 A Transformada z Bilateral 501 5.9-1 Propriedades da Transformada z Bilateral 505 5.9-2 Utilização da Transformada z Bilateral para a Análise de Sistemas LDIT 506 5.10 Resumo 508 Referências 508 MATlAB Seção 5: Filtros /IR em Tempo Discreto 508 Problemas 516 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A SÉRIE DE FOURIER 6.1 Representação de Sinais Periódicos pela Série Trigonométrica de Fourier 528 6.1-1 Espectro de Fourier 532 6.1-2 Efeito da Simetria 541 6.1-3 Determinação da Freqüência e Período Fundamental 543 6.2 Existência e Convergência da Série de Fourier 545 6.2-1 Convergência de uma Série 546 6.2-2 Papel do Espectro de Amplitude e Fase na Forma da Onda 547 6.3 Série Exponencial de Fourier 553 6.3-1 Espectro Exponencial de Fourier 556 6.3-2 Teorema de Parseval 561 6.4 Resposta de Sistema LCIT a Entradas Periódicas 563
14 SUMÁRIO 6.5 Série de Fourier Generalizada: Sinais como Vetores! 566 6.5-1 Componente de um Vetor 567 6.5-2 Comparação de Sinal e Componente de Sinal 568 6.5-3 Extensão para Sinais Complexos 570 6.5-4 Representação de Sinais por um Conjunto de Sinais Ortogonais 57 I 6.6 Determinação Numérica de D" 582 6.7 Resumo 584 Referências 584 MATLAB Seção 6: Aplicações de Série de Fourier 585 Problemas 590 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER 7.1 Representação de Sinais não Periódicos pela Integral de Fourier 599 7. I-1 Avaliação Física da Transformada de Fourier 605 7.2 Transformadas de Algumas Funções Úteis 606 7.2-1 Conexão entre as Transformadas de Fourier e Laplace 6 I5 7.3 Algumas Propriedades da Transformada de Fourier 616 7.4 Transmissão de Sinal Através de Sistemas LCIT 632 7.4- I Distorção do Sinal Durante a Transmissão 633 7.4-2 Sistemas Passa-Faixa e Atraso de Grupo 636 7.5 Filtros Ideais e Práticos 639 7.6 Energia do Sinal 642 7.7 Aplicação em Comunicações: Modulação em Amplitude 644 7.7-1 Modulação em Faixa Lateral Dupla, Portadora Suprimida (DSB-SC)* 645 7.7-2 Modulação em Amplitude (AM) 649 7.7-3 Modulação em Faixa Lateral Simples (SSB) 652 7.7-4 Multiplexação por Divisão na Freqüência 655 7.8 Truncagem de Dados: Funções de Janela 656 7.8-1 Usando Janelas no Projeto de Filtros 660 7.9 Resumo 662 Referências 663 MATLAB Seção 7: Tópicos sobre Transformada de Fourier 663 Problemas 668 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM: A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 8.1 Teorema da Amostragem 678 8.1-1 Amostragem Prática 682 8.2 Reconstrução do Sinal 685 8.2-1 Dificuldades Práticas na Reconstrução do Sinal 688 8.2-2 Algumas Aplicações do Teorema da Amostragem 695 8.3 Conversão Analógico para Digital (AID) 697 8.4 Dual da Amostragem no Tempo: Amostragem Espectral 700 8.5 Cálculo Numérico da Transformada de Fourier: a Transformada Discreta de Fourier (TDF) 702 8.5-1 Algumas Propriedades da TDF 714 8.5-2 Algumas Aplicações da TDF 716
SUMÁRIO 15 8.6 A Transformada Rápida de Fourier (FFT) 719 8.7 Resumo 723 Referências 723 MATLAB Seção 8: Transformada Discreta de Fourier 724 Problemas 730 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 9.1 Série de Fourier em Tempo Discreto (SFTD) 738 9.1-1 Representação de um Sinal Periódico pela Série de Fourier em Tempo Discreto 738 9.1-2 Espectro de Fourier de um Sinal Periódico x[n] 740 9.2 Representação de Sinal Não Periódico pela Integral de Fourier 747 9.2-1 Natureza do Espectro de Fourier 749 9.2-2 Conexão entre a TFTD e a Transformada z 757 9.3 Propriedades da TFTD 757 9.4 Análise de Sistema LIT em Tempo Discreto pela TFTD 766 9.4-1 Transmissão sem Distorção 768 9.4-2 Filtros Ideais e Práticos 769 9.5 Conexão da TFTD com a TFTC 771 9.5-1 Utilização da TDF e FFT para o Cálculo Numérico da TFTD 772 9.6 Generalização da TFTD para a Transformada z 773 9.7 Resumo 775 Referência 776 MATLAB Seção 9: Trabalhando com a SFTD e a TFTD 776 Problemas 783 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 10.1 Introdução 792 10.2 Procedimento Sistemático para a Determinação das Equações de Estado 794 10.2-1 Circuitos Elétricos 794 10.2-2 Equações de Estado a partir da Função de Transferência 796 10.3 Solução de Equações de Estado 803 10.3-1 Solução pela Transformada de Laplace de Equações de Estado 803 10.3-2 Solução no Domínio do Tempo de Equações de Estado 809 10.4 Transformação Linear do Vetor de Estado 815 10.4-1 Diagonalização da Matriz A 818 10.5 Controlabilidade e Observabilidade 822 10.5-1 Incapacidade da Descrição por Função de Transferência de um Sistema 826 10.6 Análise por Espaço de Estados de Sistemas em Tempo Discreto 827 10.6-1 Solução no Espaço de Estados 828 10.6-2 Solução pela Transformada z 833 10.7 Resumo 834 Referências 835 MATLAB Seção 10: Toolboxes e Análise por Espaço de Estados 835 Problemas 841 ÍNDICE 847