Fundação Centro de Ciências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP Tutor Eercício : eja a superfície parametriada por ϕu,v) = u,v, v ), com u, v e u+v. a) esenhe. b) etermine o plano tangente a no ponto ϕ/,/4). c) etermine a área de. olução: = u a) Temos : = v com u,v) : u + v, u e v donde, eliminando os = v parâmetros, temos que : = com,) : +, e. Logo, o esboço de está representado na figura que se segue. b) Temos ϕ/,/4) = /,/4,5/6), ϕ ϕ u,v) =,,), u,v) =,, v) donde, u v ϕ u ϕ v = i j k v =,v,). Logo, ϕ u ϕ /,/4) =,/,) é um vetor normal a em ϕ/,/4). Portanto, uma v equação do plano tangente a em ϕ/,/4) é dada por [,,) ϕ, )] ϕ 4 u, ) ϕ 4 v, ) = 4 ou, 4, 5 6 ), ), = ou, + = 7 8.
Cálculo IV EP Tutor c) Temos: ϕ u ϕ v dudv = +4v dudv. v u = v u Enquadrando como tipo II, temos que : v v u v. +4v dudv = v) +4v dv = = +4v dv v +4v dv. }}}} I I Cálculo de I Faendo v = tgθ, temos dv = sec θdθ. Para v = v = temos θ = θ = arctg. Então: I = arctg +tg θ sec θdθ = arctg sec 3 θdθ. o Cálculo II, temos: sec 3 θdθ = secθtgθ+ lnsecθ +tgθ)+c Verifique!) I = [ secθtgθ + lnsecθ+tgθ) ] arctg Faendo u = arctg temos tgu =. Então sec u = + tg u = 5, donde secu = 5 ou secarctg) = 5. Então: 5 I = + 4 ln + ) 5.. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 3 Cálculo de I Temos que: I = Como d+4v ) = 8vdv então: I = 8 v +4v dv = v +4v ) / dv. ) +4v / ) d +4v = 8 [ +4v ) ] 3/ = 5 ) 5. 3 Assim: I I = 5 + 4 ln + ) 5 5 5 + = 5 + 4 ln + ) 5 + u.a. Eercício : Esboce e parametrie as superfícies abaio, indicando o domínio dos parâmetros: a) =,,) R 3 + + = 4, }. b) =,,) R 3 = } 3 + ), + +. c) =,,) R 3 + + =, + }. d) =,,) R 3 + = 4, + 4 }. e) =,,) R 3 + =, + }. olução: a) A superfície está ilustrada na figura a seguir. π/3 3 Usando φ e θ como parâmetros, temos : ϕφ,θ) = senφcosθ,senφsenθ,cosφ), com φ π/3 e θ π. Também podemos definir usando as coordenadas retangulares e. Temos : ϕ,) =,, ) 4, com,) : + 3. Uma outra forma de definir é usando as coordenadas r e θ. Temos : ϕr,θ) = rcosθ,rsenθ, 4 r ), com r 3 e θ π. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 4 b) Encontremos a interseção das duas superfícies: = 3 + ) + + = + +3 + ) = + = 4 = 3. Elas se interceptam segundo uma circunferência contida no plano horiontal = 3/, de centro,, 3/ ) e raio /. 3/ / / Usando as coordenadas e para definir, temos ϕ,) =,, ) 3 + ), com,) : + /4. Outra parametriação seria : ϕr,θ) = rcosθ,rsenθ, 3r), com r / e θ π. c) O esboço de pode ser visto na figura que se segue. Uma parametriação é dada por : ϕ,) =,, ), com,) : +. Outra parametriação seria : ϕr,θ) = rcosθ, rsenθ, rcosθ rsenθ), com r e θ π. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 5 d) O esboço de está na figura ao lado. Adotando θ e como parâmetros, definimos por ϕθ,) = cosθ, senθ, ) com θ π + cosθ senθ. 4 8 e) A superfície está ilustrada na figura ao lado. eja,, ). Então e satisfaem + = ou + ) =. Logo, = cost = +sent com t [,π]. Adotando t e como parâmetros, temos a seguinte parametriação para : com ϕt,) = cost, +sent, ) t π +sent). Eercício 3: eja C =,,) R 3 + ) = }. Ache a área da superfície gerada pela rotação do conjunto C em torno do eio. olução: Uma parametriação da curva C é dada por t) = t) = +cost, t) = sent t π e,,) então,,) pertence à circunferência de raio t) = + cost e de centro,,t)) =,,sent). Então = +cost)cosθ = +cost)senθ = t) = sent com t π e θ π. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 6 Assim, uma parametriação de é dada por com Tem-se : ϕt,θ) = +cost)cosθ, +cost)senθ, sent ) t,θ) : t π θ π. ϕ t = sentcosθ, sentsenθ, cost) ϕ θ = +cost)senθ, +cost)cosθ, ) donde i j k ϕ t ϕ θ = sentcosθ sentsenθ cost +cost)senθ +cost)cosθ = +cost)costcosθ, +cost)costsenθ, +cost)sentcos θ +cost)sentsen ) θ }} = +cost)sent = +cost) costcosθ, costsenθ, sent). Como então ϕ t ϕ θ = +cost) cos } tcos θ+cos tsen θ } +sen t = = cos t = +cost) cos t+sen t = +cost. = π [ t+sent +cost) dtdθ = ] π ϕ t ϕ θ dtdθ π π π dθ = 4π +cost) dtdθ = dθ = 8π u.a. Eercício 4: eja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de,,3) a,3,) em torno do eio. a) ê uma parametriação de. b) Calcule a área de. olução: a) O segmento de reta de,,3) a,3,) é parametriado por γt) =,,3)+t,3,),,3)) =,+t,3 t), com t. Logo, t) =, t) = +t e t) = 3 t, com t. Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 7 A superfície de revolução tem como parametriação: ϕt,θ) = t)cosθ,t)senθ,t)) = +t)cosθ,+t)senθ,3 t) com t,θ) : t θ π. b) Temos que ϕ t ϕ θ dtdθ onde i j k ϕ t ϕ θ = cosθ senθ +t)senθ +t)cosθ ) = +t)cosθ,+t)senθ,+t)cos θ ++t)sen θ }} +t) = +t)cosθ,senθ,) donde ϕ t ϕ θ = +t) cos θ+sen θ + = +t). = 4π +t)dtdθ = π +t)dθdt = +t)dt = 4π [ ] t+t = 8π u.a. Eercício 5: etermine a área do parabolóide = + ), abaio do plano = 8. olução: O esboço da superfície pode ser visto na figura a seguir. 8 efinimos da seguinte maneira: : = + ) = f,), Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 8 com,) : + 4. Como então: Em coordenadas polares, temos: + +4) +4) dd = +6r rdrdθ = rθ = π 3 ) f ) f + dd π +6 +6 dd. +6r ) / rdθdr = +6r ) / d +6r ) = π 6 [+6r ) 3/] = 3 = π 4 65 65 ) u.a. Eercício 6: Calcule a área da superfície parte do plano + + = a, interior ao cilindro + = a. olução: A superfície está ilustrada na figura ao lado. Temos : = a = f,), com,) : + a. Como a ) f ) f + + dd a a então + ) + ) dd = 3 dd = 3 A) = 3πa u.a. Eercício 7: Calcule a área da superfície = +, ) +4. olução: Tem-se : = + }}, com,) : ) +4. Como é o gráfico de = f,) = f,),com,), usaremos a fórmula +f ) +f ) dd. Tem-se: f = f = + +. C Consórcio CEERJ
Cálculo IV EP Tutor 9 Então: +f ) +f ) = + + + + = + + + =. dd = Como é uma elipse com a =, b = /, então A) = πab = π = π. π u.a. dd = A). Eercício 8: etermine a área da porção da esfera + + = 4, cortada pela parte superior do cone + =. olução: e + + = 4 e + = temos + = e =. Logo, a curva interseção das superfícies é a circunferência + = contida no plano =. O esboço de está representado na figura a seguir. π/4 Uma parametriação de é: : ϕφ,θ) = senφcosθ,senφsenθ,cosφ) com φ π/4 φ,θ) : θ π a aula 9, temos que d = 4senφdφdθ. Como d então 4senφdφdθ = 4 = 8π [ cosφ ] π/4 = 8π π/4 π senφdθdφ = 8π ) = π 8 4 ) u.a. π/4 senφdφ = Consórcio CEERJ