EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 2

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1 UNIVERSIAE FEERAL A PARAÍBA CENTRO E CIÊNCIAS EXATAS E A NATUREZA EPARTAMENTO E MATEMÁTICA EXERCÍCIOS E CÁLCULO RESPOSTAS E SOLUÇÕES Prof. Marivaldo Matos joão pessoa pb outubro/999

2 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS A mathematician is one to whom e d π is as obvious as that twice two makes four is to ou. Liouville was a mathematician. LOR KELVIN. REVISÃO.. Enuncie e dê uma interpretação geométrica do Teorema do Valor Médio... Mostre que uma função com derivada nula num intervalo é constante nesse intervalo... Qual a área do maior retângulo inscrito num círculo de raio R com um lado sôbre um diâmetro?.4. Mostre que log >. Visualie a situação geometricamente..5. Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo..6. Qual a área da região do plano delimitada pelos eios coordenados e pela curva >.?.7. Calcule a derivada de cada função abaio no ponto. a F t e dt b G cos t dt.8. Qual a equação do cone obtido girando a reta a b em torno do eio?.9. Qual o lugar geométrico descrito pela equação? Esboce seu gráfico no o octante... Qual a equação do plano tangente à esfera no ponto?.. Qual o lugar geométrico descrito pela equação?.. Na página seguinte você encontrará relações entre as coordenadas cartesianans e as coordenadas cilíndricas e esféricas de um ponto. Por observação das figuras dedua as relações apresentadas... Identifique e esboce o gráfico da quádrica de equação. etermine sua equação nas coordenadas esféricas ρ θ ϕ.

3 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS.4. Identifique o sólido descrito pelas desigualdades R e..5. Identifique o sólido descrito por e escreva sua equação nas coordenadas cilíndricas r θ. COORENAAS ESFÉRICAS ρ senϕ cosθ ρ senϕ senθ ρ cosϕ ϕ ρ P θ COORENAAS CILÍNRICAS r cosθ r senθ P θ r

4 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 4. APLICAÇÕES A INTEGRAL ÁREAS PLANAS Seja a região do plano delimitada pelo eio pelo gráfico de uma função contínua não negativa f e pelas retas a e b conforme mostra a figura ao lado. A área da região é dada pela integral simples b A f d a f a b.. Calcule a área de um círculo de raio R e da elipse de equação a. b.. Calcule a área da figura delimitada pelo eio pelas retas ± B B > e pelo gráfico da função ep. Esta área tem um limite quando B?.. Considere B um número real maior do que. Calcule a área sob a curva e B. Esta área tem um limite quando B? log entre COMPRIMENTO E CURVAS A. FORMA CARTESIANA Considere uma curva no plano que é representada pelo gráfico de uma função f a b contínua com derivada primeira também contínua uma tal função é dita de classe C e denote por L o seu comprimento conforme indica a figura ao lado. O valor de L é dado por b d L d a d L a b.4. etermine o comprimento de uma circunferência de raio R.

5 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 5.5. As curvas abaio são dadas na forma cartesiana. Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado: a b e c π d e f lnsen g. h i 4 j k l 6 π 6 4 B. FORMA PARAMÉTRICA t Neste caso as curvas são descritas por um par de equações onde o parâmetro t varia t num intervalo [ a b] sendo t e t funções de classe C neste intervalo. O comprimento L vem dado por d d L dt dt.6. Calcule o comprimento de um círculo de raio R usando as equações paramétricas..7. Por observação da figura ao lado estabeleça a seguinte parametriação para a elipse do eercício.: acos t bsent t π. dt.8. Imitando o que foi feito no eercício B obtenha para a hipérbole a t a sect parametriação. t btgt b a seguinte.9. Calcule o comprimento da Hipociclóide de equação a... Calcule a distância percorrida por uma partícula entre os instantes t e t 4 se sua t posição P no instante t é dada por. t

6 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 6.. As curvas dadas abaio estão na forma paramétrica. Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado: a t t t t t b t t e cost t t e sen t t t sen t c t cos t t π d t t cost t t sen t t π t cost e t sen t t π f t t t t t t t.. Considere a curva c dada por t t t. Pede-se a equação da reta t t 5t t R. tangente à curva c no ponto correspondente a t e os pontos da curva onde a reta tangente é horiontal ou vertical... Repita o eercício.8 para as curvas do eercício. considerando para facilitar os cálculos o ponto correspondente a t. COORENAAS POLARES.4. Localie os seguintes pontos dados em coordenadas polares r θ e em seguida obtenha as coordenadas cartesianas correspondentes: a π 4 b π c π 6 d π 4 e 5 π 6.5. Encontre as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: a b π π c d e.6. Passe para forma polar r f θ cada curva dada a seguir em coordenadas cartesianas: a b c 5 5 d e f 4.7. Passe para a forma cartesiana F cada curva dada a seguir em coordenadas polares. Esboce o gráfico em cada caso: a r θ b r sen θ c r sen θ d r 5 e r a cosθ f r 5 cosθ g r secθ h r tgθ i r cosθ j r sen θ a cosθ l r m r π 4 4 n θ o r p r θ cosθ cosθ

7 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 7.8. Sejam r θ e ρ ϕ as coordenadas polares dos pontos P e Q respectivamente. Usando a lei dos co-senos mostre que a distância entre P e Q é dada por dist P Q r ρ rρcos θ ϕ.9. Usando o eercício anterior conclua que em coordenadas polares o círculo de centro no ponto ρ ϕ e raio a > tem equação polar r ρ rρ cos θ ϕ a... Considere a curva de equação polar r senθ cosθ θ [ π 4 π 4]. e duas maneiras identifique a curva como um arco de circunferência: primeiro passe a equação para coordenadas cartesianas; depois coloque a equação no conteto geral do eercício.9... Mostre que cada uma das equações dada a seguir representa uma reta e esboce seu gráfico: θ c; r cos θ ± a ; r sen θ ± a. Generaliando mostre que se N ρ ϕ é o pé da perpendicular traçada do pólo a uma reta que não passa pelo pólo então a equação da reta será r cos θ ϕ ρ ou r A cosθ ρ B senθ onde A cosϕ e B senϕ.. Estude a interseção entre os seguintes pares de curvas: a r e r 4cosθ b r 4senθ e r cosθ π c r cosθ e r e θ e r cosθ cos θ 4 COMPRIMENTO E CURVAS FORMA POLAR As curvas em coordenadas polares aqui consideradas são descritas por uma equação da forma r f θ sendo f uma função contínua juntamente com sua derivada primeira num intervalo [ θ θ ]. Veja a figura ao lado. O comprimento L da curva vem dado por r f θ θ θ L θ θ θ L f θ f θ dθ θ O EIXO.. Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar: π a r cos θ θ 4 π b r cosθ θ c r secθ θ π

8 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 8 d r senθ θ π e r π π θ θ f r cos θ θ π g r a sen θ θ h r aθ π π θ i r senθ cosθ θ ÁREA EM COORENAAS POLARES ada uma curva na forma polar pela equação r f θ a região delimitada pela curva e pelas retas θ θ e θ θ tem área igual a A f θ dθ θ θ O θ θ θ θ EIXO.4. etermine a área total interior a cada curva dada abaio na forma polar: a r a cosθ b r a cos θ c r a cos θ d r a senθ e r cosθ f r a cos θ.5. Calcule a área interior ao círculo r a e eterior à cardióide r a cos θ. Esboce um gráfico..6. Calcule a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares por r θ π e θ π Calcule a área interior à cardióide r a senθ e eterior ao círculo r a senθ..8. Calcule a área comum aos círculos r a cosθ e r a senθ..9. Calcule a área interior a Leminiscata de Bernoulli r a cos θ e eterior ao círculo r a... Calcule a área interior ao círculo r a cosθ e eterior à cardióide r a cos θ... Calcule a área da rosácea de 4 folhas r a sen θ. ver figura

9 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 9.. Calcule a área da região interior ao círculo r cosθ e eterior à cardióide de equação r sen θ... Calcule a área da região interior ao círculo r senθ e eterior à cardióide de equação r cosθ. ALGUMAS CURVAS ESPECIAIS Hipociclóide: a cos t a sen t Espiral de Arquimedes: r aθ Caracol de Pascal: r a bcosθ Leminiscata de Bernoulli: r π 4 a cosθ π 4 o ab SUPERFÍCIES E REVOLUÇÃO A. EQUAÇÃO E UMA SUPERFÍCIE E REVOLUÇÃO Seja c uma curva no plano descrita pela relação F e seja S a superfície obtida pela rotação da curva c em torno do eio. É claro que cada ponto da curva c irá descrever uma circunferência de centro no ponto C. Veja a figura ao lado. A superfície S é representada na forma vetorial pela equação CP CQ e na forma cartesiana sua equação é F ±. No caso da curva ser dada na forma eplícita por f a

10 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS equação cartesiana assume a forma seguinte: [ f ]..4. Identifique a geratri e o eio de rotação da superfície de revolução cuja equação é a b c d a e f B. VOLUMES: SÓLIOS E REVOLUÇÃO B. MÉTOO AS FATIAS O sólido S é gerado pela rotação da região em torno da reta eio c. O volume infinitesimal é dado por dv κ R c d e o volume de S pode ser calculado pela fórmula b vol S π[ R c ] d a onde R f c. f a b c R f c B. MÉTOO AS CASCAS CILÍNRICAS Aqui o sólido S é gerado pela rotação da região em torno da reta eio c. O volume infinitesimal agora é dado por dv κ [ c d c ] f e o κ c f d volume de S será dado pela soma desses volumes infinitesimais isto é b vol S π c f d. a c f a b R c.5. Em cada caso abaio esboce a região delimitada pelas curvas dadas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eio indicado: 4 a ; eio b 4 ; eio c 4; eio 4 d ; eio e 4; eio f ; eio g 4 ; eio h ; eio

11 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS.6. Uma região do plano é delimitada pelo triângulo de vértices h e hr sendo h e r números positivos. Calcule o volume do sólido resultante da rotação da região em torno do eio. E se a rotação fosse em torno do eio?.7. Qual o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio da região do plano eterior à parábola limitada pelas retas e?.8. Na figura ao lado a curva indicada tem equação. etermine o volume do sólido em cada situação a seguir: a R gira em torno do eio ; b R gira em torno da reta BC; c R gira em torno do eio ; d R gira em torno da reta AC. B R C R A.9. É feito um orifício de raio pelo centro de um sólido esférico de raio R 4. Calcule o volume da porção retirada do sólido..4. Calcule o volume de um tronco de cone circular reto de altura h raio da base inferior R e base supeior de raio r..4. Calcule o volume de uma calota determinada numa esfera de raio r por um plano cuja distância ao centro da esfera é h < r..4. Calcule pelos dois métodos Fatias e Cascas Cilíndricas o volume do sólido obtido por rotação da região do plano delimitada pela curva e o eio em torno do eio..44. Ao girar em torno do eio uma certa região do plano obteve-se a seguinte epressão para o volume do sólido resultante Indique a região e calcule o volume V. 4 V π cos sen d. π.45. Observando a figura ao lado identifique o sólido de revolução cujo volume é: a e d c b a b a b πf πf π f d d d b c d π [ f πe b c ] d f πe b c b a b a π f d πf d πd a e d R R R a c b

12 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS.46. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta da região delimitada pelas retas e use rotação de eios..47. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio do disco delimitado pela circunferência a b < b < a. Esta superfície é denominada toro de revolução. Esboce o gráfico do toro. B.. VOLUMES SÓLIOS GERAIS O Método das Fatias pode ser utiliado no cálculo do volume de um sólido qualquer quando se conhece a área das seções transversais perpendiculares ao eio por eemplo. e fato suponhamos que um sólido S é limitado pelos planos a e b e que A denota a área da seção transversal no ponto. O volume V da fatia compreendida entre e é dado por V A de modo que o volume do sólido S que é a soma de todos esses volumes infinitesimais vem dado por vol S A d Esta fórmula será utiliada nos eercícios.48 a A base de um sólido é o disco a. Cada seção transversal do sólido determinada por planos perpendiculares ao eio é um quadrado cujo lado está sobre a base do sólido. Calcule o volume do sólido..49. A base de um sólido é a região do plano limitada pelo eio e pela curva sen π. Toda seção plana do sólido perpendicular ao eio é um triângulo equilátero com um dos lados sôbre a base do sólido. Calcule o volume do sólido..5. e um cilindro circular reto de raio r corta-se uma cunha por meio de um plano passando por um diâmetro da base e formando um ângulo de 45º com o plano da base. Calcule o volume da cunha..5. As seções transversais de um sólido por planos perpendiculares ao eio são círculos cujos diâmetros estão compreendidos entre as curvas e 8. Sabendo-se que o sólido se b a

13 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS encontra entre os planos perpendiculares ao eio que passam pelos pontos de interseção dessas curvas encontre seu volume. ÁREA E UMA SUPERFÍCIE E REVOLUÇÃO Antes de deduir a fórmula para o cálculo da área de uma superfície de revolução vamos calcular de maneira bem simples a área de duas superfícies bastante familiar: o cilindro e o cone circular reto. Para o cilindro de raio R e altura H quando cortado e aberto sua área é calculada como se ele fosse um retângulo. πr S H S H R A S π RH Para o cone adotaremos um procedimento semelhante. Começaremos calculando a área de um setor circular e o comprimento do arco. Considere um círculo de raio R centrado na origem. A circunferência tem equação polar r R de modo que a área A do setor circular e o comprimento s do arco são dados pelas epressões A R dθ R θ I θ s R dθ Rθ. II θ θ θ Combinando I e II obtemos A Rs. O s θ R θ θ EIXO Considere agora o cone circular reto de altura H geratri g e raio da base R o qual é cortado e aberto conforme mostra a figura abaio S H g R S πr g

14 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 4 e acordo com a fórmula obtida para a área de um setor circular se S representa a superfície cônica deduimos que A S π R g πr R H CASO GERAL Consideremos uma superfície de revolução S obtida pela rotação em torno do eio do gráfico de uma função f a b suposta contínua e com primeira derivada contínua. Temos que a área infinitesimal da pode ser aproimada pela área do cilindro de raio f e altura ds ds é o comprimento do arco infinitesimal de modo que a área total da superfície vem dada por b πf ds f f A S π a b a d f ds a b f.5. Calcule a área de uma esfera de raio R. [Re sp. 4π R ].5. Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva 4 em torno do eio. [ resp. 4 π { } 85. ].54. Calcule a área do cone gerado pela rotação do segmento de reta em torno do eio. [ resp. 9π ].55. A curva 8 4 gira em torno do eio. Calcule a área da superfície resultante. [ resp π ].56. Calcule a área do parabolóide 4π / 4.[ resp. [7 / 4 / 8] 6.8]

15 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 5. FUNÇÕES LIMITES e CONTINUIAE.. Esboce os subconjuntos do plano cartesiano R dados abaio faendo uma análise topológica dos mesmos. etermine a fronteira e o conjunto dos pontos de acumulação de cada um deles: a A { ; < } b B [] [] c C { ; > e > } d { ; e } e E R [] f F { ; } g G { ; > e < } h H ][ [ [ i I ; } j J { ; < } k K { ; } l L { ; < } m M { ; e < } n N [] R o O { ; 4 < < 9}.. Encontre os subconjuntos nos quais as epressões abaio definem funções: a f 4 b f 4 d f g f 4 tg e g c f log 4 f f log h h u u i f 4 / 9.. Para cada função dada abaio esboce algumas de suas curvas de nível de modo a ter uma idéia do gráfico da função: a b log c 9 d e f 4 9 g 8 h i.4. Esboce a curva de nível da função 4 que passa pelo ponto..5. Identifique as superfícies de nível da função w correspondentes w..6. Identifique e esboce a superfície de nível da função ϕ que passa pelo ponto..7. Para a função f se calcule os limites: se

16 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 6 h f h f h f h f h h lim e lim..8. Verifique se as funções abaio têm limite na origem: j i h g f e d c b a.9. Mostre que a função de três variáveis f não tem limite na origem... Calcule os seguintes limites: lim log a b sen lim c sen sen cos lim d sen sen sen lim lim arctg e f lim 4 ] 4 cos lim [ g π sen lim h lim i.. Usando a definição de limite prove que: 4 lim lim lim lim sen lim lim lim 5 lim lim 5 lim lim l j i h g f e d c b a.. Mostre que: a lim cos b lim sen cos c lim

17 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 7.. Para a função f calcule o limite na origem ao longo dos caminhos: eio reta curva 4. O que você pode concluir sobre o limite da função na origem?.4. Verifique se a função dada é contínua no ponto indicado:. ; ; 4 ; 5 7; log ep P f d P se se f c P f b P f a.5. Para cada função abaio esboce seu domínio máimo de definição e epressando-a em termos de funções elementares justifique sua continuidade. arcsen log arccos a f b f c f d f e f f f g f iscuta a continuidade das seguintes funções: 4 4 sen > > > se se f f se se f e se se f d se se h c se se g b se se f a.7. Considere g e h funções definidas em R por se se h se se g. Mostre que é uma descontinuidade removível da função g e essencial da função h.

18 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 8 sen se.8. Mostre que a função f cos se origem. É esta descontinuidade essencial ou removível? é descontínua na.9. Considere a função f se e f. efina a f h f função g pela epressão g lim. Calcule g g e g. h h ep.. Mostre que a função definida em R se por f se f contínua em todos os pontos do R. Calcule os limites lim h f lim h e. ho h ho h é.. Considere a função f se e f. a Calcule o limite de f na origem ao longo de um feie de retas passando pela origem; b Calcule o limite de f na origem ao longo do caminho e ; π c Calcule o limite de f na origem ao longo do caminho r cos θ θ ; d Estude a continuidade de f.

19 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 9. ERIVAAS IFERENCIABILIAE e APLICAÇÕES A. ERIVAAS PARCIAIS.. Para cada função dada abaio calcule as derivadas e : a 5 sen b d arctg e ep 4 c f log.. Para cada função abaio calcule a derivada parcial indicada: a f arcsen ; f b f e sec ; f 4 c f arctg ; f e f d f ; f e f.. Para a função φ ep se e φ. calcule caso eistam as derivadas φ φ φ e φ..4. Considere a função f a Mostre que f f ; se se. b Estude a continuidade das derivadas f e f na origem..5. Mostre que as derivadas parciais de a ordem da função embora eistam em todo ponto do R com não são contínuas na origem..6. Considere três funções reais ϕ t ξ t e ψ t deriváveis até a ordem e satisfaendo às condições ϕ λ ϕ e ψ t c λ ψ t sendo λ constante. Mostre que as funções u t ϕ ψ t e v t ξ ct satisfaem a equação linear de ondas w c w.7. Mostre que a função u t ep t > k cte satisfa a equação de t 4kt transmissão de calor wt kw..8. O Operador Laplaciano em R é definido por. Mostre que as funções u arctg e u e cos satisfaem a equação de Laplace u. tt.

20 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS.9. etermine condições sobre as constantes A B C E e F para que a função u A B C E F satisfaça a equação de Laplace... Sejam u e v funções com derivadas parciais contínuas até a ordem e satisfaendo as equações u v e u v. Mostre que u e v satisfaem a equação de Laplace... Mostre que w satisfa a equação w w w. B. REGRA A CAEIA.. Considere as funções f log sen t dt e g epcos t dt. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia calcule as derivadas de segunda ordem f e. g.. Se f sen log mostre que f f..4. Seja f definida no aberto { R ; }. Mostre que f e f são identicamente nulas em mas f não é constante..5. Considere uma função real derivável f :R R e a partir dela defina as seguintes funções ϕ f e ψ f. Mostre que as funções ϕ e ψ satisfaem ϕ ϕ e ψ ψ..6. Calcule d dt nos seguintes casos: a e e ; t e sen t b ; tg t e cos t c log ; logt e e t d u v w v uvw ; u t v t e w.7. Em cada caso abaio calcule as derivadas w e w : a w u v ; u e v b w log t s ; t e s c w cosh u 7v; u e v d w cos ξ η ; ξ e η..8. Para a função f ep t dt e admitindo que rs 4 e r 4 s calcule as derivadas f f s r e f. r s

21 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS.9. Se ρ ρ ρ ρ r i j e r r mostre que f r satisfa a equação rr r onde a r função real f é suposta duas vêes derivável... Admitindo a eistência e continuidade das derivadas envolvidas e considerando w f u e u g mostre que w f u[ g g ] f u g... Uma função f : R R é dita homogênea de grau n quando satisfa a relação n f t t t f t R. Mostre que toda função homogênea de grau n satisfa a equação f f nf. Verifique que as seguintes funções são homogêneas a b... Admita que as derivadas parciais de primeira ordem das funções u e v são contínuas em um domínio e que neste domínio valem as relações u v e u v. Se r cosθ e r senθ prove que u v v u e. r r θ θ r θ.. Admitindo a continuidade das derivadas parciais de primeira ordem das funções u e v e supondo válida a relação e u u uv prove que u e u u u v v u u. C. IFERENCIABILIAE.4. Considere a função f se. se a Prove que f é contínua na origem; b Prove que as derivadas parciais f e f eistem na origem mas aí estas funções não são contínuas; c Verifique que f não é diferenciável na origem. Por que isto não contradi o Lema Fundamental?.5. iscuta a veracidade das seguintes afirmações:

22 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS a Toda função diferenciável possui derivadas parciais de a ordem contínuas; b Toda função diferenciável é contínua; c Se uma função de duas variáveis possui derivadas parciais de primeira ordem então ela é contínua..6. Usando o Lema Fundamental verifique que as funções dadas a seguir são diferenciáveis nos domínios indicados: 4 b log ; R \ { } a ; R c ; R \ e { } d ; { R ; }.7. Verifique que a função f sen se se é diferenciável na origem embora as derivadas parciais f e f sejam aí descontínuas..8. Estude a diferenciabilidade da função dada no ponto indicado: a f e : P b f ; P c f cos ; P d f ; P e f ; P f f ; P g f ; P h f se e ; P se se ou.9. Calcule a diferencial das seguintes funções: a f 5 4 c f sen b f e d f arctg.. Seja f se e f. Verifiquee que as derivadas parciais de primeira ordem de f embora eistam na origem f não é aí diferenciável... Se f é uma função diferenciável de duas variáveis e f mostre que.

23 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS. APLICAÇÕES.. Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto indicado: 5 7 a P 4 c P 4 b P d 4 4 P Uma função diferenciável f satisfa as condições: f f 5 e f 8. Encontre valores aproimados para f 8.. f Usando diferencial calcule o valor aproimado de sen[ 99. log. ] e Um tanque cilíndrico metálico tem altura de m e raio de 8 cm em suas dimensões internas. Se a espessura das paredes é de 5 mm calcular a quantidade aproimada de metal usada na fabricação do tanque. [resp cm com ero da ordem -6 ].6. ois lados de uma área triangular medem m e m com possíveis erros de cm. O ângulo entre eles é de 6 com possível de. Calcule o erro aproimado da área triangular [resp. 5 m ].7. Um observador vê o topo de uma torre sob um ângulo de elevação de com um possível erro de. Sua distância da torre é de m com um possível erro de cm. Qual a altura aproimada da torre e seu possível erro? [resp. h m e o erro 756 m. Usar rd ].8. As dimensões de uma caia retangular são 5m 6m e 8m. Se cada dimensão aumenta de m qual é aproimadamente o volume resultante?.9. uas resistências r e r estão conectadas em paralelo isto é a resistência equivalente R é dada por. Supondo que r ohms e aumenta de ohms e r 5 ohms e diminui R r r de 5 ohms calcule a variação resultante de R. [resp. /64 ].4. O comprimento l e o período T de um pêndulo simples estão relacionados pela equação l T π. Se o valor de l é calculado para T seg e g pes s determine o erro g cometido se na realidade T seg e g pes s. [resp π % ].4. Uma indústria vai produir de mil caias de papelão fechadas com dimensões dm 4 dm e 5 dm. O custo do papelão a ser usado é de R$ 5 por dm. Se as máquinas usadas no corte do

24 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 4 papelão cometem erro de 5 dm em cada dimensão determine o erro aproimado na estimativa do custo do papelão. [resp. R$. ].4. Uma caia sem tampa vai ser fabricada com madeira de 6 cm de espessura. As dimensões internas da caia sendo 6 cm de comprimento cm de largura e 4 cm de altura calcule a quantidade aproimada de madeira usada na fabricação da caia. E. ERIVAA IRECIONAL e GRAIENTE.4. Calcule a derivada direcional da função f no ponto P na direção indicada: a 5 ; P na direç ão da reta ; b e ; P na direç ão do vetor v ρ ρ 4i j. c ; P na direção tangente à curva 5 5 em..44. Calcule f u ρ P nos seguintes casos: a f e sen e sen ; P e u i j k. b f ρ ρ ρ ρ ; P e u i j k. ρ ρ ρ ρ c f log ; P e u i j k. π ρ ρ ρ.45. Calcule o valor máimo da derivada direcional da função no ponto indicado: a w ; P. b w e cos ; P π..46. Seja f uma função diferenciável em cada ponto do círculo. Mostre que a derivada direcional de f no ponto na direção da tangente ao círculo é f f.47. Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada no ponto indicado:. a ; P b 6 ; P c ; P 4 5 d 9 ; P.48. Seja c a curva no espaço descrita pelas equações sen t sen t cos t. a etermine a reta tangente e o plano normal à curva c no ponto correspondente a t π 4. b Mostre que a curva c está contida na superfície de equação..49. etermine em cada caso f e verifique diretamente que este vetor é normal às curvas ou superfícies de nível:

25 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 5 a f b f..5. Seja f 5 e denote por v ρ o campo de vetores normais eteriores à esfera de equação R. Calcule a derivada direcional v ρ f..5. Calcule a derivada direcional no ponto P 4 5 da função w na direção da tangente à curva no ponto considerado Considere a função f se e f. Mostre que a função f tem derivada direcional na origem em qualquer direção mas não é aí diferenciável..5. Admitindo as operações possíveis e considerando λ constante prove as seguintes regras do cálculo: a af g a f g b fg f g g f [ c f g g ] g f f g..54. Seja ρ ρ ρ ρ r i j k o vetor posição do ponto P e denote por r sua norma. ada uma função real derivável f t mostre que ρ f r f r r r e log. r Como consequência calcule r r α.55. Sejam < α < e f. Mostre que f f e que f não possui derivada em qualquer outra direção na origem..56. ncontre a reta tangente a curva dada no ponto indicado: 4 6 a ; P b ; P.57. Calcule a derivada no ponto P da função w na direção da reta que passa pelos pontos A e B Considere as funções diferenciáveis f e g tais que f g e f g e denote. ρ ρ por α f a derivada direcional de f na direção do vetor cosα i sen α j. Prove que f g e f cos β f sen β f. α π α α β α α π.59. Considere a curva de equações paramétricas t t e t < t <. a Encontre a reta tangente e o plano normal no ponto 4 8 ; Q

26 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 6 b Encontre a reta tangente que passa pelo ponto P ; P c Eiste reta tangente passando no ponto Q?.6. Seja f :R R derivável com f t t. Se g f mostre que a derivada direcional v ρ g será máima quando ρ ρ ρ v i j..6 Se f :R R é uma função derivável mostre que os planos tangentes à superfície de equação f passam todos pela origem..6. Encontre o plano tangente à superfície que é paralelo ao plano de equação 7 5. F. APLICAÇÕES.6. A temperatura T no ponto de uma placa metálica circular com centro na origem é dada por T 4 / C Qual a direção que se deve tomar a partir do ponto A de modo que T aumente o mais rápido possível e com que velocidade T aumenta ao se passar pelo ρ ρ ponto A? [resp. i j ; 5 C / cm].64. Um ponto P se move ao longo de uma curva c em um campo escalar diferenciável w f a uma velocidade ds dt. Se T ρ é o vetor tangente à curva c prove que a taa ρ T. w ds. dt instatânea de variação de w em relação ao tempo no ponto P é.65. A superfície de um lago é representada por uma região do plano de modo que a profundidade em metros sob o ponto é f. a Em que direção um bote em P49 deve navegar para que a profundidade da água mais rapidamente? b Em que direção a profundidade permanece a mesma? decresça.66. A análise da temperatura T de cada componente é fundamental para o planejamento de um chip de computador. Suponhamos que para que um chip opere adequadamente a temperatura de cada componente não deva eceder 78 F. Se um componente tende a aquecer os engenheiros costumam colocá-lo em uma parte fria do chip. O planejamento de chip é auiliado por simulação em computador em que se analisam os gradientes da temperatura. Uma simulação para um novo chip resultou na malha de temperaturas em F eibida na tabela ao lado

27 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 7 a Use as relações f a b h [ f a h b f a h b] e f a b [ h f a b h f a b h ] e calcule o valor aproimado de T ; b Estime a direção da transferência máima de calor no ponto ; c Estime a taa instantânea de variação de T em na direção ρ ρ ρ v i j mm A superfície 58 representa um terreno irregular e um grupo de turistas está situado na origem. Um turista grego parte para Meca indo diretmente para o leste ao longo da direção positiva do eio. Se ele viaja a uma velocidade constante de km/h qual sua velocidade de descida ao fim de uma hora?.68. A temperatura num ponto de uma placa retangular é T sen. O ponto P se move no sentido horário ao longo do círculo unitário centrado na origem a uma velocidade constante de duas unidades de comprimento de arco por seg. Qual a velocidade de variação da temperatura no ponto P?

28 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 8 4. MÁXIMOS e MÍNIMOS 4.. Encontre e classifique os pontos críticos de cada função dada abaio: a b c d e 4 6 f log 4 g 4 h 4 9 i Encontre o máimo e o mínimo absolutos em de cada função dada abaio: a ; : b ; : [ ] [ ] c ; : d e cos ; : [ ] [ π π ] 4.. Mostre que no domínio { R ; > e > } 4 a função do e 4. f não tem mínimo. Qual o maior valor que assume em? ê eemplo de uma função contínua em que não possui máimo nem mínimo Encontre os pontos da curva cos t sent e sen t mais distantes da origem Quais das seguintes funções tem máimo ou minimo em todo plano R? 4 a ep b ep c ep d e e e e sen cos e 4.6. Encontre os pontos da superfície de equação mais próimos da origem Encontre a menor distância da origem à curva. Porque o método dos multiplicadores de Lagrange não funciona neste caso? 4.8. Pelo método dos multiplicadores de Lagrange resolva os seguintes problemas de etremos vinculados: a 4 ; 4 π b cos cos ; π c ; d ; e ; f ; 4 4 g ; h ; 4.9. Calcule a distância mínima do ponto P à parábola Ache a menor e a maior distância da origem à curva de equação

29 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS Seja c a curva interseção do elipsóide 4 4 com o plano 4. Encontre o ponto da curva c mais próimo da origem. 4.. Encontre números positivos cuja soma seja 5 e seu produto seja o maior possível. 4.. Prove que: se e são números reais não negativos então Encontre o ponto do parabolóide mais próimo do ponto Encontre o ponto da elipse 4 6 mais próimo da reta Calcule o maior valor assumido pela função f sen sen sen na região compacta R: π ; π ; π Encontre os etremos da função 8 no quadrado Q: [][] Calcule o maior valor da epressão quando e etermine o mínimo da função f t t sujeita às condições t t e t etermine e identifique os pontos críticos da função f sujeita à condição. 4.. Calcule a distância da parábola à reta. 4.. Calcule a distância da superfície ao plano 6 6. PROBLEMAS E MÁXIMOS e MÍNIMOS 4.. A temperatura T no disco é dada por T. Em que ponto do disco a temperatura é mais alta e em que ponto ela é mais baia? 4.4. A temperatura T no ponto P da esfera 4 é dada por T P. Em que ponto da esfera a temperatura é máima? Em que ponto ela é mínima? 4.5. Uma caia retangular sem tampa deve ter m de volume. etermine suas dimensões de modo que sua área total seja minima etermine o volume da maior caia retangular com lados paralelos aos planos coordenados que pode ser colocada dentro do elipsóide. a b c

30 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 4.7. Encontre a reta que melhor se ajusta aos dados 7 e 8. Utilie o Método dos Mínimos Quadrados: seja f α β a reta procurada e determine α e β que minimiam a função E α β [ f ] i i i. Esta reta é denominada Regressão Linear e todos os paralelepípedos retângulos com mesmo volume mostre que o de menor área é o cubo entre os triângulos com perímetro p mostre que o equilátero é o que possui área máima. [sug. a área é A s s a s b s c onde p s a b c] 4.. Um paralelepípedo retângulo possui de suas faces nos planos coordenados. Seu vértice oposto a origem está no plano 4 6 e no primeiro octante. Ache esse vértice de modo que o paralelepípedo tenha volume máimo. 4.. Uma janela tem a forma de um retângulo superposto por um triângulo isóceles conforme mostra a figura ao lado. Se o perímetro da janela é m calcule e θ de modo que a janela tenha área máima. θ 4.. Uma indústria planeja fabricar caias retangulares de 8 m de volume. etermine as dimensões que minimiem o custo se o material para a tampa e o fundo custa o dobro do material para os lados. 4.. Calcule o volume da maior caia retangular que tem três de seus vértices no primeiro octante sobre os eios e e um quarto vertice no plano de equação Uma tenda é projetada na forma de um cilindro circular reto com teto de forma cônica como mostra a figura ao lado. Se o cilindro tem raio 5m e área total da superfície que envolve a tenda é m calcule a altura H do cilindro e a altura h do cone de modo que a tenda tenha maior espaço interno. H h 4.6. Três componentes elétricos de um computador estão localiados em A B4 e C4. etermine a posição de um quarto componente de modo que a demora do sinal seja mínima.

31 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 4.7. A tabela a seguir relaciona as médias semestrais e as notas do eame final de de alunos de CálculoII período 96.. Média Semestral Eame Final Ajuste uma reta a esses dados para estimar a nota do eame final de um aluno cuja média semestral seja A figura ao lado eibe a posição relativa de três cidades A B e C. Urbanistas pretendem aplicar o método dos mínimos quadrados veja e. 4.8 para decidir onde construir uma nova escola que atenda às três comunidades. A escola será construída em um ponto P tal que a soma dos quadrados das distâncias das cidades A B e C à escola seja mínima. etermine a posição relativa do local da construção. A C56 P B Três genes A B e O determinam os quatro tipos sangüíneos humanos: A AA ou AO B BB ou BO O OO e AB. A lei de Hard-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos de uma população que são portadores de dois genes diferentes é dada pela fórmula Ppqprrq onde p q e r são as proporções de genes A B e O respectivamente na população. Prove que P não deve eceder. Note que p q e r são não negativos e pqr A resistência de uma viga retangular varia como o produto de sua largura pelo quadrado de sua profundidade. Ache as dimensões da viga de maior resistência que pode ser cortada de um toro cilíndrico cujas seções transversas são elípticas com eios maior e menor medindo 4 cm e 6 cm respectivamente.

32 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 5. FUNÇÕES IMPLÍCITAS e TRANSFORMAÇÕES 5.. Em cada caso abaio verifique a validade do Teorema da Função Implícita e calcule e : a ; P b log ; P c log e ; P d log ; P 5.. Use o Teorema da Função Implícita e calcule d d no ponto especificado: a cos ; P b log ; P 5.. etermine e onde f é definida pela equação: a b c cos 5.4. Resolva o sistema u v sen para obter u e v como funções de e. u v 5.5. Usando a lei PVkT para um gás ideal prove a relação P V V T T P Considere a equaçãof sendo F uma função diferenciável de três variáveis. Se num ponto P tem-se F P F P F P e F P mostre que Calcule o Jacobiano das seguintes transformações: a u v 4 b u v c u e v 5 d r cosθ r senθ e u v w f u cos v sen w g r cosθ r senθ h ρ sen ϕ cosθ ρ senϕ senθ ρ cosϕ 5.8. Admitindo a continuidade das derivadas envolvidas prove que: a u v u v b u v u v w

33 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS cos uv 5.9. Sabendo que sen uv sen u cosv π coordenadas u e v. calcule as derivadas u e v no ponto de u u v 5.. Admitindo que o sistema u 4. derivadas v e v no ponto onde e. define u e v como funções de e calcule as 5.. Admitindo que o sistema t t s define e como funções de s e t t s s 6 t calcule as derivadas s t s e t no ponto onde e. 5.. Considere a transformação T u v u v u v com Jacobiano J. Mostre as seguintes regras de derivação: u u v v. J v J v J u J u 5.. Considere a transformação T u v w u v w u v w u v w com Jacobiano J. Mostre que u J v w u. Obtenha epressões análogas para as outras J v w sete derivadas de primeira ordem restantes Mostre que a mudança de coordenadas ξ ct η ct u u na equação simplificada tt u ξη. c transforma a equação de ondas 5.5. Mostre que a transformação T a b c d transforma o quadrado de vértices e num paralelogramo no plano uv cuja área é J T Verifique que a transformação T: R R ; T aplica a elipse na a b a b circunferência unitária de centro na origem. Encontre uma transformação T:R R que aplica o elipsóide na esfera unitária de centro na origem. a b c 5.7. Qual a imagem da circunferência a pela transformação T:R R definida por T 4? 5.8. etermine as imagens das retas c pela transfomação T e cos e sen.

34 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS Esboce no plano a região delimitada pelas parábolas e. etermine a imagem desta região pela mudança de coordenadas u v. 5.. etermine a imagem da região pela transformação T. 5.. Seja f t uma função real de uma variável com derivada contínua e positiva. Mostre que a T u v f u v uf u é invertível e sua inversa é a transformação transformação G f f. 5.. Em cada caso abaio é dada uma mudança de coordenadas u v T. escreva as curvas u c e v c nos dois sistemas plano- e plano-uv para os valores c e determine a transformação inversa: a T 5 b T c T d T e T e e f T e e 5.. Em cada caso abaio encontre a imagem da curva c pela transformação T: a c é o retângulo de vértices e T 5 b c é o círculo T 5 c c é o triângulo de vértices 6 e 9 4 T d c é a reta 4 T e c é a reta T f c é o quadrado de vértices e T 5 4 g c é o círculo T Seja T a Transformação de Kelvin u v. a Mostre que as curvas ucte e vcte no plano- são círculos ortogonais; b Mostre que T é a refleão no círculo e encontre T. COORENAAS CILÍNRICAS E COOENAAS ESFÉRICAS As quantidades r θ definidas no eercício 5.7 g são denominadas coordenadas clíndricas enquanto ρ θ ϕ definidas em 5.7 h são as coordenadas esféricas. Temos COORENAAS CILÍNRICAS r cosθ r senθ COORENAAS ESFÉRICAS ρ senϕ cosθ ρ senϕ senθ ρ cosϕ Geometricamente temos a seguinte configuração:

35 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 5 CILÍNRICAS P ESFÉRICAS r P ϕ ρ θ r θ r 5.5. Complete a seguinte tabela de coordenadas: cartesianas cilíndricas esféricas π 6 π 4 π Identifique a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é: a r 4 b θ π 4 c r d r 9 e r 5.7. Identifique a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é: 6 f r secθ 4 a ρ 6 cosθ senϕ b ρ 5 cosecϕ c θ π 6 d ρ senϕ 4 e ϕ π f ρ ρ g ρ senϕ cosθ h ρ cosϕ 4 i tgθ 4 j ρ a l ρ ρ m ρ cosecϕ cot gϕ 5.8. As superfícies dadas abaio estão representadas por suas equações cartesianas. Passe as equações para as coordenadas cilíndricas e esféricas: a Esfera : 4 b Parabolóide : 4 c Cone : 4 d Hiperbolóide : 4 e Plano : 4 f Cilindro : 4

36 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 6 6. INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 6.. INTEGRAL UPLA A. INTEGRAIS ITERAAS 6.. Cada figura abaio representa uma região do plano sobre a qual se deseja calcular a integral dupla f da. Por observação da figura escreva a integral dupla como uma integral iterada de modo a obter o cálculo mais simples: a b c d e f g h i 6.. Calcule as seguintes integrais iteradas. Em cada caso esboce a região de integração e inverta a ordem. Compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens possíveis: a 8 dd b dd c log dd d sen dd e π sendd f π cos o

37 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 7 π π g cos cos dd h dd i e dd cos j dd l dd m π sen dd o ` n dd o sen dd p e dd 4 q dd r e 9 dd s sen dd t 4 4 dd u dd v dd 6.. Em cada caso abaio esboce a região e calcule a integral dupla f dd. Escolha a ordem de integração de modo a simplificar o cálculo da integral iterada: a : e ; f e b : e ; f c : e 4 4 ; f d : 8e ; f 6.4. Nos casos a seguir esboce a região descrita e calcule a integral dupla f da. Se necessário utilie uma mudança de coordenadas: a é a região triangular de vértices 9 e ; f b é a região retangular de vértices 4 e 4; f c é a região delimitada por 8 4 e 4 9 ; f d é a região do o quadrante delimitada por ; f e é a região triangular de vértices e 4; f f é a região delimitada por e ; f ep g é a região delimitada por e f h é a região do delimitada por 8 e 6; f i é a região delimitada por e log e e; f j é a região delimitada por e ; f ; 6.5. Usando coordenadas polares calcule as seguintes integrais: a dd a a a d dd b ep dd e da : e. c da f da é o interior de 6.6. Usando a mudança de variáveis u e v calcule a integral dupla π sen da.

38 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS A fronteira da região é o quadrado de vértices e. Usando a mudança de variáveis do eercício 6.6 calcule a integral dupla sobre da função f cos Usando a mudança de variáveis do eercício 6.6 calcule sen da onde é a região compacta delimitada pelo trapéio de vértices 4 e Usando a mudança de variáveis u v e v calcule da onde é a região delimitada pelas curvas e. 6.. Usando a mudança de variáveis v u e v u calcule 4 4 da onde é a região delimitada pelas curvas e. 6.. Usando a mudança de variáveis u e v calcule 4 da onde é a região delimitada pelo triângulo de vértices 4 e Calcule a integral de f na região delimitada pela cardióide r cosθ. B. ÁREAS e VOLUMES 6.. Por integração dupla calcule a área de um círculo de raio R e a área da elipse de semi-eios a e b Em cada caso abaio calcule por integração dupla a área da região plana delimitada pelas curvas indicadas: a e b 4 e c e d 4 e e a e 4a a > f e sen π e π 6.5. Por integração dupla calcule a área da região compreendida entre a cardióide r a sen θ e o círculo r a Calcule a área da região delimitada pelas parábolas e Calcule a área da região delimitada pelas retas e e pelos círculos e Calcule a área da região delimitada pelas parábolas 5 e 6 9.

39 6.9. A epressão rdrdθ EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 9 π π cosθ graficamente a região e calcule o valor da área. representa o valor da área de uma certa região. Esboce 6.. Usando integral dupla calcule a área da região indicada na figura: Calcule a área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e 8 e pela curva Usando coordenadas polares calcule a integral dupla da onde é a região do plano delimitada pelas curvas e. 6.. Por integral dupla calcule a área de um laço da curva de equação r 9cos θ Epresse a área da região indicada como uma integral dupla iterada em coordenadas polares: r 5

40 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 4 r 4cos ecθ A r senθ r cosθ A 5 arctg Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos e A base de um sólido é a região do plano delimitada pelo disco a. A parte superior é a superfície do parabolóide a. Calcule seu volume Calcule o volume do sólido limitado inferiormente pelo plano nas laterais delimitado pelas superfícies 4 e e cuja parte superior ja no plano Ao calcular o volume de um sólido S abaio de um parabolóide e acima de uma certa região do plano obteve-se a seguinte epressão vol S dd dd Indique a região eprima vols por uma integral iterada com a ordem invertida e em seguida calcule a integral Calcule o volume da região comum aos cilindros a e a. 6.. Um sólido S do primeiro octante tem seu volume dado pela epressão vol S dd Esboce graficamente o sólido e calcule o valor do seu volume. Idem para vol S dd 6.. Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e. 6.. Calcule o volume do sólido limitado pelo plano pelo cilindro e pelo cone. 6.. Calcule o volume do sólido interior à esfera de centro na origem e raio 5 e eterior ao cilindro 9....

41 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS Calcule o volume do sólido interior ao cubo e eterior ao parabolóide Calcule o volume do sólido limitado pelos planos e pelo parabolóide e pelo cilindro Verifique que o parabolóide divide o cilindro de equação 4 4 em dois sólidos de volumes iguais Calcule o volume do pedaço do elipsóide cortado pelo cilindro Calcule o volume da maior região interior à esfera 6 e ao cilindro circular Um sólido é limitado pela superfície e pelos planos e. Calcule seu volume. C. MASSA MOMENTOS e CENTRO E MASSA 6.4. Calcule a massa de um disco de raio a se a densidade é proporcional ao quadrado da distância a um ponto da circunferência Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles com lados iguais de comprimento a. A densidade de massa por área em cada ponto da lâmina é diretamente proporcional ao quadrado distância do ponto ao vértice oposto à hipotenusa. etermine o centro de massa Uma lâmina tem a forma da região do plano delimitada pela parábola e pela reta 4. A densidade de massa por área no ponto P é proporcional a distância do ponto ao eio-. etermine o centro de massa da lâmina etermine a massa as coordenadas do centro de massa e os momentos de inércia I I e Io para a lâmina que tem a forma da região indicada e cuja densidade de massa por área é δ : a b 8 ; δ c 4; δ k 9 ; δ Uma lâmina homogênea tem o formato de um quadrado de lado a. etermine o momento de inércia em relação a um lado em relação a uma diagonal e em relação ao centro de massa.. INTEGRAIS UPLAS IMPRÓPRIAS

42 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 4 Nas integrais que aparecem no eercício 6.44 ou a região de integração não é limitada ou sendo compacta a função que se deseja integrar possui uma singularidade essencial em algum ponto da fronteira de. Em qualquer um destes casos a integral será denominada imprópria Calcular as seguintes integrais impróprias: dd dd a b ; : < c e dd; : dd d sen f e e dd; : dd g e dd h ln dd dd i ; : Usando o resultado do eercício 6.45 g mostre que π e d. [sugestão: use o fato que e dd e d e d e dt t Mostre que a função f não é integrável no domínio : < embora seja contínua neste domínio. Isto contradi algo resultado do Cálculo que você conhece?.] E. ÁREA E UMA SUPERFÍCIE A integral dupla pode ser utiliada para calcular a área de uma superfície S que representa o gráfico de uma função diferenciável f. A área de S é dada por f A S f da Calcule a área da superfície de equação f descrita por: a ; b 4 ; c ; d ; Calcule a área da porção da superfície de equação que se encontra acima do quadrado do plano de vértices e Corta-se uma parte do plano pelo cilindro. etermine a área da parte cortada Calcule a área da porção do cilindro 9 interior ao cilindro 9.

43 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS Uma tenda em forma de cúpula deve ter o chão circular com raio de 5 metros e teto na forma 7 do parabolóide 7 5. Calcule a quantidade de material necessária para construir a tenda Seja G r θ r θ a equação de uma superfície S em coordenadas cilíndricas. Mostre que a área de S é dada por A S G Gθ rdrdθ. r Mostre que em coordenadas cilíndricas a equação G r a r b θ π representa uma superfície de revolução cuja área é dada por b A S π G rdr. a r r 6. INTEGRAL TRIPLA O cálculo de integrais triplas se redu ao cálculo de uma integral dupla seguida de uma integral simples e dependendo da região de integração a integral pode ser calculada de forma iterada como três integrais simples. Veja as seguintes situações quando se deseja calcular f dv : a Ω { R ; e } ϕ ψ. Neste caso é a projeção no plano da região de integração Ω e Ω f dv ψ f d da ϕ b Ω { R a b ϕ ψ e α β } ;. Neste caso a integral tripla é calculada como uma integral iterada Ω b ψ β f dv f d d d a ϕ α Naturalmente uma mudança na descrição da região Ω acarreta inversões na ordem de integração Epresse a integral f dv como uma integral iterada e em seguida calcule o seu valor para f Ω e Ω dado por: a Ω: b Ω: 4 4. c Ω : d Ω: Ω

44 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS Escreva cada uma das integrais abaio na ordem ddd: 5 a e ddd b sen ddd c ddd Em cada caso a integral iterada representa o volume de uma região S. escreva S: a d 4 ddd b ddd e 4 ddd c ddd f ddd 4 ddd A. VOLUMES Nos eercícios 6.57 a 6.64 esboce graficamente o sólido indicado e calcule seu volume por integração tripla: Sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos 4 e Sólido delimitado pelos planos e pelo cilindro 6.6. Sólido delimitado pelos cilindros 4 e pelos planos Sólido interseção dos parabolóides e Sólido delimitado pelos planos 5 e pelos cilindros e Sólido interseção da esfera 6 com o parabolóide Sólido delimitado pelo plano e pelas superfícies e Em cada caso abaio calcule o volume do sólido descrito pelas desigualdades: a b c d 4 4 e B. MUANÇA E COORENAAS Consideremos uma transformação T:R R com Jacobiano diferente de ero isto é

45 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 45 T: u v w u v w u v w com J T. u v w Seja S* a imagem da região S pela transformação T como sugere a figura abaio. T w S* S v u Temos a seguinte fórmula de mudança de variáveis em integrais triplas: f ddd S f [ u v w u v w u v w] dudvdw S* u v w Escreva as fórmulas de mudança de variáveis no caso das coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas Calcule o volume de uma esfera de raio R usando no cálculo da integral tripla coordenadas cilíndricas e depois coordenadas esféricas Calcule o volume do elipsóide de equação a. b c Usando coordenadas cilíndricas calcule as seguintes integrais: 4 a dv b dv Ω c dv; Ω : 6.7. Usando coordenadas esféricas calcule as seguintes integrais: a ddd b ddd Usando uma mudança de coordenadas adequada calcule o volume dos seguintes sólidos:

46 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS 46 a sólido delimitado pelo parabolóide a pelo plano e pelo cilindro a a >. b sólido delimitado pelas superfícies e. c sólido delimitado acima pela esfera a e abaio pelo paraboloíde a a >. d sólido interseção da bola com o cone. e sólido delimitado pelo parabolóide e pelo plano 4. f sólido interior à esfera 4 e limitado acima pelo cone. g sólido interior à esfera e eterior ao cone. h calota interseção da bola R como semi-espaço a < a < R. i sólido interseção da esfera R com o cilindro a Fa-se um orifício circular em uma esfera o eio do orifício coincidindo com o eio da esfera. O volume do sólido resultante é dado por V π 4 rdrddθ Por observação da integral determine o raio do orifício e o raio da esfera. Calcule V. C. MASSA CENTRO E MASSA e MOMENTO E INÉRCIA Um sólido S é dito não-homogêneo quando sua densidade de massa não é constante. Por definição densidade de massa é massa por unidade de volume. enotando massa volume e densidade de massa respectivamente por m V e δ temos que δ m. Na integral tripla V f dv se o integrando é interpretado como densidade a integral representará a massa do S sólido S Calcule a massa contida numa esfera de raio R cuja densidade de massa é proporcional à distância r ao centro da esfera. E se a densidade de massa fosse inversamente proporcional a r qual seria a massa da esfera?

47 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS Ache a massa do sólido delimitado pelo cone 4 se a densidade no ponto P é proporcional à distância de P ao eio Um sólido S é cortado da esfera 4 pelo cilindro. A densidade no ponto P é proporcional à distância de P ao plano-. Calcule a massa de S Para uma altitude de até de mil metros a densidade δ em kg / m da atmosfera terrestre pode ser aproimada por δ Estime a massa de uma coluna de ar de quilômetros de altura com base circular de metros de raio. Para um sólido S com densidade de massa δ o centro de massa é o ponto C onde m S δ dv m S δ dv m e o momento de inércia com relação a um eio L é dado por I d dv L S S δ dv δ onde d é a distância do ponto P do sólido S ao eio L. Os momentos de inércia relativos eios e serão denotados respectivamente por I I e I Para um sólido S de densidade de massa δ mostre que b I δ dv I a I δ dv c δ dv etermine o centro de massa de um hemisfério R cuja densidade é proporcional à distância à base do hemisfério: δ k Calcule o momento de inércia em relação ao seu eio de um cilindro circular reto de raio R e altura H com densidade δ k Mostre que o centróide do hemisfério R é o ponto C R Um sólido tem a forma da região S interior ao cilindro r a interior à esfera r 4a e acima do plano-. A densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância de P ao plano-. Calcule a massa e o momento de inércia I do sólido Um sólido esférico tem raio a e a densidade no ponto P é diretamente proporcional à distância de P a uma reta fia l que passa pelo centro do sólido. Calcule sua massa Calcule o volume e o centróide da região S delimitada acima pela esfera ρ a e abaio pelo cone ϕ α < α < π.

48 EXERCÍCIOS E CÁLCULO PROF. M. P. MATOS Considere um sólido hemisférico de raio a cuja densidade no ponto P é diretamente proporcional à distância de P ao centro da base. Calcule a massa o centro de massa do sólido e o momento de inércia em relação ao eio de simetria.