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1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a) b) c) 6 d) 99 e) 115 96 85 é (Ita 018) Sejam 5 5 x 1,, x5 e y 1,, y5 números reais arbitrários e A (a ij) uma matriz definida por aij xi y 1,1 i, j 5 Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de a) 1 b) c) d) 4 e) 5 r é (Ita 018) Sejam A e B matrizes quadradas n n tais que A B A B e identidade n n Das afirmações: I n a matriz I I n II I n B é inversível; A é inversível; III A B B A é (são) verdadeira(s) a) Somente I b) Somente II c) Somente III d) Somente I e II e) Todas 4 (Ita 018) Considere a matriz 1 x x x 1 4, x 1 4 5 1 1 Se o polinômio p(x) é dado por p(x) det A, então o produto das raízes de p(x) é a) 1 b) 1 c) 1 5 Página 1 de 1

d) e) 1 7 1 11 5 (Ita 017) Sejam 1 0 0 D 0 0 0 0 e 7 0 P 0 1 0 0 5 Considere a) 144 b) 180 c) 40 d) 4 e) 60 1 A P DP O valor de det(a A) é 6 (Ita 016) Seja A a matriz de ordem, dada por 1 0 A 0 1 1 1 a) Determine todas as matrizes B tais que b) Existe uma matriz B com dessas matrizes BA I BA I que satisfaça T BB I? Se sim, dê um exemplo de uma 7 (Ita 016) Se 5 a) 5 1 b) 7 5 11 c) 1 5 5 d) 1 11 e) 1 1 1 M 0 e 1 N, 1 então T 1 M N M N é igual a 8 (Ita 015) Seja A (a ij) 5 5 a matriz tal que afirmações a seguir: i1 aij (j 1), 1i, j 5 Considere as Página de 1

I Os elementos de cada linha formam uma progressão aritmética de razão II Os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de razão III tr A é um número primo É (são) verdadeira(s) a) apenas I b) apenas I e II c) apenas II e III d) apenas I e III e) I, II e III i j i 9 (Ita 015) Considere a matriz M (m ij) tal que mij j i 1, i, j 1, Sabendo-se que n k 1 0 det M n 5, 1 1 k1 então o valor de n a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 é igual a 10 (Ita 014) Considere a equação A(t) X B (t), t, em que t t e e 1 x t e A(t) 1 1 1, X y e B(t) 1 z 0 valores de x, y e z são, respectivamente, a), 0, b), 0, c) 0,, d) 0,, e),, 0 11 (Ita 014) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z Sabendo que det A(t) 1 e t 0, os x y z 0 x senθ y 4z 0, x 1 cos θ y 16z θ 0, π a) Determine θ tal que o sistema tenha infinitas soluções b) Para θ encontrado em (a), determine o conjunto-solução do sistema 1 (Ita 014) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica: I Se o produto AB for inversível, então n é par; II Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar; III Se B for inversível, então n é par Página de 1

Destas afirmações, é (são) verdadeira(s) a) Apenas I b) Apenas I e II c) Apenas I e III d) Apenas II e III e) Todas 1 (Ita 014) Seja M uma matriz quadrada de ordem, inversível, que satisfaz a igualdade det(m ) det( M ) det(m) 9 Então, um valor possível para o determinante da inversa de M é a) b) 1 1 c) d) 4 5 e) 5 4 14 (Ita 01) Considere A M 5x5 com det A 6 e α R \ 0 Se t t det αa AA 6 α, a) 1 6 o valor de α é b) 6 6 6 c) 6 d) 1 e) 16 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Notações : Conjunto dos números naturais; : Conjunto dos números reais; : Conjunto dos números reais não negativos; i: unidade imaginária; i 1; P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A; n(a) : número de elementos do conjunto finito A; AB : segmento de reta unindo os pontos A e B; arg z : argumento do número complexo z; a,b x : a x b A \ B x : x A e x B c A : complementar do conjunto A; Página 4 de 1

n k n ak x a0 a1x a x anx,n k0 Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares 15 (Ita 01) Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal são 1,1 x 1,1 x,,1 xn e todos os outros termos são iguais a 1 Sabe-se que (x 1,x,,x n) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é matriz A para que o seu determinante seja igual a 56 16 (Ita 011) Considere as afirmações abaixo: 1 e a razão é 4 Determine a ordem da I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que M N é matriz nula II) Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det (M M) = 0, então existe matriz não nula X, de ordem n x 1, tal que MX = X cos sen III) A matriz tg é inversível, k, k 1 sen sec Destas, é(são) verdadeira(s) a) apenas II b) apenas I e II c) apenas I e III d) apenas II e III e) todas 17 (Ita 011) Determine todas as matrizes MM X tais que 18 (Ita 010) Considere as matrizes A M4x4( ) e X, B M4x1( ): MN NM, N M x a 1 b 1 x b1 b 1 a 0 y b A ; X ; e B ; 0 0 0 z b a b 1 w b4 a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial AX = B tenha solução única b) Se a b = 0, a 0 e B = [1 1 4] t, encontre X tal que AX = B 19 (Ita 010) Sobre os elementos da matriz x1 x x x4 y1 y y y 4 A M 4x4( ) 0 0 0 1 1 0 0 0 sabe-se que (x1, x, x, x4) e (y1, y, y, y4) são duas progressões geométricas de razão e 4 e de soma 80 e 55, respectivamente, Então, det(a 1 ) e o elemento (A 1 ) valem, respectivamente, Página 5 de 1

a) b) 1 7 1 7 e 1 e -1 1 c) e 1 7 1 1 d) e 7 1 e) 1 e 1 7 1 0 (Ita 008) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A -1 = A t Determine todas as matrizes que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal 1 (Ita 008) Sejam A e C matrizes n n inversíveis tais que det (I + C -1 A) = 1/ e det A = 5 Sabendo-se que B = (A -1 + C -1 ) t, então o determinante de B é igual a a) n b) ( n /5 ) c) 1/5 d) n - 1 /5 e) 5 n - 1 (Ita 007) n n 1 a) b) n 1 n 1 4 n n c) n n 1 d) n n 1 e) n (Ita 006) Sejam as matrizes Página 6 de 1

Determine o elemento c4 da matriz C = (A + B) -1 4 (Ita 006) a) 0 b) 4 c) 8 d) 1 e) 16 5 (Ita 005) Sejam A e B matrizes x tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A + AB - B = 0 Se B é inversível, mostre que (a) AB -1 = B -1 A e que (b) A é inversível 6 (Ita 004) Seja x IR e a matriz Assinale a opção correta a) x IR, A possui inversa b) Apenas para x > 0, A possui inversa c) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa Página 7 de 1

d) Não existe valor de x para o qual A possui inversa e) Para x = log 5, A não possui inversa 7 (Ita 004) Se A é uma matriz real, considere as definições: I Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A -1 = A t II Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se aij = 0, para todo i, j = 1,, n, com i j Determine as matrizes quadradas de ordem que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais 8 (Ita 004) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n n, n : I O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula II Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,,,n, então det A = a11aann III Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por +1 e a segunda por -1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) a) apenas II b) apenas III c) apenas I e II d) apenas II e III e) todas 9 (Ita 00) Sejam A e P matrizes n x n inversíveis e B = P -1 AP Das afirmações: I B t é inversível e (B t ) -1 = (B -1 ) t II Se A é simétrica, então B também o é III det(a - ë) = det(b - ë), ë IR é(são) verdadeira(s): a) todas b) apenas I c) apenas I e li d) apenas I e III e) apenas li e III 0 (Ita 00) Sejam a, b, c e d números reais não-nulos Exprima o valor do determinante da matriz Página 8 de 1

na forma de um produto de números reais 1 (Ita 00) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB=A e BA=B Então, [(A + B) t ] é igual a a) (A + B) b) (A t B t ) c) (A t + B t ) d) A t + B t e) A t B t (Ita 00) 1 Mostre que se uma matriz quadrada não-nula A satisfaz a equação A + A + A = 0 (1) então (A + I) = A + I, em que I é a matriz identidade Sendo dado que a matriz A satisfaz à equação (1) acima, encontre duas matrizes não-nulas B e C tais que B + C = B + C = A Para essas matrizes você garante que o sistema de equações: tem solução (x, y) (0, 0)? Justifique (Ita 00) Seja A uma matriz real x Suponha que á e â sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes reais x 1 não-nulas, tais que AV = áv e AW = âw Se a, b IR são tais que av + bw é igual à matriz nula x1, então a + b vale a) 0 b) 1 c) -1 d) 1/ e) -1/ 4 (Ita 00) Seja a matriz Página 9 de 1

O valor de seu determinante é a) b) c) d) 1 e) 0 ( ) ( ) ( ) 5 (Ita 001) Sejam A e B matrizes n n, e B uma matriz simétrica Dadas as afirmações: (I) AB + BA t é simétrica (II) (A + A t + B) é simétrica (III) ABA t é simétrica temos que: a) apenas (I) é verdadeira b) apenas (II) é verdadeira c) apenas (III) é verdadeira d) apenas (I) e (III) são verdadeiras e) todas as afirmações são verdadeiras 6 (Ita 001) Considere a matriz A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é: a) 1 b) c) Página 10 de 1

d) 4 e) 5 7 (Ita 000) Sendo x um número real positivo, considere as matrizes mostradas na figura a seguir A soma de todos os valores de x para os quais (AB) = (AB) t é igual a a) b) c) d) e) 5 8 7 5 8 (Ita 000) Considere as matrizes mostradas na figura adiante Se X é solução de M -1 NX = P, então x + y + z é igual a a) 5 b) 17 c) 8 d) 14 e) 9 9 (Ita 000) Considere as matrizes reais mostradas na figura adiante Página 11 de 1

em que a 0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q>0 Sejam ë1, ë e ë as raízes da equação det(m-ëi)=0 Se ë1ëë = a e ë1 + ë + ë = 7a, então a + b + c é igual a a) 1 8 b) 91 9 c) d) 6 9 1 16 e) 91 6 40 (Ita 1999) Sejam x, y e z números reais com y 0 Considere a matriz inversível Então : a) A soma dos termos da primeira linha de A -1 é igual a x + 1 b) A soma dos termos da primeira linha de A -1 é igual a 0 c) A soma dos termos da primeira coluna de A -1 é igual a 1 d) O produto dos termos da segunda linha de A -1 é igual a y e) O produto dos termos da terceira coluna de A -1 é igual a 1 41 (Ita 1999) Considere as matrizes Página 1 de 1

Se x e y são soluções do sistema (AA t - I) X = B, então x + y é igual a: a) b) 1 c) 0 d) -1 e) - 4 (Ita 1998) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz M inversível tal que: A = M -1 BM Então: a) det (- A t ) = det B b) det A = - det B c) det (A) = det B d) Se det B 0 então det (- AB) < 0 e) det ( A - I) = - det (I - B) 4 (Ita 1998) Sejam as matrizes reais de ordem, Então, a soma dos elementos da diagonal principal de (AB) -1 é igual a: a) a + 1 b) 4(a + 1) c) 1 4 (5 + a + a ) d) 1 4 (1 + a + a ) e) 1 (5 + a + a ) 44 (Ita 1997) Considere as matrizes Página 1 de 1

Sejam ë0, ë1 e ë as raízes da equação det(a-ëi)=0 com ë0 ë1 ë Considere as afirmações (I) B = A - ë0i (II) B = (A - ë1i) A (III) B = A (A - ëi) Então a) todas as afirmações são falsas b) todas as afirmações são verdadeiras c) apenas (I) é falsa d) apenas (II) é falsa e) apenas (III) é verdadeira 45 (Ita 1996) Seja a R, a > 0 e a 1 e considere a matriz A: Para que a característica de A seja máxima, o valor de a deve ser tal que: a) a 10 e a 1 b) a 10 e a 1 c) a 5 e a 10 d) a e a e) a e a 10 46 (Ita 1996) Seja a IR e considere as matrizes reais, Página 14 de 1

O produto AB será inversível se e somente se: a) a - 5a + 6 0 b) a - 5a 0 c) a - a 0 d) a - a + 1 0 e) a - a 0 47 (Ita 1996) Considere A e B matrizes reais, arbitrárias Das afirmações a seguir assinale a verdadeira Justifique a afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma das demais é falsa a) Se A é não nula então A possui inversa b) (AB) t = A t B t c) det (AB) = det (BA) d) det A = det A e) (A + B)(A - B) = A - B 48 (Ita 1995) Dizemos que duas matrizes n x n A e B são semelhantes se existe uma matriz n x n inversível P tal que B = P -1 AP Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então: a) B é sempre inversível b) se A é simétrica, então B também é simétrica c) B é semelhante a A d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A e) det(ëi - B) = det(ëi - A), onde ë é um real qualquer 49 (Ita 1995) Sejam A e B matrizes reais Se tr(a) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A, considere as afirmações: [(I)] tr(a t ) = tr(a) [(II)] Se A é inversível, então tr(a) 0 [(III)] tr(a + ëb) = tr(a) + ëtr(b), para todo ë R Temos que: a) todas as afirmações são verdadeiras b) todas as afirmações são falsas c) apenas a afirmação (I) é verdadeira d) apenas a afirmação (II) é falsa e) apenas a afirmação (III) é falsa Página 15 de 1

Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Do enunciado, temos: Sn n 5n a1 S1 1 5 1 7 S a1 a Mas, S 5 18 Então, 18 7 a a 11 Daí, sendo r a razão da progressão aritmética, r a a1 11 7 4 Dessa forma, a 11 4 15 a4 a 4 15 4 19 a5 a4 4 19 4 a6 a5 4 4 7 a7 a6 4 7 4 1 a8 a7 4 1 4 5 a9 a8 4 5 4 9 Assim, o determinante da matriz é: 7 11 15 x 19 7 5 9 Multiplicando a coluna 1 por 1 7 11 15 7 4 8 7 4 19 7 19 4 8 19 4 5 9 6 1 No determinante 7 4 7 0 19 4 19 0 1 1 1 7 4 19 4, 1 e somando às colunas e, multiplicando a coluna por e somando à coluna, 7 0 7 7 19 0 1 1 7 19 4 19 19 1 1 Portanto, Página 16 de 1

x 4 x 96 Resposta da questão : [B] Do enunciado, x1 y1 x1 y x1 y x1 y4 x1 y5 x y1 x y x y x y4 x y 5 A x y1 x y x y x y4 x y5 x4 y1 x4 y x4 y x4 y4 x4 y5 x5 y1 x5 y x5 y x5 y4 x5 y 5 Vamos escrever a matriz A na forma escalonada Na matriz A, multiplicando a linha 1 por e somando às linhas,, 4 e 5, temos: 1 x1 y1 x1 y x1 y x1 y4 x1 y5 x x1 x x1 x x1 x x1 x x 1 B x x1 x x1 x x1 x x1 x x1 x4 x1 x4 x1 x4 x1 x4 x1 x4 x1 x5 x1 x5 x1 x5 x1 x5 x1 x5 x 1 Na matriz B, multiplicando a coluna 1 por 1 x1 y1 y y1 y y1 y4 y1 y5 y1 x x1 0 0 0 0 C x x1 0 0 0 0 x4 x1 0 0 0 0 x5 x1 0 0 0 0 e somando às colunas,, 4 e 5, temos: Note que é possível obter matrizes de ordem, 4 e 5, com determinante nulo, assim, a maior ordem possível de uma matriz com determinante não nulo é, ou seja, o maior valor para a característica da matriz é Portanto, o maior valor possível de é Resposta da questão : [E] Notemos que: In A In B In In In B A In AB I A I B I B A AB n n n Mas, A B AB, logo, n n n In A In B In I A I B I B A A B det I A I B deti n n n n det I A det I B 1 Assim, det In A 0 n det I B 0 e n r Página 17 de 1

Portanto, e I n B I n A são inversíveis, o que garante que as afirmações [I] e [II] são verdadeiras Notemos que: In B In A In In In A B In BA I B I A I A B BA n n n Como I A I B I BI A n n n n I B I A I Então, n n n Daí, In In A B BA In In A B BA Mais uma vez, A B AB, logo, In In AB BA AB BA Dessa forma, a afirmação [III] é verdadeira Portanto, todas as afirmações são verdadeiras Resposta da questão 4: [D] Do enunciado, temos: 1 x x x 1 4 1 4 1 x x x px 1 4 5 1 4 5 p x 1 1 1 1 1 4 0 x x x 4 0 5 7 9 0 6 7 9 x x x 4 p x 1 11 1 5 7 9 6 7 9 x x x 4 x x x 4 px 1 5 7 9 5 7 9 5 7 9 1 0 0 1 x x 4 px 1 0 1 1 7 9 p x 1 9 x 7 x 4 p x 7x 9x 1 Página 18 de 1

O produto das raízes de px é 1 1 7 7 Observação: é possível mostrar que das raízes de px px admite somente uma raiz real, portanto o produto envolve as raízes complexas, o que faz com que a questão não admita resposta correta, uma vez que o enunciado diz que x é real Desconsiderando que x é real, a resposta correta é a que está na alternativa [D] Resposta da questão 5: [A] Calculando: 1 1 1 1 A P D P A P D P P D P A P D P 1 1 1 1 A A P D P P D P A A P D D P det A A det P det D D det P det A A det D D 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 D D 0 0 0 0 0 0 D D 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 det A A 6 1 144 Resposta da questão 6: a) A matriz B deverá ser do tipo para que B A I, assim: x y z B a b c e 1 0 x y z 1 0 x z y z 1 0 0 1 a b c 0 1 a c b c 0 1 1 1 Da equação acima temos dois sistemas lineares: x z 1 z 1 x e y x - 1 y z 0 a c 0 c a e b 1 a b c 1 Portanto, todas as matrizes B serão da forma: x x 1 1x B, com x e a números reais a 1a 1a b) Efetuando o produto da matriz x pela sua transposta, temos: x a x x 1 1x 1 0 x 1 1 a a 1 a 1 0 1 1x a Efetuando o produto das matrizes, temos as seguintes equações: Página 19 de 1

1 x (x 1) (1 x) 1 x 4x 1 0 x 1 ou x ax (a 1) (x 1) a (1 x) 0 Admitindo x 1 na equação acima, temos a 0 Portanto, uma possível matriz B será: 1 0 0 B 0 1 0 Resposta da questão 7: [C] Calculando, inicialmente, a inversa da matriz M 1 T 0 1 1 0 1 0 1 M det(m) 1 1 1 1 1 Determinando, agora, a transposta da matriz N, temos: T 1 N 1 0 Portanto: 1 1 11 0 T 1 1 1 1 1 1 4 MN M N 0 1 1' 1 4 5 1 1 5 1 Resposta da questão 8: [E] [I] Verdadeira razão i i1 i1 i1 i ij1 ij Portanto, uma PA de a ( j 1) 1 (j 1) a [II] Verdadeira i1 1 i1 11j ij Portanto, uma PG de razão a (j 1) (j 1) a [III] Verdadeira 0 a11 1 1 1 a 6 a 5 0 a44 7 56 4 a55 9 144 Portanto, a11 a a a44 a55 1 6 0 56 144 7, que é um número primo Resposta da questão 9: [C] Página 0 de 1

Escrevendo a matriz 1 4 M 0 1 1 6 M 0 1 4 1 8 M 0 1 1 M, 0 1 temos: n 1 n M 0 1 Daí podemos escrever que: 4 6 9 n n n M M M M 4 M n n 0 n n n e n k 1 0 0 n n det M n 5 5 n n 5 6 6 n 6 1 1 n 0 k1 Resposta da questão 10: [B] Como det A(t) 1, temos t e t e 1 1 1 1 t t t t 1 4e e 1 e e 1 1 t t e e 0 4t t e e 0 t t e 1 ou e Porém, t 0 implica em t e e, portanto, 1 1 x A(t)X B(t) 1 1 1 y 1 z 0 Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, vem Página 1 de 1

1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 5 1 ' L 1L 1 L ' L L 1 L 1 1 0 1 0 0 0 0 1 '' ' ' L ( 5) L L Por conseguinte, x, y 0 e z Resposta da questão 11: a) Como o sistema é homogêneo, basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo para que o sistema seja possível e indeterminado Logo, vem 1 1 1 sen 4 0 cos sen 0 1 cos 16 Daí, lembrando que cos 1 sen, obtemos sen sen 0 (sen )(sen 1) 0 Assim, convém apenas sen 1 Sendo [0, ], concluímos que rad b) Para rad temos 1 1 1 1 1 1 4 0 0 6 16 0 0 1 ' 1 L 1 L L ' 1 L ( ) L L 1 1 0 0 6 0 0 0 O sistema equivalente é x y z 0 6z 0 '' ' ' L ( ) L L Portanto, temos z 0, x y e o conjunto solução do sistema é S {(,, 0); } Página de 1

Resposta da questão 1: [C] [I] Verdadeira Como o produto é inversível concluímos que det(a) 0 Considerando que B é antissimétrica, temos: t n det(b ) det( 1B) ( 1) det(b) e det(b) 0 Ou seja, n det(b ) ( 1) 1 det(b) t Portanto, n é par [II] Falsa No exemplo n 1 A 4 e 0 0 B 0 0 o produto AB é a matriz nula (não inversível) e [III] Verdadeira Se B for inversível, então o determinante de B é diferente de zero: t n det(b ) det(b) ( 1) 1, det(b) det(b) portanto n é par Resposta da questão 1: [A] Sabendo que ordem n e α n n det(a ) (det A) e um número real, temos n det( αa) α det A, com A sendo uma matriz quadrada de det(m ) det( M ) det(m) ( ) (detm) (detm) detm 0 9 9 detm ((detm) 4 detm ) 0 detm (detm ) (detm 1) 0 detm 0 ou detm ou detm 1 Mas M é invertível e, portanto, só pode ser detm, o que implica em detm 1, o que implica em Resposta da questão 14: [C] 1 det M 1 ou 1 1 detm Sabendo que t detm ordem da matriz M e λ, vem detm, det(a B) det A detb e n det( λ M) λ detm, com n sendo a Página de 1

Resposta da questão 15: A matriz será da seguinte forma: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 118 1 1 1 1 1 1 1 1 51 t t 5 t t det( αa AA ) 6α α det A det A det A 6α 5 α (det A) 6α 0 5 α ( 6) 6α 0 α 6 (6α 1) 0 1 α 6 1 6 α 6 6 6 α 6 Multiplicando a primeira linha por -1 e somando com as demais linhas, obteremos a seguinte matriz: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 51 Temos uma matriz diagonal que o determinante é obtido multiplicando os elementos da diagonal principal Para que p determinante seja 56 deveremos efetuar o produto de 5 1 elementos da diagonal principal 1 8 56 Portanto, a matriz A deverá ser de ordem 5 Resposta da questão 16: [E] Página 4 de 1

I) (verdadeira) Considerando o produto MN = 0 Multiplicando a matriz M por cada matriz coluna N, encontramos sistemas lineares homogêneos indeterminados, logo existem outras soluções além da trivial II) verdadeira, det(m M ) = 0 e det(m) 0 (invertível) Det(M(M-1)) = 0, logo o det(m) det(m-1) = 0 ou seja det(m) = 0 (não convém) ou det(m -1) = 0 O sistema MX = X (M-1) X = 0, admite infinitas soluções, pois seu determinante principal é nulo III) Verdadeira cos sen cos sen tg, seu determinante será D = cos 1sen + sen = 1 sen cos sec e a matriz é inversível Resposta da questão 17: x 1 a b Considerando M = e N z w c d ax cy ax bz az cw cx dz Fazendo MN = NM temos: bx dy ay bw bz dw cy dw Considerando b = 0 e c = 1, concluímos que y = 0 Tomando agora b = q e c qualquer com y = 0, obtemos z = 0, então x = w x 0 Logo, M =, x 0 x Resposta da questão 18: a b a) A)detA = (-1) + b a a b 1 0 1 4a (diferente de zero) A deve ser diferente de zero e b qualquer valor real b) AX = B ax y bz w 1 bx y az 1 y ax y bz w 4 Resolvendo temos: 1 x, y 1, a b z a a e w b a 0 Página 5 de 1

então X = 1 a 1 b a 0 Resposta da questão 19: [C] x1 + x1 + 9x1 + 7x1 = 80 40 x1 = 80 x1 = y1 + 4y1+ 16y1 + 64y1 = 55 85y1 = 55 y1 = então A = 0 1 6 1 0 0 18 48 0 0 54 19 1 0 e det(a ) = 1(-1) 4+1, 1 6 0 18 48 0 54 1 = -7 1 1 1 a ( 1) 48 19 ( a ) 1 7 18 54 1 0 0 Resposta da questão 0: 1 0 1 0 1 b b 1 b b,, e 0 1 0 1 b 1 b b 1 b Resposta da questão 1: [D] Resposta da questão : [C] Resposta da questão : - 11 Resposta da questão 4: [D] Resposta da questão 5: a) Se B é inversível, temos: AB = BA AB B 1 = BA B 1 A = BA B 1 B 1 A = B 1 BA B 1 B 1 A = A B 1 b) Como A e B comutam, tem-se: cqd Página 6 de 1

A + AB - B = 0 B = A(A +B) Aplicando determinantes em ambos os membros, obtemos: det B = det [ A (A+B) ] det B = det A det (A+B) Como B é inversível, det B = k, k 0 Supondo que A não é inversível, isto é, det A = 0, temos: k = 0 det (A+B) k = 0 O que é uma contradição, pois k 0 Portanto, A é inversível cqd Resposta da questão 6: [A] Resposta da questão 7: x 0 0 0 y 0 0 0 z, com x, y e z {-1,1} Resposta da questão 8: [D] Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 0: (b - a) (c - a) (d - a) (c - b) (d - b) (d - c) Resposta da questão 1: [C] Resposta da questão : 1) (A + I) = A + A I + AI + I = = A + A + A + A + I Como A + A + A = 0, portanto (A + I) = (A + I) ) Observe as matrizes a seguir: Página 7 de 1

O sistema apresentado é possível e indeterminado com as matrizes B e C Resposta da questão : [A] Resposta da questão 4: [E] Resposta da questão 5: [E] Resposta da questão 6: [A] Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: [A] Resposta da questão 9: [A] Resposta da questão 40: [C] Resposta da questão 41: [D] Resposta da questão 4: [A] Resposta da questão 4: [C] Resposta da questão 44: [E] Resposta da questão 45: [B] Resposta da questão 46: [E] Página 8 de 1

Resposta da questão 47: [C] Resposta da questão 48: [E] Resposta da questão 49: [D] Página 9 de 1

Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 0/05/018 às 1:1 Nome do arquivo: lista ita matriz determinante Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Grau/Dif Matéria Fonte Tipo 1 17607 Média Matemática Ita/018 Múltipla escolha 17694 Elevada Matemática Ita/018 Múltipla escolha 1760 Elevada Matemática Ita/018 Múltipla escolha 4 17604 Elevada Matemática Ita/018 Múltipla escolha 5 166671 Elevada Matemática Ita/017 Múltipla escolha 6 1511 Elevada Matemática Ita/016 Analítica 7 15108 Média Matemática Ita/016 Múltipla escolha 8 17169 Elevada Matemática Ita/015 Múltipla escolha 9 17170 Elevada Matemática Ita/015 Múltipla escolha 10 19796 Média Matemática Ita/014 Múltipla escolha 11 1981 Média Matemática Ita/014 Analítica 1 1979 Elevada Matemática Ita/014 Múltipla escolha 1 19795 Média Matemática Ita/014 Múltipla escolha 14 1577 Média Matemática Ita/01 Múltipla escolha 15 110947 Elevada Matemática Ita/01 Analítica 16 10156 Média Matemática Ita/011 Múltipla escolha 17 101544 Média Matemática Ita/011 Analítica 18 91454 Média Matemática Ita/010 Analítica 19 91441 Elevada Matemática Ita/010 Múltipla escolha 0 7998 Não definida Matemática Ita/008 Analítica 1 79917 Não definida Matemática Ita/008 Múltipla escolha 7617 Não definida Matemática Ita/007 Múltipla escolha Página 0 de 1

6866 Não definida Matemática Ita/006 Analítica 4 6851 Não definida Matemática Ita/006 Múltipla escolha 5 5687 Não definida Matemática Ita/005 Analítica 6 577 Não definida Matemática Ita/004 Múltipla escolha 7 5774 Não definida Matemática Ita/004 Analítica 8 577 Não definida Matemática Ita/004 Múltipla escolha 9 4775 Não definida Matemática Ita/00 Múltipla escolha 0 47767 Não definida Matemática Ita/00 Analítica 1 40089 Não definida Matemática Ita/00 Múltipla escolha 40098 Não definida Matemática Ita/00 Analítica 40090 Não definida Matemática Ita/00 Múltipla escolha 4 40088 Não definida Matemática Ita/00 Múltipla escolha 5 6006 Não definida Matemática Ita/001 Múltipla escolha 6 6007 Não definida Matemática Ita/001 Múltipla escolha 7 580 Não definida Matemática Ita/000 Múltipla escolha 8 579 Não definida Matemática Ita/000 Múltipla escolha 9 581 Não definida Matemática Ita/000 Múltipla escolha 40 0096 Não definida Matemática Ita/1999 Múltipla escolha 41 0094 Não definida Matemática Ita/1999 Múltipla escolha 4 695 Não definida Matemática Ita/1998 Múltipla escolha 4 709 Não definida Matemática Ita/1998 Múltipla escolha 44 487 Não definida Matemática Ita/1997 Múltipla escolha 45 7109 Não definida Matemática Ita/1996 Múltipla escolha 46 71 Não definida Matemática Ita/1996 Múltipla escolha 47 711 Não definida Matemática Ita/1996 Múltipla escolha 48 848 Não definida Matemática Ita/1995 Múltipla escolha 49 849 Não definida Matemática Ita/1995 Múltipla escolha Página 1 de 1