MATAMÁTICA FINANCEIRA FACULDADE PITÁGORAS UNIDADE FADOM MBA - FINANÇAS EMPRESARIAIS MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof.. Prof.
Cálculos Financeiros HP-12C
Cap 1 - Noções Básicas sobre Radiciação A operação inversa da adição é a subtração, da multiplicação é a divisão e da potenciação é a RADICIAÇÃO. Existe uma regra que transforma a radiciação em potenciação, essa regra é denominada regra do expoente fracionário : Cap. 2 - Noções Sobre a HP-12C 2.1) Ligando e Desligando a HP-12C: Para ligar e desligar a HP-12C basta usar a tecla ON. 2.2) A Tecla ENTER: Em princípio serve para informar à calculadora que terminamos de digitar o primeiro número da operação e que agora iremos informar o segundo. Mais a frente faremos uma descrição mais abrangente. Passaremos a representar esta tecla por 2
2.3) Teclas de Mudança de Função: Para que a HP-12C se tornasse uma máquina de bolso, algumas teclas têm até três funções. Para utilizar a função impressa em branco, basta simplesmente pressiona-la diretamente. Para utilizar a função impressa em amarelo é necessário apertar antes a tecla para depois teclar a função desejada. Para as funções em azul é preciso antes pressionar a tecla. Teclas de Função: 2.4) Setor de Potência e Raiz: > Esta tecla eleva o número y ( qualquer base ) a uma potência x (expoente). 9 > resultado 3
> Esta tecla calcula o inverso de um número. Para calcular o inverso de 2 que é 1/2 > Calcula a raiz quadrada de um número. Teclas de Potência e Raiz: 2.5) Setor de Porcentagem: > Calcula o percentual de um número. Para calcular 3,5% de 250. 8,75 -> resultado 4
> Calcula a variação percentual entre dois números. Compra-se um veículo por R$10.000,00 e vende-se por R$11.200,00. Qual o percentual de ganho? 12 -> resultado -> Percentagem do total O total da exportação de uma empresa foi de 7,95 milhões de dólares, sendo 2,36 milhões para a Europa, 4,00 milhões para os Estados Unidos e 1,59 milhões para o resto do mundo. Calcule o percentual de participação de cada região sobre o total. 2.6) Setor de Limpeza: 5
Limpa o visor Limpa todos os registros da calculadora, inclusive as memórias(exceto a parte de programação) Limpa as memórias financeiras (n, i, PV, PMT e FV) Limpa as memórias da pilha operacional e as memórias estatísticas (R1 a R6) Limpa as linhas de programação (somente quando a calculadora estiver no módulo de programação) Limpa os prefixos f, g, STO, RCL 2.7) Setor Financeiro: O setor financeiro é utilizado para os cálculos financeiros. Teclas do Setor Financeiro: 2.8) Setor de Armazenamento de Dados: A HP-12C possui vinte memórias, são elas: -> Permite armazenar um número qualquer em uma memória específica. -> Permite trazer de volta ( reclamar ) para o visor um número previamente armazenado. 6
Exemplos: Teclas de Armazenamento de dados: 2.8.1) Memórias Acumuladas: 2.9) Setor de Troca: -> Troca o sinal do número que está no visor. -> Troca de posição o número contido na memória x pelo da memória y. -> Rodal. Permite rodar os números contidos nas memórias x, y, z e t. 7
Teclas de Troca: 2.10) Casas Decimais no Visor: A opção do número de casas decimais após a vírgula é selecionada pressionando a tecla e o número de casas desejado. 2.11) Ponto Decimal: Notação Americana > US$ 0,000.00 Notação Brasileira > R$ 1.000.000,00 MUDANDO O TIPO DE NOTAÇÃO: desligue a máquina pressione a tecla mantendo-a pressionada aperte a tecla em seguida solte tecla 2.12) Função Calendário: Esta função permite calcular o prazo entre duas datas ou determinar uma nova data partindo de outra data e um prazo. OBS: A HP-12C está programada para cálculo de datas entre 15/10/1582 até 25/11/4046. - Notação Americana - M.DY > mês, dia, ano ( month, day, year ) - Notação Brasileira - D.MY > dia, mês, ano ( day, month, year ) Quando não existe nenhuma notação no visor, é sinal de que a calculadora está no sistema Americano ( M.DY ). Para mudá-la basta digitar OBS: Sempre que for fazer um cálculo envolvendo datas, verificar se a calculadora está no modo D.MY. 8
2.12.1) Número de Dias entre Datas: Para calcular o número de dias entre duas datas, primeiro coloque a calculadora com seis casas decimais para facilitar a visualização. Digite inicialmente a data mais antiga e pressione Depois digite a data mais recente e pressione. Como teclar a data: digite o dia tecle digite o mês sempre com duas casas ( Ex: Dez = 12; Mai = 05 ) digite o ano sempre com quatro casas ( Ex: 99 = 1999 ) Quantos dias há entre 15/03/1999 e 31/12/1999? Digite 15 03 1999 Digite 31 12 1999 291 > 291 dias > resultado 2.12.2) Datas Futuras ou Passadas: Para calcular uma nova data com base num prazo em dias e numa data dada, procedemos da seguinte forma: digite a data fornecida e digite o prazo em dias. Se a nova data for uma data futura este número será digitado normal, se for passada em relação à data dada, devemos trocar o sinal. digite resultado 9
Partindo de 20/03/1999 determinar uma nova data após um prazo de 400 Digite 20 03 1999 Digite 400 Digite 23.04.2000 7 -> a nova data será 23/04/2000 [Domingo] Teclas da Função Calendário: 2.13) Memória Operacional ou Pilha Operacional: A HP-12C possui um visor vísivel e mais três virtuais, formando assim quatro compartimentos.
f t z y x 0,00 0,00 0,00 0,00 Limpa todos os compartimentos 1 E N T E R 2 t z y x t z y x t z y x 0,00 0,00 0,00 1 0,00 0,00 0,00 0,00 2 1 no visor x 1 subiu para y com cópia provisória em x. 2 substituiu a cópia provisória E N T E R 3 t z y x t z y x 0,00 200, 2,00 0,00 2,00 3 2 subiu para y empurrando 1 para z e deixando cópia provisória em x 3 substituiu a cópia provisória E N T E R 4 t z y x t z y x 2,00 3,00 3,00 2,00 3,00 4 3 subiu para y empurrando 2 para z e 1 para t e deixando cópia provisória em x 4 substituiu a cópia provisória + t z y x 2,00 7,00 adição de y (3) com x (4) apresentada em x,descendo 2 para y e 1 para z + t z y x 9,00 adição de x com y apresentada em x descendo 1 para y + t z y x 10,00 adição de x com y apresentada em x descendo 1 para y y t z y x 10,00 trocou o que estava em x pelo que estava em y OBS: As operações sempre são feitas de y para x. adição > y + x, subtração > y - x, multiplicação > Y x X potenciação > y x, divisão - > y : x 11
Cap. 3 - Regime de Juros Cada livro de Matemática Financeira adota símbolos diferentes para os componentes. Tempo ( prazo ): t, n, etc. Juros: J Taxa de Juros: i Capital ( principal ): C, P, PV, etc. Montante: M, FV, etc. Parcela / Prestação: P, PMT, etc. Para facilitar, adotaremos a mesma simbologia da HP-12C, ou seja: n = prazo, tempo i = taxa de juros PV = valor presente, capital, principal PMT = prestação, parcela FV = valor futuro, montante J = juros 3.1) Juros Simples: Neste regime, a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial em todos os períodos. Os juros têm um crescimento constante ao longo de todo período. Os juros simples são sempre proporcionais. Cálculo de Juros: Cálculo de Valor Futuro:
Cálculo do Valor Presente: 1) Calcular o valor futuro ( FV ) para um capital ( PV ) de R$8.000,00 aplicado a juros simples ( i ) de 3% a.m. por um prazo ( n ) de 2 -> resultado pelo 2) Calcular os juros de um capital ( PV ) de R$15.000,00 aplicado prazo ( n ) de 6 meses a uma taxa de juros simples ( i ) de -> resultado
3) Sabendo que por um capital aplicado por três meses a uma taxa de juros simples de 5% a.m. recebemos R$23.000,00. Calcular o valor do capital aplicado. -> resultado 3.2) Juros Compostos: No regime de juros compostos, os juros obtidos em cada período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a produzir juros para o período seguinte, e assim sucessivamente. Por isso são chamados de juros capitalizados. e OBS: A unidade de tempo utilizada para o período ( n ) deverá ser sempre a mesma da utilizada na periodicidade da taxa de juros ( i ), ou seja, se o período ( n ) for em meses, então a taxa ( i ) deverá ser mensal. Esta regra também é valida para juros simples. 1) Qual será o valor futuro de um capital de R$15.000,00 aplicado por 6 meses a uma taxa de 4% a.m. -> resultado
2) Qual é o capital que aplicado por 3 meses a uma taxa de 5% a.m. terá como valor futuro R$23.000,00. -> resultado 3.3) Diferença entre Regime de Juros:(Juros Simples X Juros Considerando um capital de R$100.000,00 aplicado pelo prazo de 3 meses a uma taxa de 5% a.m., teremos: Nas fórmulas teremos: - Juros Simples - - Juros Compostos - -> resultado -> resultado
Observe que a simbologia adotada nos cálculos financeiros, n = prazo i = taxa de juros PV = valor presente FV = valor futuro São as mesmas adotadas pelas teclas financeiras da HP-12C. Usando um dos exemplos do ítem 3.3 teremos: Preparando a HP-12C: -> limpando os registros O visor da máquina deverá apresentar: Digite Digite Digite Digite Digite 100.000,00 Digite Digite Digite A calculadora deverá piscar por alguns segundos apresentando o resultado final. 115.762,50 -> resultado OBS 1: As teclas financeiras são utilizadas para cálculos de juros compostos ou capitalizados. OBS 2: O ítem 3.5 traz a explicação da troca de sinal para lançar o valor em
Teclas Financeiras: 3.5) Fluxo de Caixa: Objetivando facilitar o entendimento dos cálculos de juros, utilizamos gráficos contendo setas dirigidas para cima e para baixo, representando a entrada e a saída de dinheiro ao longo do tempo.(fluxo de caixa) Usando um dos exemplos do ítem 3.3 temos: Representação Gráfica do Fluxo de Caixa: A linha horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, meses, anos, etc. No tempo 0 houve uma saída de caixa no valor de R$100.000,00 = PV. No tempo 3 houve uma entrada de caixa no valor de R$115.762,50 = FV. Observe que no gráfico, a entrada de caixa tem sentido inverso à saída de caixa, razão pela qual no ítem 3.4 ao lançarmos PV na HP-12C trocamos o sinal ( - 100.000,00 ) para informar à calculadora que houve uma saída no caixa.
Importante: Antes de lançar os dados do cálculo a ser efetuado nas teclas financeiras, verificar se a unidade de tempo do período n é a mesma da taxa i. Caso contrário, faça a transformação. A HP-12C trabalha também com períodos n fracionários. Para isto é necesssário que a calculadora apresente a letra c no visor. Caso a máquina não se apresente desta forma, para adequa-la basta digitar e a HP-12C estará pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e fracionários. É aconselhável que você mantenha sempre sua calculadora com a indicação c no visor. Uma empresa formalizou uma operação de capital de giro de R$160.000,00, pelo prazo de 75 dias, a uma taxa de 6,5% a.m.. Determine o montante a pagar no vencimento do contrato. (sempre que não fazemos menção, consideramos os juros compostos). Dados: ( * )note que a unidade de tempo do prazo não está compatível com a unidade de tempo da taxa. Representação Gráfica do Fluxo de Caixa:
- Na Fórmula - - Na HP-12C - Digite 2,5 Digite 6,5 Digite 160.000 Tecle -> resultado -> resultado 3.6) Capitalização e Descapitalização: Capitalizar ou descapitalizar um valor é transporta-lo no tempo de acordo com uma taxa de juros ou inflação previamente fixada. Capitalização: capitalizamos PV a uma taxa i pelo prazo n e encontramos FV. Descapitalização: descapitalizamos FV a uma taxa i pelo prazo n e encontramos PV.
Calcule o valor R$50.000,00 daqui a 3; 7 e 12 meses, para uma taxa de 7% a.m. Digite 50000 Digite 7 Digite 3 Tecle R$ 61.252,15 Digite 7 Tecle R$ 80.289,07 Digite 12 Tecle R$ 112.609,58 Note que se digitarmos: 5 80289,07 Tecle R$ 112.609,58 3.7) Taxas: 3.7.1) Taxas Proporcionais: Quando trabalhamos com taxas nominais usamos juros simples que são proporcionais. 3% a.m. é proporcional a 36% a.a. Regra de Três:
3.7.1) Taxas Equivalentes: Duas taxas expressas em períodos diferentes são equivalentes entre si quando, aplicadas a um mesmo capital por um mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante. Taxas equivalentes estão diretamente ligadas ao sistema de juros compostos ou capitalizados. Demonstração: Sendo assim, temos:
Por definição os montantes (FV) são iguais e os capitais (PV) também são iguais, então: 1) Qual é a taxa mensal equivalente a 120% a.a.? Na fórmula:
Nas teclas financeiras: Digite 12 Digite 120 100 Digite 100 Tecle -> resultado 2) Calcular a taxa anual equivalente a 40% a.m. Na fórmula: Nas teclas financeiras: Digite 12 Digite 40 Digite 100 Tecle 100
3) Calcule a taxa diária equivalente a 45% ao ano. Na fórmula: Nas teclas financeiras: Digite 360 Digite 45 100 Digite 100 Tecle 3.8) Spread: Spread é a sobretaxa que colocamos sobre a taxa de custo, no intuito de cobrir os custos e obter uma rentabilidade desejada. O Spread deve sempre ser calculado sobre a taxa efetiva de custo para obter a taxa efetiva final. OBS: A periodicidade do spread deverá ser a mesma da taxa efetiva de custo e da taxa efetiva final.
Partindo de uma taxa efetiva de custo de 5% ao mes e de um spread de 3% ao mes, determinar a taxa efetiva final. 3.9) Taxa de Juros: 3.9.1) Pré-Fixada: É a taxa que, aplicada sobre um capital, predetermina o Valor Futuro para liquidação, pois sua composição já inclui uma expectativa de inflação. 5%ao mes. 3.9.2) Pós-Fixada: É a taxa na qual deverá ser acrescida posteriormente a inflação ocorrida no período analisado. Exemplos: 2,0% ao mes + TR ( Variação da TR ) 1,8 % ao mes + US$ ( Variação Cambial ) 3.9.3) Real: É a taxa expurgada da expectativa de inflação. Simplificando, é a taxa de juros que realmente foi aplicada. Exemplos: Usando os mesmos do ítem 3.9.2, temos que a taxa de juros real é:
3.10) Taxas de Desconto: Taxa de desconto é uma taxa nominal (proporcional) que incide por fora sobre o montante. Para toda taxa de desconto existe uma taxa efetiva correspondente. Taxa efetiva é uma taxa de juros compostos (capitalizados) que efetivamente representa a rentabilidade de uma aplicação. 1) Dada uma taxa de desconto de 10% a.m. para um período de 30 dias ( 1 mês ) determinar a taxa efetiva período ( 1 mês ) correspondente. 2) Dada uma taxa efetiva mês de 11,11% a.m., determinar a taxa de desconto mês para um período de 30 dias ( 1 mês ). Cap. 4 - Séries Uniformes de Pagamento
Até aqui aprendemos a trabalhar com as seguintes variáveis: n, i, PV e FV. Agora passaremos a trabalhar com: n, i, PV e PMT, onde PMT representa prestações ou parcelas iguais, vencíveis em períodos uniformes - Neste caso a variável n representa não só o prazo, mas também a quantidade de parcelas. 4.1) Séries Uniformes de Pagamentos Sem Entrada: A parcela (prestação) vence sempre no final de cada período. Um empréstimo de R$ 9.000,00 será pago em 05 parcelas iguais numa taxa de 6% ao mês. Calcular o valor de cada parcela.
Resolvendo na HP-12C temos: 4.2) Séries Uniformes de Pagamentos Com Entrada: A parcela (prestação) vence sempre no início de cada período. O preço à vista de uma geladeira é R$ 1.200,00. Praticando uma taxa de 7% ao mês, calcular o valor da prestação para uma venda em 09 prestações mensais com a primeira no ato da venda (Entrada). 100 100 100 100
Resolvendo na HP-12C temos: Obs.: Os cálculos efetuados nos ítens 4.1 e 4.2 são comumente usados em vendas parceladas do comércio, crédito pessoal, CDC, etc. Cap.5 - SÉRIES UNIFORMES DE DESEMBOLSOS São parcelas uniformes aplicadas periódicamente com intuito de produzir um montante no final do período total. Agora passaremos a trabalhar com as seguintes variáveis: n, i, PMT e FV. 5.1) Parcelas Postecipadas (Sem entrada) A parcela vencendo no final de cada período. Um investidor quer acumular R$ 20.000,00 no final de 24 meses à uma taxa de 2% ao mês. Qual será o valor da parcela mensal a ser aplicada começando um mês após esta decisão? 100 100 24
Resolvendo na HP-12C temos: 5.2) Parcelas Antecipadas (Com entrada) A parcela vencendo no início de cada período. O exemplo do ítem 5.1 começando as aplicações no ato da decisão. Resolvendo na HP-12C temos:
Cap. 6 - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO * A amortização de uma dívida é a redução do seu valor através de pagamentos periódicos. * As parcelas pagas são compostas de juros e uma parte de principal destinada à amortização. * Tanto o pagamento de juros como o de principal podem ser efetuados de diferentes formas. Estas formas são chamadas de Sistemas de Amortização. Os mais utilizados são: - SAC Sistema de Amortizações Constantes. 6.1) SAC - Sistema de Amortizações Constantes. * A amortização do capital é constante em cada prestação. * Os juros vão diminuindo a cada parcela. * Desta forma as prestações são decrescentes. Um capital de R$ 150.000,00 emprestado pelo prazo de 3 meses à uma taxa de 5% a.m., usando o SAC. Valor da amortização em cada parcela: 150.000,00 3 = 50.000,00 Temos: MES PRESTAÇÕES JUROS AMORTIZAÇÕES SALDO DEVEDOR 0 - - - 150.000,00 1 57.500,00 7.500,00 50.000,00 100.000,00 2 55.000,00 5.000,00 50.000,00 50.000,00 3 52.500,00 2.500,00 50.000,00 -
6.2) Tabela PRICE ou Sistema de Amortizações Francês. * As prestações são uniformes. ( Constantes). * Os juros vão diminuindo a cada parcela. * As amortizações do capital são crescentes. O mesmo do ítem 6.1, usando a tabela PRICE. Resolvendo na HP-12C: Temos: MES PRESTAÇÕES JUROS AMORTIZAÇÕES SALDO DEVEDOR 0 - - - 150.000,00 1 55.081,28 7.500,00 47.581,28 102.418,72 2 55.081,28 5.120,94 49.960,34 52.458,38 3 55.081,28 2.622,92 52.458,38 -
PROBLEMAS PROPOSTOS Juros Simples: 1) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. Resposta: R$ 8.400,00. 2) Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$11.200,00. Determinar a taxa de juros anual. Resposta: 60% a.a. 3) A aplicação de R$ 35.600,00 gerou um montante de R$ 58.028,00 no final de nove meses. Calcular a taxa anual. Resposta: 84% ao ano. 4) Qual o capital que, à taxa de 4% ao mês, rende jurus de R$9.000,00 em um ano? Resposta: R$ 18.750,00 5) Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% ao ano rende R$72.000,00 de juros, determinar o montante. Resposta: R$ 312.000,00. Juros Compostos: 1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês. Resposta: R$ 144.504,39. 2) Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular a taxa mensal e anual desse empréstimo. Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano. 3) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. Resposta: R$ 1.708.984,38. 4) A aplicação de certo capital à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. Resposta:R$396.288,79 5) Certa aplicação rende 0,225 % ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? Resposta: 309 dias Taxas Equivalentes: 1) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 no final de 19 meses? Resposta: R$ 520.154,96. 2) Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580.000,00, à taxa de 175% ao ano, pelo prazo de 213 dias? Resposta: R$ 1.055.277,08. 3) Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de R$ 5.000,00? Resposta: R$ 3.854,32. 4) A aplicação de R$380.000,00 proporcionou um rendimento de R$240.000,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros. Respostas:0,2356% ao dia; 7,32% ao mês; 23,59% ao trimestre e 133,33% ao ano.
Séries Uniformes de Pagamentos Sem Entrada: 1) Um veículo novo foi adquirido por R$ 22.000,00, sendo 70% financiado em 12 parcelas iguais. Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de 4,5% ao mês, calcular o valor da prestação mensal. Resposta: R$ 1.688,86. 2) Qual o valor da prestação bimestral referente a um financiamento de R$25.000,00 a ser liquidado em 2 anos, à taxa de 9% ao bimestre, sendo que a primeira prestação vence a 180 dias da data do contrato. Resposta: R$4.628,25. Séries Uniformes de Pagamentos Com Entrada: 1) Uma TV de R$ 5.000,00, é financiada por uma loja, para pagamento em 13 parcelas iguais de R$ 532,83, sendo a primeira paga no ato da compra. Calcular a taxa de juros cobrada pela loja. Resposta: 6% ao mês. SÉRIES UNIFORMES DE DESEMBOLSOS Parcelas Postecipadas (Sem entrada) 1) Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais e mensais de R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos vencidos, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. Resposta: R$ 36.666,53. Parcelas Antecipadas (Com entrada) 1) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 15 meses, à taxa de 3,25% ao mês, para que tenha R$ 150.000,00 no final do 15º mês, dentro do conceito de termos antecipados? Resposta: R$ 7.669,04. 2) Qual o montante, no final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas mensais e consecutivas de R$1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5% ao mês e que a primeira aplicação é feita hoje? Resposta: R$40.482,11.