MATEMÁTICA Aula 1 Revisão Prof. Anderson
Assuntos Equação do 1º grau com uma variável. Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis. Equação do º grau com uma variável.
Equação do 1º grau com uma variável Denomina-se equação do 1º grau com uma variável toda equação que pode ser escrita da forma a + b 0, com a 0, onde a e b são números reais conhecidos. O número b também é denominado termo independente, pois não está acompanhado de. Eemplos a) na equação 3 + 4 0, temos a 3 e b 4. Compare: a + b 0 3 + 4 0 b) na equação + 3 0, temos a -1 e b 3. Compare: a + b 0-1 + 3 0
Equação do 1º grau com uma variável Resolução da equação Resolver uma equação é achar o valor de uma incógnita que torna verdadeira a igualdade, isto é, achar o seu conjunto verdade V ou conjunto solução, S. Eemplo: Determine a solução da equação + 4 10. Solução + 4 10 10 4 6 3 Portanto S { 3}
Equação do 1º grau com uma variável Eercícios de Fiação 1. Determine a solução de cada equação abaio: a. b. c. d. e. 4 11 8 8 19 3 + 11 1 5 + 3 3 + 18 1 1 1+ 10 5 4
Equação do 1º grau com uma variável Eercícios de Fiação Solução: a. 4 11 19 4 19 +11 4 30 30 15 4 b. 8 8 8 + 8 16 16 8
Equação do 1º grau com uma variável Eercícios de Fiação Solução: c. -3 + 11-1 -3-1 - 11-3 -1-1 -3 4 d. -5 + 3-3 +18-5 + 3 18-3 - 15 15 -
Equação do 1º grau com uma variável Eercícios de Fiação Solução: e. 1 1 1 + 10 5 4 Obs: Nas equações com mais de um denominador, para sua resolução, deve-se simplificá-los ao denominador 1. Para tal deve-se achar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos mesmos, no caso atual é 0. Multiplica-se todos os numeradores pelo MMC, no caso atual a equação ficará da seguinte forma: 40 0 0 40 0 + 0 10 5 4 Simplificando: 4 4 40 5 5
Equação do 1º grau com uma variável Eercícios de Fiação 4 + 5 40 5 + + 4 9 41 X 41 9
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Quando duas equações do 1º grau estão relacionadas entre si, temos um sistema de equações do 1º grau com duas variáveis. Eemplos: a) b) y 5 + y 10 + y 1 y Cabe ressaltar que o conjunto solução de um sistema de equações é sempre formado por um par ordenado (,y), ou seja, escrevemos em 1º lugar o valor de, e depois o valor de y.
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Resolução dos sistemas Eistem dois métodos para resolução dos sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis: o método da substituição e o da adição. Método da substituição eemplo: Resolver o sistema: + y 1 y 4 1 1º passo: escolhe-se uma das equações e isola-se uma das variáveis; por eemplo, isolamos o na equação (). y 4 4 + y
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Resolução dos sistemas º passo: substitui-se o valor isolado na outra equação e encontra-se o valor da variável restante; no caso substituímos na equação (1) pelo valor encontrado ( 4 + y), e encontramos o valor de y. + (4 + 4 + 4 + y y y y y 1 4 1 y) + y + 8 y y 1 1 4 1
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Resolução dos sistemas 3º passo: Substitui-se o valor encontrado em qualquer uma das equações; no caso substituímos na equação (). y 4 4 4 + 8 4 4 Portanto o conjunto solução é o par ordenado (8,4). S {(8,4)}
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Método da adição Aplicaremos o método no mesmo problema anterior. Solução As duas equações apresentam termos opostos: y na primeira e y na segunda. 1º passo: Ao somarmos as equações, cancelamos a variável y, encontrado o valor da variável. + y y 16 16 8 1 4 +
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Método da adição Um outro caso: + y 11 y 1 Solução: Não adianta somar as equações, pois não há termos opostos. É necessário, portanto, usar um artifício. Multiplicamos a 1ª equação por. + y 11( ) 4 + y y
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Método da adição Observe que agora, as duas equações apresentam termos opostos (y na 1ª e -y na ª ). 4 + 5 y y 0 0 5 4 +
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Método da adição Substituindo 4 na ª equação temos: y 4 4 + 6 6 y y y y 3 y Portanto, o par ordenado (4,3) é a solução do sistema. S {(4,3)}
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Eercícios de Fiação 1. Resolva o sistema abaio, usando o método da substituição: a. + 5y 6 + y 7. Resolva o sistema abaio, usando o método da adição: a. + y 3 3y 6
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Eercícios de Fiação Solução: 1. + 5y 6 + y 7 6 5y.(6 5y) + y 7 5 10y + y 7-10y + y 7 5-9y -45 y -45-9 y 5
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Eercícios de Fiação Solução: 6 5y 6 5.(5) 6 5 1 S {(1,5)}
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Eercícios de Fiação Solução: 1. + y 3 3y 6 3 ( + y 3) 6 + 3y -9 6 + 3y -9 3y -6 7-35 -35 7-5 +
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis Eercícios de Fiação Solução: + y -3.(-5) + y -3-10 + y -3 y -3 + 10 y 7 S {(-5,7)}
Equação do º grau com uma variável Chamamos de equação do. grau à equação do tipo: a + b + c 0 Com a, b, c R e a 0. Sendo: a coeficiente de b coeficiente de c termo independente
Equação do º grau com uma variável Eemplos: a) Na equação + + 5 0, temos a 1, b e c 5. b) Na equação 3 3 9 0, temos a 3, b -3 e c -9. c) Na equação + 3 + 1 0, temos a 3, b e c 1. Cuidado! Observe que a equação não está escrita na forma a + b + c 0 Compare: a + b + c 0 + 3 + 1 0
Equação do º grau com uma variável Resolução da equação do º grau Para encontrarmos as raízes (solução) da equação do º grau completa, basta aplicarmos a fórmula de Báskara. b ± b 4ac a A epressão b 4ac é representada pela letra grega (delta), e é chamada discriminante. A eistência ou não de raízes depende, eclusivamente, do discriminante. Se > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes. Se 0, a equação tem duas raízes reais e iguais. Se < 0, a equação não tem raízes reais.
Equação do º grau com uma variável Eercícios Resolvidos 1. Resolva a equação: -5 + 6 0 Solução: Sabemos que: a 1, b -5 e c 6 Vamos calcular o valor do discriminante: b 4ac ( 5) 5 4 1 4 1 6 > 0 duas raízes reais e distintas.
Eercícios Resolvidos Para encontrarmos as raízes, aplicaremos a fórmula: Portanto as raízes são e 3; logo S {,3}. Equação do º grau com uma variável a ac b b 4 ± 1 1 5) ( ± + ± 3 6 1 5 '' 4 1 5 ' 1 5
Equação do º grau com uma variável Eercícios Resolvidos. Resolva a equação + 4 + 4 0 Solução: Sabemos que a 1, b 4 e c 4 b 4ac 4 16 0 4 1 4 16 0 As duas raízes são reais e iguais.
Eercícios Resolvidos Portanto, as duas raízes são iguais a -; logo S { -} Equação do º grau com uma variável a ac b b 4 ± 1 0 4 ± + ± 4 0 4 '' 4 0 4 ' 0 4
Equação do º grau com uma variável Eercícios Resolvidos 3. Resolva a equação + + 1 0 Solução: Sabemos que: a, b e c 1 b 4ac 4 8 4 4 1 < 0 não eistem raízes reais S
Equação do º grau com uma variável Eercícios de Fiação 1. Resolva a equação abaio: a. + 3 10 0
Equação do º grau com uma variável Solução a. + 3 10 0 b ± b 4ac a -(3) +/- (3) 4*(1 * -10) * (1) -3 7-5 -3 + 7 S { -5, }