Distribuições discretas e contínuas

Distribuições discretas e contínuas Universidade Tecnológica Federal do Parana 15 de maio de 2017 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 1 / 130

Distribuição Discreta de Probabilidade 1 Uniforme discreta: honestos 2 Bernoulli: tendência 3 Binomial: seqüências Bernoullis 4 Poisson: N 5 Hipergeométrica: exp. sem reposição 6 Pascal: eventos sinistrantes (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 2 / 130

Distribuição Uniforme de Probabilidade f(x) = 1 N (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 3 / 130

Distribuição Uniforme de Probabilidade 1 Eventos equiprováveis (honestas) 2 X : {x ℵ } (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 4 / 130

Distribuição Uniforme de Probabilidade 1 Função Massa de Probabilidade { 1 f(x a,b) = N, se N ℵ com a N b 0, se c.c. 2 Função Acumulada de Probabilidade F(x a,b) = 1 k x k N N 3 Função Caracterísitca ϕ X (t) = 1 N 4 Função Geradora de Momentos ϕ X (t) = 1 N x=1 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 5 / 130 N x N x e itx e tx

Distribuição Uniforme de Probabilidade Tabela: Medidas MTC/MDV N+1 Média 2 N+1 Mediana 2 Moda SKW 0 Curtose 6 N 2 +1 5 N 2 1 N Variância 2 1 12 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 6 / 130

5 0 5 10 Uniform discrete distribution Cumulative Distribution Function fx 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Fn(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x Figura: a) Distribuição Uniforme Discreta b) Função de Distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 7 / 130

Distribuição Uniforme de Probabilidade Exemplo I: Calcule a média e a variância em jogar um dado honesto de seis faces. Qual a probabilidade de sair a face 6? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 8 / 130

Distribuição Bernoulli de Probabilidade f(x) = θ x (1 θ) 1 x X : (0,1) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 9 / 130

Distribuição Bernoulli de Probabilidade 1 Eventos tendenciosos 2 X : {x (0,1)}, dicotômicos (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 10 / 130

Distribuição Bernoulli de Probabilidade 1 Função Massa de Probabilidade { P(X = x) = θ f(x a,b) = x (1 θ) 1 x, se X : (0,1) 0, se c.c. 2 Função Acumulada de Probabilidade 3 Função Caracterísitca F(x a,b) = 4 Função Geradora de Momentos 1 θ x (1 θ) 1 x x=0 ϕ X (t) = E(e itx ) = (1 θ)+θe it M X (t) = E(e tx ) = (1 θ)+θe t (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 11 / 130

Distribuição Bernoulli de Probabilidade Bernoulli distribution Cumulative Distribution Function fx 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fn(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Figura: a) Distribuição Bernoulli Discreta b) Função de Distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 12 / 130

Distribuição Bernoulli de Probabilidade Média SKW θ 1 2θ θ(1 θ) 1 6 var(x) var(x) Curtose Variância θ(1 θ) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 13 / 130

Exemplo II Joga-se uma dado com probabilidade de sair a face seis igual a 2 3. Qual a probabilidade de não sair essa face? Calcule o valor esperado da distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 14 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade f(x) = ( ) N θ x (1 θ) N x X : (0,1,2,3,...) x (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 15 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade a) seqüênicas de eventos Bernoulli. b) X : {X ℵ}. c) Aplicável a experimentos com reposição (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 16 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade 1 Função Massa de Probabilidade P(X = x) = ( N x ) θ x (1 θ) N x 2 Função Acumulada de Probabilidade F(x a,b) = k x=0 ( ) N θ x (1 θ) N x x k N 3 Função Caracterísitca ϕ X (t) = E(e itx ) = [(1 θ)+θe it ] N 4 Função Geradora de Momentos M X (t) = E(e tx ) = (1 θ+θe t ) N (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 17 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade Binomial distribution Cumulative Distribution Function fx 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Fn(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 20 25 x 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 x Figura: a) Distribuição binomial b) Função de Distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 18 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade Tabela: Medidas MTC/MDV Média Nθ Mediana Nθ Moda (N +1)θ SKW 1 2θ Curtose Nθ(1 θ) 1 6 θ(1 θ) θ(1 θ) Variância Nθ(1 θ) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 19 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade Exercício II Uma fábrica produz 10 peças em uma linha de produção. A probabilidade de ser defeituosa é de 0.30. Qual a probabilidade de encontrarmos 5 peças com defeito? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 20 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade Exercício III Suponha uma caixa contendo 2 bolas vermelhas, 1 bola azul e 5 bolas brancas. Qual a probabilidade de retirar 2 bolas vermelhas, com reposição? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 21 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade Resol. (Método convencional) P(V 1 V 2 ) = P(V 1 )P(V 2 V 1 ) = experimento com reposição = P(V 1 )P(V 2 ) = 2 2 88 = 4 64 = 1 16 (1) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 22 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade Exercício IV: Suponha uma caixa contendo 2 bolas vermelhas, 1 bola azul e 5 bolas brancas. Qual a probabilidade de retirar 2 bolas vermelhas, com reposição? Resol. (Usando a distribuição) f(x) = ( N x ) θ x (1 θ) N x N = 2 Retirar bolas quaisquer x =? p(vermelho) θ = 2 2+1+5 = 2 8 Sucesso de x (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 23 / 130

Distribuição Binomial de Probabilidade Exercício V: Suponha uma caixa contendo 2 bolas vermelhas, 1 bola azul e 5 bolas brancas. Qual a probabilidade de retirar 2 bolas vermelhas, com reposição? Resol. (Usando a distribuição) 2 p(vermelho) = 2+1+5 = 2 8 θ ( ) N P(X = x) = θ x (1 θ) N x x ( )( ) 2 2 2 [ ( )] 2 2 2 P(X = 2) = 1 2 8 8 ( ) 2! 1 2 [ ( )] 1 0 = 1 (2 2)!2! 4 4 = 1 16 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 24 / 130

Distribuição Poisson de Probabilidade f(x) = λx e λ x! X : (0,1,2,3,...) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 25 / 130

Distribuição Poisson de Probabilidade a) Define-se o valor esperado E(x) = Nθ = λ. b) X : {X ℵ}. c) Aplicável aos casos espaciais e temporais. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 26 / 130

Distribuição Poisson de Probabilidade 1 Função Massa de Probabilidade P(X = x) = λx e λ x! 2 Função Acumulada de Probabilidade k λ k e λ F(x a,b) = k! x=0 k N 3 Função Caracterísitca ϕ X (t) = E(e itx ) = e λ(eit 1) 4 Função Geradora de Momentos M X (t) = e λ(et 1) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 27 / 130

Distribuição Poisson de Probabilidade Poisson distribution Cumulative Distribution Function fx 0.00 0.05 0.10 0.15 Fn(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 20 25 x 0.00 0.05 0.10 0.15 x Figura: a) Distribuição Poisson X Pois(λ) b) Função de Distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 28 / 130

Distribuição Poisson de Probabilidade Tabela: Medidas MTC/MDV Média λ SKW λ 1/2 Curtose λ 1 Variância λ (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 29 / 130

Exercício VI: Um call-center recebe 25 chamadas em uma hora. Qual a probabilidade do número de chamadas ser exatamente 30 no mesmo período? Qual a variânica no call-center? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 30 / 130

Poisson X Binomial Exercício VII Uma fábrica produz 10 peças em uma linha de produção. A probabilidade de ser defeituosa é de 0.30. Qual a probabilidade de encontrarmos (obs. exercício já visto). a) Usando distribuição Poisson: exatamente 5 peças com defeito? A média será E(x) = Nθ = 10 0.30 = 3 = λ P(X = 5) = λx e λ x! = 35 e 3 5! = 0.1008 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 31 / 130

Distribuição Poisson de Probabilidade (cont...) Uma fábrica produz 10 peças em uma linha de produção. A probabilidade de ser defeituosa é de 0.30. Qual a probabilidade de encontrarmos (obs. exercício já visto). b) Usando distribuição binomial: exatamente 5 peças com defeito? ( ) N P(X = x) = θ x (1 θ) N x x ( ) 10 P(X = 5) = (0.30) 5 (1 0.30) 10 5 5 = 0.1029 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 32 / 130

Distribuição Poisson de Probabilidade Observação Verifique que existe uma diferença en torno de 2% no valor numérico das probabilidades. Isto fica claro porque a distribuição de Poisson é uma extensão da distribuição binomial, portanto não faz sentido uma diferença grande no cálculo das probilidades encontradas. Suponha que a fábrica produza 10 mil peças, como ficaria o resultado encontrado? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 33 / 130

Distribuição Hipergeométrica f(x) = ( k N k ) x) ( n x ( N n) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 34 / 130

Distribuição Hipergeométrica a) X : {X ℵ}. b) Experimentos sem reposição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 35 / 130

Distribuição Hipergeométrica 1 Função Massa de Probabilidade P(X = x) = ( k N k ) x) ( n x ( N n) onde: Tamanho da população: N Tamanho da amostra: n Variável aleatória: X Subclasse de interesse: k (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 36 / 130

2 Função Caracterísitca ϕ X (t) = E(e itx ) = ( N k n ) ( N n) 2F1( n, k,n K n+1,e it ) sendo 2F 1 a função hipergeométrica generalizada. 3 Função Geradora de Momentos ) M X (t) = E(e tx ) = ( N k n ( N n) 2F1( n, k,n K n+1,e t ) sendo 2F 1 a função hipergeométrica generalizada. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 37 / 130

Distribuição Hipergeométrica Poisson distribution Cumulative Distribution Function fx 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Fn(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 6 x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x Figura: a) Distribuição Hipergeométrica X Pois(λ) b) Função de Distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 38 / 130

Distribuição Hipergeométrica Tabela: Medidas MTC/MDV Média n ( ) k N (n+1)(k+1) Moda N+2 Variância n ( )( k N k ) ( ) N n N N N 1 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 39 / 130

Distribuição Hipergeométrica Exercício VIII: Calcule a probabilidade de retirar uma amostra de 4 peças e encontrarmos, no mínimo, 3 peças fora do padrão em uma caixa com 100 peças misturadas a outras 9 defeituosas. Espera-se tirar quantas defeituosas na amostra? Resol. N = 109 : n = 4 : k = 9 : x = 3 : (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 40 / 130

Distribuição Hipergeométrica Exemplo IX: Suponha uma caixa contendo 2 bolas vermelhas, 1 bola azul e 5 bolas brancas. Qual a probabilidade de retirar 2 bolas vermelhas, sem reposição? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 41 / 130

Distribuição Hipergeométrica (Método convencional) P(V 1 V 2 ) = P(V 1 )P(V 2 V 1 ) = experimento sem reposição = 2 1 87 = 2 56 = 1 28 0.0357 (2) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 42 / 130

Distribuição Hipergeométrica (Método análise combinatória) (# Sair 2 bolas vermelhas das 2) (# Não sair de outra c P(V 1 V 2 ) = (# Retirar 2 bolas em 8 ) = experimento sem reposição = C 2,2C 6,0 = = = C 8,2 2! (2 2)!2! 6! (6 0)!6! 8! (8 2)!2! 1 8! 6!2! 2 7 8 = 1 28 0.0357 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 43 / 130

Distribuição Hipergeométrica (Usando a distribuição hipergeométrica) N = 8 : População n = 2 : Amostras k = 2 : Bolas vermelhas na população x = 2 : Retirada de bolas vermelhas (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 44 / 130

Distribuição Hipergeométrica P(X = x) = P(X = 2) = = ( x 1 ) ( N k x n x ( N n) ( 2 8 2 ) 2) ( 2 2 ( 8 2) ( 2 ) ( 6 2( 0) 8 2) ) = (1) (1) 28 = 1 28 0.0357 No Software R: > dhyper(2,2,6,2,log = FALSE) [1] 0.03571429 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 45 / 130

Distribuição Pascal ou Binomial Negativa de Probabilidade f(x) = ( ) x 1 θ k (1 θ) x k k 1 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 46 / 130

Distribuição Pascal 1 Função Massa de Probabilidade ( ) x 1 P(X = x) = θ k (1 θ) x k k 1 onde: Média: E(X) = k 1 θ VariÂncia: Var(X) = k 1 θ θ 2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 47 / 130

Distribuição Geométrica de Probabilidade P(X = x) = θ(1 θ) x 1 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 48 / 130

Distribuição Geométrica Quando r = 1 sinistro P(X = x) = θ(1 θ) x 1 Média: E(X) = 1 θ Variância: Var(X) = 1 θ θ 2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 49 / 130

Distribuição Geométrica Exemplo X: O banco de sangue necessita de sangue do grupo AB. Probabilisticamente apenas 0, 5% da população brasileira apresentam este tipo de sangue, segundo o portal da HEMOPA (www.hemopa.pa.gov.br). Qual a probabilidade desta pessoa a ser encontrada estar na quinta posição da fila? Qual a provável posição? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 50 / 130

Distribuição Multinomial de Probabilidade P[X 1 = x 1,X 2 = x 2, X N = x N ] = N! n 1!n 2! n N! θx 1 1 θx 2 2...θx N N (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 51 / 130

Distribuição Multinomial P[X 1 = x 1,X 2 = x 2, X N = x N ] = N! n 1!n 2! n N! θx 1 1 θx 2 2...θx N N Média: E(X) = Nθ i Variância: Var(X) = Nθ i (1 θ i ) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 52 / 130

Distribuição Multinomial Exercício XI: Na inspeção de qualidade de um produto a classificação é feita por quatro categorias: Conforme (C) (θ C = 70%) Aproveitável (A) (θ A = 15%) Reciclável (Rc) (θ Rc = 10%) Refugado (Rf) (θ Rf = 5%) Uma amostra foi retirada 10 unidades para inspeção. Qual a probabilidade de encontrar 6 conformes, duas aproveitáveis, uma recicalda e uma refugada? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 53 / 130

Distribuição Multinomial (continua...)resol. 10! P(C = 6,A = 2,Rc = 1,Rf = 1) = 6!2!1!1! (0.70)6 (0.15) 2 (0.10) 1 (0.05) 1 = 3,34% (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 54 / 130

Distribuição Multinomial Exemplo XII Suponha uma urna com 3 bolas vermelhas, 1 branca e 2 azuis. Qual a probabilidade de retirar 2 azuis e 1 vermelha com reposição? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 55 / 130

Distribuição Multinomial (Método convencional) P[(A 1 A 2 V 3 ) (A 1 V 2 A 3 ) (V 1 A 2 A 3 )] = P(A 1 )P(A 2 )P(V 3 )+P(A 1 )P(V 2 )P(A 3 )+P(V 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 2 23 666 + 2 32 666 + 3 22 666 = 3 12 216 = 1 18 = 0.05555... (3) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 56 / 130

Distribuição Multinomial (Usando o modelo) P(X 1 = x 1,X 2 = x 2,,...X m = x m ) = P(V,B,A) = N! n 1!n 2!n 3! n m! θx 1 1 θx 2 2 θx 3 3 θxm m N! n V!n B!n A! θv V θb B θa A ( ) 2 2 ( 1 6 6 3! = 2!0!1! = 3 2 23 666 ) 0 ( 3 6 ) 1 = 3 12 216 = 1 18 = 0.05555... (4) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 57 / 130

Distribuição Multinomial (cont...) Suponha uma urna com 3 bolas vermelhas, 1 branca e 2 azuis. Qual a probabilidade de retirar 2 azuis e 1 vermelha com reposição? No software R > x < c(2,1,0) > Prob < c(2/6, 1/6, 3/6); sum(prob) [1] 1 > fx < dmultinom(x,prob = Prob,log = FALSE) > fx [1] 0.05555556 (5) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 58 / 130

Distribuições discretas: Qual usar? Qual a probabilidade de nascer menino(a)? Em um único dado honesto, qual face você apostaria? Qual o tempo de meia vida do decaimento do C 1 4? Do transistor SCR? Do planeta Terra? Qual a probabilidade de ganhar na Mega-Sena? A proporção de peças defeituosas é 7%. Em uma entrega de 50 peças, qual a probabilidade de de não retirar peças defeituosas em uma amostra de 15 unidades? Em média abre ordem de manutenção a cada 76,8 horas em média. Qual a possibilidade de abrir a ordem antes de 24 horas de manutenção? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 59 / 130

Distribuições Contínuas de Probabilidade (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 60 / 130

Distribuição Discreta de Probabilidade 1 Uniforme contínua: Uniformidade 2 Gamma: 75 distribuições 3 Exponencial: Intervalos (tempo/espaço) 4 Gaussiana: TCL 5 Normal Padrão: Cáclulo Probabiĺıstico 6 Qui-quadrado: Teorema de Cochran 7 t-student: Baixa amostragem 8 F-Snedecor: Teste variacional 9 Cauchy: Não tem média e nem variância! (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 61 / 130

Distribuição Uniforme de Probabilidade Distribuição Uniforme de Probabilidade (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 62 / 130

Distribuição Uniforme de Probabilidade 1 Função Densidade de Probabilidade f(x a,b) = { 1 b a 2 Função Acumulada de Probabilidade 3 Função Caracterísitca F(x a,b) = x a b a ϕ X (t) = eitb e ita it(b a) 4 Função Geradora de Momentos M X (t) = etb e ta t(b a), se x [a,b], 0, se c.c. x [a,b] x [a,b] x [a,b] (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 63 / 130

Distribuição Uniforme de Probabilidade Tabela: Medidas MTC/MDV a+b 2 Média a+b Mediana 2 Moda - SKW 0 Curtose 6 5 Variância σ 2 = (b a)2 12 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 64 / 130

Distribuição Uniforme de Probabilidade Uniform distribution Cumula tive Function fx 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fx 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2 1 0 1 2 x 2 1 0 1 2 x Figura: a) Distribuição Uniforme Contínua b) Função de Distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 65 / 130

Distribuição Gamma Distribuição Gamma de Probabilidade (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 66 / 130

Distribuição Gamma 1 Função Densidade de Probabilidade { 1 f(x a,b) = Γ(α)β x α 1 e β, x se x 0, α 0, se c.c. 2 Função Acumulada de Probabilidade 3 Função Caracterísitca F(x α,β) = 1 Γ(α) γ(α,βx) 0 < x < ϕ X (t) = 4 Função Geradora de Momentos M X (t) = ( ) 1 α t < α 1 iβt β ( 1 1 βt ) α t < α β (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 67 / 130

Distribuição Gamma (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 68 / 130

Distribuição Gamma Tabela: Medidas MTC/MDV Média αβ Mediana Moda (α 1) β SKW 2 α Curtose 6 α Variância αβ 2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 69 / 130

Distribuição Gamma Gamma distribution Cumulative Function fx1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fx1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 x 0 2 4 6 8 10 x Figura: a) Distribuição Gamma Contínua: Γ(1, 1) em preto, Γ(2, 1) em vermelho, Γ(3,2) em azul b) Função de distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 70 / 130

Distribuição Exponencial de Probabilidade Distribuição Exponencial de Probabilidade f(x a,b) = λe λx (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 71 / 130

Distribuição Exponencial de Probabilidade 1 Função Densidade de Probabilidade { λe f(x a,b) = λx, se x 0, 0, se c.c. 2 Função Acumulada de Probabilidade F(x λ) = 1 e λx 0 < x < 3 Função Caracterísitca ϕ X (t) = ( ) λ λ it 4 Função Geradora de Momentos ( ) λ M X (t) = λ t t < λ t < λ (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 72 / 130

Distribuição Exponencial de Probabilidade Tabela: Medidas MTC/MDV 1 Média λ ln 2 Mediana λ Moda 0 SKW 2 Curtose 6 1 Variância λ 2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 73 / 130

Exercício XIV O tempo médio até a falha do diodo SCR é de 5 mil horas. Qual a probabilidade do diodo falhar até a metade do tempo projetado? Qual o tempo de meia vida? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 74 / 130

Distribuição Exponencial de Probabilidade Exponencial distribution Cumulative Function fx1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Fx1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 x 0 2 4 6 8 10 x Figura: a) Distribuição Exponencial com λ = 2 b) Função de Distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 75 / 130

Distribuição Gaussiana de Probabilidade Distribuição Gaussiana de Probabilidade Figura: Carl Friedrich Gauss (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 76 / 130

Distribuição Gaussiana de Probabilidade 1 Função Densidade de Probabilidade f(x µ,σ 2 ) = 1 2( x µ 2πσ 2 e 1 σ ) 2 2 Função Acumulada de Probabilidade F(x µ,σ 2 ) = 1 [ ( )] x µ 1+erf 2 σ 2 com erf(y) = 2 y e t2 dt π 3 Função Caracterísitca 4 Função Geradora de Momentos ϕ X (t) = e iµt 1 2 σ2 t 2 M X (t) = e µt+1 2 σ2 t 2 0 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 77 / 130

Distribuição Gaussiana de Probabilidade Tabela: Medidas MTC/MDV Média µ Mediana µ Moda µ SKW 0 Curtose 0 Variância σ 2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 78 / 130

Distribuição Gaussiana de Probabilidade Figura: a) Função de densidade de probabilidade e b) função de distribuição (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 79 / 130

Exercício XV Encontre a probabilidade P(0.25 < X 1.5) para X N(2,1) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 80 / 130

P(0.25 < X 1.5) = = = 1.5 0.25 1.5 0.25 1 2πσ 2 e 1 2( x µ σ ) 2 dx 1 2π e 1 2 (x 2)2 dx 1 0.5 e u2 2du 2π 1.75 = 1 0.5 e u2 du π 1.75 (6) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 81 / 130

Taylor = e u2 = = 1 π 0.5 1.75 k=0 = 1 π 0.5 = 1 π ( u 2 ) k k=0 k! ( u 2 ) k du k! ( 1) k u 2k du k! 1.75 k=0 0.5 k=0 = 1 π k=0 ( 1) k k! ( 1) k k! 1.75 u 2k du ( u2k+1 2k +1 0.5 1.75 = 1 ( 1) k π (2k +1)k! [( 0.5)2k+1 ( 1.75) 2k+1 ] k=0 0.26847 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 82 / 130

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Distribuição Normal Padrão de Probabilidade (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 83 / 130

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade 1 Função Densidade de Probabilidade f(z) = 1 2π e 1 2 z2 2 Função Acumulada de Probabilidade F(z) = 1 [ ( )] z 1+erf 2 2 com erf(y) = 2 y e t2 dt π 3 Função Caracterísitca 4 Função Geradora de Momentos 0 ϕ X (t) = e 1 2 t2 M X (t) = e 1 2 t2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 84 / 130

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Tabela: Medidas MTC/MDV Média 0 Mediana 0 Moda 0 SKW 0 Curtose 0 Variância 1 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 85 / 130

Z = x µ σ Chamamos a função padronizada por Distribuição Normal Padrão. Seja a probabilidade dada por P(a < X < b) = b 1 2( x µ a 2πσ 2 e 1 σ ) 2 dx ( ) X µ Troca de variável = Z = σ (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 86 / 130

P(a < X < b) = = ( b µ σ ) 1 2πσ 2 e 1 2 z2 σdz ( a µ σ ) ( b µ σ ) ( a µ σ ) 1 2π e 1 2 z2 dz [( ) ( )] a µ b µ = P < Z < σ σ Finalmente, [( ) ( )] a µ b µ P(a < X < b) = P < Z < σ σ têm o mesmo valor. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 87 / 130

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Exercício XVI: Suponha um conjunto de dados que segue uma distribuição normal padrão com média µ = 2 e variância σ 2 = 1, calcule a probabilidade P(0.25 < X 1.5) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 88 / 130

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade ( 0.25 2 P(0.25 < X 1.5) = P 1 = P < X µ σ ( 1.75 < X µ σ = P( 1.75 < Z 0.5) = F Z ( 0.5) F Z ( 1.75) 1.5 2 ) 1 ) 0.5 Utilizando a tabela Normal Padrão = F Z ( 1.75) = 0.0401, F Z ( 0.5) = 0.3085, = 0.3085 0.0401 0.2684 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 89 / 130

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Calcule as probabilidades: 1 Calcule P[5 < X < 10] para X N(5,25) (Resp.0.3413) 2 Calcule P[ X 1] para X N(1/10,9) (Resp 0.2609) 3 Calcule P[X > 102] para X N(49,49) (Resp. 0) 4 Calcule P[1 X 2 3 < 13] para X N(2,4) (Resp.0.1915) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 90 / 130

Características Normal distribution X~N(0,1) Cumulative Function fx 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Fx 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 2 0 2 4 x 4 2 0 2 4 x Figura: a) Distribuição Normal Padrão Z N(0, 1) b) Função de Distribuição. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 91 / 130

(UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 92 / 130

Características 1) Se o desvio-padrão σ = 1 z = 1 P(0 < X < 1) 34,13% 2) Se o desvio-padrão σ = 2 z = 2 P(1 < X < 2) 13,59% 3) Se o desvio-padrão σ = 3 z = 3 P(2 < X < 3) 2,14% 4) Para a região 1 < σ < 1 Z < 1 P( Z < 1) 68,26% 5) Para a região 2 < σ < 2 Z < 2 P( Z < 2) 95,44% 6) Para a região 3 < σ < 3 Z < 3 P( Z < 3) 99,73%, também conhecido como 6σ. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 93 / 130

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Exercício XVII: Calcule e explique o cálculo das seguintes probabilidades de 1 X > 1.5 para X N(3,9) = Z? 2 X < 2 para X N( 0.1,0.41) = Z? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 94 / 130

Distribuição Cauchy Distribuição Cauchy Figura: Acerte no meio do alvo porque não tem média! (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 95 / 130

Distribuição Cauchy 1 Função Densidade de Probabilidade f(x x 0,γ) = [ γπ 1 1+( x x0 γ ) 2 ] 2 Função Acumulada de Probabilidade 3 Função Caracterísitca F(x λ) = 1 π arctan ( x x0 γ ϕ X (t) = e x 0it γ t 4 Função Geradora de Momentos Não existe ) + 1 2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 96 / 130

Tabela: Medidas MTC/MDV Média Mediana x 0 Moda x 0 SKW Curtose Variância (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 97 / 130

Distribuição Não existe média! NÃO EXISTE MÉDIA! E(x) = = = xf(x θ)dx = x π0 = x [ γπ 1 1+( x x0 γ ) 2 ]dx 1 (x 0 +γy) γπ(1+y 2 ) γdy 1 1+y 2dy + γ π y 1+y 2dy (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 98 / 130

Distribuição Não existe média! NÃO EXISTE MÉDIA! Figura: NÃO EXISTE MÉDIA! (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 99 / 130

Distribuição Não existe variância! NÃO EXISTE VARIÂNCIA! Observe que ambas as integrais divergem. Como o primeiro momento não existe, a média não existe! Além disso, a variância é descrita por var(x) = E(X 2 ) E(X) 2 De fato, a variância divergirá porque a média E(X) diverge. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 100 / 130

Distribuição Não existe média! NÃO EXISTE VARIÂNCIA! Figura: NÃO EXISTE VARIÂNCIA! (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 101 / 130

Distribuição Qui-quadrado χ 2 ν Distribuição Qui-quadrado Figura: (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 102 / 130

Distribuição Qui-quadrado χ 2 ν 1 Função Densidade de Probabilidade { 1 f(x a,b) = 2 ν/2 Γ( ν 2 )xν/2 1 e x/2, se x 0, 0, se c.c. 2 Função Acumulada de Probabilidade F(x ν/2,β) = 3 Função Caracterísitca ϕ X (t) = 4 Função Geradora de Momentos M X (t) = 1 Γ(ν/2) γ(ν/2,2x) 0 < x < ( ) 1 ν/2 t < ν 1 2it 4 ( 1 1 2t ) ν/2 t < ν 4 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 103 / 130

Distribuição Qui-quadrado χ 2 ν Tabela: Medidas MTC/MDV Média ν Mediana Moda 2(ν/2 1) 2 SKW ν/2 6 Curtose ν/2 Variância 2ν (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 104 / 130

Distribuição Qui-quadrado χ 2 ν Theorem Teorema de Cochran Sejam X 1,X 2,X 3, X n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas X NID(0, 1). A soma χ 2 ν = Z2 1 +Z2 2 +Z2 3 + Z2 n segue uma distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 105 / 130

Distribuição Qui-quadrado χ 2 ν Exercício XVIII: Mostre que P(0 < x < ) = 1 para a distribuição χ 2 ν. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 106 / 130

Distribuição Qui-quadrado χ 2 ν Γ(ν/2,2) = (1/2)ν/2 Γ(ν/2) x ν 2 1 e x 2 P(0 < x < ) = 0 = (1/2)ν/2 Γ(ν/2) (1/2) ν/2 Γ(ν/2) x ν 2 1 e x 2dx 0 x ν 2 1 e x 2dx = Troca de variável t = ν 2 (7) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 107 / 130

Distribuição Qui-quadrado χ 2 ν C.q.c. = (1/2)ν/2 Γ(ν/2) 0 = 2 ν/2+ν/2 1+1 = 1 Γ(ν/2) Γ(ν/2) 0 (2t) ν 2 1 e t (2dt) 0 t ν 2 1 e t dt = Define-se Γ(ν/2) = = Γ(ν/2) Γ(ν/2) = 1 t ν 2 1 e t dt 0 t ν 2 1 e t dt Independentemente do valor que o grau liberdade ν assume, a probabilidade P(0 < x < ) sempre resultará na unidade. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 108 / 130

Distribuição t-student Distribuição t-student Figura: Amostra por domicílio (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 109 / 130

Distribuição t-student 1 Função Densidade de Probabilidade 2 ) f(x ν) = Γ(ν+1 1 1 Γ( ν 2 ) [ ] νπ (ν+1)/2 1+( x2 ν ) 2 Função Acumulada de Probabilidade F X (x) = 1 ( ) ν +1 2 +xγ 2 Sendo F 1 a função hipergeométrica. 3 Função Geradora de Momentos Não existe F1( 1 2, ν 1 2, 3 2, x2 νπγ( π ν ) 2 ) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 110 / 130

Distribuição t-student Theorem Teorema Sejam as variáveis aleatórias X 1,X 2,X 3,...X n com distribuição X N(µ,σ 2 ) condicionando µ e σ 2 às variáveis amostrais X e S 2 independentes, n( X µ) N(0,1) σ segue uma distribuição normal padrão e, (n 1)S 2 σ 2 χ 2 ν segue uma distribuição χ 2 ν com ν graus de liberdade (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 111 / 130

Distribuição t-student Seja U N(0,1) e W χ 2 o pivot U W ν t ν (0,1) segue uma distribuição t-student com ν graus de liberdade. (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 112 / 130

Distribuição t-student Tabela: Medidas MTC/MDV Média 0 Mediana 0 Moda 0 SKW 6 ν 4 Curtose 0 Variância ν ν 2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 113 / 130

Figura: a) Distribuição t-student para graus de liberdade ν = 3,ν = 4,ν = 5, ν = 15 e ν = 20 b)distribuição normal de probabilidade (vermelho pontilhado) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 114 / 130 Distribuição t-student t Student distribution fx1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 2 0 2 4 x

Distribuição F-Snedecor Distribuição F-Snedecor Figura: Análise cĺınica (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 115 / 130

Distribuição F-Snedecor 1 Função Densidade de Probabilidade f(x x 0,γ) = Γ(n/2+m/2) n[(n/m)x] n/2 1 Γ(n/2)Γ(m/2) [1+(n/m)x] n/2 m/2 com função beta dada por Beta(n/2,m/2) = Γ(n/2)Γ(m/2) Γ(n/2+m/2) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 116 / 130

2 Função Acumulada de Probabilidade F(x λ) = I d 1 x d 1 x+d 2 ( d1 2, d 1 2 Sendo a função beta incompleta dada por: Beta(x;α,β) = x e a função beta incompleta regularizada 0 I x = Beta(x;α,β) Beta(α, β) ) t α 1 (1 t) b 1 dx 3 Função Geradora de Momentos Não existe (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 117 / 130

Distribuição F-Snedecor Tabela: Medidas MTC/MDV ν 2 ν 2 2 Média Variância 2( ν 2 ν 2 2 )2ν 1+ν 2 2 ν 1 (ν 2 4) (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 118 / 130

Distribuição F-Snedecor (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 119 / 130

Distribuição F-Snedecor Theorem Sejam U χ 2 n 1 e V χ2 m 1 duas variáveis aleatórias independentes de distribuição qui-quadrado com n 1 e m 1 graus de liberdade, respectivamente. A razão define a distribuição F-Snedecor: W = U/n V/m F ν 1,ν 2 (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 120 / 130

Theorem Seja X t(ν) uma variável aleatória com distribuição t-student, então F 1,ν = t 2 ν (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 121 / 130

Distribuições discretas: Qual usar? O tempo médio entre chegadas de pessoas no banco é de 8,5 minutos. Qual a probabilidade da pessoa permanecer mais do que 15 minutos no banco? Qual ovalor esperado par uma distribuição Γ( ν 2,2)? Calcule P[ 0.2 < X < 1.3] para X N(2,36) Pode um conjunto de dados não apresentar média? Qual distribuição terá? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 122 / 130

Relações entre distribuições (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 123 / 130

Relações entre distribuições Figura: EXERCÍCIOS (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 124 / 130

Exercício I Uma linha de produção 15 peças são produzidas, sendo quatro identificadas pelo robô como defeituosas. Qual a probabilidade em uma amostragem sistemática não sair nenhuma das peças defeituosas em um amostra experimental sem reposição contendo 3 unidades? O que esta probabilidade significa? Figura: Linha de produção (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 125 / 130

Exercício II O diâmetro interno de um anel de pistão é uma variável aleatória normalmente distribuído D N(10,0.03 2 ) cm. Qual a proporção de anéis que excederão 10,075 centímetros? Figura: Anel de pistão (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 126 / 130

Exercício III Um call-center está congestionado. O sistema acusa que a cada doze tentativas apenas três apresenta sucesso e o cliente normalmente desiste na quinta chamada. Qual a probabilidade de ser atendido na última tentativa? Figura: Cliente (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 127 / 130

Exercício IV Um call-center está congestionado. O sistema acusa que a cada doze tentativas apenas três apresenta sucesso e o cliente normalmente desiste na quinta chamada. Após N = 100 chamadas, qual a quantidade de clientes atendido? (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 128 / 130

Exercício V O corte a laser não pode ultrapassar uma área circular de 4.52 cm 2 na linha do corte. A dispersão do calor produzido no metal segue uma distribuição normal centrado no círculo quente com desvio de 0.6 cm, segundo a fotografia. Qual a probabilidade do corte a laser ultrapassar a área circular calibrada? Em um corte de 1 metro, qual o comprimeto possível de falhas? Figura: Corte (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 129 / 130

Exercício VI Se o comprimento total de falhas no corte do exercício anterior for em torno de 4,5 cm por metro, qual a proporção de falhas apresentado rebarbas no corte entre 18 e 20 metros? Qual a distância média entre falhas? Figura: Corte (UTFPR) Probabilidade 15 de maio de 2017 130 / 130