MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTÍNUOS

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1 6 MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTÍNUOS 6. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME A distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de conceituar: a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo. Definição 6.: Uma variável aleatória continua X tem distribuição uniforme com parâmetros a e b, se sua função de densidade de probabilidade é dada por em que: f (x) = a é o menor valor assumido por X; b é o maior valor assumido por X; { b a parax (a,b) parax (a,b) Vamos verificar que a expressão do modelo uniforme satisfaz as propriedades de uma fdp. f (x)dx = b a b a dx = (b a) = b a Figura 6.: Representação gráfica da fdp da Uniforme em [a,b] A distribuição uniforme é uma distribuição contínua, utilizada para modelar a ocorrência de eventos cuja probabilidade é constante em intervalos de mesma dimensão.

2 Modelos Probabilísticos Contínuos 2 Por ter a probabilidade constante para intervalos de mesma amplitude, pode servir como referência ou modelo aproximado nos casos onde a verdadeira distribuição não é conhecida. Outra aplicação de grande importância é servir de base para muitos processos de geração de valores de variáveis aleatórias em estudos de simulação. A função de distribuição pode ser calculada sem dificuldades por meio da integral x f (u)du = x Assim, a função de distribuição é dada por: a F(x) = b a du = x a (b a) b a sex < a x a b a sea x b sex > b Figura 6.2: Representação gráfica da função de distribuição da Uniforme em [a,b] Teorema 6.: Se X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b], então E[X] = a + b 2 V (X) = (b a)2 2 M x (t) = ebt e at (b a)t Exemplo 6.: Se uma VAC assume qualquer valor no intervalo ( 2,3) com a mesma probabilidade, a distribuição uniforme tem a seguinte função de densidade: f (x) = { 3 ( 2) = 5 parax ( 2,3) parax ( 2,3)

3 Modelos Probabilísticos Contínuos 3 Qual a probabilidade de x estar entre e 2? P( x 2) = F(2) F() F(2) = = F() = + 2 = P( x 2) = = 2 5 =,4 Determine a média e a variância de X Média E[X] = a + b = =,5 2 2 Variância σ 2 = (b a)2 2 = (3 ( 2))2 2 = 25 2 = 2,8 6.2 DISTRIBUIÇÃO GAMA A distribuição Gama é uma distribuição muito genérica que engloba várias outras distribuições. Tem ampla utilização em várias areas, alguns exemplos são: Climatologia - onde é um modelo viável para volumes de chuva Economia - onde tem sido utilizado para modelagem de créditos, de inadimplência, bem como para determinar probabilidade de ruína de uma empresa e calcular valor de risco em investimentos. Tempo de vida - onde é utilizada para determinar taxa de falha em processos de fabricação, duração da ação de um medicamento, ou sobrevivência de um individuo. Teoria das filas - tempo de espera de um individuo em fila de banco, tempo de espera para um transplante, tempo de valorização de uma ação na bolsa de valores. Definição 6.2 (Função Gama): A função gama é definida pela seguinte integral Γ(α) = Uma função gama tem a seguinte propriedade Γ(α + ) = αγ(α) x α e x dx α > (6.) em particular: Γ ( ) = π Γ() = 2

4 Modelos Probabilísticos Contínuos 4 Definição 6.3: Uma variável aleatória continua X tem distribuição Gama com parâmetros λ e r, se sua função de densidade de probabilidade é dada por em que: λ > parâmetro de escala; r > parâmetro de forma; Γ(r) = (u) r e u du = f (x) = λ Γ(r) (λx)r e λx x λ(λx) r e λx dx Figura 6.3: Representação gráfica da fdp da Gama Gama(r,λ) Para verificar que a função dada realmente define uma função de densidade, notamos inicialmente que f (x). Além disso u = λx f (x)dx = = du = λdx f (x)dx = = λ Γ(r) (λx)r e λx dx λ(λx) r e λx Γ(r) (u) r e u du Γ(r) Γ(r) Γ(r) = Teorema 6.2: Se X tem uma distribuição gama com parâmetros r e λ, então E[X] = r λ V (X) = r ( ) λ r λ 2 M x (t) = λ t

5 Modelos Probabilísticos Contínuos 5 Teorema 6.3: Se X tem uma distribuição gama com parâmetros r e λ, em que r é um número inteiro, então, para qualquer x em que Y Poisson(xλ). P(X x) = P(Y r) A função de distribuição da Gama não possui uma forma analítica e é representada pela integral abaixo: F(X) = x λ Γ(r) (λu)r e λu du Quando λ =, temos a distribuição gama padrão, e nesse caso a função de distribuição é dada por: F(X) = x Γ(r) (u)r e u du denominada função gama incompleta. Existem tabelas para esta função. Exemplo 6.2: Sabe-se que o tempo (em dias) de renovação de estoque de certo produto tem distribuição gama, com média de 4 e uma variância de 4. Determine os valores de r e λ e determine a probabilidade do tempo de renovação ser inferior a 6 dias. Como r é inteiro temos que E[X] = r = 4 r = 4λ λ V (X) = r λ 2 = 4λ λ 2 = 4 = 4 λ =, λ r = 4λ = 4, = 4 P(X 6) = P(Y 4) Y Poi(6) Assim P(Y 4) = P(Y < 4) P(Y < 4) = P(Y = ) + P(Y = ) + P(Y = 2) + P(Y = 3) ( 6 = e 6 )! + 6! ! ! = e 6 ( ) =,52 P(Y 4) =,52 =,8488 P(X 6) = =,8488 Teorema 6.4: Se X tiver uma distribuição Gama (r,λ), e se Y = λx, então Y terá distribuição gama padrão Gama(r,)

6 Modelos Probabilísticos Contínuos 6 Exemplo 6.3: Suponha que o tempo de sobrevivência X em semanas de um camundongo macho exposto ao radiação tenha distribuição gamma com parâmetros r = 8 e λ =,5. Determine o tempo médio de vida, a variância e a probabilidade do camundongo sobreviver entre 6 e 2 semanas. E[X] = r λ = 8,5 = 6 V (X) = r λ 2 = 8 (,5) 2 = 32 P(6 < X < 2) = P(,5 6 < Y <,5 2) = P(3 < Y < 6) = F y (6) F y (3) =,256,9 =, DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL A distribuição exponencial que tem ampla utilização em várias areas do conhecimento, especialmente na area de engenharia e confiabilidade. A distribuição de Poisson conta o número de eventos discretos em um período de tempo fixo, que está intimamente ligado à distribuição exponencial, que (entre outras aplicações) mede o tempo entre chegadas dos eventos. Assim, a distribuição exponencial é uma distribuição contínua utilizada para modelar o tempo entre ocorrências de eventos num processo de Poisson. Na realidade, a taxa constante de ocorrência de eventos prevista no processo de Poisson, tal como uma chamada telefônica ou uma falha em uma máquina, raramente é uma pressuposição razoável no ciclo completo de vida de um componente. Entretanto, pode ser que num intervalo de tempo determinado essa taxa seja constante e a modelagem nesse intervalo pode ser feita pela distribuição exponencial. A distribuição geométrica modela o número de experimentos de Bernoulli necessários para que um processo discreto mude de estado. A distribuição exponencial pode ser vista como a contrapartida contínua da distribuição geométrica, modelando o tempo decorrido para que um processo contínuo mude de estado. Definição 6.4: Uma variável aleatória continua X tem distribuição exponencial com parâmetro λ, se sua função de densidade de probabilidade é dada por f (x) = λe λx, x > em que λ > representa a taxa de ocorrência por unidade de medida. Assim, a função de distribuição é dada por: F(x) = e λx, x

7 Modelos Probabilísticos Contínuos 7 Figura 6.4: Representação gráfica da fdp e da função de Distribuição da Exponencial exp(λ) Seja X uma variável aleatória com distribuição gama com parâmetro r =, temos que: f (x) = λ Γ(r) (λx)r e λx x = λ Γ() (λx) e λx = λe λx Assim, a distribuição exponencial é um caso especial da distribuição gama, quando r =. Nessa caso verifica-se que a função dada realmente define uma função de densidade. Teorema 6.5: Se X tem uma distribuição exponencial com parâmetro λ, então E[X] = λ V (X) = λ 2 M x (t) = λ λ t Exemplo 6.4: Suponha que uma máquina falhe em média uma vez a cada dois anos. Calcule a probabilidade da máquina falhar durante o próximo ano. Determine a média e a variância. Temos λ = 2 =,5, e X tempo para falhar, temos P(X ) P(X ) = F() = e,5 =,3935 E[X] =,5 = 2 V (X) =,5 2 = 4 Teorema 6.6: Se X tem uma distribuição exponencial com parâmetro λ, então P(X t + s X S) = P(X t) A distribuição exponencial é o único modelo continuo que apresenta a propriedade da falta de memória. Nessa distribuição, o passado não afeta o futuro e pode ser desconsiderado.

8 Modelos Probabilísticos Contínuos 8 Exemplo 6.5: Suponha que o tempo para o atendimento em um banco é exponencialmente distribuído com média de minutos, λ = /. Qual é a probabilidade que um cliente demore mais de 5 minutos no banco para ser atendido no banco, uma vez que ele ainda está no banco após minutos? P(X > 5 X > ) = P(X > 5) = F(5) = e 5 = e,5 =, DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição Normal corresponde a mais importante distribuição de variáveis aleatórias contínuas, em razão da sua enorme aplicação nos mais variados campos do conhecimento. O estudo do problema dos erros de medida levou a introdução da distribuição de Gauss ou Gaussiana, que mais tarde, recebeu o nome de curva normal. Definição 6.5: Uma variável aleatória continua X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ 2, se sua função de densidade de probabilidade é dada por f (x) = (x µ)2 e 2σ 2, < x < 2πσ 2 em que < µ < e σ 2 > A forma, ou aspecto, da distribuição normal é ilustrada por uma curva em forma de sino. A curva normal tem dois parâmetros, µ e σ 2. Eles determinam a posição e forma da distribuição. Figura 6.5: Representação gráfica da fdp da Normal N(µ,σ 2 ) A distribuição normal apresenta a seguinte propriedades:. É simétrica em relação a µ, ou seja f (µ x) = f (µ + x);

9 Modelos Probabilísticos Contínuos 9 2. O ponto máximo de f (x) ocorre em x = µ. f (x) = ( (x µ)2 x µ e 2σ 2 2πσ 2 f (x) = x = µ f (x) = = σ 2 ( (x µ)2 x µ e 2σ 2 2πσ 2 (x µ)2 e 2πσ 2 f (µ) = σ 2 2πσ < 2 σ 2 2σ 2 [ (x µ σ 2 ) ) 2 ( (x µ)2 e 2σ 2 2πσ 2 ) ] 2 σ 2 Logo µ é um ponto de máximo. Neste ponto as três medidas de posição (média, moda e mediana) se confundem; 3. A área compreendida abaixo da curva normal e a acima do eixo x vale ou %; Vamos verificar que a expressão do modelo normal satisfaz as propriedades de uma fdp. f (x)dx = Suponha que A representa a area sob a curva, então A = (x µ)2 e 2σ 2 = 2πσ 2 2πσ 2 (x µ)2 e 2σ 2 dx σ 2 ) Fazendo a substituição Assim, temos que: y = x µ σ dy = σ A = 2π e 2 y2 dy Como o integrando é uma função par, temos que: Fazendo a substituição A = 2 e 2 y2 dy 2π u = y2 2 y = 2u du = ydy dy = du 2u

10 Modelos Probabilísticos Contínuos Assim, u du A = 2 e 2π 2u = u 2 e u du π = ( ) Γ π 2 = π π = Teorema 6.7: Se X tem distribuição normal N(µ,σ 2 ), então E[X] = µ V (X) = σ 2 M x (t) = e µt+ σ2 t 2 2 Assim, se X é uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e variância σ 2, podemos representar por X N(µ,σ 2 ). Teorema 6.8: Se X tiver uma distribuição Normal N(µ,σ 2 ), e se Y = ax + b, então Y terá distribuição Normal N(aµ + b,a 2 σ 2 ) Corolário 6.: Se X tiver uma distribuição Normal N(µ,σ 2 ), e se Z = X µ σ, então Z terá distribuição Normal N(,) A distribuição Normal com média µ = e variância σ 2 = é conhecida como distribuição Normal reduzida ou padronizada. Uma variável aleatória com essa distribuição geralmente é simbolizada pela letra Z. O função de distribuição da Normal não possui uma forma analítica e é representada pela integral abaixo: Φ(x) = x { } exp (u µ)2 2πσ 2 2σ 2 du Devido a dificuldade de resolução dessa integral, procurou-se métodos alternativos para obtenção das probabilidades. De acordo com o corolário 6. uma variável aleatória X que segue qualquer distribuição Normal pode ser transformada em uma variável normal padrão Z, por meio da expressão Z = X µ σ X = σz + µ Assim, temos que: ( Φ X (X) = P(X x) = P(σZ + µ x) = P Z x µ ) ( ) x µ = Φ Z σ σ Uma das formas mais utilizadas para determinar probabilidades de uma distribuição Normal é por meio de tabela de probabilidades de uma distribuição Normal padrão (Z).

11 Modelos Probabilísticos Contínuos Exemplo 6.6: Seja uma variedade e de milho em que a altura é um variável X com distribuição normal com média µ = 2cm e variância σ 2 = cm 2. Qual a probabilidade de uma planta desta variedade ter altura entre 9 e 95cm? Para obter P(9 < X < 95), primeiro vamos padronizar esta variável, sendo σ = σ 2 = = z = x µ σ = 9 2 = z 2 = x 2 µ σ = 95 2 =,5 Então P(9 < X < 95) = P( < Z <,5) = Φ(,5) Φ( ) Como na tabela tem apenas valores positivos e a distribuição normal é simétrica temos que Φ( ) = Φ() =,8434 =,5866 Φ(,5) =,6946 =,3854 P(9 < X < 95) = P( < Z <,5) = Φ(,5) Φ( ) =,3854,5866 =,4988 Assim, a probabilidade de P(9 < x < 95) =, 4988 Vamos calcular a probabilidade de uma planta desta variedade ter altura maior que 2cm. Primeiro vamos padronizar esta vaor, sendo σ = σ 2 = = z = x µ σ = 2 2 =, Assim, P(X > 2) = (Z >,) = Φ(,) =,8434 =,5866 Vamos calcular a probabilidade de uma planta desta variedade ter altura entre 95 e 2cm. Utilizando as padronizações já realizadas temos que P(95 < x < 2) = P(,5 < z <,) = Φ(,) Φ(,5) =,8434,3854 =,5328

12 Modelos Probabilísticos Contínuos 2 Exemplo 6.7: Se X N(2; 9) encontre o valor de X tal que P(X k) =,. P(X k) =, = P(Z < z). Temos que a area abaixo de um determinado valor z é, e area acima temos que é,9. Assim pelo simetria temos que o area abaixo de z é,9 e acima é,. Olhando na tabela temos que z =,28, assim z =,28. Utilizando a relação X = σz + µ, temos que k = 3(,28)+2 =,84. Assim temos, que P(X,84) =, 6.5 DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL A distribuição Log-Normal é indicada para modelar eventos que apresentam assimetria e que possam assumir valores entre e. Essa distribuição é muito usada para caracterizar tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui, fadiga de metal, semicondutores, diodos e isolação elétrica. Mas também é utilizada em áreas como d biologia e agricultura, além de modelar magnitudes de terremotos e tempo de repouso entre terremotos; médias de máximas diárias anuais de chuva, de vazão e picos de vazão de rios (anuais, mensais e diárias); Definição 6.6: Uma variável aleatória continua X tem distribuição Lognormal com parâmetros µ e σ 2, se sua função de densidade de probabilidade é dada por f (x) = x 2πσ 2 e (ln(x) µ)2 2σ 2 parax > caso contrário

13 Modelos Probabilísticos Contínuos 3 em que < µ < e σ 2 > Figura 6.6: Representação gráfica da fdp da Lognormal Ln(µ,σ 2 ) Para verificar que a função dada realmente define uma função de densidade, notamos inicialmente que f (x). Além disso f (x)dx = x (ln(x) µ) 2 2πσ 2 e 2σ 2 dx y = ln(x) x y dy = dx x y x x (ln(x) µ) 2 (y µ)2 2πσ 2 e 2σ 2 = e 2σ 2 dy = 2πσ 2 Teorema 6.9: Se X tem uma distribuição Lognormal com parâmetros µ e σ 2, então σ2 µ+ E[X] = e 2 V (X) = (e σ 2 )e 2µ+σ 2 O função de distribuição da lognormal não possui uma forma analítica e é representada pela integral abaixo: Φ(x) = x } { u 2πσ exp (u µ)2 2 2σ 2 du Existe uma relação entre as distribuições Log-Normal e Normal, como o nome sugere, o logaritmo de uma variável com distribuição Lognormal com parâmetros µ e σ 2 tem uma distribuição Normal com média µ e variância σ 2. Esta relação significa que dados provenientes de uma distribuição Lognormal podem ser analisados segundo uma distribuição Normal se trabalharmos com o logaritmo dos dados ao invés dos valores originais. Exemplo 6.8: O tempo, em segundos, que um usuário de computador leva para ler seus s é distribuído como uma variável aleatória lognormal, com µ =,8 e σ 2 = 4,. Qual à probabilidade de que o usuário leia seus s:

14 Modelos Probabilísticos Contínuos 4 a) por mais de 2 segundos P(X > 2) = P(X 2) = P(e Y 2) = P(Y ln(2)) P(Y 3,) Como Y tem distribuição normal com µ =,8 e σ 2 = 4,, temos que Z = 3,8 =,6 2 P(X > 2) P(Y 3,) = P(Z,6) =,72575 = b) por um período superior a média da distribuição. σ2 µ+ E[X] = e 2 = e,8+2) 44,7 P(X > 44,7) = P(Y ln(44,7)) P(Y 3,8) Z = 3,8,8 =, 2 P(X > 44,7) = P(Z >,) =,8434 =, EXERCÍCIOS 6.6. Teoricos 6.) Mostre que independente dos valores de a e b, uma distribuição uniforme a) é sempre simétrica b) Md = E[X] = a+b 2 c) é sempre amodal 6.2) Se X tem distribuição normal N(µ,σ 2 ). Determine c, como uma função de µ e σ, tal que P(X c) = 2P(X > c) 6.3) Determine a moda e a mediana da distribuição exponencial com parâmetro λ 6.4) Se X é uma variável aleatória continua com função de distribuição F. Mostre que se uma variável aleatória Y = F(X) é uniformemente distribuída em (,). 6.5) Se X é uma variável aleatória com distribuição normal N(µ,σ 2 ). Seja Y = e X, mostre que Y tem distribuição lognormal com parâmetros µ e σ ) Se X é uma variável aleatória com distribuição lognormal LogN(µ,σ 2 ). Seja Y = lnx, mostre que Y tem distribuição normal com parâmetros µ e σ 2.

15 Modelos Probabilísticos Contínuos 5 6.7) Determine a assimetria e curtose da distribuições abaixo: a) Normal; b) Gama c) Exponencial 6.8) Um corpo de bombeiros esta para ser construído ao longo de uma estrada com comprimento A. Se os incêndios ocorrem de maneira uniforme ao longo desta estrada, onde o corpo de bombeiros deveria ser instalado para minimizar a distância esperada ao incêndio? Isto é, determine α que minimize E[X α], em que X denota a posição de ocorrência de um incêndio nesta estrada, é uniformemente distribuído em (,A). 6.9) Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ e c > uma constante real, determine a distribuição de Y = cx Práticos 6.) O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de 35 ml. Suponha que a linha de produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo [345,355] a) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo superior a 353 ml? b) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo inferior a 346 ml? c) O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de 4 ml do conteúdo exibido na lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção? 6.2) Uma distribuição uniforme no intervalo [a,b] tem E[X] = 7,5 e V (X) = 6,75. Determine os valores de a e b, sabendo que b > a >. 6.3) Você chega na parada de ônibus às :, sabendo que o ônibus chegará em algum horário uniformemente distribuído entre : e :3. a) Qual é a probabilidade de que você tenha que esperar mais de minutos? b) Se às :5, o ônibus ainda não tiver chegado, qual é a probabilidade de que você tenha que esperar pelo menos mais minutos? 6.4) Sabe-se que o tempo de renovação de estoque de certo produto tem distribuição gama, com média de 4 e uma variância de 4. Ache a probabilidade de que um pedido seja recebido no período dos vinte primeiros dias após ter sido feito. Dentro do 6 primeiros dias. 6.5) Suponha que o tempo gasto por um aluno selecionado aleatoriamente que usa um terminal conectado a uma instalação de computador com time-sharing tem uma distribuição gama com média de 2 min. e variância de 8 min 2

16 Modelos Probabilísticos Contínuos 6 a) Determine os valores de r e λ b) Qual a probabilidade de um aluno usar o terminal por no máximo 24 minutos? c) Qual é a probabilidade de um aluno passar entre 3 e 4 minutos usando o terminal? 6.6) Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de horas. a) Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 5 horas b) Cada fusível tem um custo de R$, e, se durar menos de 2 horas, existe um custo adicional de R$ 8,. Qual a probabilidade de pagar a preço adicional? 6.7) Os tempos até a falha de um dispositivo eletrônico seguem o modelo exponencial com uma taxa de falha,2falha/hora. Indique qual a probabilidade de um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver: a) a horas? b) a 5 horas? 6.8) Suponha que o tempo de vida T de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma distribuição Exponencial com parâmetro λ =,5. Determine: a) P(T > 5 T > ) b) Esperança e a variância do tempo de vida. 6.9) A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição Normal, com média 5 kg e desvio padrão,9 kg. Um abatedouro comprará 5 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: 5% dos mais leves como pequenos, os 5% seguintes como médios, os 2% seguintes como grandes e os 5% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação? 6.) Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 2 u.m. e 2 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 25 u.m. e 7 u.m. Respectivamente. a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B. b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B. 6.) Uma variável aleatória X tem distribuição normal N(µ,σ 2 ), sabe-se que P(X 45) =,3 P(X > 64) =, Determine os valores de µ e σ 2

17 Modelos Probabilísticos Contínuos 7 6.2) A duração de certos tipos de amortecedores, em km rodados é normalmente distribuída, possui duração média de 5 km e desvio-padrão de km. Qual a probabilidade de um amortecedor escolhido ao acaso durar entre 45 e 635 km? 6.3) Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos. a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos? b) E mais do que 9,5 minutos? c) E entre 7 e minutos? 6.4) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 2 arruelas produzidas por certa máquina é de,3 cm e desvio padrão,2 cm. A finalidade para qual estas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima de,298 a,32 cm; se isto não se verificar as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine o percentual de arruelas defeituosas que serão produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 6.5) Em determinada população, a taxa de hemoglobina no sangue tem distribuição normal, com média igual a 6 g/ml e desvio padrão de,2 g/ml. a) Que proporção de indivíduos tem taxa menor do que 7,8? b) Que proporção de indivíduos tem taxa maior do que 8,4? c) Qual sua opinião sobre um nível de hemoglobina igual a 4g/mL quando comparado com a média? 6.6) Em certa população, a estatura dos homens tem distribuição normal, com média igual a 72 cm e desvio padrão igual a cm. a) Que percentagem de homens tem estatura inferior a 6 cm? b) Qual a probabilidade de que um homem dessa população tenha estatura entre 75 e 85 cm? c) Quais são as estaturas esperadas para os 8% mais altos da população? 6.7) Em determinado concurso havia 6 candidatos para 2 vagas. Realizada a prova, o número médio de acertos foi 7, com desvio padrão de 5. Qual o número mínimo de acertos para que um candidato se classifique, sabendo que esta variável apresentou distribuição normal? 6.8) Suponha que a concentração de um determinado poluente produzido por fábricas de produtos químicos, em partes por milhão, tem uma distribuição lognormal com parâmetros µ = 3, 2 e σ 2 =. Qual é a probabilidade de que a concentração exceda oito partes por milhão?

18 Modelos Probabilísticos Contínuos 8 6.9) O tempo entre terremotos graves em uma determinada região segue uma distribuição lognormal com um coeficiente de variação de 4%. O valor esperado entre terremotos graves é de 8 anos a) Determine os parâmetros µ e σ 2 da distribuição do tempo entre terremotos graves. b) Determine a probabilidade de que um terremoto vai ocorrer dentro de 2 anos a partir da anterior. c) Suponha que o último terremoto grave na região ocorreu há anos. Qual é a probabilidade de que um terremoto vai ocorrer durante o próximo ano? 6.2) A velocidade máxima do vento em um tornado em uma determinada cidade segue uma distribuição lognormal com µ = 4,5e σ 2 =,4 a) Qual é a probabilidade de que a velocidade do vento máxima será superior a 2 mph durante o tornado que vem? b) Determine a média e a variância da velocidade do vento de um tornado.