REGIME DE CAPTALIZAÇÃO COMPOSTA No regime de Capitalização Composta, os juros prodzidos ao final de um dado período n se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período subsequente n+1 e assim sucessivamente. Exemplo: Uma pessoa aplicou R$ 500,00 em uma caderneta de poupança que paga juros de 4% a.m. Determine o saldo de sua conta no final de um semestre. MÊS BASE DE JUROS MONTANTE CÁLCULO 0 R$ 500,00 R$ 0,00 R$ 500,00 1 R$ 500,00 R$ 20,00 R$ 520,00 2 R$ 520,00 R$ 20,80 R$ 540,80 3 R$ 540,80 R$ 21,63 R$ 562,43 4 R$ 562,43 R$ 22,50 R$ 584,93 5 R$ 584,93 R$ 23,40 R$ 608,33 6 R$ 608,33 R$ 24,33 R$ 632,66 Note que este regime tem comportamento diferente da capitalização simples no que tange ao crescimento do principal, pois, nesse caso, a incorporação dos juros ao capital ocorre em progressões geométricas. CÁLCULO DO MONTANTE Podemos colocar o exemplo acima em termos matemáticos, lembrando que o Montante é o Capital acrescido dos Juros. Sendo assim, aplicando-se o capital C por um período ou por uma série de períodos n, a uma taxa i, obtémse um montante M. Exemplo:
Aplicou-se R$ 800,00 em uma caderneta de poupança durante quatro meses à taxa de 8% ao mês. Qual o montante final? Observação: o fator é chamado fator de acumulação de capital por operação única e pode ser denominada (F.A.C). para efeito ilustrativo tem-se, para alguns níveis de taxa i e de períodos n, esse fator calculado e tabelado. Exemplos: Uma pessoa faz uma aplicação de R$ 200,00 a juros compostos, a qual remunera o capital à 1,8% ao mês. Qual o montante ao final de um ano? Quantos períodos devo deixar R$ 850,00 aplicados, à razão de 3% a.p., de modo a atingir o montante de R$ 1.100,00 pelo regime composto? Qual a taxa trimestral composta que devo aplicar um certo capital, de modo a dobrá-lo no final de 18 meses?
APURAÇÃO DOS JUROS Muitas vezes, necessitamos apurar monetariamente os juros produzidos em uma dada operação. Para tanto, lembrando que juros é a diferença entre o montante e o capital, temos: TAXA DE JUROS NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA TAXAS EQUIVALENTES: Conforme vimos, taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital, durante mesmo espaço de tempo, produzem montantes iguais. Vamos imaginar a seguinte situação: um certo capital C foi aplicado durante o certo período de tempo n, à razão de uma taxa de juros i produzindo um certo montante M. concomitantemente a essa aplicação, imagine que ume mesmo capital C tenha sido aplicado durante um período de tempo NE, equivalente ao primeiro, à uma taxa de juros ie produzindo um mesmo montante Me. Então: Exemplo: Qual a taxa de juros mensal equivalente a 60% ao ano?
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Existem algumas situações em que a taxa utilizada na operação não coincide com o período de capitalização. Por exemplo, aplica-se R$1000,00 a juros compostos por três meses à taxa de 70% ao ano, capitalizados mensalmente. Note que, apesar da taxa ser expressa em termos anuais, a capitalização se dá em termos mensais. Isto implica estarmos utilizando uma taxa nominal anual quando, efetivamente, a remuneração do capital se dá em termos mensais. Para tanto, faz-se necessária a distinção entre taxa nominal e taxa efetiva. Taxa Nominal: É aquela cuja unidade do período a que se refere não coincide com a unidade do período de capitalização. Taxa Efetiva: É aquela que efetivamente grava uma operação financeira. Dada uma taxa de juros nominal procede-se, para o cálculo da respectiva taxa de juros efetiva, por convenção, de maneira igual a do sistema de capitalização simples, isto é, calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa à unidade de tempo mencionada para a capitalização, e, posteriormente apurase exponencialmente a taxa efetiva à nominal. Matematicamente, temos: DESCONTO COMPOSTO RACIONAL ou
1- (Banco do Brasil 2010) Mário deseja aplicar certa quantia em um fundo de investimento a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quanto deverá aplicar hoje para ter um montante de R$ 6 655,00 daqui a 3 anos? (A) R$ 5 600,00. (B) R$ 5 120,00. (C) R$ 5 060,00. (D) R$ 5 000,00. (E) R$ 4 920,00. 2- (Banco do Brasil 2010) André deseja comprar uma moto à vista e decidiu poupar mensalmente da seguinte maneira: No dia 1º de julho de 2010 depositará R$ 2 500,00. No dia 1º de agosto de 2010 depositará R$ 2 000,00. No dia 1º de setembro de 2010 depositará R$ 2 500,00. Se a taxa de juros é de 0,8% ao mês, qual a quantia que ele terá no dia 1º de setembro de 2010? (A) R$ 7 016,00. (B) R$ 7 036,16. (C) R$ 7 056,16. (D) R$ 7 076,16. (E) R$ 7 576,00. 3- (Banco do Brasil 1999) Um automóvel foi comprado por R$ 20.000,00 e sofre uma desvalorização de 20% ao ano. O seu valor, em reais, após 3 anos será: (A) 10.240,00 (B) 8.192,00 (C) 6.553,60 (D) 5.242,88 (E) 4.194,30 4- (CEF 2010) Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para, se a primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do computador será igual a: (A) R$ 2.050,00. (B) R$ 2.060,00. (C) R$ 2.070,00. (D) R$ 2.080,00. (E) R$ 2.090,00. 5- (CEF 2008) Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será: (A) 1200,00 (B) 1224,00 (C) 1241,21 (D) 1368,03 (E) 2128,81 6- (Banco do Brasil 2012) João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente: (A) 240,00 (B) 330,00 (C) 429,00 (D) 489,00 (E) 538,00
7- (Banco do Brasil 2008) Para a venda de notebooks, uma loja de informática oferece vários planos de financiamento e, em todos eles, a taxa básica de juros é de 3% compostos ao mês. Nessa situação, julgue os itens seguintes, considerando 1,2 como valor aproximando para. 1- Se, em uma venda, ficar acordado que o pagamento será feito de uma única vez, ao final do 6.º mês após a compra do notebook, cujo valor à vista é de R$ 3.600,00, nesse caso, no pagamento, o cliente desembolsará mais de R$ 4.200,00. 2- Se o financiamento for feito em 6 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 720,00, com a primeira vencendo um mês após a compra, então o montante dessa série de pagamentos, logo após aquitação da 6.ª prestação, será superior a R$ 4.500,00. 3- Caso um cliente escolha financiar a compra de um notebook em 12 prestações postecipadas, mensais, consecutivas e iguais a R$ 360,00, nesse caso, considerando 0,70 como valor aproximado para, é correto concluir que o preço do notebook, à vista, é inferior a R$ 3.800,00. 4- Se, na compra de um notebook, o financiamento for feito com base no sistema francês de amortização, em 6 prestações postecipadas,mensais, consecutivas e iguais a R$ 900,00, e a taxa de juros compostos cobrados nesse financiamento for de 3% ao mês, nesse caso, se a amortização no pagamento da 1.ª prestação for igual a R$ 756,00, então a amortização no pagamento da 2.ª prestação será superior a R$ 785,00. 5- Se, em determinado mês, a taxa de inflação foi de 1%, então, nesse mês, a taxa real de juros de um financiamento foi superior a 2%. (CEF 2008) Após a data de seu vencimento, uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%, além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a 2% da dívida original. Sabendo-se que e e utilizando-se para todo o período o sistema de capitalização composta, determine o tempo mínimo necessário, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dívida original. (A) 24 (B) 23,5 (C) 13 (D) 11,5 (E) 10