Proposta d tst d avaliação Matmática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:
Cadrno (é prmitido o uso d calculadora) Na rsposta aos itns d scolha múltipla, slcion a opção corrta. Escrva, na olha d rspostas, o númro do itm a ltra qu idntiicam a opção scolhida.. Sja a unção d domínio [ 0, ] dinida por ( ) + cos sin.. Mostr qu D, ( ) cos( ) +... Rcorrndo à dinição d drivada d uma unção num ponto, dtrmin... Qual das sguints opçõs indica a abcissa d um ponto do gráico d m qu a rta tangnt é paralla à bisstriz dos quadrants ímpars? (A) (B) (C) (D).. Estud a unção quanto ao sntido da concavidad do gráico à istência d pontos d inlão..5. Na igura stá rprsntado, m rrncial ortonormado Oy, o gráico da unção. Os vértics A C do rtângulo [ OABC ] prtncm aos smiios positivos O Oy, rsptivamnt. O vértic B y prtnc ao gráico d. Sabndo qu o rtângulo [ OABC ] tm mdida d ára igual C B a 5 u.a., rcorra à calculadora gráica para dtrminar um valor aproimado do comprimnto da diagonal [ OB ]. Na sua rsposta dv: O A quacionar o problma; rproduzir o(s) gráico(s) visualizado(s) na calculadora, incluindo o rrncial; indicar o valor pdido arrdondado às décimas. Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página
. Um capital d 0 000 uros oi colocado num banco à taa anual nominal d r % no rgim d juros compostos. Ao im d um ano, com capitalizaçõs mnsais, oi obtido um capital acumulado d 0 uros. O valor d r, arrdondado às cntésimas, é: (A), (B), (C),0 (D),09 Fim do Cadrno COTAÇÕES (Cadrno ) Itm Cotação (m pontos).........5.. 5 5 0 0 0 0 90 Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página
Cadrno (não é prmitido o uso d calculadora) Na rsposta aos itns d scolha múltipla, slcion a opção corrta. Escrva, na olha d rspostas, o númro do itm a ltra qu idntiicam a opção scolhida.. Considr, para um crto númro ral k, a unção, d domínio ( ) ( ) k sin s 0 < < + + s.. Dtrmin k sabndo qu a unção é contínua m. + R, dinida por:.. Estud a unção quanto à istência d assíntotas não vrticais ao rsptivo gráico.. Considr a unção : R R dinida por ( ) cos + sin ( )... Na igura stá rprsntada uma circunrência d cntro no ponto O raio. B F A D O E Sab-s qu: os diâmtros [ DE ] [ CF ] são prpndiculars; o ponto A s dsloca sobr o arco EF ; para cada posição do ponto A o ponto B é a sua imagm na rlão d io FC ; é a amplitud, m radianos, do ângulo EOA 0,. a) Mostr qu, para cada 0, C., a ára do triângulo [ ABC ] é dada por ( ) b) Dtrmin, caso ista, o valor d para o qual a ára do triângulo [ ABC ] é máima. Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página
5.. S α arcsin sin, ntão ( ) α é igual a: (A) (B) (C) (D) 5. Um ponto P dsloca-s numa rta numérica durant um intrvalo d tmpo I, d tal orma qu a rsptiva abcissa é dada por ( t) sin t. 5.. Mostr qu s trata d um oscilador harmónico. 5.. A rquência ( ) o ângulo d as ( ϕ ) dst oscilador são: (A) (C) 7 ϕ (B) ϕ 7 ϕ 5 (D) ϕ 5. Sja ( u n ) a sucssão dinida por O valor d lim ( ) u é: n u n n n. (A) (B) (C) (D) Fim da prova COTAÇÕES (Cadrno ) Itm Cotação (m pontos)...... a).. b).. 5.. 5... Total 5 5 5 0 0 5 0 0 0 TOTAL (Cadrno + Cadrno ) 00 Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página 5
Proposta d rsolução Cadrno. ( ) + cos sin ; D [ 0, ].. ( ) cos sin + ( cos ) ( sin ) ( cos sin ) ( cos sin ) + + + ( ) + cos cos sin sin + cos( + ) ( ) + cos.. + h lim h 0 h + h + cos h cos + + lim h 0 h + h + cos + h cos lim h 0 h ( ) h sin h 0 lim h 0 h ( h) h sin lim lim h 0 h h 0 h ( h) sin lim h 0 h sin lim 0 h S h 0, 0. cos + h sin ( h).. A quação da bisstriz dos quadrants ímpars é y o su dcliv é igual a. + ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) [ 0, ] sin ( ) [ 0, ] ( ) [ ] sin 0 0, ( ) [ ] sin 0 0, [ ] k, k Z 0, k, k Z [ 0, ] 0 Rsposta: (C) Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página
.. ( ) sin ( ) 0 cos( ) cos ( ) ( ) 0 cos ( ) 0 [ 0, ] ( ) [ ] cos 0 0, + k, k Z [ 0, ] k +, k Z [ 0, ] + 0 0 0 + 0 P.I. P.I. O gráico d tm a concavidad voltada para baio m 0, m, tm a concavidad voltada para cima m,. Os pontos d abcissas são pontos d inlão..5. A ára do rtângulo [ ] OABC é igual a OA AB. Dsignando por a abcissa dos pontos A B, tm-s OA AB ( ). Vamos, assim, comçar por dtrminar ] 0, ], tal qu ( ). Utilizando a calculadora gráica, dtrminou-s a intrsção da rta d quação y com a curva d quação y ( ) y + cos ( ) y : y ( ) 5 O, 9 A abcissa do ponto A é, aproimadamnt igual, a,9. OA, 9 ( ) ( ) ( ) AB, 9, 9 + cos, 9,7 ( ) OB + + Portanto, OB,., 9,7, C O B A ( ) Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página 7
n r. C C0 + 00 n C 0 0 000, n C 0 r r 0 0 0 000 + + 00 00 0 000 r 0 r 0 + 00 0 000 00 0 000 0 r 00 00 0 000 r Rsposta: (C),0 Cadrno. ( ) ( ) k sin s 0 < < + + s.. é contínua m s istir lim ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) k sin sin lim ( ) lim k lim ( ) ( ). ( ) sin sin k lim k lim lim sin y k lim k k + y 0 y ( ) ( + + ) + + ( ) lim lim + + Para qu ista lim ( ) + é ncssário suicint qu: lim ( ) lim ( ) ( ) k k Portanto, s a unção é contínua m, ntão.. Como D k. + R, só podrá istir assíntota não vrtical ao gráico d m +. Sja y m + b a assíntota ao gráico d m +, caso ista. ( ) + + + + m lim lim lim + + + + + + + + + lim lim lim + + + lim + + + 0 + + y S, y 0 +. Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página 8
( ) ( ) ( ) b lim lim lim + + + + + + ( )( ) + + + + lim lim + + + + + + lim 0 + + + + A rta d quação y é uma assíntota ao gráico d m +.. : R R com ( ) cos + sin ( ).. a) A ára d [ ABC ] é dada por: ( OM ) AB MC AM + AM + AM cos AM cos ( OM ) D B F M O A E OM sin OM sin C A AM + OM + [ ] ( ) cos ( sin ABC ) cos + sin cos ( ) ( ) cos + sin + + b) ( ) cos sin ( ) sin cos( ) ( ) cos sin ( ) 0 0, cos ( ) sin 0 0, cos ( ) sin 0 0, cos sin sin 0 0, sin sin sin 0 0, sin + sin 0 0, ± + sin 0, ± sin 0, sin sin 0, Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página 9
0 + + 0 ր ց Má. A ára do triângulo [ ABC] é máima para... 5, 5 sin sin sin 5 α arcsin sin arcsin sin porqu,. + ( α ) cos sin,, sin [ ] [ ],, arcsin 5. + + Rsposta: (C) t t t 5.. ( ) sin cos cos t + 5 cos t + 5 cos t 5 cos t + 7 cos t + ( t ) é da orma Acos( ω t ϕ ) 5.. Frquência: Rsposta: (A) + com A > 0, 0 7 ; as: ϕ + 5 + ( α ) cos cosα sinα cos α ω > ϕ [ 0, [, logo é um oscilador harmónico.. ( ) n n n lim u lim lim lim n n n n ( ) Rsposta: (B) Proposta d tst d avaliação Matmática A,. o ano Página 0